Ejercicio Medias y varianzas de combinaciones lineales de variables aleatorias (Estadística II). By Christian Miglionico

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II Corte - Actividad 4: 
Ejercicios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cagua, Diciembre, 2022 
T.S.U Christian Miglionico 
C. I: 26.681.756 
 
Estadística II 
Empresas - Empresas 
Semestre 
 
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA 
 MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA 
EDUCACION UNIVERSITARIA, CIENCIA Y 
TECNOLOGÍA 
UNIVERSIDAD PANAMERICANA DEL PUERTO 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y 
SOCIALES 
 PROCASO UNIPAP - CUAM CAGUA 
 
1- Estudie el material proporcionado, explique y de ejemplo de los procedimientos: 
 a) Medias y varianzas de combinaciones lineales de variables aleatorias 
 b) Teorema de Chebyshev 
 
2- Suponga que una tienda de abarrotes compra 5 envases de leche descremada al 
precio de mayoreo de $1.20 por envase y la vende a $1.65 por envase. Después de la 
fecha de caducidad, la leche que no se vende se retira de los anaqueles y el tendero 
recibe un crédito del distribuidor igual a tres cuartas partes del precio de mayoreo. Si la 
distribución de probabilidad de la variable aleatoria es X y el número de envases que se 
venden de este lote es 
 
 
 
 
Calcule la utilidad esperada. 
1. Medias y varianzas de combinaciones lineales de variables aleatorias. 
Estas propiedades nos permitirán ocuparnos de las esperanzas matemáticas en términos 
de otros parámetros que ya conocemos o que ya calculamos con facilidad. 
 
Si a y b son constantes, entonces, 𝐸 𝑎𝑋+𝑏 =𝑎𝐸 𝑋 +𝑏 
 
Ejemplo: 
Suponga que el numero de automóviles X que pasa por un local de lavado de autos entre 
las 4:00 p.m. y las 5:00 p.m. de cualquier viernes soleado tiene la siguiente distribución 
de probabilidad: Sea g(X) = 2X – 1 la cantidad de dinero en dólares que el administrador 
paga al operador. Calcule las ganancias esperadas del operador en este periodo 
específico. 
x 4 5 6 7 8 9 
P(X=x) 
1/12 
1/4 
1/6 
 
Ahora se procede a: 
𝐸 𝑔(𝑋) =𝐸 2𝑋−1 =𝐸 2𝑋 −1 𝐸 𝑔(𝑋) =2𝐸 𝑋 −1 Entonces 
𝐸 𝑋 = 𝑥 𝑥𝑓 𝑥 
𝐸 𝑋 = 
𝐸 𝑋 = 41 6 
x 4 5 6 7 8 9 
P(X=x) 
1/12 
1/4 
1/6 
Finalmente como 𝐸 𝑋 = 41 6 y deseando determinar 𝐸 𝑔(𝑋) =2𝐸 𝑋 −1 Reemplazamos 𝐸 
𝑔(𝑋) = −1 𝐸 𝑔(𝑋) =$12,67 
Teorema de Chebyshev. 
La desigualdad de Chebyshev , también conocida como teorema de Chebyshev, hace 
una declaración bastante amplia pero útil sobre la dispersión de datos para casi cualquier 
distribución de datos. Este teorema establece que no más de 1 / k 2 de los valores de la 
distribución estarán a más de k desviaciones estándar de la media. Visto de otra manera, 
1 – (1 / k 2 ) de los valores de la distribución estarán dentro de k desviaciones estándar 
de la media. 
 
Si bien esta ecuación a menudo da como resultado un rango relativamente amplio de 
valores, es útil porque solo requiere conocimiento de la desviación estándar y media, las 
cuales se calculan fácilmente a partir de cualquier muestra o población de datos. El 
teorema proporciona lo que podría llamarse una mirada del peor de los casos a la 
dispersión de datos dentro de cualquier distribución de datos. 
 
Fórmula de desigualdad de Chebyshev 
Para investigar este teorema, primero comparemos los cálculos con la regla empírica 68-
95-99.7 para distribuciones normales. Dado que esos números representan los datos 
que se encuentran dentro de los límites, usamos la desigualdad de Chebyshev para los 
datos dentro de los límites: 
 
Probabilidad = 1 – (1 / k 2 ) 
 
Matemáticamente, los valores menores o iguales a 1 no son válidos para este cálculo. 
Sin embargo, introducir los valores de k para 2 y 3 es relativamente sencillo: 
 
P ( k = 2) : 1 – (1/2 2 ) = 1 – 0,25 = 0,75 (75%) 
P ( k = 3) : 1 – (1/3 2 ) = 1 – 0,11 = 0,89 (89%) 
 
En estos casos, la desigualdad de Chebyshev establece que al menos el 75% de los 
datos estarán dentro de 2 desviaciones estándar de la media, y se espera que el 89% de 
los datos estén dentro de 3 desviaciones estándar de la media. Esto es menos preciso 
que los valores del 95% y 99,7% que se pueden utilizar para una distribución normal 
conocida. Sin embargo, la desigualdad de Chebyshev es cierta para todas las 
distribuciones de datos, no solo para una distribución normal. 
Ejemplo: 
Dado un rango requerido de valores, qué porcentaje de nuestros datos debería estar 
dentro de esos límites. Por ejemplo, suponga que estamos fabricando aparatos que 
pesan, en promedio, 150 gramos. Los pesos individuales son algo aleatorios debido a 
las impurezas en nuestras materias primas, pero oscilan entre 146,4 y 153,6 gramos, 
con una desviación estándar calculada de 1,188 gramos. Solo podemos mantener 
widgets que pesen entre 147 y 153 gramos. Usando la desigualdad de Chebyshev, ¿qué 
porcentaje mínimo de widgets debería estar en ese rango? 
 
En este caso, derivamos el valor k asociado, que se expresa en desviaciones estándar, 
y lo conectamos a nuestra fórmula. Tanto el límite superior como el inferior devolverán 
los mismos resultados. Usando el límite superior: 
 
k = (153 – 150) / 1,188 = 3 / 1,188 = 2,526 
 
P ( k = 2.526) : 1 – (1 / 2.526 2 ) = 1 – 0.156 = 0.843 (84.3%) 
 
Sin saber nada más sobre nuestros datos que la media y la desviación estándar, 
podemos afirmar con confianza que al menos el 84,3% de nuestros widgets caerán en el 
rango requerido. 
 
 
2. Si X es el número de envases vendido tienes que la ganancia estimada es: 
 
Estamos usando que por cada unidad vendida ganamos 1.65; que por cada una no 
vendida recibimos 3/4 de su precio de coste; y que cada una de las cinco compradas 
cuesta 1.20. 
 
 Aplicando esperanzas queda: