Principios de conteo Resumen

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Métodos combinatorios
Principios fundamentales de conteo
Métodos combinatorios
En muchos problemas es necesario citar todas las alternativas posibles de una situación 
dada o por lo menos determinar cuántas posibilidades diferentes existen. 
Teorema 1.1
Teorema 1.2
El número de permutaciones o combinaciones de n objetos distintos es n!.
Para un entero n  0, n factorial, expresado n!, se define por : 
0! = 1,
n! = (n)·(n-1)·(n-2)·...·3·2·1, para n 1
21 nn +
Si una operación consta de dos pasos, de los cuales el primero puede efectuarse en n1
formas y el segundo de n2 formas y no se pueden realizar las dos a la vez se lleva a
cabo de manera:
Métodos combinatorios
Principios fundamentales de conteo
Teorema 1.3
Teorema 1.4
21 nn 
knnnn  ...321
Si una operación consta de dos pasos, de los cuales el primero puede efectuarse en n1
formas y para cada una de éstas el segundo puede realizarse en n2 formas, entonces la
operación se lleva a cabo de manera:
La “regla de multiplicación” puede ampliarse para comprender situaciones donde una
operación consta de un número fijo de pasos. El caso general se enuncia en el siguiente
teorema:
Si una operación consta de k pasos, de los cuales el primero puede efectuarse en n1
formas, para cada una de éstas el segundo puede realizarse en n2 maneras, para cada
un de éstas el tercero puede realizare en n3 formas, etc., entonces toda la operación
puede llevarse a cabo en formas.
Métodos combinatorios
Principios fundamentales de conteo
Combinaciones
Se consideran n objetos de los que se seleccionan r objetos. A menudo nos interesa
determinar el número de maneras de seleccionar de entre n objetos distintos sin
considerar el orden en el cual se seleccionen. Estas selecciones se denominan
combinaciones.
En realidad “combinación” significa lo mismo que “subconjunto” y, cuando pedimos el
número de combinaciones de r objetos seleccionados de un conjunto de n objetos
distintos, simplemente solicitamos el número total de subconjuntos de r objetos que
pueden seleccionarse de un conjunto de n objetos diversos.
Teorema 1.5
El número de combinaciones de r objetos seleccionados de un conjunto de n objetos es:
)!(!
!
rnr
n
r
n
nCm
−
=





=
Métodos combinatorios
Principios fundamentales de conteo
Permutaciones
Teorema 1.6
En todo lo expuesto se ha considerado que los n objetos de los que se seleccionan r
objetos sin importar el orden, es decir, con frecuencia, estamos interesados en
situaciones donde los productos o resultados son los órdenes o arreglos
diferentes de un grupo de objetos. Los diversos arreglos se denominan
permutaciones.
)!(
!
Pr
rn
n
n
−
=
El número de permutaciones de n objetos diferentes tomados r a la vez es:
Teorema 1.7
El número de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son de un tipo, n2 son de un
segundo tipo, ….., nk son de un k-ésimo tipo, y n1 + n2 + n3+ …+ nk = n, es:
knnnn
n
 ...
!
321
Métodos combinatorios
Principios fundamentales de conteo
Ejercicio 1
6
)1*2(*)1*2(
1*2*3*4
)!24(!2
!4
==
−
=nCm
12
1*2
1*2*3*4
)!24(
!4
Pr ==
−
=n
Tenemos los números 1,2,3,4 y queremos obtener subconjuntos de dos números.
Sin importar el orden:
(1,2); (1,3); (1,4); (2,3); (2,4) y (3,4)
Importando el orden:
(1,2); (1,3); (1,4); (2,1); (2,3); (2,4); (3,1); (3,2); (3,4); (4,1); (4,2) y (4,3)
La probabilidad de que en una tómbola obtengas (1,2) sin importar el orden es de 1/6.
La probabilidad de que en una tómbola obtengas (1,2) importando el orden es de 1/12.
.
1
 ... 
210
)(
0
01122110 knk
n
k
nnnnnn yx
k
n
yx
n
n
yx
n
n
yx
n
yx
n
yx
n
yx −
=
−−−  





=





+





−
++





+





+





=+
Métodos combinatorios
Principios fundamentales de conteo
Teorema binomial
Si x e y son variables y n es un entero positivo, entonces 
Al desarrollar el producto (x+y) (x+y) (x+y) ... (x+y) obtendremos una serie de sumandos
de forma que cada uno de ellos será un producto de un cierto número de x’s por otro
cierto número de y’s. Si contamos en cada sumando el número de x’s más el número de
y’s, tendremos que ese número siempre es igual al número de paréntesis que
multiplicamos, que es n. Estos posibles sumandos variarán desde tener 0 x’s y n y’s,
después 1 x’s con n-1 y’s, y así sucesivamente. Cualquiera de ellos lo podemos escribir
de la forma xkyn-k , con 0  k  n,
Al sumar, el coeficiente de xkyn-k , 0  k  n, es el número de veces que aparece ese
sumando al desarrollar el producto, esto es, formas distintas en que se pueden
seleccionar las k x’s (y en consecuencia las (n–k) y’s) de las n x’s disponibles en los n
factores (por ejemplo, una forma es elegir x de los primeros k factores e y de los últimos
n–k factores).
El número total de las selecciones de tamaño k de una colección de tamaño n es 





k
n
Distribuciones de probabilidad
Variable aleatoria
Un modelo probabilista nos permite deducir una Distribución de Probabilidad de
resultados de un experimento aleatorio, siendo estos resultados los valores de la
variable aleatoria.
Conceptos Concretos 
(Empíricos) 
Conceptos Abstractos 
(Teóricos) 
Muestra 
Variable Estadística 
Frecuencia relativa (fir) 
Distribución de frecuencias. 
Media X 
Variancia S2 
D. Estándar. S 
 
Población 
Variable Aleatoria 
Probabilidad (p) 
Distribución de probabilidad. 
Media  
Varianza 2 
D. Estándar  
 
Variable aleatoria
Cualquier característica que se puede medir (expresar numéricamente) en los
individuos de una población y que varía de unos a otros.
El numero de puntos obtenidos al lanzar un dado
El rendimiento constatado en una parcela
Cuando una característica aleatoria es de tipo cualitativo (hombre o mujer) se pueden
codificar numéricamente sus diferentes alternativas y tratarla como una variable
aleatoria.
Cuando sobre cada individuo de la población se estudian K características diferentes
(todas ellas expresables numéricamente). Se estudia el sexo, la edad, la estatura y el
peso.
Distribuciones de probabilidad
Variable aleatoria
Variable k-dimensional
Variable discreta
Variable continua
Cuando el conjunto de los valores que podría tomar una determinada variable aleatoria
es discreto (finito o infinito numerable).
El nº de puntos al lanzar un dado
El nº de picadas de ceratitis en cada naranja de un huerto
El nº de errores en un programa de ordenador
Cuando el conjunto de los valores que podría tomar una determinada variable aleatoria
es un infinito continuo. Todas las características q se miden sobre una escala de
naturaleza básicamente continua.
Peso, rendimiento, tiempo, resistencia,...
Distribuciones de probabilidad
Experimento aleatorio
Ejemplo
Un experimento es considerado aleatorio si sus resultados son inciertos.
Experimento aleatorio: “Arrojar un dado”
Variable aleatoria: X = “Número de puntos obtenidos al lanzar un dado”
x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3; x4 = 4; x5 = 5 y x6 = 6
TAREA 3: Conteo
Ejercicio 1.
Cual es la probabilidad de ganar el “melate”.
Recordar que se escogen 6 números de 51 posibles.
TAREA 3: Variable aleatoria
Ejercicio 2
En el estudio de insecticidas, se define la LD50 de un producto como aquella dosis
mínima que administrada a ratas provoca la muerte al 50% de las mismas. Al estudiar
la LD50 de un determinado producto:
¿Cuál es la población implicada?
¿Cuál es la variable aleatoria considerada?
TAREA 3: Experimento aleatorio
TAREA 3: Variable aleatoria
En una empresa les interesa cuantificar, con el fin de controlar el consumo de energía
(utilizada en su mayor parte en la climatización de las naves), la relación existente entre
el consumo diario de electricidad y la temperatura media del día correspondiente.
¿Cuál es la población implicada y la variable aleatoria considerada?
Ejercicio 3
Ejercicio 4
Supongamos que en México el 90% de los matrimonios que se divorcianestán
formados por católicos y sólo un 5% lo están por ateos. Por tanto, la religión es una
causa importante en las decisiones de divorcio.
¿Qué podría deducirse de la afirmación anterior?.
Distribuciones de probabilidad
Ejercicio
La relación entre delincuencia y tamaño familiar ha sido discutida por muchos autores.
En apoyo de su tesis, el Sr. X facilitaba los siguientes datos relativos al número de
hermanos en las familias de jóvenes acusados de delitos. Los datos corresponden
acierto juzgado londinense durante cierto período.
Nº de hijos en la familia del 
delincuente
Nº de casos
1 5
2 8
3 11
4 14
5 16
6 18
El Sr.X argumentaba que de los datos anteriores se desprendía que al aumentar el
tamaño de la familia aumentaba la probabilidad de delincuencia.
Experimento aleatorio
Distribuciones de probabilidad
Ejercicio 1
En una réplica a las afirmaciones anteriores, el Sr.Y argumentó que el Sr X no había
tenido en cuenta que al aumentar el número de hijos era lógico que aumentara la
probabilidad de que al menos uno fuera delincuente (es decir, que una familia con 2 hijos
tiene mayor probabilidad de que uno sea delincuente que una con 1 hijo, sin que ello
implique que al aumentar el tamaño de familia aumente la probabilidad individual de que
cada hijo resulte delincuente).
El Sr Y que las cifras anteriores debería corregirse para tener en cuenta dicho sesgo,
dividiendo el número de casos por el de hijos, obteniendo el siguiente resultado:
Nº de hijos en la 
familia del delincuente
Nº de casos
1 5
2 4
3 3.7
4 3.5
5 3.2
6 3
El Sr Y deducía de su análisis una
conclusión contraria a la del Sr X:
al aumentar el número de hijos
disminuía la probabilidad individual
de que cada unos de ellos
resultara un delincuente.
Comente
Experimento aleatorio
Es la representación gráfica de un conjunto de datos que se emplea para representar
datos de una variable cuantitativa.
Eje horizontal valores posibles de la variable.
Eje vertical frecuencias (absolutas o relativas) con q aparecen dichos valores.
Sobre cada tramo se levanta una barra de altura proporcional a la frecuencia
(es indiferente que sea absoluta o relativa) de valores observados en el tramo
considerado.
Para el caso de variables continuas se obtiene la Curva de Gauss
Un mínimo de 40 ó 50 datos es aconsejable para construir un histograma.
El número adecuado de tramos depende del tamaño de la muestra.
En cualquier caso no es frecuente, ni presenta en general ventaja alguna, trazar un
histograma con más de 15 ó 20 tramos (10-15 es recomendable).
Una regla empírica que conduce a valores razonables es utilizar como número de
tramos a un entero cercano a la raíz cuadrada del número de datos.
Distribuciones de probabilidad
Histograma
Distribuciones de probabilidad
Diagrama de frecuencias acumuladas
En este caso, las abscisas levantadas sobre el límite superior de cada intervalo
corresponden a la frecuencia acumuladas, es decir a la suma de las frecuencias
constatadas en todos los intervalos anteriores al considerado.
Nº de hijos en la familia 
del delincuente
Nº de casos
Nº de casos 
acumulado
1 5 5.0
2 4 9.0
3 3.7 12.7
4 3.5 16.2
5 3.2 19.4
6 3 22.4
Distribuciones de probabilidad
Histograma vs diagrama de frecuencias acumuladas
Histograma
Diagrama de frecuencias 
acumuladas
Nº de casos
0
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6
Nº de casos acumulado
0
3
6
9
12
15
18
21
24
1 2 3 4 5 6
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribuciones discretas de probabilidad
Puede considerarse como una distribución de frecuencias relativas correspondiente a
una población.
Las distribuciones de probabilidad son consideradas Teóricas en el sentido que se
obtienen por un razonamiento lógico, en lugar de experimentos reales.
V.A. Discretas V.A. Continuas
Binomial
Poisson
Hipergeométrica
Normal
“t” de Student
“ji”-Cuadrado (2)
“F” de Fisher
Una distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta es un listado
mutuamente excluyente, de todos los resultados numéricos posibles, tal que existe una
probabilidad particular de ocurrencia asociada con cada uno de ellos.
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribuciones discretas de probabilidad
Ejemplo
El experimento aleatorio consiste en el lanzamiento de cuatro monedas.
¿Cuales son los resultados posibles del experimento aleatorio para el suceso que salga
cara? ¿Cuál es la probabilidad del número de caras en el experimento aleatorio?
Grafico de Distribución de Eventos
 C (4,0) 1/16 
 C X (3,1) 1/16 
 C 
 X C (3,1) 1/16 
 X (2,2) 1/16 
C 
 C (3,1) 1/16 
 C X (2,2) 1/16 
 X 
 X C (2,2) 1/16 
 X (1,3) 1/16 
 
 C (3,1) 1/16 
 C X (2,2) 1/16 
 C 
 X C (2,2) 1/16 
 X (1,3) 1/16 
X 
 C (2,2) 1/16 
 C X (1,3) 1/16 
 X 
 X C (1,3) 1/16 
 X (0,4) 1/16 
 
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribuciones discretas de probabilidad
Ejemplo
Distribución de frecuencias relativas y frecuencias relativas acumuladas del número de
caras al arrojar cuatro monedas.
Número de caras f(xi) F(xi)
0 1/16 1/16
1 4/16 5/16
2 6/16 11/16
3 4/16 15/16
4 1/16 16/16
 
Distribución de probabilidad
0
1/16
2/16
2/16
3/16
4/16
5/16
6/16
6/16
0 1 2 3 4
Número de caras
f(
x
i)
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribuciones discretas de probabilidad
Ejemplo
Distribuciones discretas de probabilidad
Función de probabilidad f(xi)
)()( ii xXPxf ==
( )
=
=
N
1i
i 1xf
Si X es una variable aleatoria que puede asumir valores x1, x2, ...., xn, con
probabilidades asociadas f(x1), f(x2), ...., f(xn), entonces el conjunto de pares ordenados
(xi, fxi), i = 1, 2, ...., n, se llama Función de probabilidad o Distribución de probabilidad
de X.
•La función f(xi), asume un valor numérico para todas las xi, 1  i  N
•f(xi)  0 para cualquier valor posible de x.
Ejemplo:
La probabilidad de que al arrojar cuatro monedas salgan dos caras
16/6)2()2( === XPf
Distribuciones discretas de probabilidad
Función de distribución acumulada F(xi)


==
Xx
ii
i
xfxXPxF )()()(
16/11)2()2( == XPf
Si X es una variable aleatoria y, x es un número real, la Función de Distribución
Acumulada de x, representada por F(xi), muestra la probabilidad de que X asuma
valores menores o iguales a x y se expresa:
•0  F(x)  1
•Si a < b, entonces F(a) < F(b).
•F() = P(x  ) = 1
•F(- ) = P(x  - ) = 0
Ejemplo:
La probabilidad de que al arrojar cuatro monedas salgan dos o menos caras
Distribuciones discretas de probabilidad
Esperanza matemática
)(*...)(*)(*)( 2211 nnX xfxxfxxfxxE +++==
 ==
N
i ii
xfxxE
1
)(*)(
El valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria discreta es un
promedio y se calcula como la suma de cada valor que toma la variable aleatoria
multiplicada por su respectiva probabilidad.
Ejemplo:
El valor esperado de caras al arrojar cuatro monedas es
x = E(X) = 0 (1/16) + 1 (4/16) + 2 (6/16) + 3 (4/16) + 4 (1/16)
= 2 caras.
Distribuciones discretas de probabilidad
Varianza
 = −==
N
i ixix
xfxxV
1
22 )(*)()( 
La varianza de una variable aleatoria discreta se puede considerar como la desviación
promedio al cuadrado en torno a la media (Ex) tomada sobre todos los valores.
Ejemplo:
La variabilidad de caras al arrojar cuatro monedas es
V(x) = 2x = [(0 – 2)
2 (1/16)] + [(1 – 2)2 (4/16)] + [(2 – 2)2 (6/16)] + [(3 – 2)2 (4/16)] +
[(4 – 2)2 (1/16)]
2x = 4*(1/16) + 1*(4/16) + 0*(6/16) + 1*(4/16) + 4*(1/16)
2x = ¼ + ¼ + ¼ + ¼ = 1
x = 1
Distribuciones discretas de probabilidad
Esperanza matemática y varianza
Demanda 
X
Días
Probabilidad 
f(x)
F(x) E(x) V(x)
3 3 0.06 0.06 0.18 0.42
4 7 0.14 0.20 0.56 0.39
5 12 0.24 0.44 1.20 0.10
6 14 0.28 0.72 1.68 0.03
7 10 0.20 0.92 1.40 0.36
8 4 0.08 1.00 0.64 0.44
50 1 5.66 1.74
Probabilidad f(x)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
3 4 5 6 7 8
Ver Excel:
Distribuciones de la muestra
Distribución de la muestraEjemplo
Se denomina distribución muestral a la función de densidad de un estadístico y esta
función puede depender o no de parámetros desconocidos.
Sea X1, X2,...,Xn una muestra aleatoria de tamaño n de variables independientes e
idénticamente distribuidas, con una función de densidad f(x,θ), donde θ es un parámetro
desconocido (o un conjunto de parámetros).
Sea Θ el conjunto de todos los valores que θ puede tomar.
Sea £ = {f(x, θ), θЄΘ} el conjunto que representa la familia de todas las posibles
funciones de densidad obtenidas para cualquier valor de θ.
La función de densidad conjunta de la muestra aleatoria X1, X2,...,Xn está dada por:
Como las variables son idénticamente distribuidas, la función de densidad conjunta puede 
expresarse como:
Binomial, poisson, unifome, normal, F, etc.
Distribuciones de la muestra
Distribución de la muestra
La distribución de todos los valores posibles que puede asumir un estadístico muestral,
calculados a partir de muestras del mismo tamaño y extraído en forma aleatoria de la
misma población, se llama distribución muestral de ese estadístico.
La distribución por muestreo de un estadístico muestral es la distribución de
probabilidad del mismo, calculado en cada una de las muestras posibles extraídas
aleatoriamente de la población.
Construcción de la distribución por muestreo
1. De una población finita de tamaño N, se extraen al azar todas las muestras posibles
(K) de igual tamaño n.
2. Se calcula el estadístico muestral de interés para cada muestra.
3. Se organizan y presentan los valores del estadístico muestral calculados en una
tabla de distribución de probabilidad.
( ) =xE
( )
n
xV
2
=
n
x

 =
El promedio de las medias muestrales es igual a la media de la población.
La varianza de la variable aleatoria media muestral, es directamente proporcional a la
variancia poblacional e inversamente proporcional al tamaño de la muestra.
El valor que cuantifica la variación de las medias muestrales, para un mismo tamaño de
muestra es la Desviación estándar de la media.
Distribuciones de la muestra
Distribución de la muestra
Media
Varianza
Desviación estándar
Distribuciones de la muestra
Distribución de la muestra
Forma de la distribución muestral de la media
1. Si la población de origen es normal, la distribución de la media muestral es también
normal, independiente del tamaño (n) de la muestra extraída con una media,  y
varianza, 2/n
2. Si la población de origen no presenta una distribución normal o si el tamaño de la
muestra es grande, por el Teorema Central del Límite se cumple: “Dada una
población de cualquier forma funcional no normal con una media  y variancia finita,
2, la distribución muestral de la media, calculada a partir de muestras de igual
tamaño (n) de dicha población, será aproximadamente normal con media,  y
variancia, 2/n, cuando la muestra es grande”
3. A medida que el tamaño (n) de la muestra aumenta, la distribución muestral de la
media se concentra cada vez más alrededor de , y la variabilidad de las medias,
cuantificadas por el error estándar (n), disminuye.







n
Nx

;
Distribuciones de la muestra
Distribución de la muestra
Forma de la distribución muestral de la varianza
La distribución de probabilidad de la varianza muestral es asimétrica positiva y se
relaciona con la distribución continua chi- cuadrado 2 cuando el tamaño muestral es n 
30.
( )
2
2
2 1


−
=
nS
Cuando n →  su forma se aproxima a una normal
Distribuciones de la muestra
Distribución de la muestra
Ejemplo
Para introducir el concepto de distribución muestral, elaboraremos la de la media de 
una muestra aleatoria de tamaño n=2 tomada sin remplazo de la población finita de 
tamaño N=5, cuyos elementos son: 3,5,7,9,11.
Población
La media es:
y su desviación estándar es:
Distribuciones de la muestra
Distribución de la muestra
Ejemplo
Muestra
Ahora si tomamos una muestra aleatoria de tamaño n = 2 de esta población, hay
posibilidades:
Nº muestra Muestras Media
1 3 5 4
2 3 7 5
3 3 9 6
4 3 11 7
5 5 7 6
6 5 9 7
7 5 11 8
8 7 9 8
9 7 11 9
10 9 11 10
Distribuciones de la muestra
Distribución de la muestra
Ejemplo
Muestra Media Probabilidad
4 1/10
5 1/10
6 2/10
7 2/10
8 2/10
9 1/10
10 1/10
Distribuciones de la muestra
Distribución de la muestra
Ejemplo
Muestra
x = E(X) = 4*(1/10) + 5*(1/10)+ 6*(2/10)+7*(2/10)+8(2/10)+9*(1/10)+10*(1/10)
x = E(X) = 4/10 + 5/10+ 12/10+14/10+16/10+9/10+10/10 = 7
V(x) = 2x = [(4 – 7)
2 (1/10)] + [(5 – 7)2 (1/10)] + [(6 – 7)2 (2/10)] + [(7 – 7)2
(2/10)] + [(8 – 7)2 (2/10)] + [(9 – 7)2 (1/10)] + [(10 – 7)2 (1/10)]
2x = 9/10 + 4/10 + 2/10 + 0 + 2/10+ 4/10+ 9/10
2x = 3
x =
Observamos que la media muestral coincide con la media de la población y la desviación
típica ha disminuido.
Distribuciones de la muestra
Distribución de la muestra
Ejemplo
Muestra
Media de la distribución muestral de
Error estándar de la media (desviación
típica de la muestra)
Se conoce como factor de corrección de la población finita. En la práctica, 
este se omite a menos de que la muestra constituya al menos un 5% de la 
población, pues en otro caso se aproxima tanto a 1 que es despreciable (es 
decir si la muestra no llega al 5% del tamaño de la población, no es necesario 
usar el factor de corrección)
VER EXCEL: Profesores inscritos en 5 escuelas
Grupos de 2 escuelas con reemplazo
Profesores inscritos posibles: 2,3,6,8,11
Distribuciones de la muestra
Teorema de Chebyshev
Para cualquier conjunto de datos (de una población o una muestra) y cualquier constante
k mayor que 1, el porcentaje de los datos que debe caer dentro de k-veces la desviación
típica de cualquier lado de la media es de por lo menos:
El teorema de Chebyshev se aplica a cualquier tipo de datos, pero sólo nos indica “por
lo menos que porcentaje” debe caer entre ciertos límites. Pero para casi todos los datos,
el porcentaje real de datos que cae entre esos limites es bastante mayor que el que
especifica el teorema de Chebyshev.
Para las distribuciones que tienen forma de campana puede hacerse una aseveración
más fuerte:
Ejemplo:
2 desviaciones estándar.
(1-1/4) = ¾
Al menos el 75% de los datos se encuentran alrededor de la media y +/- 2 desviaciones
estándar
Distribuciones de la muestra
Teorema de Chebyshev
Para las distribuciones que tienen forma de campana puede hacerse una aseveración
más fuerte:
(2) aproximadamente el 95% de los valores caerán dentro de dos desviaciones
típicas de la media, esto es :
(3) aproximadamente el 99,7% de los valores caerán dentro de dos desviaciones
típicas de la media, esto es :
(1) alrededor del 68% de los valores caerán dentro de una desviación típica de la
media esto es: entre
Distribuciones de la muestra
Desigualdad de Chebyshev
Teorema
Sea X una variable aleatoria con E(X) = m y varianza V(X) = s². Sea ε cualquier número positivo, 
entonces 
En muchas aplicaciones, el valor e se expresa como múltiplo de la desviación estándar como kσ, 
entonces la desigualdad de Chebyshef se expresa como:
Cuando la variable de interés no es una observación individual sino una media muestral , entonces el 
valor esperado está dado por
xE( ) = µ y varianza V( ) = σ²/n. x
En este caso la desigualdad de Chebyshev estará dada por:
Esto nos dice que cuando n es grande, la probabilidad de que haya alguna diferencia entre la verdadera 
media µ y su estimador 
x tiende a cero, es decir, que cuando n→∞, entonces 
Distribuciones de la muestra
Desigualdad de Chebyshev
Teorema
Sea X una variable aleatoria con E(X) = m y varianza V(X) = s². Sea ε cualquier número 
positivo, entonces 
En muchas aplicaciones, el valor e se expresa como múltiplo de la desviación estándar 
como kσ, entonces la desigualdad de Chebyshef se expresa como:
Cuando la variable de interés no es una observación individual sino una media muestral , 
entonces el valor esperado está dado por
xE( ) = µ y varianzaV( ) = σ²/n. x
Distribuciones de la muestra
Desigualdad de Chebyshev
En este caso la desigualdad de Chebyshev estará dada por:
Esto nos dice que cuando n es grande, la probabilidad de que haya alguna diferencia entre 
la verdadera media µ y su estimador 
x tiende a cero, es decir, que cuando n→∞, entonces 
x →µ 
Desigualdad de Chebyshev
Distribución límite
Ejemplo
Se tiene un lote grande de artículos y se desea estimar la fracción defectuosa usando
muestreo aleatorio simple. Usando la desigualdad de Chebyshev, se desea encontrar el
tamaño de muestra n tal que la probabilidad sea al menos del 95% de que la fracción
defectuosa difiera de la verdadera fracción defectuosa en no más de 0.10.
 
2
2
)(



n
xP −
 
2
2
)(



n
xP −
 
01.0*
10.0)(
2
n
xP

 −
01.0*
95.0
2
n


0095.0
2
n
Ley de los grandes números
Distribución límite
Teorema
Suponga que X1, X2,...,Xn es una secuencia arbitraria de variables aleatorias con valores 
esperados E(X1), E(X2),...,E(Xn). Suponga además que la variable aleatoria 

=
n
i
iX
1
tiene varianza para cada valor de n entero.
Si 
cuando n→∞ y ε es un número positivo, entonces, 
cuando n→∞ o equivalentemente 
cuando n→∞ n converge 
Ley de los grandes números
Distribución límite
Definición
Una secuencia de variables aleatorias Zn converge en probabilidad o converge estocásticamente a 
una constante "a" si para cada número positivo ε
cuando n→∞
El teorema enunciado anteriormente puede escribirse como:
cuando n→∞
El teorema anterior se le conoce como la "Ley débil de los grandes números".
Ley de los grandes números
Distribución límite
Colorario
Si 
x
es la media muestral de una población inducida por una variable aleatoria X con media
µ y varianza σ2, y si ε>0, entonces
Si la muestra es grande existe una alta probabilidad de que la media muestral
x
esté cerca de la media poblacional µ. Escogiendo un tamaño de muestra
suficientemente grande podemos hacer que la probabilidad de que la media muestral
tienda a la media poblacional sea tan alta (tan cerca de uno) como queramos.
Conclusión
Ley de los grandes números
Distribución límite
Aplicación a la distribución Binomial
Conclusión
Colorario
Sea X el resultado de un ensayo de Bernoulli {0,1}, (por ejemplo, la inspección de un
artículo) con P(X=1) = θ y P(X=0) = q= 1 - θ.
Sea Sn el número de éxitos (artículos defectuosos) en los n ensayos de Bernoulli. El
número medio de éxitos por ensayo
x
puede calcularse como:
Teorema de Bernoulli). Si Sn representa el número de éxitos en n ensayos
independientes de un evento con probabilidad θ, y si ε > 0, entonces
Si la muestra es grande existe una alta probabilidad de que la proporción muestral P esté
cerca de la verdadera proporción poblacional θ.
donde los ai son valores constantes.
Combinación lineal de variables normales
Distribución límite
Teorema
Sea X1, X2,..., Xn un conjunto de variables aleatorias distribuidas normalmente con valores 
esperados µi y varianzas σi
2, para i=1,2,...,n, entonces
se distribuye normalmente con valores esperado 
y varianza 
Ejercicio: Una estación de gasolina vende tres clases de combustibles: Diesel, gasolina corriente y 
gasolina extra, a precios de $2,100, $3,050 y $3,900 el galón, respectivamente. Suponga que la 
cantidad vendida diariamente de cada tipo se distribuye normalmente con medias 300, 500 y 1,000 
galones, y desviaciones estándares de 80, 50 y 100 galones, respectivamente. Se pide calcular:
a) El ingreso medio diario
b) La desviación estándar
c) La probabilidad de que el ingreso diario supere los 6 millones de pesos? Los 7? Los 8?
Distribuciones de la muestra
Teorema Central del Límite
Para muestras grandes, se puede obtener una aproximación cercana de la distribución
muestral de la media con una distribución normal.
Teniendo en cuenta que ya sabemos la media y desviación típica de la distribución
muestral, podemos decir que:
para n grande, entonces:
Este teorema es muy importante, puesto que justifica el uso de los métodos de la curva
normal en una gran cantidad de problemas. Se utiliza para poblaciones infinitas y para
poblaciones finitas cuando n a pesar de ser grande representa una porción muy
pequeña de la población.
Es difícil señalar con precisión qué tan grande debe ser n de modo que podamos aplicar
el Teorema Central del límite, pero a no ser que la distribución sea muy Inusual, por lo
general se considera que n =30 es lo suficientemente alto.
es un valor de una variable N(0,1)
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