Clase 5 Medidas de Posición

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Medidas de posición
Cuartiles, rango intercuartil, deciles y percentiles
Medidas de tendencia central, dispersión y posición
Medidas de 
Tendencia 
Central
Media
Mediana
Moda
Medidas de 
dispersión
El rango
Desviación 
media
Varianza
Desviación 
estándar
Medidas de 
posición
Cuartiles
Rango 
Intercuartil
Deciles PercentilesP
P
P
P
P
P
P
Los cuartiles
 Partiendo de la misma idea de la mediana (dividir los
datos en bloques de igual número de datos) podemos
introducir nuevas medidas de dispersión.
 Los cuartiles: son 3 valores que dividen el conjunto de
observaciones ordenadas, ordenadas de menor a mayor,
en 4 grupos con el mismo número de elementos.
 Si mediana divide el conjunto ordenado de casos en dos 
mitades:
 El primer cuartil Q1, es la mediana de la mitad de los
casos con los valores más pequeños. 25% de los datos.
 El segundo cuartil Q2, es la mediana. 50% de los datos.
 El tercer cuartil Q3, es la mediana de la mitad de los
casos con los valores más grandes. 75% de los datos.
 Otra forma de expresarlo:
 El primer cuartil Q1 es el menor valor que es mayor que el
valor de una cuarta parte de los casos.
 El segundo cuartil Q2 (la mediana), es el menor valor que es
mayor que el valor de la mitad de los casos.
 El tercer cuartil Q3 es el menor valor que es mayor que el
valor de tres cuartas partes de los datos.
 Aún otra forma de expresarlo (significado ligeramente
distinto):
 El primer cuartil Q1 es el valor que tiene la frecuencia
relativa acumulada 0,25.
 El segundo cuartil Q2 (la mediana), es el valor que
tiene la frecuencia relativa acumulada 0,50.
 El tercer cuartil Q3 es el valor que tiene la frecuencia
relativa acumulada 0,75.
Caso de datos no agrupados
 A un conjunto de personas se les pregunta cuantos pantalones tienen, 
responden 9, 8, 5, 10 y 3. 
 Organizándolos tenemos: 3 5 8 9 10.
 ¿Cuál será el valor de la mediana? 3 5 8 9 10 Me=x3 = 8
¿Qué sucedería si no estuviera el dato 10?
3 5 8 9 𝑀𝑒 =
5 + 8
2
=
13
2
= 6,5
¿Si se dice que 7 es la mediana sería un error? ¿Divide los datos en dos?
No hay una única respuesta
¿Si se dice que 6 es la mediana sería un error? ¿Divide los datos en dos?
Respuesta 
recomendada
Datos impares
 Se le preguntaron las edades a 11 personas.
15 17 16 16 15 17 15 18 14 16 15
Organicemos los datos de menor a mayor:
14 15 15 15 15 16 16 16 17 17 18
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 Posiciones
Q2 =Me=16 
Q2
50%
Q1
25%
Q3
75%
El 25% de las personas tiene menos (o igual) de 15 años
El 50% de las personas tiene menos (o igual) de16 años
El 75% de las personas tiene menos (o igual) de 17 años.
Para el caso impar
𝑄𝑘 ⟶ 𝑖 =
𝑘(𝑛 + 1)
4
Para el caso anterior:
𝑄1 ⟶ 𝑖 =
1(11 + 1)
4
= 3 ⇒ 𝑄1 = 𝑥3 = 15
La posición del cuartil estará dada por
𝑄2 ⟶ 𝑖 =
2(11 + 1)
4
= 6 ⇒ 𝑄2 = 𝑥6 = 16
𝑄3 ⟶ 𝑖 =
3(11 + 1)
4
= 9 ⇒ 𝑄3 = 𝑥9 = 17
Datos pares
 Se le preguntaron las edades a 11 personas
15 16 16 17 17 18 19 19 20 21
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 Posiciones
Q2
50%
Q1
25%
Q3
75%
El 25% de las personas tiene menos (o igual) de 16 años
El 50% de las personas tiene menos (o igual) de17 años
El 50% de las personas tiene más (o igual) de18 años
El 75% de las personas tiene menos (o igual) de 19 años.
𝑄2 = 𝑀𝑒 =
17 + 18
2
= 17,5
Para el caso impar
𝑄𝑘 ⟶ 𝑖 =
𝑘𝑛
4
Para el caso anterior:
𝑄1 ⟶ 𝑖 =
1(10)
4
= 2, 5 ⇒ 𝑄1 =
𝑥2 + 𝑥3
2
= 16
La posición del cuartil estará dada por
𝑄2 ⟶ 𝑖 =
2(10)
4
= 5 ⇒ 𝑄2 =
𝑥5 + 𝑥6
2
= 17,5
𝑄3 ⟶ 𝑖 =
3(10)
4
= 7,5 ⇒ 𝑄3 =
𝑥7 + 𝑥8
2
= 19
Encontrar los tres cuartiles en el 
siguientes ejercicios:
Peso en kg de 12 personas:
55 58 57 58 56 59 64 63 62 62 60 66
Número de respuestas correctas en un examen
9 3 6 4 7 1 10 13 12 10 15 17 19
Ejemplo: datos agrupados puntualmente
 Encontrar la tabla de frecuencias correspondiente.
 Encuentre la mediana.
 Determine los cuartiles.
Números de miembros en el hogar
xi fi fr % fa %
1 6
2 11
3 11
4 20
5 15
6 8
7 3
8 0
9 1
Total 75
0,08
0,15
0,15
0,27
0,20
0,11
0,04
0,00
0,01
1
8
15
15
27
20
11
4
0
1
100
6
17
28
48
63
71
74
74
75
0,08
0,23
0,37
0,64
0,84
0,95
0,99
0,99
1
 Como n es impar (n=75), la mediana será igual a: ෤𝑥 = 𝑀𝑒 = 𝑥 𝑛+1
2
entonces:
 El primer cuartil Q1 sería el primer valor que, en la distribución de frecuencias,
supera (o iguala) la frecuencia relativa acumulada 0,25. En este caso: el valor es
3.
 El segundo cuartil es la mediana, en este caso vale 4. Que corresponde a la
frecuencia acumulada mayor a 0,50.
 El tercer cuartil Q3 sería el primer valor que, en la distribución de frecuencias,
supera (o igual) la frecuencia relativa acumulada 0,75. En este caso: el valor 5.
෤𝑥 = 𝑀𝑒 = 𝑥38 = 4
 Usando la formula para encontrar la posición 𝑄𝑘 dada por 𝑖 =
𝑘𝑛
4
podemos
obtener la posición de los cuartiles, luego buscamos este valor en la frecuencia
acumulada de manera que sea mayor o igual al valor, se escoge el xi
correspondiente y ese será el cuartil correspondiente.
𝑄1 ⟶ 𝑖 =
1(75)
4
= 18, 75 ⇒ 𝑄1 = 3
𝑄2 ⟶ 𝑖 =
2(75)
4
= 37,5 ⇒ 𝑄2 = 4
𝑄3 ⟶ 𝑖 =
3(75)
4
= 56,25 ⇒ 𝑄3 = 5
Ejercicio
 Las edades de 60 estudiantes se consignan en la siguiente tabla:
 Determine los cuartiles correspondientes.
xi fi Fi
13 3
14 14
15 23
16 10
17 5
18 4
19 1
3
17
40
50
55
59
60
Ejemplo: datos agrupados en intervalos
xi fi Fi
30 – 35 3
35 – 40 7
40 – 45 12
45 – 50 23
50 -55 14
55 - 60 1
3
10
22
45
59
60
𝑄𝑘 ⟶ 𝑖 =
𝑘𝑛
4
𝑄1 ⟶ 𝑖 =
1 60
4
= 15
𝑄2 ⟶ 𝑖 =
2 60
4
= 30
𝑄3 ⟶ 𝑖 =
3 60
4
= 45
Buscamos la posición en la frecuencia acumulada, en ese intervalo tomamos el LS y
ese será el cuartil correspondiente. 
Li - Ls
𝑄3 = 50
Se debe usar la fórmula 𝑄𝑘 ⟶ 𝑖 = 𝐿𝑖 + 𝐴
𝑘𝑛
4
− 𝐹𝑖−1
𝐹𝑖 − 𝐹𝑖−1
𝑄1 = 40 + 5
15 − 10
22 − 10
= 40 + 5
5
12
= 42,083
xi fi Fi
30 – 35 3
35 – 40 7
40 – 45 12
45 – 50 23
50 -55 14
55 - 60 1
3
10
22
45
59
60
Li - Ls
𝑄1 ⟶ 𝑖 =
1 60
4
= 15
𝑄2 ⟶ 𝑖 =
2 60
4
= 30
𝑄3 ⟶ 𝑖 =
3 60
4
= 45
𝐹𝑖−1 = 10 𝐹𝑖 = 22 𝐿𝑖 = 40 𝐴 = 𝐿𝑠 − 𝐿𝑖 = 5
Encuentre Q2 y Q3
𝑄2 = 45 + 5
30 − 22
45 − 22
= 40 + 5
8
23
= 41,74
𝐹𝑖−1 = 22 𝐹𝑖 = 45 𝐿𝑖 = 45 𝐴 = 𝐿𝑠 − 𝐿𝑖 = 5
Para Q2 se tiene que:
𝑄3 = 45 + 5
45 − 22
45 − 22
= 50
𝐹𝑖−1 = 22 𝐹𝑖 = 45 𝐿𝑖 = 45 𝐴 = 𝐿𝑠 − 𝐿𝑖 = 5
Para Q3 se tiene que:
Rango Intercuartilico
 El rango intercuartil es una medida de variabilidad que consiste en la 
diferencia del tercer cuartil (Q3) y el primer cuartil (Q1).
 Calculemos el rango intercuartilico de los siguientes egresados de 15 carreras.
25 17 19 28 26
27 20 18 26 12
18 28 16 30 22
𝐼𝑄𝑅 = 𝑄3 − 𝑄1
 Primero los organizamos en orden ascendente
12 16 17 18 18 19 20 22 25 26 26 27 28 28 30
𝑖 =
𝑘𝑛
4
=
1(15)
4
= 3,75
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15
Determinamos el Q1
𝑄1 =
𝑥3 + 𝑥4
2
=
17 + 18
2
= 17,5
Determinamos el Q3
𝑖 =
𝑘𝑛
4
=
3(15)
4
= 11,25 𝑄3 =
𝑥11 + 𝑥12
2
=
26 + 27
2
= 26,5
𝐼𝑄𝑅 = 𝑄3 − 𝑄1 = 26,5 − 17,5 = 9
Ejercicio:
1. Los siguientes puntos de datos representan el número de galletas de 
animalitos en loncheras de los alumnos.
4 4 10 11 15 7 14 12 6
Determine el rango intercuartil.
2. Encuentre el rango intercuartil (RIQ) de los datos de la siguiente gráfica de 
puntos
Rango intercuartilico para datos 
agrupados en Clases 𝑄𝑘 = 𝐿𝑖 + 𝐴
𝑘𝑛
4
− 𝐹𝑖−1
𝐹𝑖 − 𝐹𝑖−1
𝑄1 = 40 + 5
15 − 10
22 − 10
= 42,083
xi fi Fi
30 – 35 3
35 – 40 7
40 – 45 12
45 – 50 23
50 -55 14
55 - 60 1
3
10
22
45
59
60
Li - Ls
𝑄1 ⟶ 𝑖 =
1 60
4
= 15
𝑄3 ⟶ 𝑖 =
3 60
4
= 45
𝐹𝑖−1 = 10 𝐹𝑖 = 22 𝐿𝑖 = 40
𝐴 = 𝐿𝑠 − 𝐿𝑖 = 5
𝐹𝑖−1 = 22
𝐹𝑖 = 45
𝐿𝑖 = 45
𝐴 = 𝐿𝑠 − 𝐿𝑖 = 5
𝑄3 = 45 + 5
45 − 22
45 − 22
= 50
𝐼𝑄𝑅 = 𝑄3 − 𝑄1 = 50 −42,083 = 7,92
Ejercicio
 Tomando la siguiente tabla que corresponde al peso de 50 personas, 
determine los cuartiles y el rango intercuartilico.
Peso f F
30-40 4
40-50 6
50-60 15
60-70 17
70-80 8
Deciles
 Son 9 valores de la variable que dividen el conjunto de 
datos ordenados en 10 partes iguales.
 Los deciles determinan los valores 10%, 20%, 30%,…,90% 
de los datos.
 D5 coincide con Me.
 Suponga que se tienen las notas de 20 estudiantes:
25 28 30 30 35 35 36 37 37 38 40 40 40 40 40 40 41 43 48 50
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 ⟶ 𝑖 =
𝑘𝑛
10
Encontremos el decil 4 (k=4)
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 ⟶ 𝑖 =
4 20
10
= 8
𝐷4 = 37 40%
El 40% sacaron 3,7 o menos.
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 ⟶ 𝑖 =
7 20
10
= 14
𝐷7 = 40 70%
El 70% sacaron 4,0 o menos.
El 30% sacaron más de 4,0.
Encontremos el decil 7 (k=7).
Encontremos el decil 2 y el decil 9. ¿Qué decil coincide con la mediana?
Que sucede si el valor da intermedio por ejemplo si diera la 
posición 4,5.
Entonces se haya el promedio entre los valores de la posición anterior y la 
posición posterior y ese será el valor del decil.
25 28 30 30 35 35 36 37 37 38 40 40 40 40 40 40 41 43 48 50 …
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20
4,5
𝐷 =
𝑥4 + 𝑥5
2
=
30 + 35
2
= 32,5
𝐷 = 32,5
Percentiles
 Son 99 valores de la variable que dividen el conjunto de 
datos ordenados en 100 partes iguales.
 Los deciles determinan los valores 1%, 2%, 3%,…,99% de 
los datos.
 P50 coincide con Me.
 El procedimiento es similar al de los deciles.
 Si el valor no es exacto se haya el promedio entre los 
valores de la posición anterior y la posición posterior y ese 
será el valor del percentil.
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 ⟶ 𝑖 =
𝑘𝑛
100
Deciles y percentiles para datos agrupados 
puntuales
 Las edades de 60 estudiantes se consignan en la siguiente tabla:
 Determine los deciles 6 (D6) y el percentil 3 (P3) correspondientes.
xi fi Fi
13 3
14 14
15 23
16 10
17 5
18 4
19 1
3
17
40
50
55
59
60
𝐷𝑘 ⟶ 𝑖 =
𝑘𝑛
10
𝑃𝑘 ⟶ 𝑖 =
𝑘𝑛
100
𝐷6 ⟶ 𝑖 =
6(60)
10
= 36
Posiciones
𝐷6 = 15
𝑃5 ⟶ 𝑖 =
5(60)
100
= 3 𝑃3 = 13
Encuentre el D7 y P52.
Deciles y percentiles para datos agrupados 
en clases
 Se debe usar las formulas 𝐷𝑘 = 𝐿𝑖 + 𝐴
𝑘𝑛
10
− 𝐹𝑖−1
𝐹𝑖 − 𝐹𝑖−1
𝐷2 = 40 + 5
12 − 10
22 − 10
= 40 + 5
2
12
= 40,83
xi fi Fi
30 – 35 3
35 – 40 7
40 – 45 12
45 – 50 23
50 -55 14
55 - 60 1
3
10
22
45
59
60
Li - Ls
𝐹𝑖−1 = 10 𝐹𝑖 = 22 𝐿𝑖 = 40
𝐴 = 𝐿𝑠 − 𝐿𝑖 = 5
𝑃𝑘 = 𝐿𝑖 + 𝐴
𝑘𝑛
100
− 𝐹𝑖−1
𝐹𝑖 − 𝐹𝑖−1
Encontremos el D2
𝐷2 ⟶ 𝑖 =
2 60
10
= 12
Encontremos el P55
𝑃55 = 45 + 5
33 − 22
45 − 22
= 45 + 5
11
23
= 47,39
𝐹𝑖−1 = 22
𝐹𝑖 = 45
𝐿𝑖 = 45
𝐴 = 𝐿𝑠 − 𝐿𝑖 = 5
𝑃55 ⟶ 𝑖 =
55 60
100
= 33
Encuentre el D8 y P50.
Medidas de tendencia central, dispersión y posición
Medidas de 
Tendencia 
Central
Media
Mediana
Moda
Medidas de 
dispersión
El rango
Desviación 
media
Varianza
Desviación 
estándar
Medidas de 
posición
Cuartiles
Rango 
Intercuartil
Deciles PercentilesP
P
P
P
P
P
P P P
P
Gracias por su atención