Teorema de Moivre Resumen

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Distribuciones continuas de probabilidad
Aproximación binomial por la normal (Teorema de De Moivre)
),( npqnpN
)1;0(N
npq
npx
Z 
−
=
55  nqynp
Moivre demostró que bajo determinadas condiciones:
Para n grande y tanto “p” como “q” no estén próximos a cero la distribución
Binomial B(n,p) se puede aproximar mediante una distribución normal
Y por tanto
… Teorema de De Moivre “Debemos tener en cuenta que cuanto mayor sea el valor
de n, y cuanto más próximo sea p a 0.5, tanto mejor será la aproximación realizada”.
Es decir, basta con que se verifique
Gracias a esta aproximación es fácil hallar probabilidades binomiales, que para valores
grandes de n resulten muy laboriosos de calcular. Hay que tener en cuenta que para
realizar correctamente esta transformación de una variable discreta (binomial) en una
variable continua (normal) es necesario hacer una corrección de continuidad.
Distribuciones continuas de probabilidad
Aproximación binomial por la normal (Teorema de De Moivre)
Distribuciones continuas de probabilidad
Aproximación binomial por la normal (Teorema de De Moivre)
)5.0()( += xXPxXP
)5.0()( −= xXPxXP
)5.05.0()( 2121 +−= xXxPxXxP
La corrección de continuidad
Ejemplo 1:
Distribuciones continuas de probabilidad
Aproximación binomial por la normal (Teorema de De Moivre)
22.22
33.3340−
=Z 414.1=Z
)414.1()40( = ZPZP
921.0)40( =ZP
( ) 903.0
3
2
3
1
10039
0
100 =











−
=

xx
x
x
Si X ~ B(n=100,p=1/3), estimar P(X<40)
E(x) = 100*1/3 = 33.33
V(x) = 100*1/3*2/3 = 22.22
La probabilidad correcta es:
Ejemplo 1:
Distribuciones continuas de probabilidad
Aproximación binomial por la normal (Teorema de De Moivre)
)39()40( = XPXP
)5.39()40( = XPXP
22.22
33.335.39 −
=Z
30815.1=Z
)30815.1()40( = ZPZP
905.0)40( =ZP
La corrección de continuidad
Ejemplo 2:
Distribuciones continuas de probabilidad
Aproximación binomial por la normal (Teorema de De Moivre)
El 35% de los habitantes en posibilidad de votar, votan por cierto partido político. Se
encuestan a 200 personas del padrón.
¿Cuál es la probabilidad de que entre la gente encuestada haya entre 70 y 80 votantes
de ese partido?
La verdadera distribución es B(n=200, p=0.35) y su probabilidad:
Resolvemos con la aproximación
E(x) = 200*0.35 = 70
V(x) = 200*0.35*0.65 = 45.5
( ) ( ) ( ) xx
x
x
−
=

200
80
70
200 65.035.0
Ejemplo 2:
Distribuciones continuas de probabilidad
Aproximación binomial por la normal (Teorema de De Moivre)
)5.805.69()8070( = ZPXP











 −





 −
=
745.6
705.80
745.6
705.69
)8070( ZPXP
 557.1074.0)8070( −= ZPXP
   074.0557.1)8070( −−= ZPZPXP
470.0940.0)8070( −= XP
470.0)8070( = XP
  940.0557.1 =ZP   53.01074.0 −=−ZP
Distribuciones continuas de probabilidad
Aproximación poisson por la normal
)...( 21 nXXXY +++=
),( NX 
Sea X~P(λ) el número de sucesos raros en una unidad de tiempo. Definimos Y como el
número de sucesos en n unidades de tiempo.
Podemos escribir
Donde Xi~P(λ) es el número de sucesos en la i-enésima unidad de tiempo.
Así, aplicando el teorema del límite central, podemos aproximar la distribución Poisson
con una distribución Normal.
Teorema.
Sea X~P(λ). Para λ grande (λ>20), entonces.
Ejemplo 1:
Distribuciones continuas de probabilidad
Aproximación poisson por la normal
)5245(  XP
433.0
!
49*
)5245(
52
45
49
== 
=
−
X
x
x
e
XP
Sea X~P(λ=49) , estimar 
La verdadera distribución es P(λ=49) y su probabilidad:
)5.525.44()5245( = ZPXP











 −





 −
=
49
495.52
49
495.44
)5245( ZPXP
 5.0643.0)5245( −= ZPXP
   0643.05.0)5245 −−= ZPZPXP
2602.06915.0)5245( −= XP 431.0)5245( = XP
Resolvemos con la aproximación
Distribuciones continuas de probabilidad
Logarítmica normal
Si X~N(μ,σ) y se define Y =eX, se dice que Y se distribuye como logaritmo normal con
parámetros “μ” y “σ”.
Es un modelo empleado típicamente para tiempos de funcionamiento de máquinas y
para variables asimétricas como ingreso o gasto.
Distribuciones continuas de probabilidad
Distribuciones derivadas de la normal
• Las distribuciones “t” de Student, Chi cuadrado (2) y F, se derivan de la
distribución Normal y están relacionadas con la teoría del muestreo pequeño n
30.
• Son muy importantes pues son la base de metodologías inferenciales, tales como
Intervalos de Confianza y Pruebas de Hipótesis.
• Las variables “t”, 2 y F surgen de transformaciones de variables aleatorias
en las que están involucrados estadísticos muestrales, tales como la media
y la varianza.
Distribuciones continuas de probabilidad
Chi cuadrada
Para muestras extraídas de una población normal con variancia 2, con tamaño n < 30,
siendo S2 la varianza de la muestra entonces el estadístico 2 será
)1(
)1( 2
2
2
2 −
−
= n
nS



Definición
Una variable Chi cuadrado se define como la suma de n variables normales
estandarizadas elevadas al cuadrado.
)1(
)1()( 2
2
2
1 2
2
2 −
−

−
= = n
nSxn
i
i 



Distribuciones continuas de probabilidad
Chi cuadrada
Características
• Por definición, una variable 2 adopta valores positivos: 0  2  .
• La distribución es asimétrica positiva.
• A medida que aumenta el tamaño de la muestra la curva es menos asimétrica,
aproximándose a una curva normal.
• Para cada tamaño muestral, se tendrá una distribución 2 diferente.
• El parámetro que caracteriza a una distribución 2 son sus grados de libertad (n-
1), originado una distribución para cada grado de libertad,
¿Cómo se deduce una distribución 2?
• Extraer K muestras de tamaño n < 30
• Para cada muestra, por ejemplo n = 5, transformamos cada valor de x: x1, x2, x3, x4
y x5 en Z: z1, z2, z3, z4 y z5, utilizando:
)1,0(
2
N
x
Z 
−
=


Distribuciones continuas de probabilidad
Chi cuadrada
¿Cómo se deduce una distribución 2?
 ==
n
i i
Z
1
22
 === −=
−
=
n
i i
n
i
in
i i
x
x
Z
1
2
21 2
2
1
2 )(
1)(



 = −=
n
i i
xx
1
2
2
2 )(
1


• Para cada muestra calculamos:
• Entonces podríamos escribir:
• Si cambiamos la media poblacional  por X, resulta:
• Dado que: 
( )
1n
xxi
S
n
1i
2
2
−
−
=

=
:
Distribuciones continuas de probabilidad
Chi cuadrada
¿Cómo se deduce una distribución 2?
( )
=
−=−
n
1i
22 xxi1)(nS
)1(
)1( 2
2
2
2 −
−
= n
nS



• Tenemos
• Finalmente si se calcula para cada una de las K muestras y se grafica en un eje de
coordenadas el 2 se genera una distribución de 2 con (n-1) grados de libertad.
D
is
tr
ib
u
c
ió
n
 d
e
 C
h
i-
c
u
a
d
ra
d
a
 
p
a
ra
 a
lg
u
n
o
s
 v
a
lo
re
s
 d
e
 
g
ra
d
o
s
 d
e
 l
ib
e
rt
a
d
.
Distribuciones continuas de probabilidad
“t” de student
Definición
n
S
x

=
)1("" −
−
= nt
n
S
x
t

En muchos casos se seleccionan de una población normal, muestras de tamaño
pequeño n < 30 y Sx desconocido
El estadístico “t” será
Una variable con distribución t de Student se define como el cociente entre una variable 
normal estandarizada y la raíz cuadrada positiva de una variable 2 dividida por sus 
grados de libertad.
n
x
n
nS
x
n
Z
t






−
=
−
−
−
=
−
=
)1(
)1(
)1( 2
22
)1(""
)1(
2
−
−

−
= nt
n
x
n
Z
t



Distribuciones continuas de probabilidad
“t” de student
Características
• La distribución se denomina distribución de Student o distribución “t”.
• Es simétrica, con media de 0, y varianza mayor que 1.
• Es más achatada que la normal y adopta diferentes formas, según el número de
grados de libertad.
• La variable t se extiende desde - a +.
• A medida que aumenta los (n –1) grados de libertad la distribución “t” se aproxima
en su forma a una distribución normal.
• El parámetro de la distribución es (n-1) grados de libertad, originando una
distribución diferente para cada tamaño de muestra.
¿Cómo se deduce una distribución “t”?• Se extraen k muestras de tamaño n < 30.
• Se calcula, para cada muestra, el valor de “t”.
• Se grafica la distribución para cada tamaño muestral
Distribuciones continuas de probabilidad
“t” de student
¿Cómo se deduce una distribución “t”?
D
is
tr
ib
u
c
ió
n
 “
t”
p
a
ra
 d
if
e
re
n
te
s
 
g
ra
d
o
s
 d
e
 l
ib
e
rt
a
d
 (
n
-1
)
Distribuciones continuas de probabilidad
“F” de Fisher
Definición
Considerando dos muestras aleatorias independientes, de tamaño n1 y n2, extraídas de 
una población normal, el estadístico F será 
1)1;n2(n12
2
2
1 F
S
S
−−=F
Una variable F se define como el cociente entre dos variables ji-cuadrado divididas por
sus correspondientes grados de libertad.
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
S
S
)1(
)1(
=
−
−
=
n
n
F


Distribuciones continuas de probabilidad
“F” de Fisher
Características
• Una variable con distribución F es siempre positiva por lo tanto su campo de
variación es 0  F  
• La distribución de la variable es asimétrica, pero su asimetría disminuye cuando
aumentan los grados de libertad del numerador y denominador.
• Hay una distribución F por cada par de grados de libertad.
• Parámetros: Grados de libertad asociados al numerador y denominador
¿Cómo se deduce una distribución “F”?
• Se extrae k pares de muestras aleatorias independientes de tamaño n < 30.
• Se calcula para cada par el cociente de varianzas que proporciona un valor de F.
• Se grafica los valores de F de los k pares de muestras.
Distribuciones continuas de probabilidad
“F” de Fisher
¿Cómo se deduce una distribución “F”?
D
is
tr
ib
u
c
ió
n
 “
F
”
p
a
ra
 d
if
e
re
n
te
s
 
g
ra
d
o
s
 d
e
 l
ib
e
rt
a
d
 (
n
-1
)
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