1. Estudie el material proporcionado, explique y de ejemplos de los siguientes conceptos: a) Variable aleatoria y sus tipos b) distribuci...

1. Conceptos

Variable aleatoria

Una variable aleatoria es una variable que puede tomar diferentes valores. Los valores que puede tomar una variable aleatoria se conocen como su dominio. La probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor particular se conoce como su función de probabilidad.

Tipos de variables aleatorias

Las variables aleatorias se pueden clasificar en dos tipos: discretas y continuas.

• Variables aleatorias discretas

Una variable aleatoria discreta es una variable que puede tomar un número finito o infinito de valores enteros. Los ejemplos de variables aleatorias discretas incluyen el número de caras en un lanzamiento de moneda, el número de puntos en un dado, y el número de personas en una familia.

• Variables aleatorias continuas

Una variable aleatoria continua es una variable que puede tomar cualquier valor en un intervalo. Los ejemplos de variables aleatorias continuas incluyen la altura de una persona, el peso de un objeto, y la temperatura del aire.

2. Clasificación de variables aleatorias

Las variables aleatorias que se presentan en el ejercicio son:

• X: el número de accidentes automovilísticos que ocurren al año en Virginia.

Esta variable aleatoria es discreta, ya que puede tomar un número finito de valores enteros. Por ejemplo, X puede ser igual a 0, 1, 2, 3, ...

• Y: el tiempo para jugar 18 hoyos de golf.

Esta variable aleatoria es continua, ya que puede tomar cualquier valor real en el intervalo [0, 24].

• M: la cantidad de leche que una vaca específica produce anualmente.

Esta variable aleatoria es continua, ya que puede tomar cualquier valor real en el intervalo [0, infinito).

• N: el número de huevos que una gallina pone mensualmente.

Esta variable aleatoria es discreta, ya que puede tomar un número finito de valores enteros. Por ejemplo, N puede ser igual a 0, 1, 2, 3, ...

• P: el número de permisos para construcción que los funcionarios de una ciudad emiten cada mes.

Esta variable aleatoria es discreta, ya que puede tomar un número finito de valores enteros. Por ejemplo, P puede ser igual a 0, 1, 2, 3, ...

• Q: el peso del grano producido por acre.

Esta variable aleatoria es continua, ya que puede tomar cualquier valor real en el intervalo [0, infinito).

3. Solución

La función de densidad de la vida útil de los frascos de medicina es:

f(x) = 0.02 * e^(-0.02x)

donde x es la vida útil en días.

a) Probabilidad de que la vida útil sea al menos 200 días

La probabilidad de que la vida útil sea al menos 200 días es igual a la integral de la función de densidad de probabilidad desde x=200 hasta infinito.

P(x \ge 200) = \int_{200}^{\infty} 0.02 * e^{-0.02x} dx
P(x \ge 200) = 1 - e^{-0.02 * 200}
P(x \ge 200) \approx 0.9803

b) Probabilidad de que la vida útil sea entre 80 y 120 días

La probabilidad de que la vida útil sea entre 80 y 120 días es igual a la integral de la función de densidad de probabilidad desde x=80 hasta x=120.

P(80 \le x \le 120) = \int_{80}^{120} 0.02 * e^{-0.02x} dx
P(80 \le x \le 120) = 0.0008 + 0.0084
P(80 \le x \le 120) \approx 0.0092