CLASE 21-22-Operaciones con funciones-Función Lineal

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CLASE N° 21-22: Operaciones con funciones- Función Lineal 
PROFESORA: Gimenez Sabina 
Operaciones con funciones (combinación de funciones) 
Para las funciones f y g: 
Suma ( )( ) ( ) ( ) 
Resta ( )( ) ( ) ( ) 
Producto ( )( ) ( ) ( ) 
Cociente (
 
 
) ( ) 
 ( )
 ( )
 
Cada dominio de f+g, f-g y f.g consiste en todas las x comunes a los dominios de f y g. 
El dominio de 
 
 
 son todas las x comunes de f y g, excepto aquellas para las cuales ( ) 
 
Ejemplos: 
Para ( ) y ( ) calcular: 
1) ( )( ) ( ) ( ) 
2) ( )( ) ( ) ( ) 
3) ( )( ) ( ) ( ) 
4) (
 
 
) ( ) 
 ( )
 ( )
 
Primero analicemos el dominio de cada función: 
 
1) ( )( ) ( ) ( )=( ) ( ) 
El dominio de la suma de las funciones es: 
Supongamos ahora que tomamos un valor cualquiera del dominio, suponga que ese valor es , y si lo 
evaluamos en la función que obtuvimos al combinar f y g y lo evaluamos en la suma de las funciones 
encontraremos que la imagen que obtenida es la misma: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
( )( ) 
2) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
El dominio de la nueva función consiste en todos los reales. 
3) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
Su dominio: 
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4) (
 
 
) ( ) 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
Si analizamos el dominio debemos tener en cuenta que el denominador no puede ser cero, por lo tanto: 
 
 
 
 
 
 
Es decir que: 
 
 {
 
 
} 
 
Ejemplo: 
Sean ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 calcule y determine los dominios de: 
1) ( )( ) 
2) ( )( ) 
3) ( )( ) 
4) (
 
 
) ( ) 
 
1) ( )( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( )
( ) ( )
 
 
( ) ( )
 
 
( ) ( )
 
 
 
 
 
Para analizar el dominio de (f+g)(x) debemos tener en cuenta que el denominador debe ser distinto de cero, 
por lo tanto: 
( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Su dominio es: * + 
Se busca común denominador, es decir como x-1 no aparece en el denominador de 
la primer fracción y x+2 no aparece en el denominar de la segunda fracción, se 
coloca a ambos denominadores multiplicándose y luego se procede a operar de la 
misma manera que lo hacemos con fracciones 
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2) ( )( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( )
( ) ( )
 
 
( ) ( )
 
 
( ) ( )
 
El dominio es: * + * + 
3) ( )( ) 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
 
 
( ) ( )
 
 * + 
4) (
 
 
) ( ) 
 
 
 
 
 
 ( )
 ( )
 
 
 ( )
 
Analizamos el dominio: 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 * + 
 
 
Función lineal o de primer grado 
Mónica trabaja en un local en el cual le pagan $13500 fijos por mes, y por cada hora extra que realice le 
pagan $90. 
a) Construya una función que describa la situación dada, definiendo previamente las variables 
involucradas. 
Defino las variables involucradas: 
x:cantidad de horas extras por mes. 
y:dinero que cobra Mónica por mes. 
 ( ) Función que describe la situación dada 
b) Si Mónica trabajara 4 horas extras en el mes, ¿Cuánto le pagarán? 
El dato que se nos brinda aquí es que , por lo tanto reemplazamos ese valor en la función para hallar 
el valor de y (dinero que cobra Mónica): 
 
 
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Rta: Mónica cobrará por realizar 4 horas extras en el mes $13800. 
c) Suponiendo que Mónica puede trabajar hasta 24hs extras en el mes, indique dominio e imagen en el 
contexto dado. 
Acá debemos tener en cuenta que el máximo de horas extras que puede trabajar Mónica es de 24hs, no puede 
excederse de esa cantidad, y considerar además que puede no trabajar ninguna hora extra, por lo tanto el 
dominio de esta función (que es una recta como vimos en clases anteriores) es: 
 * + 
Es decir, son todos los reales que van desde 0 hasta 24horas. 
Para calcular el dominio, podemos tener en cuenta la gráfica: 
Aquí vemos que es una recta, por lo que 
lo único que debemos considerar es 
calcular desde dónde empieza su 
imagen y dónde termina, para ello 
debemos recordar que el valor mínimo 
que toma el dominio es cero y el 
máximo es 24, por ende debemos 
evaluar la función en esos dos puntos 
para hallar su imagen: 
Para : 
 ( ) 
 
Es decir que para x = 0 la imagen es 
y = 13500. 
Para : 
 ( ) 
 
Es decir que para x = 24 le corresponde y =15660 
Por lo tanto, la imagen de la función con las condiciones dadas es: 
 * + 
d) Si Mónica cobró $14760, ¿Cuántas horas extras trabajó? 
Aquí consideremos que el dato que se nos brinda es y = 14760, reemplazando ese valor en la función 
encontrada nos dará la cantidad de horas extras (x): 
 
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Rta: Si Mónica cobra $14760, trabaja 14 horas extras. 
 
Definición: Una función Lineal tiene la forma o ( ) , es una función polinómica 
de primer grado ya que “x” está elevada a la primer potencia. m es la pendiente y b es la ordenada al 
origen. Tanto m como b son números reales. 
La representación gráfica de una función lineal es una recta. 
Considerando el problema que se trabajó anteriormente, y analicemos cuál es la pendiente y cuál es la 
ordenada: 
 
 
 
 
90: pendiente y 13500 la ordenada al origen 
Ejemplo: 
5 es la ordenada al origen y -16 es la pendiente. 
 
m se llama pendiente de la recta y representa la tangente trigonométrica del ángulo α(alfa). Entonces 
 , donde α se llama ángulo de inclinación. Indica cuál es la variación de la variable 
dependiente en una unidad de la variable independiente. Se calcula: 
 
 
 
 
 
 
 
 son las coordenadas del punto ( ), son las coordenadas del punto 
( ). 
Ejemplo: Calcule la pendiente de la recta que pasa por ( ) ( ). 
Podemos considerar que ( ) ( ) o viceversa, es indistinto ya que el resultado va a ser 
el mismo: 
Pendiente Ordenada al origen 
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 ( )
 
 
 
 
 
 
 
Supongamos que hubiésemos elegido ( ) ( ): 
 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
Como vemos, es indistinto si tomamos el primer punto como el resultado es el mismo. 
 
Ejemplo: Veamos qué significa la pendiente en una gráfica. Represente ( ) 
 
Podemos graficar la función lineal sin realizar una tabla de 
valores. 
Tomamos la ordenada al origen (+3) lo ubicamos en el eje y, 
consideramos que nuestra pendiente es 
 
 
, es decir, 
desde y = 3 subimos dos lugares hacia arriba (porque la 
pendiente es positiva) y nos corremos 1 lugar a la derecha y 
marcamos un punto trazando la recta que pasa por esos puntos. 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Grafique 
 
 
 considerando la pendiente y ordenada al origen. 
 
 
 
 
 
 
 
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Si la pendiente de una recta es positiva, la función es creciente, si es negativa la función es decreciente. 
La pendiente de la recta también puede ser cerob es la ordenada al origen, es decir, es el valor donde la recta interseca al eje de ordenadas; podría decirse 
también que es el valor que toma “y” cuando x = 0. 
 
Actividad: 
1) Grafique las siguientes funciones haciendo uso de la pendiente y la ordenada al origen: 
a) 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
2) Indique si las funciones anteriores son crecientes o decrecientes justificando mediante su 
pendiente. 
3) Calcula la pendiente de la recta que pasa por ( ) ( ). 
4) ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por ( ) ( )?