Cálculo de anualidades

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ANUALIDADES
Serie de pagos generalmente iguales, realizados en intervalos de tiempo iguales. Pareciera que se trata de pagos que se hacen cada año, no necesariamente es así, pueden ser mensuales, quincenales, etc. Ejemplo: el cobro quincenal del sueldo, el pago mensual de la renta de la casa, los abonos mensuales de una computadora, el pago anual de la prima del seguro de vida, dividendos semestrales sobre acciones, etc.
El concepto de anualidad es importante en la materia, ya que es muy frecuente que las transacciones comerciales impliquen una serie de pagos hechos en intervalos de tiempo iguales, en vez de un único pago al final del plazo.
PLAZO DE LA ANUALIDAD: tiempo transcurrido entre el inicio del primer periodo de pago y el final del último.
Ejemplo: una persona compra un televisor pagando 12 mensualidades de $485 c/u.
	Anualidad, renta o abono = 485
	Periodo de pago = un mes
	Plazo de la anualidad = 1 año
 
CLASIFICACION DE LAS ANUALIDADES
	
TIEMPO
	CIERTAS: aquella en la cual los pagos comienzan y terminan en fechas perfectamente definidas
	
	CONTINGENTES: la fecha del primer pago, la fecha del último pago o ambas dependen de algún suceso que se sabe que ocurrirá.
	
PAGOS O ABONOS
	VENCIDAS: o anualidades ordinarias, son aquellas cuyos pagos se realizan al final de cada periodo.
	
	ANTICIPADAS: los pagos se realizan al principio de cada periodo de pago
	
INTERESES
	SIMPLES: su periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses.
	
	GENERALES: su periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización de los intereses.
	MOMENTO DE LA INICIACION DE LA 
	INMEDIATAS: no existe aplazamiento alguno de los pagos, es decir, los pagos se realizan desde el primer periodo de pago.
	ANUALIDAD
	DIFERIDA: los pagos se aplazan por un cierto número de periodos.
	
	
Si tomamos una característica de cada uno de los diferentes criterios de clasificación se pueden formar 16 tipos diferentes de anualidades. Las más usuales son:
· ANUALIDADES VENCIDAS: formada por anualidades ciertas, simples, vencidas e inmediatas
· ANUALIDADES ANTICIPADAS: formada por anualidades ciertas, simples, anticipadas e inmediatas
· ANUALIDADES DIFERIDAS: formada por anualidades ciertas, simples, vencidas ( o anticipadas) y diferidas
ANUALIDADES VENCIDAS
	Es el valor acumulado de una serie de pagos iguales efectuados al final de cada periodo de pago.
Ejemplo: si se depositan $1,000 al final de cada mes en un banco que paga una tasa de interés de 1.5% mensual capitalizable cada mes. ¿Cuál será el monto al finalizar un año?
 1000 1000 1000 1000 1000
0 1 2 3 11 12 F=?
Nota: el 0 corresponde al momento actual y coincide con el inicio del mes 1. El 1 marcado en el diagrama de tiempo corresponde al final del primer mes y el inicio del segundo, y así, sucesivamente.
Monto de la anualidad: es la suma de todos los depósitos mensuales y su correspondiente interés compuesto, acumulado hasta el término del plazo. Si la FF está en el doceavo mes, el monto se obtendría con la siguiente ecuación de valor:
F = 1000(1+.015)11 + 1000(1+.015)10 + 1000(1+.015)9 …. + 1000
F = 13,041.21
Interés compuesto ganado por la anualidad es la diferencia entre el monto y el total depositado
Interés ganado = 13,041.21 – (1000)(12) = 1041.21
En una anualidad vencida tenemos:
A = pago o deposito hecho al final de cada uno de los n periodos 
n = número de periodos
i = tasa de interés por periodo (decimal)
	F = A (1+i)n -1
 i
nota: al hablar de anualidades si no se especifica el periodo de capitalización, se sobre entiende que coincide con el periodo de la renta.
Valor presente: (de una anualidad) será la suma de los valores presentes de todos los pagos
Ejemplo: una persona va a liquidar una deuda mediante 4 pagos mensuales de $1,183.72 que incluyen intereses a 3% mensual con capitalización mensual. Se desea obtener el valor presente de los pagos
 1183.72 1183.72 1183.72 1183.72
0 1 2 3 4
P=?
FF si la FF es el momento actual nos queda la siguiente ecuación de valor
P= 1183.72 + 1183.72 + 1183.72 + 1183.72 = 4400
4400= valor actual de 4 pagos mensuales de 1183.72
4400= capital pedido en préstamo
Interpretaciones de valor presente: si en lugar de pagar una deuda de $4,400 los depósitos en una cuenta que paga el 3% mensual capitalizable cada mes
	F= 4400 ( 1+ .03)4 = 4952.24 monto producido
El monto producido es exactamente lo mismo que si deposito 1183.72 cada mes durante 4 meses al 3% mensual.
	F = 1183.72 ( 1 + .03) 4 -1 = 4952.24
 .03
Quiere decir que el valor presente de una anualidad puedo obtenerlo mediante la fórmula de interés compuesto, calculando el VP del monto de la anualidad (F)
 VP = 4952.24 = 4400
 (1+.03)4
El VP será la cantidad que se debe invertir en este momento para efectuar cierto número de retiros en el futuro
 P= A 1- (1+ i) –n P=1183.72 1-(1+.03)-4 = 4400
 i
ANUALIDADES ANTICIPADAS
Anualidades ciertas, simples e inmediatas serán aquellas donde los pagos se llevan a cabo al inicio del periodo de pago.
Ejemplo: se depositan $1,000 al inicio de cada mes en un banco que paga el 2% mensual capitalizable en forma mensual. ¿Cuál será el monto después del 6° depósito?
1000 1000 1000 1000 1000 1000
0 1 2 3 4 5 6 F
F = 1000(1.02)6 + 1000(1.02)5 …+ 1000(1.02) = 6434.28
	F = A (1+i)n -1 (1+i) F = 1000 (1+.02)6 - 1 (1+.02)= 6434.28
 i .02 
El valor presente de una anualidad se puede obtener calculando el valor presente del monto
	P = 6434.28 = 5713.46
 1.026
	P = A 1- (1+i) –n (1+i) = 5713.46 P = 1000 1-(1+.02)-6 (1+.02) = 5713.46 
 i .02 
ANUALIDADES DIFERIDAS 
Anualidades ciertas, simples, vencidas (o anticipadas) y diferidas, cuyo plazo comienza hasta después de transcurrido un cierto intervalo de tiempo desde el momento en que la operación queda formalizada, recibe el nombre de momento inicial o de convenio. Podrán ser vencidas o anticipadas.
En intervalo de tiempo que transcurre desde el momento inicial y el inicio del plazo de la anualidad se llama periodo de gracia o periodo de diferimiento. Se mide utilizando como unidad de tiempo el correspondiente a los periodos de pago.
Ejemplo: si dentro de 4 meses se hará el primer pago de una anualidad vencida de $1000 mensuales y cuyo plazo es de 6 meses, se tendrá el siguiente diagrama de tiempo
10000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 0 1 2 3 4 5 6
 Periodo de gracia Plazo de la anualidad
 Comienzo del plazo de la anualidad vencida
El periodo de gracia es de 3 meses, ya que al final del tercer mes coincide con el comienzo del plazo de la anualidad vencida, el cual es de 6 meses.
Si la anualidad del ejemplo anterior se considerara anticipada, entonces el diagrama quedaría así:
 10000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 0 1 2 3 4 5Periodo de gracia Plazo de la anualidad
 Comienzo del plazo de la anualidad vencida
Aquí el periodo de gracia será de 4 meses, ya que el final del cuarto me coincide con el comienzo del plazo de la anualidad anticipada.
	Para resolver problemas de anualidades diferidas no es necesario deducir nuevas fórmulas ya que como acaba de verse, pueden tratarse como anualidades vencidas o anticipadas, aunque las más comunes sean las vencidas.
	Mientras transcurre el periodo de gracia ocurre una de las siguientes situaciones:
· Que al final de cada periodo de pago se liquiden los intereses que genera el capital original del periodo, se dice que hay servicio de intereses. Así el capital original permanece constante todo el periodo de gracia; de tal manera que el valor presente de la anualidad es igual al capital original.
· Que los intereses generados dentro del periodo de gracia se capitalicen. En este caso, el valor presente de la anualidad será igual al capital original más los intereses capitalizados. En la mayoría de los casos esta opción es la que se lleva a cabo, a menos que se indique lo contrario.
Ejemplo: Antonio compra una computadora laptop mediante el pago de 6 mensualidades sucesivas de $4,100 cada una, pagando la primera 3 meses después de la compra. ¿Cuál es el precio de contado de la computadora, si se está cobrando una tasa de interés de 33% capitalizable cada mes?¿Cuánto se pagó de intereses?
10000 1000 1000 4100 4100 4 100 4100 4100 4100 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 
 0 1 2 3 4 5 6
P Plazo de la anualidad 
En este caso, se tiene una anualidad diferida con periodo de gracia de dos meses. Si P representa el precio de contado de la computadora y se toma como fecha focal el momento actual del plazo de la anualidad, entonces se tiene la siguiente ecuación de valor:
1- (1+.33)-6 el interés pagado por el uso del crédito fue:
P (1+.33)2 = 4100 12 I = (4100) (6) – 21213 = 3387
 .33 
 12
1.05575625 P = 22395.703709
 P = $21,213