Distribuciones discretas - Poisson - Cesar Garcia (1)

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Distribuciones discretas: Poisson 
Este proceso caracteriza la ocurrencia de eventos en el tiempo o en el 
espacio. Un proceso de este tipo es llamado proceso de Poisson que 
da lugar a varios modelos: El de Poisson es de tipo discreto y los de 
tipo continuo son conocidos como exponencial y gamma. Las hipótesis 
del proceso de Poisson son: 
1) En cada intervalo de tiempo o espacio, puede ocurrir 
aleatoriamente un solo evento. 
2) La ocurrencia del evento es independiente de los que ocurren en 
otros intervalos. 
3) La probabilidad de ocurrencia del evento es el intervalo 
proporcional al tamaño del intervalo. La constante de 
proporcionalidad λ es la tasa media de ocurrencia. 
La distribución de Poisson, parte de la distribución binomial: 
Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento un 
número "n" muy elevado de veces y la probabilidad de éxito "p" en 
cada ensayo es reducida o cercana a 0, entonces se aplica el modelo 
de distribución de Poisson. 
Definición: Sea X la v. a. discreta que caracteriza el número de 
ocurrencias en un periodo t y sea λ la tasa media de ocurrencias por 
unidad de tiempo, por lo que el número total de ocurrencias en el 
periodo será c=λt. Si se divide el periodo t en n intervalos de manera 
que cumplan las 3 hipótesis antes citadas, la probabilidad de 
ocurrencia en cada intervalo será de P=c/n . Si se considera la 
ocurrencia como éxito, la variable aleatoria X estará distribuida según 
un modelo binomial con probabilidad P y tamaño n->∞, con lo que se 
garantiza intervalos suficientemente pequeños. Por lo tanto: 
 
2 
( ) lim 1
x n x
X n x
n c cP x
x n n
−
→
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
 al desarrollar y simplificar queda 
finalmente el modelo de Poisson ( ) ( )lim
! !
x tx c
X n x
t ec eP x
x x
λλ −−
→
= = otra 
expresión equivalente y más conocida es 
( ) 1, 2, 3, ...
!
−= = =
x
XP X x e xx
λ λ 
A continuación se explicará: 
El número e es 2.71828 y λ= n * p (es decir, el número de veces n 
que se realiza el experimento multiplicado por la probabilidad p de 
éxito en cada ensayo), x es el número de éxito cuya probabilidad se 
está calculando. 
 
Ejemplo 1: La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0.02 
cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, ¿cual es la 
probabilidad de tener 3 accidentes? 
 
Ejemplo 2: 
La probabilidad de que un niño nazca pelirrojo es de 0.012. ¿Cuál es 
la probabilidad de que entre 800 recién nacidos haya 5 pelirrojos? 
Media y la varianza para la distribución de Poisson 
A partir de la función generadora de momentos 
( ) ( ) ( ) !
−⎛ ⎞
= = = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑i
i i
x
X tX t xt
X
X X
eM t E e e f x e
x
λ λ se obtiene 
( )= =X E Xµ λ y ( ) ( ) ( ) 22 2X Var X E X E Xσ λ= = − = respectivamente. 
 
3 
Ejemplo: El número promedio de llamadas telefónicas que llegan al 
conmutador de una compañía entre las 10:00 y 12:00 del día, es de 2 
llamadas por minuto. Si el conmutador tiene una capacidad para 
recibir 2 llamadas simultáneamente. a)¿Cuál es la probabilidad de que 
una persona llame y reciba la señal de ocupado? b) ¿En cuánto tiene 
que ampliarse la capacidad del conmutador de manera que la 
probabilidad de esperar la comunicación sea menor que 0.10? 
 
Distribución exponencial, su media y su variancia 
 
Se define un proceso estocástico como una función aleatoria del 
tiempo, un proceso estocástico en la teoría de líneas de espera no es 
otra cosa que un proceso de Poisson, el cual se define mediante la 
siguiente función de probabilidad. 
( ) ( ) 1,2,3,..., 0
!
xte t
P X x n
x
λ λ
λ
−
= = ≥ 
 
La distribución exponencial es la distribución de Probabilidad del 
tiempo, espacio o distancia en la que ocurre el 1er evento. 
X = (tiempo, espacio o distancia) 
X es continua 
(Ya no buscamos una distribución de Probabilidad, sino la función de 
densidad de Probabilidad). 
Definición: la variable aleatoria continua X tiene una distribución 
exponencial con parámetro β si su función de densidad esta dada por: 
 
4 
( )
1 0
0
x
e x
f x
otro caso
β
β
−⎧
>⎪= ⎨
⎪
⎩
 
Una de las aplicaciones más comunes de esta distribución es la de 
determinar el número de unidades que llegan a una estación de 
servicio en un lapso de tiempo de longitud t, cuando a ella llegan a 
razón de λ unidades por longitud de tiempo en promedio. 
La distribución exponencial de parámetro λ se utiliza para determinar 
el tiempo que transcurre hasta que llega a la estación de servicio la 
primera unidad. 
Otra forma de obtener a la función de densidad de probabilidad para la 
distribución de Exponencial es: ( ) , 0
0
te t
f x
otro caso
λλ λ−⎧ >
= ⎨
⎩
 
Su media ( ) 1X E Xµ λ= = , su variancia ( ) ( )
2
22 2 1
X E X E Xσ λ
⎛ ⎞= − = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 y 
la desviación estándar 1Xσ λ
= 
Para entender un poco más la distribución exponencial y su utilidad, 
es necesario tomar en cuenta que ésta distribución proviene de una 
distribución conocida como Gamma, ya que es un caso especial de 
esta. Ambas encuentran un gran número de aplicaciones, ya que 
juegan un papel importante problemas de confiabilidad y en la teoría 
de colas: La teoría de colas es el estudio matemático del 
comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los 
“clientes” llegan a un “lugar” demandando un servicio a un 
“servidor”, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el 
servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide 
esperar, entonces se forma la línea de espera. 
 
5 
“No importa en qué cola se sitúe: La otra siempre avanzará más rápido” 
(Primera Ley de Harper) 
“Y si se cambia de cola, aquélla en la que estaba al principio empezará a ir más 
deprisa” (Segunda Ley de Harper) 
Ejemplo: Suponer que un sistema contiene cierto tipo de 
componente cuyo tiempo de operación antes del fallo, en años, esta 
dado por T. La variable aleatoria T se moldea bien mediante la 
distribución exponencial con tiempo medio de operación antes del fallo 
β=5. Si se instalan 5 de estos componentes en diferentes sistemas, 
¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos aún funcionen al final de 
8 años?