distancias y angulos - Yessica silva (2)

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GRUPO	: 2018- II- “B”
CURSO	: GEOMETRÍA DESCRIPTIVA.
INTEGRANTES:
INTRODUCCIÓN
Conocer la información referente a distancias y ángulos ayudará al lector a continuar con el proceso de aprendizaje del curso “Geometría descriptiva” por ello la información que se detalla en las siguientes líneas es el producto de un proceso de selección que nos ha permitido conocer los conceptos sobre distancias y ángulos. Gracias a esto el equipo de trabajo responsable se permitió poner en tela de juicio la teoría que se plantea en los textos mencionados en la bibliografía y comprobarla con ejercicios ilustrativos. 
ÍNDICE
Introducción…………………………………………………………………………………1
Índice………………………………………………………………………………………...2
Dedicatoria…………………………………………………………………...……………..3
Objetivo general:……………………………………………………………………………4
Objetivos específicos:………………………………………………………………………4
Distancias……………………………………………………………………………………5
Distancia entre dos puntos……………………………………………………...…………5
Distancia entre un punto y una recta………………………...…………………...………6
Distancia de un punto a un plano…………………………………………………...…….8
Distancia entre 2 rectas paralelas…………………………………………………...……9
Distancia entre dos planos paralelos………………………………………….………...11
Distancia entre dos retas que se cruzan:…………………………………….…………14
Método de las rectas:……………………………………………………………………..14
Método de los planos…………………………………………………………...………...17
Segmentos de mínimas distancias……………………………………………...……….20
perpendicularidad común entre dos rectas que se cruzan………………………...….21
Segmento mínimo horizontal entre dos rectas que se cruzan:……………..…..…….28
Segmento mínimo pendiente o gradiente dada entre dos rectas que se cruzan…...30
Segmento mínimo pendiente o gradiente dada entre un punto y un plano……….…31
Segmento horizontal de longitud dada entre dos rectas que se cruzan……………..32
Estudio de ángulos en general…………………………………………………...………34
Ángulo formado entre dos líneas que se cortan……………………………………..…34
Ángulo entre dos rectas que se cruzan………………………………………………….35
Angulo formado entre una recta y un plano……………………………………...……..40
Angulo formado por dos planos…………………………………………………….……46
Conclusiones:……………………………………………………………………….……..53
Bibliografía y linografía…………………………………………………………….……..55
DEDICATORIA
A nuestros allegados por guardar con cautela la 
Esperanza de que seremos la generación que construya 
un mejor país; en especial a nuestros padres y maestros
 quienes sembraron las bases de lo que somos.
OBJETIVOS
OJETIVO GENERAL:
Identificar los principales conceptos en cuanto a distancias y ángulos en un plano bidimensional.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
-Conocer los métodos que se aplican para obtener las distancias entre puntos y rectas.
- Verificar si los métodos de medición se cumplen para los casos de rectas y planos paralelos así como retas que se cruzan.
- Aprender sobre la definición de segmentos de mínima distancia así como sus aplicaciones.
- Comprobar si la medición de ángulos entre rectas que se cruzan, que se cortan y entre planos es posible.
DISTANCIAS.
Medir una distancia, significa evaluar una longitud entre dos puntos que se encuentran aislados; dichos puntos pueden estar contenidos en rectas y planos.
Distancia entre dos puntos.
Distancia entre un punto y una recta.
CASOS DE DISTANCIAS 
Distancia entre dos planos paralelos.
Distancia entre dos rectas que se cortan
1. Distancia entre dos puntos.
Para encontrar la distancia entre dos puntos, es suficiente determinar la verdadera magnitud del segmento que los une. Esa operación se realiza mediante un simple cambio de planos.¿Cómo hallamos la distancia entre dos puntos?
EJEMPLO 1
a) Unimos los puntos A y B mediante un segmento de recta.
b) Mediante un cambio de planos horizontal, se lleva a verdadera magnitud el segmento AB (transformado a horizontal)
c) En el nuevo sistema, la longitud de la proyección AH, BH, es la que determina la verdadera magnitud del segmento dado. Fig. 1
EJEMPLO 2
La longitud 1 = A B del segmento que los une (Fig. 2) y se determina fácilmente, como hipotenusa del triángulo rectángulo ABC, cuyos catetos son: la proyección horizontal A¡B¡= AC del segmento y la diferencia de cota BC = BB¡ - AA¡ de B y A.
En diédrica (Fig. b), la longitud del segmento A¡B¡A 2B2, en verdadera magnitud, se obtiene construyendo el triángulo rectángulo de catetos A¡B¡ y d (diferencia de cotas de B y A); la hipotenusa D es la distancia buscada.
2. DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA:
Esta distancia está dada por l longitud del segmento perpendicular entre el punto y la recta dada.
¿Cómo hallamos la distancia entre un punto y una recta?
EJEMPLO 1
Hallar la distancia entre el punto A y la recta MN.
a) El punto A y la recta MN determinan un plano.
b) Se lleva a verdadera magnitud el plano AMN.
c) N la verdadera magnitud se traza desde el punto A una perpendicular a la recta MN y que la corta en el punto B.
d) La magnitud del segmento AB es la que mide la distancia existente entre el punto y la recta dada.
e) A la escala correspondiente del dibujo, se mide el segmento representativo de la distancia buscada. FIG.3
EJEMPLO 2
Se halla, trazando desde el punto A (Fig. 4) la perpendicular AB a la recta r a la que corta en B. La longitud D = A B es la distancia pedida. El punto B se halla, como intersección de r con el plano normal a ella, trazado por A. En diédrica (Fig. b), se ha trazado por A ¡-A2 el plano a, normal a r, (por medio de la horizontal s, de proyección S¡ normal a r¡), y se ha hallado su intersección B con r, por medio del proyectante vertical ~ de r que corta al a, según i¡-i2• La intersección B¡ de i¡ y r¡, determina el punto B¡-B2 y la distancia AB pedida.
También puede hallarse el plano [A,r] y trazar en él directamente la perpendicular AB a r, por medio de un abatimiento, como más adelante veremos. 
	
2. Distancia de un punto a un plano
Es el segmento A B determinado por el punto A (Fig. 5.14-a) y el pie B de la perpendicular al plano a, trazada por A. En diédrica (Fig. b), se traza desde A¡-A2 la normal AB a a, y se halla su intersección B con él, por medio del proyectante horizontal /3, de AB que corta al a, según i¡-i2• La intersección B2 de i2 y A2B2 determina el punto B¡-B2 y la distancia AB, obtenida en verdadera magnitud, en D (núm. 5,6).
DISTANCIA ENTRE 2 RECTAS PARALELAS
Siendo el segmento representativo de la distancia entre las dos rectas perpendicular a ellas, bastará colocar las dos rectas dadas en posición perpendicular a uno de los planos de proyección y en ella se tendrá el valor de la distancia buscada.
APLICACIÓN: Determinar el valor de la distancia existente entre as rectas paralelas ab y cd. 
PROCEDIMIENTO: 
· Mediante dos cambios de planos, llevamos las rectas dadas a una posición de punta normal.
· En el nuevo sistema, la distancia existente entre las proyecciones frontales de las rectas (que en este caso son dos puntos) nos determina el segmento δ que representa la magnitud buscada.
La siguiente figura, que se analiza en forma espacial, nos visualiza la posición final de las dos rectas dadas, al haber efectuado los cambios de planos; o sea que el sistema que figura en ella es el H’-F’ 
· Determinar el valor de la distancia entre las rectas paralelas
DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos viene dado por la porción perpendicular a los planos y comprendido entre ellos. Por tales razones, para encontrar la verdadera magnitud de la distancia entre dos planos paralelos, basta con efectuar un cambio de planos para llevarlos a una posición de canto (vertical o normal) y en la proyección respectiva es decir el valor representativo de la magnitud buscada.
APLICACIÓN: 
Encontrar la verdadera magnitud de la distancia existente entre los planos paralelos abc y mns.
PROCEDIMIENTO:
· Mediante un cambio de planos, transformo los planos dados en verticales.
· La distancia existente entrelas proyecciones de los planos ya transformados en verticales (proyecciones horizontales son rectas) nos medirá el valor de la magnitud buscada α.
En la siguiente figura señalamos una visualización espacial del problema anterior. En dicha figura se ha considerado como ya efectuado el cambio de planos para obtener el sistema final H’-F’ y en el cual, los planos dados abc y mns son ya verticales y por tal razón sus proyecciones horizontales son dos rectas paralelas cuya distancia α mide la existente entre ellas. 
· Hallar la distancia existente entre los planos paralelos abc y mns 
DISTANCIA ENTRE DOS RETAS QUE SE CRUZAN:
Dos rectas, decimos que se cruzan cuando no siendo coplanares, tampoco son paralelas, o sea que pertenecen en el espacio sin cortarse entre sí en ningún momento.
Para encontrar las mínimas distancias entre dos rectas que se cruzan, podemos emplear dos procedimientos: el método de las rectas y el método de los planos. 
1. MÉTODO DE LAS RECTAS: 
Para encontrar el segmento β representativo de la menor distancia existente entre dos rectas que se cruzan, bastará con que una de las rectas sea perpendicular a uno de los planos de proyección, pues, en este caso la proyección de la otra recta determinará el valor de β.
APLICACIÓN:
Determinar la mínima distancia existente entre las rectas del espacio ab y mn que se cruzan.
PROCEDIMIENTO: 
· Mediante un primer cambio de planos, transformamos la recta ab en frontal. Se determina también las nuevas proyecciones correspondientes de la otra recta mn, en este primer cambio se pasa del sistema H-F al sistema H-F’.
· Con un segundo cambio de planos, se transforma la frontal anterior en una recta de punta vertical. También determinamos la nueva proyección correspondiente de la recta mn. El sistema final de proyección es H’-F’.
· Tenemos ahora la recta ab transformada en vertical (aH’bH’ es un punto) y la proyección horizontal de la recta mn es mH’nH’ (sin ninguna característica especial).
· De la proyección horizontal de la recta ab (que es un punto) trazamos una perpendicular a la proyección horizontal de la recta mn. La longitud de esta perpendicular nos determina (en verdadera magnitud) el valor de la menor distancia β entre las rectas dadas.
En la siguiente figura se muestran las rectas en el espacio:
2. MÉTODO DE LOS PLANOS:
Para encontrar el valor de la mínima distancia entre las rectas que se cruzan mediante este procedimiento, se hace pasar por una de las rectas, un plano paralelo a la otra recta. La distancia existente entre la recta y el plano paralelo trazado, es la mínima distancia entre las dos rectas que se cruzan.
APLICACIÓN:
Encontrar la mínima distancia entre las rectas que se cruzan ab y cd mediante el método de los planos.
PROCEDIMIENTO:
· Por la recta cd hacemos pasar un plano paralelo a la recta ab (el plano es cde).
· Mediante un cambio de plano frontal, transformamos el plano cde en normal. Se halla la nueva proyección respectiva de la recta ab.
· En el nuevo sistema H-F’ la distancia existente entre las proyecciones frontales cF’dF’eF’ y aH’bF’ de la recta representa el segmento β de mínima distancia.
· Determinar la mínima distancia de las rectas ab y cd que se cruzan, empleando los dos métodos conocidos:
SEGMENTOS DE MÍNIMAS DISTANCIAS
1. Conceptos Generales: 
Entre dos rectas, cualesquiera que se cruzan, o' entre rectas y planos, o entre planos y planos, siempre existe la posibilidad de encontrar entre ellas ciertas distancias que cumplan con ciertas condiciones necesarias a nosotros-para la resolución de problemas.
Pero hay veces, en que no solamente se necesita el valor en sí de dicha distancia, sino que nos es exigible tener que determinar el segmento representativo de la distancia buscada.
Así, por ejemplo, para aclarar conceptos, supondremos que tenemos dos rectas, ab y cd que se cruzan; cabe entonces plantear dos necesidades:
a) Determinar el valor de la mínima distancia entre dichas líneas o rectas. 	
b) Determinar el segmento que representa esa mínima distancia.
En el primer caso sencillamente nos limitamos a encontrar mediante el empleo de vistas auxiliares, cual es el valor de esa mínima distancia entre las rectas dadas. 
En el segundo caso, que es más completo, ya no solamente nos limitaremos a determinar mínima distancia, sino que tendremos que hallar un segmento de recta cuyos extremos se encuentren en las rectas dadas y cuyo valor viene a ser también el de mínima distancia.
2. Segmentos de mínima distancias
Evidentemente, la menor distancia entre dos rectas que se cruzan es la perpendicular común. Pero entre dos rectas cualquiera no solamente factible de encontrar esa perpendicularidad común, sino también puede encontrarse una mínima distancia para ciertas condiciones particulares. Por eso es que vamos a estudiar los siguientes casos.
2. 1. Perpendicular común entre dos rectas que se cruzan.
2. 2. Segmento mínimo horizontal entre rectas que se cruzan.
2. 3. Segmento Mínimo de pendiente o gradiente dad entre dos rectas que se cruzan.
2. 4. Segmento Mínimo de pendiente o gradiente dad entre punto y un plano.
2. 5. Segmento horizontal de longitud D dado entre dos que se cruzan.
2.1 PERPENDICULARIDAD COMÚN ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN
Conceptos Generales: supongamos que tenemos dos rectas cualquiera que se cruzan tal como ab y cd. Fig.1
Tomemos en las recta ab Y cd respectivamente, los puntos m1 y n1 y cuya longitud viene a ser L1.
En igual forma podemos tomar en el mismo orden de rectas.
· Los puntos m2 y n2 cuya longitud tiene el valor L2
· Los puntos m3 y n3 cuya longitud tiene el valor L3.
Así sucesivamente, podemos repetir esta operación todas las veces que deseemos, y en tolas ellas evidentemente se va a tener que:
L1 ≠ L2 ≠ L3 ≠ L4 ≠ L5 ……………≠ LN
Esto nos hace pensar que de todas esas longitudes Ln, forzosamente existirá, una que sea la menor de todas. A esa longitud es lo que llamaremos Perpendicular común o segmento de mínima distancia entre don rectas que se cruzan.
Las características de Perpendicular común, es que ella es perpendicular simultáneamente a las dos rectas que se cruzan y además se apoya en ellas, 
PRIMER CASO: Determinar la perpendicular común entre las dos rectas ab y cd que se cruzan, siendo las dos rectas paralelas al plano frontal de proyección. Fig. 3 Fig. 3 -a
Análisis: Como las dos rectas ab y cd son paralelas al plano frontal de proyección, una perpendicular a ellas, deberá ser por lo tanto perpendicular al plano frontal de proyección o sea una recta de punta normal y entonces su proyección frontal es un punto. Conociendo ya su característica de la perpendicular común, podemos entonces encontrarla en el depurado. 
Procedimiento 
· Donde las proyecciones frontales aF bF y cF dF de las rectas se corten, se encontrarán las proyecciones frontales de los puntos aF bF que pertenecen a la perpendicular común. 
· Consideremos que el punto m se encuentra en la recta ab y que el punto n en la recta cd.
· Llevando línea de referencia hasta cortar a las proyecciones horizontales de las recta, encontraremos MH y NH .
· La perpendicular común, es el segmento mn qué cumple con Las condicionas necesarias. 
SEGUNDO CASO: Encontrar la perpendicular común a las rectas ab y cd que se cruzan, siendo las dos rectas paralelas El plano horizontal de proyección.
Fi. 4 y Fig. 4-a
 Análisis: como las rectas dadas son paralelas al plano horizontal de protección, significa esto que una recta perpendicular a ellas, deberá ser perpendicular a dicho plano horizontal y por lo tanto será una recta de punta vertical, y por ende, su proyección horizontal será un punto. Esta propiedad nos permite explicar el procedimiento seguido.
Procedimiento:
· Donde las proyecciones horizontales aH bH y cH dH de las rectas se corten, hallaremos las proyecciones horizontalesde los puntos SH y tH de la perpendicular común.
· Consideremos que l punto S se encuentra con las recta ab Y que el punto t está en la recta cd.
· Trazando una referencia hasta cortar a las proyecciones frontales de las rectas, se encontraran SF TF,
· La perpendicular común hallada en el segmento st.
TERCER CASO: Determinación de la perpendicular común a dos rectas ab y cd que se cruzan, cuando una de ellas es perpendicular la plano horizontal de proyección.
En este caso supondremos la recta ab cualquiera y la recta cd que es perpendicular al plano horizontal.
Fig. 5 	Fig. 5-a
Análisis:
· Consideremos que la perpendicular común buscada es la recta mn. El punto m la recta cd y el punto n en la recta ab.
· Como la recta mn es perpendicular a la recta cd y está es una recta vertical, quiere decir que mn deberá ser paralela al plano frontal de proyección. Esto quiere decir, que el segmento mn se verá en verdadera magnitud. Habiendo comprendido perfectamente estas razones, podemos hacer reseña para ver como encontramos las proyecciones de la perpendicular común.
Procedimiento:
· Como el punto m pertenece a la recta cd , ( que es vertical), entonces mH se encuentra confundido con la proyección cH dH 
· Siendo mn perpendicular a la recta ab y paralela al plano horizontal de proyección, podemos trazar por mH una perpendicular a la proyección ah bH. y donde corte, quedara determinado nH (puesto que el punto n pertenece a la recta ab)
· Con una referencia trazada por nH hasta la proyección frontal a aF bF quedara definido nF.
· Como hemos visto anteriormente que mn es horizontal, por nF trazaremos una paralela al eje H-F, y donde corta a cF dF quedara ubicado mF.
· En esta forma quedar definida las dos proyecciones de la perpendicular común mn a las dos rectas dadas.
CUARTO CASO: Trazar la perpendicular común a dos rectas que se cruzan mn y st, siendo una de ellas perpendicular al plano frontal de proyección. Consideremos que la recta mn, es de posición cualquiera y que la recta st, es perpendicular al plano frontal de proyección. 
Fig. 6 Fig 6-a
Análisis del problema: en forma análoga a cuando vimos el caso de que una rectas dadas sea perpendicular al plano horizontal de proyección, podemos resumir el problema a los siguientes pasos:
· la perpendicular común como es perpendicular a una recta de punta normal, deberá ser una recta paralela al plano frontal de proyección (una frontal).
· Llamaremos a la perpendicular común recta uz: punto v en recta mn y el punto z en recta st.
· La perpendicular común se verá en verdadera magnitud en la proyección frontal.
Procedimiento: si z pertenece al recta st (que es una normal) se tendrá que zF se confunde con sFtF.
· Como uz es perpendicular a la recta mn y paralela al plano frontal de proyección, por ZF trazamos una perpendicular a mFnF, y donde la corta estará ubicado vF (sabemos que v Pertenece a la recta mn).
· Con una referencia hasta mHnH, situamos VH. Proyección sFtF se encontrada zH.
· Con esta completamente determinado las dos proyecciones de la perpendicular común: VHZH y VF ZF.
· Estos cuatro caso que hemos resuelto, son los problemas básicos, en los cuales se han de apoyar todos los siguientes caso que estudiemos; por esto es conveniente haber llegado a comprenderlos perfectamente en todos sus aspectos: tanto espacial como en el depurado.
QUINTO CASO: MÉTODO GENERAL DE LAS RECTAS:
· Encontrar la perpendicular común a dos rectas cualesquiera ab y cd. Fig. 7
Procedimiento:
· Se transforma una de las rectas a perpendicular a los planos de proyección ( de punto vertical n normal). Se encuentra las nuevas proyecciones de la otra recta.
· En el nuevo sistema de planos de proyección, se determina la perpendicular común pedida (aplicando el tercero o cuarto caso).
Obtenido así los puntos determinantes de la perpendicular común, nos regresamos al sistema original de planos de proyección y queda solucionado el problema.
Depurado:
· Se ha trasformado la recta cd, a una de la punta vertical, obtenidos cHdH un punto y la nueva proyección de la otra recta ab.
· En este sistema F-“H” determinamos las proyecciones horizontales y frontal de la perpendicular común mn. ( aplicar el procedimiento del tercer caso)
· Trazando referencia perpendicular al eje H-F por las proyecciones frontales nFmF, obtendremos mH nH.
· Referencia finales perpendiculares al eje h-F y tenemos NFMF. En esta forma queda completamente determinado las proyecciones de la perpendicular común buscada.
SEXTO CASO: MÉTODO DEL PLANO:
Determinación de la perpendicular común a las rectas ab y cd.Fig. 8
Procedimiento:
· Mediante dos cambios de planos, transformamos las rectas dadas en paralelas a uno de los planos de proyección (se puede transformar a frontales u horizontales) en forma simultánea.
· En este nuevo sistema de planos de proyección, se determina directamente la perpendicular común ( podemos aplicar los métodos del primer o segundo caso)
· Haber obtenido ya los puntos que determina la perpendicular común, regresamos al sistema original de planos de proyección para dar por solucionado el problema.
Depurado:
· Mediante cambio del plano frontal primero y cambio del plano horizontal después, hemos transformado las rectas ab y cd en horizontales ( paralelas al plano horizontal de proyección: ver el capítulo de problemas particulares sobre aplicación de los cambios de plano)
· Como las dos rectas son paralelas al plano horizontal de proyección, determinamos en este nuevo sistema, F-H las proyecciones de la perpendicular común; segmento st ( ver en este caso el método del segundo caso)
· En seguida, por las proyecciones tFsF trazamos referencias perpendicular al eje H-F para obtener tHsH,.
· Finalmente trazamos líneas de referencias perpendiculares al eje H-F para determinar TFSF.
· La perpendicular comuna las rectas ab y cd es el segmento st.
2-b SEGMENTO MÍNIMO HORIZONTAL ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN:
Generalidades: consideramos dos rectas ab y cd que se cruzan y el plano H, existen infinidad de rectas que se apoyan en las rectas dadas y que sean paralelas al plano H, todas ellas tendrán un cierto valor como longitud.
Fig. 9
Dentro de todos estos se estos segmentos horizontales que se pueden determinad dentro de las rectas dadas, lógicamente ha de existir uno, cuya longitud sea la menos de todas. Vemos entonces como podemos definirla.
Aplicación: Determinar el segmento mínimo horizontal ente dos rectas ab y cd que se cruzan, Fig. 10
Procedimiento seguido:
· primeramente mediante un cambio del plano frontal, se hace que las proyecciones frontales de las rectas ab y cd sean paralelas (ver: cap. Problemas particulares sobre cambios de planos.)
· Consideremos que el segmento buscado sea el mn. Como mn debe ser horizontal, su proyección frontal debe ser paralela eal eje H-F y entonces mF nF debo estar comprendido ente las proyecciones frontales de las dos rectas y su verdadera magnitud deberá serse en su proyección horizontal.
· Según esto, quiere decir que debemos buscar una posición mFnF cuya longitud se la más corta. Esta posición buscada nos dará evidentemente cuando MH NH // H-F; ósea que los alejamiento de m y n según el eje H-F deberán ser iguales.
· Por lo tanto, efectuaremos un nuevo cambio de plano, esta vez del plano horizontal de proyección, de modo el que el nuevo eje H-F, sea perpendicular al eje anterior H-F.
· Las proyecciones horizontales los puntos m y n para que tengas igual alejamiento, se encontraran en la intersección de BH AH y CH DH: ósea que en esta forma encontramos las proyecciones mH nH.
· Con una referencia perpendicular en el eje H-F hasta cortar las proyecciones frontales respectivas de las rectas, se obtiene MF nF.
· Líneas de referencia perpendiculares al eje H-F, para determinar mH y NH. A continuación aplicando el procedimiento general, debemos obtener MF y NF.
· Es importante tener en cuenta en este trabajo deber hacerse con mucha protección, Para obtener las proyecciones de la perpendicular común, sus proyecciones paralelas a sus respectivasejes en cada cambio de plano efectuado.
2-C SEGMENTO MÍNIMO PENDIENTE O GRADIENTE DADA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN:
Así hemos como visto que existe un segmento horizontal de longitud mínima entre dos rectas que se cruzan, también existe un segmento mínimo, pero con una inclinación dada, y esta inclinación puede ser dad en valores de ángulos, o en porcentaje. Vamos entonces como podemos resolver este tipo de problema.
Aplicación: determinar la distancia más corta y dependiente o gradiente dada entre las rectas mn y st que se cruzan.
Fig. 11
Procedimiento:
· en primer lugar mediante un cambio del plano frontal, hacemos que las proyecciones frontales de las rectas mn y st queden paralelas. ( ver cap. Problemas particulares)
· Llamemos al segmento buscado VW de modo que el punto V este en la recta st y el punto w en la recta mn; su proyección frontal deberá estar comprendida entre las correspondientes de las rectas:
· Como el segmento vw, debe formar un cierto Angulo teta con el eje H-F, quiere decir que su verdadera longitud tendrá que ser paralela a una recta alfa auxiliar que esta formando el ángulo dado en el eje H-F.
· Por lo dicho en el paso anterior, trazamos la recta auxiliar alfa que forme con eje H-F el Angulo dependiente o gradiente dado teta.
· Luego efectuamos un nuevo cambio de planos, esta vez del plano horizontal de proyección, de modo el eje H-F sea perpendicular a la recta alfa.
· Donde las proyecciones horizontales SH TH Y NH MH, de las rectas, se corten ( si es necesario se prolongaran )
· Se hallaran las proyecciones VH wH del segmento buscado.
· Con líneas de referencias y trazadas perpendicularmente al eje F-H hallaremos VF wF en sus rectas respectivas.
· Nueva referencias perpendiculares al eje H-F par a poder encontrar VHWH.
· Finalmente determinamos VFWF, con lo cual queda determinado y solucionado en forma completa el segmento uw buscado.
2-D SEGMENTO MÍNIMO PENDIENTE O GRADIENTE DADA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO.
Se da un plano ABC y un ponto cualquiera p, exterior a él. Determinar el segmento más corto entre el punto y el plano que tenga una pendiente o gradiente dada. Fig. 12
Procedimiento:
· Mediante una vista auxiliar obtenida del plano frontal de proyección, transformamos el plano dado en uno de canto normal.
· Se determina las nuevas proyecciones del punto dado.
· En el nuevo sistema H-F, por el punto dado, trazamos una recta frontal que haga con el plano horizontal, la pendiente o gradiente dada.
· Se determina la intersección de la recta trazada y el plano, punto que le llamamos S.
· El segmento pedido será PS.
Se encuentra las proyecciones del segmento hallado en el sistema H-F.
2-E SEGMENTO HORIZONTAL DE LONGITUD DADA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN
Encontrar las proyecciones de un segmento de longitud L, determinada, entre las rectas ao y sd que se cruzan. FIg. 13
El segmento pedido debe ser horizontal
Procedimiento:
· Por el punto c, hacemos pasar un plano auxiliar paralelo al plano horizontal de proyección: plano p:
· Por el punto b pasamos la recta paralela a la recta sd, determinando el plano abw paralelo a la recta sd.
· Hallamos la intersección del plano abw, con plano auxiliar P, que viene hacer la recta horizontal vz.
· Con centro del punto c, Y en el plano p, trazamos Una circunferencia, cuyo radio será el valor dado L.
· La circunferencia trazada cortara a la recta uvz, en el punto k. ( si la circunferencia corta a la recta, habrá dos soluciones; si es tangente, una solución y sino la corta, no harba ninguna solución)
· Por el punto k trazamos la recta kx paralela recta sd que corta en el punto m a la recta ab.
· Los puntos k y c determinan el radio de la circunfencia igual a L.
· por el punto m trazamos la recta paralela a kc, y que ha de cortar a la recta cd en un segundo punto r
· el segmento horizontal de longitud p pedido es mn.
Depurado: En el depurado se ha seguido con la misma nomenclatura en proceso explicado en el espacio.
El alumno deberá ejecutarlo para comprobar su veracidad.
Fig. 14
ESTUDIO DE ÁNGULOS EN GENERAL
El estudio general de los ángulos lo contemplaremos bajo los siguientes capítulos parciales:
1. ángulo formado por dos líneas que se cortan
2. ángulo formado por dos líneas que se cruzan
3. ángulo formado entre una línea y un plano
4. ángulo entre dos planos.
1. ÁNGULO FORMADO ENTRE DOS LINEAS QUE SE CORTAN
Consideremos dos rectas ab y cd que se cortan en el punto m, estas dos líneas formaran entre si, cuatro ángulos: dos a dos iguales y opuestos por el vértice; Fig. 1
Generalmente, para efectos prácticos, se ha hallara unos de esos ángulos formados y que generalmente es el agudo. 
Procedimiento general: para determinar el ángulo dos rectas que se cortan, basta con 
encontrar la verdadera magnitud del plano que las contiene y en ella (en la proyección correspondiente) se podrá leer el valor verdadero del ángulo buscado. 
Aplicación: determinar el valor del ángulo formado por las rectas ab y cd que se cortan en el punto b. Fig. 2
Procedimiento:
-	Las rectas ab y bc forman un plano.
-	Determinamos la verdadera magnitud del plano que contiene a las rectas dadas: para eso lo transformamos en horizontal aplicando procedimientos ya conocidos.
-	En el nuevo sistema de proyección, como el plano dado ya es paralelo al plano horizontal, en su proyección horizontal se verá en verdadera magnitud en ángulo buscado.
-	Por lo tanto tendremos que:
-	 Angulo entre ab y bc
2. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN
Para que dos rectas formen un determinado ángulo, no necesariamente deben cortarse; también dos rectas que se cruzan pueden determinar un ángulo.
Aplicación: determinar el ángulo que forman las rectas mn y st que se cruzan en el espacio 
Fig. 3
Procedimiento general:
a. Se tiene las rectas mn y st, que se cruzan ene el espacio.
b. Por un punto cualquiera de una de las rectas, se traza una paralela a la otra recta ( en nuestro caso, por el punto n hemos trazado la recta mw // st
c. Determinamos el ángulo formado por las rectas que se cortan mn y nw (aplicación método del caso I) que suma el valor buscado.
Nota: el depurado de este caso queda pendiente, para lo ejecute el estudiante en vía de ejercicio ya que por todo los demás es sencillo.
ANGULO FORMADO ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN
En el espacio entre dos rectas que se cruzan, queda definido mediante el ángulo que forma la intersección de una de las rectas con una recta paralela a la otra dada. De las dos rectas que se intersectan definimos como ángulo al menor de los ángulos adyacentes que forma la primera recta al intersectarse con la paralela a la segunda.
Para ver este ángulo en verdadera magnitud es necesario lograr una vista en que las dos rectas estén en verdadera magnitud.
Para ver el ángulo formado entre dos rectas que se cruzan se puede seguir dos métodos:
Método 1: Proyectando ambas rectas en verdadera magnitud.
Sean las rectas que se cruzan y para determinar el ángulo entre estas dos rectas, es necesario que ambas se proyecten en verdadera magnitud. Como primer paso, se toma la verdadera magnitud y la vista de punta de (en las vista 1 y 2 respectivamente).
Cualquier vista que se tome a partir de la vista de punta, dará la verdadera magnitud de . Luego, se toma una vista 3 paralela a y aquí las dos rectas estarán en verdadera magnitud, obteniéndose el ángulo buscado.
Método 2: De las rectas paralelas y la formación de un plano.
Por una de las rectas, trazamos una paralela a la otra, determinándose un plano, en la vista donde este plano quede proyectado en verdadera magnitud, se podrá observar un ángulo entre las proyecciones de la primera recta y la paralela a la segunda, es el ángulo que forman las dos rectas propuestas.
Como podemos observar en la figura se han tomado dos rectas y , para hallar el ángulo entre estas rectas, se traza por M una paralela a , limitándose el plano . Por definición el ángulo formado por las rectas dadas es también el ángulo formado por MP Y MN el cual estará en verdadera magnitud, cuando el plano se proyectedel mismo modo.
Ejemplo:
Hallar el ángulo entre las rectas que se cruzan AB y CD, se dan sus proyecciones H y F.
ANGULO FORMADO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
Siempre que una recta no este contenida en un plano, el ángulo formado por esta recta con su proyección sobre el plano se llama ángulo entre la recta y el plano. Se observa el ángulo formado enrtre la recta y el plano P. El ángulo entre la recta y el plano se mostrará en su verdadera magnitud en la vista donde el plano se proyecte de canto y la recta en VM.
Nota: en el caso de una recta perpendicular a un plano, la recta se proyectará sobre el plano como un punto, por lo tanto, no se visualizará ángulo alguno, pero ola recta con el plano formaran un ángulo de 90°. 
Se conocen tres métodos para determinarlos:
Método 1: Método del plano.
Para poder observar el ángulo de una recta con un plano en su verdadera magnitud, es necesario obtener una vista que proyecte la vista de canto del plano y la verdadera magnitud de la recta. Solamente en esta vista se observará el ángulo en verdadera magnitud.
Sea ABC el plano y XY la recta. Se dan las proyecciones H y F de un plano y una recta, seguimos los siguientes procedimientos:
· En la primera vista, proyectamos el plano de canto y la recta en posición cualesquiera.
· En la segunda vista, se proyecta el plano en verdadera magnitud y la recta en cualquier posición.
· Cualquier vista auxiliar que se tome a partir de la verdadera magnitud de un plano dará una vista de canto. Luego, se toma la vista 3 paralela a , obteniéndose en esta forma la vista de canto del plano y ola verdadera magnitud de la recta, es decir, se tiene el ángulo buscado.
Método 2: Método de la recta.
Consiste en llegar a la vista que muestre el plano de canto y la recta en verdadera magnitud por medio del siguiente procedimiento:
· Sea ABC el plano y XY la recta. 
· En la primera vista, proyectamos la recta en VM y el plano en cualquier posición.
· En la segunda vista, la recta se proyecta de punta y el plano en VM.
· En la tercera vista, la recta se proyecta en VM y el plano de canto, lográndose de esa forma la vista deseada y encontrando el ángulo entre el plano y la recta.
Método 3: Método del ángulo complementario.
Si desde un punto de la recta se traza una perpendicular al plano, ésta hará con la recta dada un ángulo que es complemento del ángulo que forma la recta y el plano.
Entonces, si se tiene el plano ABC y la recta XY que se muestran, se traza por X una perpendicular al plano, de acuerdo a los métodos ya conocidos. Sea XZ esta perpendicular.
Los segmentos XY y XZ forman un plano, que se proyecta de canto y luego en verdadera magnitud. En esta última vista se apreciará el ángulo que forman entre sí dichos segmentos. Hallando el complemento, se tendrá el ángulo que forman recta y el plano.
Ejemplo 1:
Empleando el método del plano, determinar el ángulo entre el plano ABC y la recta XY
Solución:
Ejemplo 2:
Empleando el método de la recta, hallar el ángulo entre el plano MNO y la recta KL.
Solución:
ANGULO FORMADO POR DOS PLANOS
Dos planos que se cortan forman cuatro ángulos diedros, cada uno de estos es lo que se llama Ángulo Diedro. Los ángulos diedros son iguales dos a dos (opuestos por las aristas)
Medida del ángulo diedro: La medida del ángulo diedro viene dado por la medida de su ángulo plano, y éste se mide sobre un plano W que es perpendicular a la línea de intersección i de los dos planos que forman el ángulo.
Corolario: cuando dos planos cualesquiera tienen una posición de canto (vertical o normal) la verdadera magnitud del ángulo que ellos forman, se ve en la proyección horizontal o en la proyección frontal respectivamente. Siempre se considerará como valor del ángulo formado, el ángulo agudo.
Como podemos observar en la figura 1 y 2:
Figura N°1
· Los planos P y Q son perpendiculares al plano horizontal de proyección.
· Luego la intersección de i de los planos debe ser perpendicular a H.
· El ángulo que forman las proyecciones horizontales de los dos planos: PH y QH es en verdadera magnitud el ángulo buscado.
Figura N°2
· Los planos R y S son perpendiculares al plano frontal de proyección.
· Quiere decir que la intersección i de ambos planos, también es perpendicular a F.
· El ángulo que forman las proyecciones frontales de los planos: RF y SF es la verdadera magnitud del ángulo buscado.
Para encontrar el ángulo entre dos planos se presentan dos casos:
CASO 1: CUANDO SE CONOCE LA RECTA DE INTERSECCIÓN.
Sean los planos ABC y ABD que se cortan según la recta AB. Se proyecta a la recta AB en verdadera magnitud y luego de punta. En esta última vista los dos planos se proyectarán de canto y por lo tanto tendremos la verdadera magnitud del ángulo diedro que determinan.
CASO 2: CUANDO NO SE CONOCE LA LÍNEA DE INTERSECCIÓN.
Método 1: De los planos de canto
Podemos medir la amplitud del ángulo diedro que forman dos planos, solamente en la vista donde ambos planos se proyectan de canto, para lo cual se sigue los siguientes pasos haciendo uso de tres vistan auxiliares, como se muestra la figura.
· En la vista 1, disponemos uno de los planos de canto y el otro en posición cualesquiera.
· En la vista adyacente proyectamos el primer plano en verdadera magnitud VM y en el otro plano una recta en verdadera magnitud contenido en dicho plano.
· En la vista 3 (disponemos la línea de pliegue 2-3 perpendicular a la recta en VM del 2do plano), ambos planos se proyectarán de canto y podremos medir el ángulo entre ambos planos.
Método 2: del ángulo suplementario.
Por el punto dado trazamos dos rectas perpendiculares a los planos dados, con lo que queda determinado un plano que proyectándolo primero de canto y luego en VM, nos ofrecerá en esta última la verdadera amplitud del suplemento del ángulo que hacen los dos planos dados. 
· Por propiedad, la suma de ángulos internos de un cuadrilátero es 360°. El esquema de la figura nos muestra un cuadrilátero en el plano PQR, formado por PQ, PR y las intersecciones de los planos KLM y ABC con PQR; de donde se obtiene que: = 180°-.
· En las proyecciones que muestra la figura, por el punto P trazamos PQ y PR perpendiculares a los planos ABC y KLM respectivamente, obteniéndose el plano PQR, que lo proyectamos primero de canto y luego en VM en el plano 2; en esta vista se observa el ángulo , que forma RP y QP, en su verdadera amplitud; es el suplemento del ángulo que buscamos: = 180°-.
Ejemplo:
Encontrar el valor del ángulo diedro que forman los planos ABC y BCD.
Procedimiento:
· Como la recta BC es paralela al plano frontal de proyección, mediante una vista auxiliar la transformamos a una posición de punta vertical (cambiamos el plano horizontal).
· Se determina las nuevas proyecciones horizontales de las rectas que forman los planos.
· Como los planos han sigo convertidos a verticales, el ángulo buscado se verá en VM en la proyección horizontal del nuevo sistema.
· = 91°
CONCLUSIONES:
Una vez estudiados los capítulos referentes a distancias y ángulos se concluye lo siguiente:
· La distancia entre dos puntos queda definida por un segmento de recta que debe estar en verdadera magnitud y para lograr esto se efectúa un cambio de planos.
· Los métodos de medición también son aplicables para rectas y sus diversos casos aunque siempre es preciso hacer un cambio de planos. 
· El segmento de mínima distancia es la menor distancia entre dos rectas ( perpendicular común)
 
· Existen diversos métodos para medir ángulos en el plano dimensional.
BIBLIOGRAFÍA
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· Izquierdo F. (1978). Geometría descriptiva. Madrid: Paraninfo
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LINKOGRAFÍA
· https://www.google.com.pe/search?biw=1366&bih=657&tbm=isch&sa=1&ei=cwbmW6OuK4XI5gK8iID4Dg&q=DISTANCIAS+Y+ANGULOS&oq=DISTANCIAS+Y+ANGULOS&gs_l=img.3...0.0.0.3125.0.0.0.0.0.0.0.0..0.0....0...1c..64.img..0.0.0....0.ZJaSrDY9gg0#imgrc=pbozF-L0ORVMTM:Página 4 | 54