Clase distribuciones continuas y TLC

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Notas sobre distribuciones discretas y continuas
Teorema del límite central
Probabilidad y estadística
EAS200A
Vicente Breguel Gallaher
vabreguel@uc.cl
Segundo semestre, 2017.
1. Materia y tópicos en términos de distribuciones
1.1. De carácter discreto: Modelo Poisson
El modelo de Poisson es uno bastante distinto a los vistos anteriormente, ya que será el encargado de repre-
sentar un experimento que «observa el número de sucesos que ocurren en un intervalo de tiempo (t1, t2) con
un número máximo indeterminado de sucesos». Por ejemplo, una distribución del tipo Poisson podría ser
mostrada con una variable aleatoria X que modele el «número de libros vendidos en una hora». Tal como las
anteriores modelaciones, en esta caso la variable aleatoria tendrá una función de probabilidad asociada igual
a:
px(x) =
e���x
x!
x = 0, 1, 2, 3, . . . ,1.
parametrizada por �, que será denominada como la tasa «promedio» en el intervalo de tiempo corres-
pondiente. En ese sentido, se vuelve muy importante comprender que en términos de ejercicios aplicados al
ramo, muchas veces nos entregarán un � de intervalo promedio distinto al que me interesa analizar. Por ej:
1. Si tengo que evaluar la probabilidad de que el número de libros vendidos en una hora sea igual a 5:
a) Me entregan la tasa promedio cada 5 minutos �5 min = 4 (es decir, en promedio, cada 5 minutos
se venden 4 libros).
b) Para obtener la tasa en una hora, debemos entender que una hora tiene 12 intervalos de 5 minutos,
por lo que �1 hora = 12 ⇤ 4 = 48. Lo que nos dice que en 1 hora (considerando que cada 5 minutos
se venden 4 libros) se venderán, en promedio, 48 libros.
c) Lo anterior permite obtener la probabilidad solicitada:
p(X = 5) =
e�48 ⇤ 485
5!
lo que se puede obtener facilmente utilizando la calculadora.
Finalmente, como todas las distribuciones ya señaladas, esta tiene una esperanza y varianza asociadas e
iguales a:
E(X) = �
V (X) = �
1
1.2 Distribuciones continuas 1 MATERIA Y TÓPICOS EN TÉRMINOS DE DISTRIBUCIONES
1.2. Distribuciones continuas
1.2.1. Distribución uniforme
La distribución uniforme es aquella que -de manera continua- se mueve entre valores definidos como a y by
que asigna «equiprobabilidad» a cada uno de los valores posibles dentro del dominio. En estos casos, y dado
que estamos en una situación de carácter continuo, tendrá una función densidad asociada igual a:
fx(x) =
(
1
b�a si a  x  b
0 en otro caso.
La más utilizada es la uniforme que se mueve en el intervalo unitario (0, 1), es decir, si tenemos una variable
aleatoria X que distribuye de manera uniforme entre esos valores, tendremos que X ⇠ U(0, 1), en términos
de notación. Ahora, como todas las distribuciones, tiene una media y una varianza asociada igual a:
E(X) =
bˆ
a
x ⇤ 1
b� adx 99K E(X) =
a+ b
2
V (X) = E(X2)� E(X)2 = (b� a)
2
12
1.2.2. Distribución exponencial
La distribución exponencial representará el tiempo transcurrido entre dos sucesos consecutivos, con una tasa
✓ de ocurrencia entre ese intervalo de tiempo. En estos casos, tendrá una función de densidad y una función
de probabilidad acumulada que detallamos a continuación:
fx(x) =
(
✓e�✓x si x � 0
0 en otro caso.
Fx(x) = P (X  t) =
(
1� e�✓t si t � 0
0 en otro caso.
y, al igual que en casos anteriores, su esperanza y varianza asociada es:
E(X) =
1
✓
V (X) =
1
✓2
Relación exponencial - Poisson
El tiempo entre 2 sucesos consecutivos de una distribución Poisson de parámetro � será una exponencial
de parámetro ✓ = �. Es decir, si definimos la variable aleatoria T = tiempo entre dos sucesos consecutivos
de Poisson de parámetro �, esto necesariamente implicará que T ⇠ exp(�).
1.2.3. Generalización del caso exponencial: Distribución gamma.
La distribución gamma propiamente tal la utilizaremos poco en el curso. Lo que si aplicaremos constantemente
es la generalización que permite aplicar al caso exponencial, ya que en estos casos la distribución gamma
representará el tiempo transcurrido en 2 o más sucesos consecutivos. En ese sentido, si tenemos una variable
aleatoria X que es una gamma de parámetros ↵ y �, tendremos que X ⇠ Gamma(↵,�) en términos de
notación y, además, tendremos asociada una función densidad del tipo:
fx(x) = cx
↵�1e�
x
� x � 0
2
1 MATERIA Y TÓPICOS EN TÉRMINOS DE DISTRIBUCIONES 1.2 Distribuciones continuas
c =
1
�(↵)�↵
y tendrá esperanza y varianza asociada e igual a:
E(X) = ↵�
V (X) = ↵�2
1) Lo importante: Relación gamma y poisson
Como el caso de la distribución gamma es una generalización del caso exponencial, el tiempo entre (n + 1)
sucesos consecutivos de una poisson de parámetro � distribuirá como una gamma de parámetros ↵ y �, que
representarán lo siguiente:
1. ↵ : El parámetro ↵ será {(n+ 1)� 1} es decir, la cantidad de sucesos que hay entre el primero y el
último: n.
2. � : Será el inverso de la tasa media de la distribución poisson, es decir, � = 1� .
Es decir, tendremos que si T = tiempo entre (n+1) sucesos de poisson (�), T ⇠ Gamma(↵ = n,� = 1� )
De este modo, podemos notar que si tenemos el tiempo entre 2 sucesos de poisson, será una gamma de ↵ = 1
y � = 1� , lo que llevado a la función de densidad me entrega:
fx(x) =
1
� (1)|{z}
1
⇤ 1�
⇤ x(↵=1�1)| {z }
1
e�x� 99K �e��x
que es una exponencial, y de ese modo corroboramos que es solo una generalización.
2) Para obtener probabilidades: Relación gamma y poisson
Cuando queramos obtener la probabilidad de que el tiempo T (entre n+1 sucesos de poisson de parámetro
�) sea MAYOR a un valor puntual, podremos aplicar la siguiente propiedad:
P (T > t) = P (N(t)  n� 1)
con
N(t) ⇠ Poisson(�t)
Ejemplo
Si tenemos que T ⇠ Gamma(↵ = 10,� = 2) y me piden obtener: P (T  5)
lo primero que debo hacer es reescribir la probabilidad para que me de mayor a un número:
P (T  5) = 1-P (T > 5)
y como sabemos que para P (T > 5) podemos usar la aproximación, me quedaría lo siguiente:
1� P (N(5)  10� 1) 99K 1� P (N(5)  9)
como sabemos que N(5) ⇠ Poisson(� ⇤ 5) y tenemos que � = 1� 99K 2 = 1� ! � = 12 . De ese modo,
N(5) ⇠ Poisson(� = 52 ). Por lo tanto, la probabilidad solicitada será:
P (T  5) = 1�
9X
i=1
e�
5
2 ⇤
�
5
2
�i
i!
3
1.2 Distribuciones continuas 1 MATERIA Y TÓPICOS EN TÉRMINOS DE DISTRIBUCIONES
1.2.4. Distribución Normal
La distribución normal es una de las más utilizadas a lo largo de este curso, por lo que es muy importante
entenderla bien desde un principio. Para comenzar, tiene una función de densidad asociada igual a la siguiente
formulación: Si X ⇠ Normal(µ,�2):
fx(x) =
1p
2⇡�
e�
1
2{ x�µ� }2
y está parametrizada por su media (E(X)) µ y su varianza (v(x)) �2, ambos fijos. Una propiedad muy im-
portante es que su función de densidad es simetrica, y se puede representar como una campana de gauss,
centrada en µ y con amplitud igual a �.
Una distribución inherente a la normal (y muy utilizada a lo largo del curso), es la distribución nor-
mal estándar, que tiene la particularidad de que su media µ = 0 y su varianza es unitaria, es decir, �2 = 1.
En ese sentido, denotaremos a la normal estándar como una variable Z ⇠ N(0, 1).
fz(z) =
1p
2⇡
e�
1
2 z
2
y va a tener la propiedad de que tendrá una tabla asociada para las probabilidad acumuladas, las cuales
denotaremos del siguiente modo:
�(t) = P (Z  t) =
tˆ
�1
1p
2⇡
e�
1
2 z
2
dz
Esta función �(t) tendrá ciertas propiedes:
�(z) ⇡ 1 para z > 4, 09
�(z) ⇡ 0 para z < �4, 09
y, también, la siguiente que es muy importante y que nos la entrega la simetría de la distribución:
�(z) = 1� �(�z)
Reducción de normales a normales estándar para obtener probabilidades
Muchas veces tendremos distribuciones normales N(µ,�2) sobre las cuales nos interesará obtener probabili-
dades. En ese sentido, tendremos que reducirla a una normal estándar para luego ir a la tabla y obtener la
probabilidad solicitada. El proceso para hacer ese cambio se detalla a continuación:
x ⇠ N(µ,�2) 99K x� µp
�2
⇠ N(0, 1)
P (x  b) = �(b� µ
�| {z }
)
z
Ejemplo
Si tenemos queX ⇠ N(170, 62)y queremos obtener P(X  155)
P (X  155) = �(155� 170
6
) = �(�2, 5)
ocupando �(z) = 1� �(�z)
�(�2,5) = 1� �(2, 5)
= 1� 0, 99379
= 0, 0062
4
2 TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
1.2.5. Distribución log-normal
La distribución log-Normal nace cuando el logaritmo propio de la función está normalmente distribuido. Es
decir, si X es una variable aleatoria normal, entonces ex tiene una distribución log-normal.
Las variables son representadas de este modo cuando pueden ser consideradas como un producto multi-
plicativo de «muchos pequeños factores independientes». Uno de los ejemplos clásicos es un retorno a largo
plazo de una inversión: interpretándose como un producto de muchos retornos diarios.
En términos prácticos, y para efectos del interés del curso, diremos que una variable aleatoria X sigue una
distribución Log-Normal(�, ⇣2) cuando su función densidad (muy parecida a la de la normal), se comporta
del siguiente modo:
fx(x) =
1p
2⇡
1
(⇣x)
e
h
�1
2 (
ln(x)��
⇣ )
2
i
x � 0
donde
� = E(ln(x)) y ⇣2 = V(ln(x))
No nos interesará mucho trabajar con esta distribución de manera parametrizada, sino que tendrá aspectos
«prácticos» que veremos más adelante en el ejercicio.
2. Teorema del límite central
El teorema del límite central introduce el concepto de muestreo dentro de una población que distribuye de
cierta manera en partícular. Lo importante, es que cuando el tamaño de la muestra es grande (n > 30)
existen ciertas aproximaciones que permiten conseguir una distribución normal, lo que nos facilita mucho
la obtención de cualquier resultado ya que esa es una distribución conocida y sabemos operarla de manera
sencilla.
En particular, cuando tenemos una población X con cierta distribución, si obtenemos una muestra de tamaño
n de esa población, con la característica de que esta sea iid (independientes e identicamente distribuidas)
X1, X2, . . . , Xn, cada una de ellas con:
E(Xi) = µ V (Xi) = �
2
podremos operar en particular con la suma y el promedio de esas variables aleatorias. Veamos cómo se
hace en cada situación:
1. Suma de las variables aleatorias:
Cuando tenemos que cada una de ellas tiene una media µ, sabemos que al sumar variables aleato-
rias la media de la suma es la suma de las medias, es decir, si:
E(Xi) = µ 99K E(X1 +X2 + . . .+Xn) = n ⇤ µ
Además, sabemos lo mismo para las varianzas, ya que la varianza de una suma de variables aleatorias
independientes es la suma de las varianzas, es decir, si:
V (Xi) = �
2 99K V (X1 +X2 + . . .+Xn) = n ⇤ �2
En ese sentido, el teorema del límite central nos dice que si n > 30, la suma de las variables aleatorias
se comportará como una distribución normal con los parámetros ya obtenidos. En particular:
sin � 30 99K
nX
i=1
Xi ⇠ N(nµ, n�2)
5
2 TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
2. Promedio de las variables aleatorias:
Cuando trabajamos con el promedio, sólo debemos generalizar el caso anterior, ya que se sigue cum-
pliendo el mismo supuesto de extracción de muestras iid. En ese sentido, sabiendo que un promedio se
obtiene del siguiente modo: Pn
i=1 Xi
n
= X
la distribución de este último sólo será una N(nµ, n�2) multiplicada por una constante 1n . En ese
sentido, sabemos que la constante ingresa a la media como tal, pero que ingresa a la varianza elevada
al cuadrado. Entonces:
X =
Pn
i=1 Xi
n
⇠ N(nµ
n
,
n�2
n2
) ! N(µ, �
2
n
)
Ejemplos prácticos sobre ciertas distribuciones hay muchos, aquí retratamos sólo 2:
1. Si la población es una Bernoulli de parámetro ⇡, sabemos que si sacamos una muestra iid cada elemento
de ella tendrá la misma distribución, con media ⇡ y varianza ⇡(1 � ⇡). En ese sentido, la suma y el
promedio distribuirían del siguiente modo:
nX
i=1
Xi ⇠ N(n⇡, n⇡(1� ⇡))
Pn
i=1 Xi
n
= X ⇠ N(⇡, ⇡(1� ⇡)
n
)
2. Si la población es una Poisson de parámetro �, sabemos que si sacamos una muestra iid cada elemento
de ella tendrá la misma distribución, con media � y varianza �. En ese sentido, la suma y el promedio
distribuirían del siguiente modo:
nX
i=1
Xi ⇠ N(n�, n�)
Pn
i=1 Xi
n
= X ⇠ N(�, �
n
)
6
2 TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
Problemas
Distribuciones continuas
Poisson | Exponencial - Gamma - Normal
Problema 1
Debido al nuevo paseo peatonal que se construyo en el campus san joaquín, las entradas y salidas para los
vehículos se redujeron solo a dos. Si a esto agregamos que el sistema de barreras de la concesionaria con
frecuencia presenta problemas, los usuarios demoran más tiempo en salir del Campus que lo esperado. Si en
un período de hora punta usted llega a la barrera e ingresa su ticket para que éste sea validado, pero la
maquina no lo reconoce y la barrera no se levanta.
1. ¿Cuánto debería ser el tiempo esperado de respuesta de los encargados de la concesionaria para que
lleguen y levanten manualmente la barrera y así no se acumulen más de seis autos esperando poder
salir? Suponga que en hora punta, en promedio llegan tres autos por minuto según un proceso de poisson
al sector de barreras.
2. Ocupando la aproximación Gamma-Poisson que usted ya conoce, obtenga una expresión (o número)
que muestre la probabilidad de que los encargados demoren más de 2 minutos en llegar a subir las
barreras de manera manual cuando se acumula desde el primer auto hasta el sexto en la fila.
Problema 2
El precio de una acción de una empresa que se cotiza en bolsa puede subir o bajar en el transcurso de un
año. Si definimos como X a la variación anual y asumimos que esta variación se comporta según una Normal
de media 4 u.m y varianza igual a 4 u.m2.
1. ¿Cuál sería la probabilidad de que el precio suba al cabo de un año?
2. Si usted compra 100 acciones, ¿cuál sería la probabilidad de obtener un beneficio superior a 450 u.m al
cabo de un año?
3. ¿Cuántas acciones se deben comprar para obtener al cabo de un año, un beneficio de al menos 1.000
u.m con probabilidad del 90 %?
4. Si el precio de la acción hoy es 40 u.m, y se define la rentabilidad anual (%) respecto del día de hoy
como R = X40 ⇤ 100. Determine el percentil 80% de la distribución de la rentabilidad anual de la acción
e interpretelo.
Problema 3
Se dispone de un sistema formado por dos componentes de música similares, conectados en serie y que
funcionan independientemente el uno del otro. Si es que el tiempo de vida de cada componente puede ser
modelado a través de una distribución exponencial con media 5000 horas, se pide lo siguiente:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema esté al menos 10000 horas en funcionamiento de carácter
ininterrumpido?
2. Supongamos que el sistema ya lleva 8000 horas en funcionamiento, ¿qué probabilidad hay de que llege
a las 10000 horas, es decir, que funcione al menos 2000 horas más?
7
2 TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
Problema 4
Un servicio de asistencia técnica en carretera ha comprobado que en las mañanas de los fines de semana el
número de llamadas que recibe, por término medio, es de 3 llamadas cada hora. Un operario comienza su
jornada de sábado a las 8 de la mañana. Suponiendo que las llamadas se realizan de forma independiente y
con tasa constante:
1. Cuál es la probabilidad de que reciba la primera llamada antes de las 8:15?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba 4 llamadas en las dos primeras horas de su jornada de trabajo?
3. Si lleva 10 minutos sin recibir ninguna llamada, ¿cuál es la probabilidad de que reciba una nueva llamada
en menos de 15 minutos?
Problema 5
Sean X1, . . . , Xn variables aleatorias independientes con distribución Log-Normal(�, ⇣2).
1. Proponga una distribución aproximada para:
Y = ln
 
nY
i=1
xi
! 1
n
2. Considerando � = 335, ⇣2 = 1142, n = 125. ¿Cuál es la probabilidad de que Y sea mayor a 350?
8
2 TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
Solución problema 1
1. Sabemos, por el enunciado, que si definimos la variable aleatoria Xt : «número de autos que llegan al
sector de barreras en t minutos», esta tendrá una distribución de Poisson parametrizada del siguiente
modo:
Xt ⇠ Poisson(3t)
ya que sabemos que el �1 min = 3 autos.
Ahora, si definimos la variable aleatoriaT que mide el tiempo en minutos entre que llega el pri-
mer auto y el sexto (para ver cuando pasaría hasta que los encargados lleguen a levantar la barrera
manualmente), sabemos que -al ser el tiempo entre sucesos de poisson consecutivos- tendrá una distri-
bución gamma, es decir,
T ⇠ Gamma(↵ = 5,� = 1/3)
Por tanto, al pedirnos el tiempo esperado en que lleguen los encargados nos están solicitando directa-
mente la esperanza de T (E(T )):
E(T ) = ↵� = 5 ⇤ 1
3
= 1,666667 minutos
es decir, 100 segundos.
2. Se pide explícitamente lo siguiente:
P (T > 2) 99K
por aproximación
P (N(2)  5� 1)
sabiendo que
N(2) ⇠ Poisson( 2|{z}
minutos
⇤ 3|{z}
�1 min
)
Por lo tanto, utilizando la tabla de la poisson acumulada, el resultado es trivial. Revisar tabla poisson
con � = 6 acumulando hasta el 4.
Solución problema 2
1. Tenemos que X ⇠ Normal(4, 4) y se pide:
P (X > 0) = 1� P (X  0)
= 1� �
�
0�4
2
�
= 1� �(�2)
= 1� [1� �(2)]
= �(2)
= 0,9772
2. Si cada acción es una variable X, las 100 acciones corresponderán a una nueva definida como 100X,
por lo tanto, lo pedido se reescribe del siguiente modo:
P (100X > 450) = 1� P (100X  450)
= 1� P (X  4,5)
= 1� �
� 4,5�4
2
�
= 1� �(0,25)
= 1� 0,5987
= 0, 4013
9
2 TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
3. Lo que se pide es determinar un número de acciones n tal que se cumpla que:
P (nX � 1000) = 0,9 ) 1� �
✓
1000/n� 4
2
◆
= 0,9
0,1 = �
✓
1000/n� 4
2
◆
por lo tanto,
1000/n� 4
2
= �1,28
n ⇡ 695
4. Tenemos que R = 2,5X, y como X ⇠ Normal(4, 4) 99K R ⇠ Normal(2,5 ⇤ 4, 2,52 ⇤ 4). De ese modo,
tenemos:
R ⇠ Normal(10, 25)
y se pide un valor (percentil 80 % de la población), tal que se cumpla que:
P (R  r) = 0,8 99K �
✓
r � 10
5
◆
= 0,8
r � 10
5
⇡ 0,84 (por tabla normal)
r ⇡ 14,2%
Es decir, se espera que la rentabilidad anual sea menor a un 14.2 % con una probabilidad del 80 %
(percentil).
Solución problema 3
Sea Ti el tiempo de vida en horas del componente de música i (i = 1, 2). Además, se sabe que Ti sigue
una distribución exponencial con parámetro �i y media 5000 horas. En ese sentido, podemos definir como T
(sin sub índice) al tiempo de vida en horas del sistema completo.
1. Se pide la siguiente probabilidad P (T > 10000), y considerando que ambos componentes funcionan de
manera independiente, utilizando independencia de sucesos y la ley del complemento obtenemos :
99K P (T > 10000) = P [{T1 > 10000} \ {T2 > 10000}]
99KP {T1 > 10000} ⇤ P {T2 > 10000}
(1� P (T1  10000)) ⇤ (1� P (T2  10000))
�
e�2
�2
= 0, 01832.
Ojo que hemos utilizado que P (T1  10000) = 1� e�2 = 0,86466.
2. Nos piden derechamente calcular la siguiente probabilidad:
P (T > 10,000|T > 8000)
y utilizando la definición de probabilidad condicional se obtiene que:
P (T > 10,000|T > 8000) = P (T > 10,000 \ T > 8000)
P (T > 8000)
=
P (T > 10,000)
P (T > 8000)
=
�
e�2
�2
⇣
e�
8
5
⌘2
P (T > 10,000|T > 8000) = 0,44933.
10
2 TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
Solución problema 4
Sea X la variable aleatoria que cuenta el número de llamadas que recibe cada hora un servicio de asistencia
técnica en carretera los fines de semana por la mañana. Se sabe que X sigue una distribución de Poisson con
parámetro �. Dado que E(X) = 3 llamadas por hora y � = E(X), resulta que � = 3 llamadas p/hora.
1. Lo primero es definir nuestra variable aleatoria, la cual denominaremos cómo T y mide el tiempo en
horas transcurrido entre dos llamadas consecutivas. Además, sabemos que cuando medimos dos
procesos de poisson consecutivos lo que tenemos es una exponencial de parámetro �. De ese modo,
notando la falta de memoria de la distribución exponencial, T también se puede interpretar como el
tiempo en horas que transcurre desde el instante actual hasta que se produce la primera llamada.
Finalmente, la probabilidad solicitada es:
P (T < 15min) = P (T < 0,25hr) =
0,25ˆ
0
3e�3tdt = (�e�3t)|0,250 = 1� e�0,75 = 0,52763
2. Sea Y la variable aleatoria que cuenta el número de llamadas recibidas en 2 horas. Si en 1 hora por
término medio se recibían 3 llamadas, ahora en un intervalo de tiempo el doble de grande se recibirán
por término medio el doble de llamadas, es decir 6. De modo que Y tiene una distribución poisson con
parámetro �2 horas = 6.
Nos piden P (Y = 4). Utilizando la función de probabilidad de la Poisson se verifica:
P (Y = 4) =
e�6 ⇤ 64
4!
= 0,1339.
3. Lo que nos piden ahora es:
P (T < 25min|T > 10min)
y si tenemos en cuenta que la exponencial no tiene memoria, esta probabilidad se podría calcular
mediante P (T < 15min). Sin embargo, hagamoslo utilizando la definición de probabilidad condicionada:
P (T < 25min|T > 10min) =
P (10min < T < 25min)
P (T > 10min)
 P (
1
6hr < T <
5
12hr)
P (T > 16hr)
=
´ 5
12
1
6
3e�3tdt´1
1
6
3e�3tdt
= 0,5276
Nótese que el valor obtenido coincide con el valor que nos entregaría la función de densidad exponencial
obteniendo la probabilidad de la manera alternativa mostrada más arriba P (T < 15min) = 1�e�0,75 =
0,5276.
Solución problema 5
1. Tenemos que:
Y = ln
 
nY
i=1
xi
! 1
n
=
1
n
nX
i=1
ln (Xi)
Si Xi ⇠ Log-Normal(�, ⇣2), entonces ln(X) ⇠ Normal(�, ⇣2). Por lo tanto, por el TLC:
Y ⇠ Normal
✓
�,
⇣2
n
◆
2. Luego para obtener la probabilidad solicitada basta solamente reemplazar, posteriormente estandarizar
y buscar en la tabla de la normal estándar N(0, 1) la probabilidad solicitada.
11