Capitulo3 - Ariadna Deseusa Morales

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EAS200a - Probabilidad y Estad́ıstica
R. Aguila - M. I Vicuña - O. Ferreiro
2o Semestre 2017
Caṕıtulo 3
: , 1
Contenido I
� Introducción
� Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribución Uniforme Discreta
Distribución Binomial y Bernoulli
Distribución Geométrica
Distribución Binomial Negativa
El Proceso de Poisson y la Distribución de Poisson
Distribución Hipergeométrica
Distribución Uniforme Continua
Distribución Normal
Distribución Exponencial
Distribución Gamma
� Otras Distribuciones de Probabilidad
Distribución Beta
Distribución Log-Normal
� Aproximaciones
: , 2
Contenido II
Aproximaciones de la Binomial y Hipergeométrica
Teorema del Ĺımite Central (TLC)
: , 3
Introducción
Introducción
Teóricamente, cualquier función que satisfaga las condiciones descritas en
el caṕıtulo anterior puede ser utilizada para representar una distribución
de probabilidad o de densidad de una variable aleatoria, sin embargo, nos
interesan algunas funciones que satisfacen:
I La función es resultado de un proceso f́ısico o puede ser derivada
bajo ciertos supuestos.
I La función es resultado de algunos procesos ĺımites
I Es ampliamente conocida, y la información esta disponible.
I Distribución de probabilidad, medidas de descripción, etc.
: , 4
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Uniforme Discreta
Una variable aleatoria X tiene una distribución uniforme discreta, si toma
n valores distintos con la misma probabilidad igual a 1/n, es decir,
pX (x) =

1
n
, x = 1, 2, 3, ..., n
0, en otro caso
Su valor esperado y varianza son:
E(X ) =
(n + 1)
2
y Var(X ) =
n2 − 1
12
: , 5
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Uniforme Discreta
Ejemplo: Probabilidad que un número entre 1 y 41 sea parte de los número
ganadores de Loto.
: , 6
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Uniforme Discreta
Frecuencia relativa de 6409 sorteos del loto
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
Número
Fr
ec
ue
nc
ia
 R
el
at
iva
1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41
1/41
: , 7
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Binomial y Bernoulli
En las más diversas áreas, a menudo los problemas involucran la ocurrencia
o recurrencia de un evento, el cual es impredecible, como una secuencia
de “experimentos”.
Ejemplos:
1. Para un d́ıa de lluvia, ¿colapsa o no un sistema de drenaje?
2. Al comprar un producto, ¿éste satisface o no los requerimientos de
calidad?
3. Un alumno ¿aprueba o reprueba el curso?
Notar que hay sólo dos resultados posibles para cada “experimento”.
: , 8
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Bernoulli y Binomial
Las variables descritas pueden ser modeladas por una secuencia Bernoulli,
la cual se basa en los siguientes supuestos:
1. Cada experimento, tiene una de dos opciones ocurrencia o no
ocurrencia del evento.
2. La probabilidad de ocurrencia del evento (“éxito”) en cada
experimento es constante (digamos π).
3. Los experimentos son estad́ısticamente independientes.
: , 9
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Bernoulli y Binomial
Se dice que una v.a X tiene distribución Bernoulli con parámetro π, si X
toma únicamente dos valores: 0 y 1 con probabilidad
P(X = 1) = π P(X = 0) = 1− π
Ambas probabilidades se pueden unificar en una única expresión:
P(X = x) = πx(1− π)1−x x = 0, 1
Además
E(X ) = π Var(X ) = π(1− π)
MX (t) = πe
t + (1− π)
: , 10
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Bernoulli y Binomial
Dada una secuencia Bernoulli, si X es el número de ocurrencias del evento
éxito entre los n experimentos, con probabilidad de ocurrencia igual a
π, entonces la probabilidad que ocurran exactamente x éxitos en los n
experimentos esta representada por la distribución Binomial
pX (x) =
(
n
x
)
πx (1− π)n−x , x = 0, 1, . . . , n
FX (x) =

0, x < 0
[x]∑
k=0
(
n
k
)
πk (1− π)n−k , 0 ≤ x < n
1, x ≥ n
: , 11
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Bernoulli y Binomial
A la variable aleatoria X se denotará por Binomial(n, π) y su valor esperado
y varianza están dados por:
E(X ) = n π, Var(X ) = n π (1− π)
Mientras que su función generadora de momentos es:
MX (t) =
[
π · et + (1− π)
]n
, t ∈ R
: , 12
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Bernoulli y Binomial
Proposición
Si X1, ...,Xn son n experimentos Bernoulli con parámetro π, entonces
X =
n∑
i=1
Xi
tiene distribución Binomial con parámetro n, π.
Dem: Usar fgm
: , 13
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Bernoulli y Binomial
Ejemplo: La tienda de retail Falabella ha estado realizado una campaña
de marketing para el lanzamiento de un nuevo producto. En marzo de
2015 comenzó su venta, y se realizó un estudio para ver el impacto de los
consumidores por un peŕıodo de casi tres años. En cada d́ıa, se analizaron
50 clientes que se seleccionaron al azar y se registró el número de ellos que
compró el producto. Puede que un cliente sea seleccionado más de un d́ıa.
N clientes 9 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
d́ıas 1 5 11 12 33 40 66 80 90 109 108
N clientes 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
d́ıas 104 90 77 64 37 29 18 10 4 1 1
: , 14
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Bernoulli y Binomial
Si X representa el número de clientes que compraron el producto de un
total de 50 clientes y sea π la probabilidad de compra. X puede ser repre-
sentada por un modelo Binomial(50,π). A partir de los valores observados,
vemos que E (X ) ≈ 20, luego una estimación para π es 20/50 ≈ 0.4
0.
00
0.
04
0.
08
0.
12
Número de clientes que compran el producto
F
re
cu
en
ci
a 
R
el
at
iv
a
9 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
: , 15
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Bernoulli y Binomial
Ejercicios
Control 3 - 2009 - 01. Problema 2(a)
Un ensayo consiste en seleccionar al azar un número real entre -1 y 1, es
decir, el resultado tiene una densidad de probabilidad fX (x) dada por
fX (x) =
{
1
2 −1 ≤ x ≤ 1
0 eoc
En un experimento, se repetirá el ensayo 10 veces de manera independiente.
¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 o más números mayores que 0.5?
: , 16
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Bernoulli y Binomial
I2 - 2009 - 01.Problema 3
Un fabricante posee una máquina M1 que produce cigarros. La proporción
de cigarros defectuosos producidos por M1 es 5%. Considere un lote de k
cigarros producidos por M1, con k ∈ {1, 2, 3, ...}. Suponga que se rechaza
este lote si y solo si, hay al menos un cigarro defectuoso en él.
(a) Determine el menor valor de k de tal modo que la probabilidad que
se rechace el lote sea al menos un 65%
: , 17
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Bernoulli y Binomial
Suponga que hoy es 1 de Enero de 2009. Nuestro fabricante se ampĺıa,
empezando a operar hoy 4 máquinas más: M2,M3,M4 y M5, cada una de
las cuales produce la misma proporción de cigarros defectuosos que M1.
Estas 5 máquinas funcionan independientemente entre si. El d́ıa 7 de cada
mes, un inspector revisa un lote de k = 10 cigarros de cada máquina. Si
se aceptan al menos 4 de estos 5 lotes en una misma inspección mensual,
ese mismo d́ıa el fabricante realizauna parrillada.
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que en ese mismo mes se realice una
parrillada?
: , 18
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Bernoulli y Binomial
I2 - 2015 - 01. Problema 1
Si un proceso productivo está bajo control entonces, la probabilidad de
que un art́ıculo sea defectuoso es solo del 1 %, sin embargo cuando está
fuera de control, esta probabilidad sube al 10%. Se sabe además que la
probabilidad que el proceso este fuera de control es del 5 %. Los art́ıculos
se envasan en cajas de 10 unidades.
Se selecciona una caja al azar durante un proceso que podŕıa estar bajo
control o no, y se define la variable aleatoria X como el número de art́ıculos
defectuosos en una caja.
: , 19
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Bernoulli y Binomial
(a) ¿Qué distribución se puede asumir para X cuando el proceso está
bajo control?
(b) ¿Qué distribución se puede asumir para X cuando el proceso está
fuera control?
(c) ¿Cuál es la probabilidad que la caja, contenga 1 art́ıculo defectuoso?
(d) Al inspeccionar una caja seleccionada al azar, resultó que conteńıa
un art́ıculo defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que la caja
provenga de un proceso fuera de control?
: , 20
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Geométrica
Dada una secuencia Bernoulli, el número de experimentos hasta la ocur-
rencia del primer evento exitoso sigue una distribución geométrica.
Si el primer éxito ocurre en el n-ésimo experimento, los primeros n − 1
fueron “fracasos”. Si N es la variable aleatoria que representa el número
de experimentos hasta el primer éxito, entonces:
P(N = n) = π (1− π)n−1, n = 1, 2, . . .
A la variable aleatoria N se denotará por Geométrica(π)
: , 21
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad
Distribución Geométrica
La función distribución esta dada por:
FN(n) =
[n]∑
k=1
π (1− π)k−1 = 1− (1− π)[n]
para n ≥ 1.
Mientras que su valor esperado, varianza y función generadora de momen-
tos son:
E(N) =
1
π
, Var(N) =
(1− π)
π2
MN(t) =
π et
[1− et (1− π)]
, t < − ln(1− π)
: , 22
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad
Distribución Geométrica
Ejemplo: Datos históricos muestran que el 4% de los años se presentan
desbordes del ŕıo Mapocho en Santiago. Cuántos años se espera que deban
pasar observar el fenómenos nuevamente?
: , 23
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad
Distribución Geométrica
Ejercicio Control 3 - 2010 - 02. Problema 2
Una empresa considera la posibilidad de implementar ventas telefónicas
como complemento de los métodos tradicionales. Estimaciones indican que
una de cada 20 llamadas resulta en una venta. Asumiendo independencia
entre llamadas:
(a) ¿Cuál es la probabilidad que un vendedor telefónico logre su primera
venta antes del décimo llamado?
(b) En los primeros 20 llamados, ¿cuál es la probabilidad que haya
realizado por lo menos tres ventas?
: , 24
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Binomial Negativa
La distribución geométrica permite modelar el número de experimentos
hasta la primera ocurrencia.
Sea Tk la variable aleatoria que representa el número de experimentos
hasta que ocurra el k-ésimo éxito. Esta es modelada por la distribución
binomial negativa, cuya función de probabilidad está dada por
P(Tk = x) =
(
x − 1
k − 1
)
πk (1− π)x−k , x = k , k + 1, k + 2, . . .
Es útil la siguiente igualdad para mostrar que la suma es uno:
1
(1− p)k
=
∞∑
x=0
(
x + k − 1
k − 1
)
px 0 ≤ p < 1
: , 25
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Binomial Negativa
A la variable aleatoria Tk se denotará por Binom Neg(k, π) cuyo valor
esperado, varianza y función generadora están dadas por:
E (Tk) =
k
π
, Var(Tk) =
k (1− π)
π2
MTk (t) =
{
π et
[1− et (1− π)]
}k
, t < − ln(1− π)
: , 26
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Binomial Negativa
Ejercicio I2 - 2012 - 02. Problema 3
Se sabe que en un proceso productivo el 5% de los art́ıculos resultan con
algún defecto.
(a) Suponga que la producción de art́ıculos es constante, lo que permite
asumir que el porcentaje de defectuoso se mantiene en un 5%, y a
usted se le pide que realice un control de calidad para detectar
art́ıculos con algún defecto. ¿Cuántos art́ıculos usted espera revisar
hasta detectar un tercer art́ıculo defectuoso?
(b) Calcule la probabilidad que el número de art́ıculos revisados hasta
detectar el tercero defectuoso sea exactamente el valor que usted
espera en la parte (a).
: , 27
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
El Proceso de Poisson y la Distribución de Poisson
Muchos problemas f́ısicos de interés para ingenieros y cient́ıficos que im-
plican las ocurrencias posibles de eventos en cualquier punto en el tiempo
y/o en el espacio.
Por ejemplo:
I Los terremotos pueden ocurrir en cualquier momento y en cualquier
lugar en una región con actividad śısmica en el mundo.
I Los accidentes de tráfico pueden suceder en cualquier momento en
una autopista.
I Un cliente puede ingresar a un tienda en cualquier momento.
: , 28
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
El Proceso de Poisson y la Distribución de Poisson
Este problema puede ser modelado como secuencia Bernoulli, dividiendo
el tiempo o el espacio en pequeños intervalos “apropiados” tal que solo un
evento puede ocurrir o no dentro de cada intervalo (Ensayo Bernoulli).
Sin embargo, si el evento puede ocurrir al azar en cualquier instante de
tiempo (o en cualquier punto del espacio), esto puede ocurrir más de una
vez en cualquier momento o intervalo de espacio.
En tal caso, las ocurrencias del evento puede ser más apropiado el modelo
con un proceso de Poisson o la secuencia Poisson.
: , 29
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
El Proceso de Poisson y la Distribución de Poisson
Supuestos:
I Un evento puede ocurrir al azar y en cualquier instante de tiempo o
en cualquier punto en el espacio.
I La ocurrencia(s) de un evento en un intervalo de tiempo dado (o
espacio) es estad́ısticamente independiente a lo que ocurra en otros
intervalos (o espacios) que no se solapen.
I La probabilidad de ocurrencia de un evento en un pequeño intervalo
∆ t es proporcional a ∆ t, y puede estar dada por λ∆ t, donde λ es
la tasa de incidencia media del evento (que se supone constante).
I La probabilidad de dos o más eventos en ∆ t es insignificante.
: , 30
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
El Proceso de Poisson y la Distribución de Poisson
Bajo los supuestos anteriores, el número de eventos estad́ısticamente in-
dependientes en t (tiempo o espacio) esta regido por la función de prob-
abilidad del modelo Poisson, donde la variable aleatoria Xt : número de
eventos en el intervalo de tiempo (0, t), cuya función de probabilidad está
dada por
P(Xt = x) =
(λ t)x e−λ t
x!
, x = 0, 1, 2, . . .
donde ν es la tasa de ocurrencia media por unidad de tiempo, es decir,
E(Xt) = λ t
A la variable aleatoria Xt se denotará por Poisson(λ t)
: , 31
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
El Proceso de Poisson y la Distribución de Poisson
Ejercicio Muestre que si Xt ∼ Poisson(λ t)
I Var(Xt) = λ t.
I MXt (s) = exp [λ t (e
s − 1)].
: , 32
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Poisson
Ejemplo El Centro Sismológico Nacional registra diariamente el númerode sismos ocurridos en nuestro páıs. Se analizó el peŕıodo desde Enero del
2003 a Diciembre 2007 y se registró el número de sismos diarios.
: , 33
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Poisson
Si X representa el número de sismos diarios ocurridos en chile desde los
años 2003 al 2007 y sea λ la tasa de ocurrencia media diaria. X puede ser
representada por un modelo Poisson(λ). A partir de los valores observados,
vemos que E (X ) = λ, luego una estimación para λ es 12.
0 5 10 15 20 25 30
0.00
0.05
0.10
0.15
 Número de sismos
Fr
ec
ue
nc
ia
 re
la
tiv
a
: , 34
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Poisson
Ejercicios I2-2008-02. Problema 2(a)
Al servidor computacional de una institución, llegan e-mails a una tasa
promedio de 34.1 por cada 10 segundos.
(a) Determine la probabilidad de que lleguen al menos dos e-mails en un
segundo.
: , 35
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Poisson
I2 - 2015- 01. Problema 3
Ud. está a cargo de supervisar la llegada de veh́ıculos a una planta de
revisión técnica. Datos históricos muestran que cada seis minutos se espera
que lleguen a la planta cuatro veh́ıculos.
(a) Plantee una distribución que Ud. considere adecuada para el número
de veh́ıculos que llegan en 2 minutos.
(b) Determine la probabilidad de que no lleguen veh́ıculos en medio
minuto.
(c) Determine la probabilidad de que en 50 segs. llegue al menos 1
veh́ıculo dado que ya se han observado 25 segs. sin veh́ıculos.
: , 36
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Hipergeométrica
La distribución Hipergeométrica se produce cuando se estudia una muestra
de una población finita la cual se puede dividir en dos grupos.
Considere un lote de tamaño N, de los m son defectuosos y N − m no
defectuosos.
Si se toma una muestra aleatoria de tamaño n al azar, la probabilidad
que x sean defectuosos esta dada por la función de probabilidad de la
distribución hipergeométrica:
pX (x) =
(
m
x
)(
N −m
n − x
)
(
N
n
) , max{0, n + m − N} ≤ x ≤ min{n,m}
se denotará
X ∼ Hipergeométrica(n,N,m)
: , 37
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Hipergeométrica
El cálculo de su valor esperado y varianza requiere un desarrollo bastante
complejo cuyo resultado final es el siguiente
µX = n ·
m
N
, σ2X =
(
N − n
N − 1
)
· n · m
N
·
(
1− m
N
)
: , 38
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Hipergeométrica
Ejercicio I2 -2008-02. Problema 1(a)
Suponga que de 2500 cuentas comerciales del Banco Internacional CATP
(Confianza a Toda Prueba), 125 han sido alteradas fraudulentamente. Las
alteraciones son lo bastante sutiles como para que sólo una auditoŕıa muy
detallada las pueda descubrir. Se elige al azar 50 cuentas comerciales para
la revisión detallada.
(i) La selección se realiza, como es habitual, sin reemplazo. ¿Qué
distribución exacta seguiŕıa la variable ”número de cuentas alteradas
existentes entre las seleccionadas”? ¿Cuál es la probabilidad de que
se haya seleccionado al menos una cuenta alterada?
(ii) Adicionalmente, determine la misma probabilidad asumiendo una
selección con reemplazo esta vez. Señale expĺıcitamente cuál es la
distribución exacta que utilice.
: , 39
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Uniforme Continua
Una variable aleatoria X tiene una distribución uniforme en el intervalo
[a, b] si su función de densidad es contante.
fX (x) =
{
1
b−a , a ≤ x ≤ b
0, en otro caso
Se denotará X ∼ Uniforme(a, b)
Ejercicio:
I Obtenga FX , µX , σ
2
X y MX (t).
I Sea Y = [X ], con [·] parte entera. Determine la función de
distribución de Y , con X ∼ Uniforme(0, n)
: , 40
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Uniforme Continua
Ejercicio Control 4 - 2008 - 02. Problema 2
En los d́ıas de verano, el tiempo Y de retraso de un tren de enlace subur-
bano se puede modelar como una variable aleatoria uniforme entre 0 y 20
minutos.
(a) Encuentre la probabilidad que el tren llegue por lo menos con 8
minutos de retraso
(b) Encuentre la función generadora de momentos del tiempo Y de
retraso de un tren de enlace suburbano
: , 41
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Normal
En estad́ıstica y probabilidad se llama distribución normal, distribución de
Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad
de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.
La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abra-
ham de Moivre (1667-1754), en un art́ıculo de 1733 donde relaciona la
distribución normal y la binomial.
Posteriormente, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ah́ı
que asimismo se la conozca, más comúnmente, como campana de Gauss.
: , 42
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Normal
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
F
un
ci
ón
 D
en
si
da
d
µµ
: , 43
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Normal
Muchos fenómenos que encontramos en la naturaleza se miden mediante
variables cuya distribución, naturalmente, tienden a formar una campana
de Gauss. Además, muchas variables aleatorias continuas presentan una
función de densidad cuya gráfica tiene dicha forma.
Finalmente, varios procedimientos estad́ısticos usados habitualmente asumen
la normalidad de los datos observados.
La importancia de esta distribución radica en que permite modelar nu-
merosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos.
: , 44
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Normal
La función densidad de una variable aleatoria X con distribución Normal(µ, σ2)
es de la forma:
fX (x) =
1√
2π σ2
exp
{
−1
2
(
x − µ
σ
)2}
, −∞ < x <∞
con µ parámetro de localización y σ un parámetro de escala o forma tales
que:
−∞ < µ <∞, 0 < σ2 <∞
: , 45
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Normal
Los dos parámetros: µ y σ2, permiten describir diferentes distribuciones
normales.
Efecto del parámetro µ
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
F
un
ci
ón
 D
en
si
da
d
µµ1 µµ2
: , 46
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Normal
Efecto del parámetro σ2
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
F
un
ci
ón
 D
en
si
da
d
µµ
: , 47
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Normal
Un caso especial es cuando µ = 0 y σ2 = 1. Este caso es conocido como
la distribución normal estándar, la que denotaremos por Z , cuya función
de densidad está dada por
fZ (z) =
1√
2π
e−z
2/2, −∞ < z <∞
La ventaja es que su función de distribución de probabilidad acumulada se
encuentra tabulada, la cual se denota por Φ(·).
: , 48
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Normal
Luego, si Z una variable aleatoria con distribución normal estándar, su
función de distribución de probabilidad acumulada está dada por
Φ(z) = P(Z ≤ z) = FZ (z) =
∫ z
−∞
1√
2π
e−x
2/2 dx
fS(s)
0 Sp
Probabilidad = p
Propiedades: zp = Φ−1(p) = −Φ−1(1− p) y Φ(−z) = 1− Φ(z).
: , 49
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Normal
Tabla deΦ(z) = P(Z ≤ z)
: , 50
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Normal
Si X una variable aleatoria Normal(µ, σ2) con función de distribución
acumulada FX . Se puede demostrar que la variable aleatoria Z =
X−µ
σ
distribuye Normal (0, 1).
Luego, para dos valores dados a y b (con a < b) se tiene que:
P(a < X ≤ b) = FX (b)− FX (a)
= Φ
(
b − µ
σ
)
− Φ
(
a− µ
σ
)
: , 51
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Normal
Ejercicio Si X ∼ Normal(µ, σ2), muestre que:
1. E(X ) = µ.
2. Var(X ) = σ2.
3. MX (t) = exp
(
µ t + σ2 t2/2
)
, con t ∈ R.
4. FX (x) = Φ
(
x−µ
σ
)
.
: , 52
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Normal
Ejercicio I2 - 2009 - 01. Problema 2 (a) y (c)
Una empresa fabrica barras de acero cuyo diámetro (en cm.) se comporta
como una variable aleatoria Normal(1, 0.0022). Un cliente necesita barras
con diámetros (en cm.) en el intervalo (0.997, 1.003)
(a) ¿Qué proporción del total de barras producidas no satisfacen los
requerimientos del cliente?
(b) La empresa fabrica barras de acero sucesiva e independientemente
entre si. ¿Cuántas barras esperaŕıa fabricar esta empresa hasta
obtener la quinta barra que satisfaga los requerimientos del cliente?
(c) Si el fabricante mejora el control de calidad de su proceso, él puede
reducir desviación estándar a un valor σ0, manteniendo la media en
el valor 1. ¿Qué valor de σ0 asegura que no más del 1 % de las
barras producidas no cumpliŕıan los requerimientos del cliente?
: , 53
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Exponencial
En un Proceso de Poisson el tiempo transcurrido entre la ocurrencia de
eventos puede ser descrito por una distribución exponencial.
Si T1 representa al tiempo transcurrido hasta la ocurrencia del primer
evento en un Proceso de Poisson, el evento (T1 > t) implica que en el
intervalo (0, t) no ocurren eventos, es decir,
P(T1 > t) = P(Xt = 0) =
(λ t)0 e−λ t
0!
= e−λ t ,
con
Xt ∼ Poisson(λ t)
: , 54
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Exponencial
Por lo tanto la función de distribución de probabilidad acumulada de T1
esta dada por:
FT1 (t) = P(T1 ≤ t) = 1− P(T1 > t) = 1− e−λ t
Su función densidad se obtiene como sigue:
fT1 (t) =
d
dt
FT1 (t) = λ e
−λ t
que corresponde a la función densidad de una variable aleatoria con dis-
tribución exponencial.
: , 55
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Exponencial
Ya mostramos anteriormente que un variable aleatoria X con distribución
Exponencial de parámetro λ > 0, tiene función densidad y de distribución:
fX (x) =
{
λ e−λ x , x ≥ 0
0, x < 0
FX (x) =
{
0, x < 0
1− e−λ x , x ≥ 0
Se denotará por X ∼ exponencial(λ)
Mientras que su valor esperado, varianza y función generadora de momen-
tos están dador por:
µX =
1
λ
, σ2X =
1
λ2
MX (t) =
λ
λ− t
, t < λ
: , 56
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Exponencial
Ejemplo La encuesta de origen y destino de viajes en Santiago, consistió
en encuestar a todos los residentes de 18.000 hogares de santiago, se-
leccionados leatoriamente,entre Julio 2012 y Noviembre 2013. Una de las
variables que se registró fue el tiempo de viaje (en minutos) entre su origen
de destino hasta el destino final.
: , 57
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Poisson
Si X representa el tiempo de viaje (en minutos) entre su origen de des-
tino hasta el destino final. X puede ser representada por un modelo
exponencial(λ). E (X ) = 1λ , y a partir de los valores observados, vemos
que una estimación para λ es 1/x̄ = 1/42.35 = 0.023.
Tiempo de Viaje (minutos)
0 100 200 300 400
0.000
0.005
0.010
0.015
: , 58
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Gamma
Una variable aleatoria X con distribución Gamma tiene función densidad
fX (x) =
λk
Γ(k)
xk−1 e−λ x , x ≥ 0
donde k, ν son parámetros positivos.
La función Γ(α) =
∫∞
0
uα−1 e−u du, la cual tiene las siguientes propiedades:
I Γ(α + 1) = α Γ(α).
I Γ(n + 1) = n! si n ∈ N0.
I Γ(1/2) =
√
π.
Se denotará por X ∼ Gamma(k , λ)
: , 59
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Gamma
Relación con distribución Poisson
En un Proceso de Poisson el tiempo transcurrido hasta la ocurrencia del
k-ésimo evento puede ser descrito por una distribución Gamma.
Si Tk representa al tiempo transcurrido hasta la ocurrencia del k-ésimo
evento en un Proceso de Poisson, el evento (Tk > t) implica que en el
intervalo (0, t) ocurren a lo más k-1 eventos, es decir,
P(Tk > t) = P(Xt ≤ k − 1) =
k−1∑
x=0
(λ t)x e−λ t
x!
: , 60
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Gamma
Relación con distribución Poisson
Luego, su función de distribución acumulada esta dada por:
FTk (t) = 1−
k−1∑
x=0
(λ t)x e−λ t
x!
Se puede demostrar que
fTk (t) =
d
dt
FTk (t) =
λk
Γ(k)
tk−1 e−λ t , t ≥ 0
donde su valor esperado, varianza y función generadora de momentos es
µTk =
k
ν
, σ2Tk =
k
λ2
, MTk (t) =
(
λ
λ− t
)k
, t < λ
: , 61
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad
Distribución Gamma
0 10 20 30 40 50 60
Distribución Gamma(k, ν = 1 6)
Tiempo T (en meses)
f T
k(t
)
0
1 6
k = 1
k = 2
k = 3
: , 62
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Gamma
Ejercicios I2 - 2008 - 02. Problema 2
Al servidor computacional de una institución, llegan e-mails a una tasa
promedio de 34.1 por cada 10 segundos.
(a) Determine la probabilidad de que lleguen al menos dos e-mails en un
segundo.
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre dos mails consecutivos
transcurra 1.2 segundos a lo más?
(c) ¿Cuá es el valor esperado del tiempo hasta recibir el décimo e-mail
de ahora en adelante? ¿Cuál es la distribución precisa, con
parámetros, que permite determinar dicho valor?
: , 63
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Gamma
I2 - 2015 - 01. Problema 3
Ud. está cargo de supervisar la llegada de veh́ıculos a una planta de revisión
técnica. Datos históricos muestran que cada seis minutos se espera que
lleguen a la planta cuatro veh́ıculos.
(a) Plantee una distribución que Ud. considere adecuada para el número
de veh́ıculos que llegan en 2 minutos.
(b) Determine la probabilidad de que no lleguen veh́ıculos en medio
minuto. Determine esta probabilidad primero mediante una
distribución de tipo discreto y luego mediante una distribución
continua.
(c) Determine la probabilidad de que en 50 segs. llegue al menos 1
veh́ıculo dado que ya se han observado 25 segs. sin veh́ıculos.
: , 64
Distribuciones de Probabilidad Usuales
Distribuciones de Probabilidad Usuales Continuas
Distribución Gamma
(d) Explicite la distribución de la variable T6: Tiempo hasta a llegada
del sexto veh́ıculo. Determine la probabilidad de que el tiempo que
Ud. debe esperar hasta la llegada de un 6to veh́ıculo sea más de 6
minutos.
(e) Determine el valor esperado (en minutos) del tiempo a esperar hasta
que llegue el 6to veh́ıculo.
: , 65
Otras Distribuciones de Probabilidad
Otras Distribuciones de Probabilidad
Distribución Beta
Una variable aleatoria X con distribución Beta tiene función densidad
fX (x) =
1
B(q, r)
· (x − a)
q−1 (b − x)r−1
(b − a)q+r−1
, a ≤ x ≤ b
donde q y r son los parámetros de la distribución, y B(q, r) es la función
beta dada por
B(q, r) =
∫ 1
0
xq−1 (1− x)r−1 dx =Γ(q) Γ(r)
Γ(q + r)
Se denotará por X ∼ Beta(q, r)
: , 66
Otras Distribuciones de Probabilidad
Distribuciones de Probabilidad
Distribución Beta
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0
1
2
3
4
Distribución Beta(q, r)
x
f X
(x
)
B(q = 1, r = 4)
B(q = 3, r = 3)
B(q = 4, r = 2)
B(q = 1, r = 1)
: , 67
Otras Distribuciones de Probabilidad
Otras Distribuciones de Probabilidad
Distribución Log-Normal
Se dice que X sigue una ley de probabilidad Log-Normal(λ, ζ2) si su función
de densidad esta dada por
fX (x) =
1√
2π
1
(ζ x)
exp
[
−1
2
(
ln x − λ
ζ
)2]
, x ≥ 0.
Donde,
λ = E(lnX ) y ζ2 = Var(lnX )
: , 68
Otras Distribuciones de Probabilidad
Otras Distribuciones de Probabilidad
Distribución Log-Normal
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0
1
2
3
4
x
f X
(x
)
ζ = 0.1
ζ = 0.3
ζ = 0.5
Mediana = 1.0
: , 69
Otras Distribuciones de Probabilidad
Otras Distribuciones de Probabilidad
Distribución Log-Normal
Ejemplo La Encuesta Nacional de Salud que se realizó 2008-2009 una de
las variables que se midió fue el nivel de coresterol a través del HDL en la
sangre.
: , 70
Otras Distribuciones de Probabilidad
Distribuciones de Probabilidad Usuales Discretas
Distribución Poisson
Si X representa el nivel de coresterol de una persona. X puede ser repre-
sentada por un modelo lognormal(λ, ζ2). E (lnX ) = λ y Var(lnX ) = ζ2
y a partir de los valores observados, vemos que una estimación para λ es
3.83 y una estimación para ζ es 0.255
Nivel de HDL en la sangre
D
en
si
ty
0 20 40 60 80 100 120
0.
00
0
0.
01
0
0.
02
0
0.
03
0
: , 71
Otras Distribuciones de Probabilidad
Otras Distribuciones de Probabilidad
Distribución Log-Normal
Ejercicio
Sea X ∼ Log-Normal(λ, ζ2), obtenga su valor esperado, mediana y vari-
anza.
Ejercicio
Demostrar lnX ∼ Normal(λ, ζ2).
: , 72
Otras Distribuciones de Probabilidad
Otras Distribuciones de Probabilidad
Distribución Log-Normal
I2 - 2011 - 02. Problema 2 (c) - (d)
En el reciente caso de La Polar, los montos, X , de las renegociaciones uni-
laterales alcanzan un promedio µX igual a M$650 y un desviación estándar
σX igual a M$260.
Si asumimos que los montos renegociados se comportan como una dis-
tribución Log-Normal(λ, ζ2), evalué:
(c) Proporción de morosos renegociados unilateralmente que se
encuentran sobre una desviación estándar de la mediana de los
montos.
(d) Monto ḿınimo renegociado del 30% de morosos de los mayores
montos renegociados
: , 73
Aproximaciones
Aproximaciones
Binomial vs Poisson
Bajo ciertas condiciones algunos modelos pueden aproximarse
Binomial(n, π) ≈ Poisson(n π) cuando n→∞ y π → 0.
: , 74
Aproximaciones
Aproximaciones
Binomial vs Poisson
0 2 4 6 8
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
n = 10
0 5 10 15 20 25 30
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
n = 50
10 20 30 40 50
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
n = 100
π = 0.3
Binomial(n,π)
Poisson(nπ)
: , 75
Aproximaciones
Aproximaciones
Binomial vs Poisson
0 1 2 3 4 5
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
n = 10
0 2 4 6 8
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
n = 50
0 2 4 6 8 10 12
0.00
0.05
0.10
0.15
n = 100
π = 0.05
Binomial(n,π)
Poisson(nπ)
: , 76
Aproximaciones
Aproximaciones
Hipergeométrica v/s Binomial
Hipergeométrica(n, N, m) ≈ Binomial(n, π = m/N), cuando N y m son
grandes comparados con n
: , 77
Aproximaciones
Aproximaciones
Hipergeométrica v/s Binomial
0 1 2 3 4 5
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
 n = 5, m = 5, N = 10 
0 1 2 3 4 5
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
 n = 5, m = 20, N = 50 
0 1 2 3 4 5
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
 n = 5, m = 80, N = 100 
Hipergeométrica(n,N,m)
Binomial(n,π=m n)
: , 78
Aproximaciones
Aproximaciones
Teorema del Ĺımite Central
Sean X1, . . . ,Xn variables aleatorias independientes e idénticamente dis-
tribuidas (iid) con
E (Xi ) = µ y Var(Xi ) = σ
2
para todo i = 1, . . . , n. Entonces,
Zn =
n∑
i=1
Xi − n · µ
√
n σ
=
X n − µ
σ/
√
n
→ Z ∼ Normal(0, 1),
cuando n→∞.
: , 79
Aproximaciones
Aproximaciones
Teorema del Ĺımite Central
Ejemplos
Sean X1, . . . ,Xn
iid∼ Bernoulli(π), entonces para n grande se tiene que
Sn =
n∑
i=1
Xi ∼Binomial(n, π)
aprox.∼ Normal (n π, n π (1− π))
X n =
1
n
n∑
i=1
Xi
aprox.∼ Normal
(
π,
π (1− π)
n
)
: , 80
Aproximaciones
Aproximaciones
Teorema del Ĺımite Central
0 2 4 6 8 10
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
n = 10
0 10 20 30 40 50
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
n = 50
0 20 40 60 80 100
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
n = 100
Binomial(n,π)
Normal(nπ,nπ(1 − π))
: , 81
Aproximaciones
Aproximaciones
Teorema del Ĺımite Central
Ejemplos
Sean X1, . . . ,Xn
iid∼ Poisson(λ), entonces para n grande se tiene que
Sn =
n∑
i=1
Xi ∼Poisson(n λ)
aprox.∼ Normal (n λ, n λ)
: , 82
Aproximaciones
Aproximaciones
Teorema del Ĺımite Central
5 10 15 20 25 30 35
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
n = 10
60 80 100 120 140
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
n = 50
140 160 180 200 220 240 260
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
n = 100
Poisson(nλ)
Normal(nλ , nλ)
: , 83
Aproximaciones
Aproximaciones
Teorema del Ĺımite Central
Ejemplos
Sean X1, . . . ,Xn
iid∼ Exponencial(λ), entonces para n grande se tiene que
Sn =
n∑
i=1
Xi ∼Gamma(n, λ)
aprox.∼ Normal
(n
λ
,
n
λ2
)
: , 84
Aproximaciones
Aproximaciones
Teorema del Ĺımite Central
0 1 2 3 4 5
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
n = 10
5 10 15 20
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
n = 50
10 15 20 25 30 35 40
0.00
0.05
0.10
0.15
n = 100
Gamma(nλ)
Normal(n λ , n λ2)
: , 85
Aproximaciones
Aproximaciones
Teorema del Ĺımite Central
Cuando se aproxima una variable aleatoria discreta por una continua se
recomienda realizar una corrección por continuidad.
Por ejemplo, sea X una variable aleatoria Binomial(n, π) la cual puede ser
aproximada por una Normal(n π, n π (1− π)). Tenemos que
P(X ≤ x) = P(X < x + 1) = P(X < x + 0.5), con x ∈ R
: , 86
Aproximaciones
Aproximaciones
Teorema del Ĺımite Central
Consideremos n = 100, π = 1/2 y x = 40:
P(X ≤ 40) =
[40]∑
k=0
(100
k
)
π
k (1− π)100−k = 0.02844397 [Valor Exacto]
P(X ≤ 40) ≈ Φ
(
40− 100 · 0.5
√
100 ·
√
0.5 · (1− 0, 5)
)
= 0.02275013
P(X < 40.5) ≈ Φ
(
40.5− 100 · 0.5
√
100 ·
√
0.5 · (1− 0, 5)
)
= 0.02871656 [Corrección por Continuidad]
P(X < 41) ≈ Φ
(
41− 100 · 0.5
√
100 ·
√
0.5 · (1− 0, 5)
)
= 0.03593032
: , 87
	Introducción
	Distribuciones de Probabilidad Usuales
	Distribución Uniforme Discreta
	Distribución Binomial y Bernoulli
	Distribución Geométrica
	Distribución Binomial Negativa
	El Proceso de Poisson y la Distribución de Poisson
	Distribución Hipergeométrica
	Distribución Uniforme Continua
	Distribución Normal
	Distribución Exponencial
	Distribución Gamma
	Otras Distribuciones de Probabilidad
	Distribución Beta
	Distribución Log-Normal
	Aproximaciones
	Aproximaciones de la Binomial y Hipergeométrica
	Teorema del Límite Central (TLC)