Ejercicio Media de una variable Aleatoria (Estadística II). By Christian Miglionico

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II Corte - Actividad 3: 
Ejercicios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cagua, Diciembre, 2022 
T.S.U Christian Miglionico 
C. I: 26.681.756 
 
Estadística II 
Empresas - Empresas 
Semestre 
 
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA 
 MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA 
EDUCACION UNIVERSITARIA, CIENCIA Y 
TECNOLOGÍA 
UNIVERSIDAD PANAMERICANA DEL PUERTO 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y 
SOCIALES 
 PROCASO UNIPAP - CUAM CAGUA 
 
1. Estudie el material proporcionado, explique y de ejemplos de los siguientes 
procedimientos: 
 a) Media de una variable aleatoria. 
 b) Varianza y covarianza de variables aleatorias. 
2. En la tabla siguente se presenta la distribución de probabilidad de X, el número de 
imperfecciones que hay en cada 10 metros de una tela sintética, en rollos continuos de 
ancho uniforme 
 
 
 
Calcule el número promedio de imperfecciones que hay en cada 10 metros de esta tela. 
 
3. En una tarea de laboratorio, si el equipo está funcionando, la función de densidad del 
resultado observado X es: 
 
 
 
 
Calcule la varianza y la desviación estándar de X 
 
https://abe.unipaponline.com.ve/mod/resource/view.php?id=103899
1. Media de una variable aleatoria. 
Dado un espacio probabilístico (E, A, p) se llama variable aleatoria X(a) a una función 
que toma valores reales y está definida para los sucesos elementales a del espacio 
probabilístico. Además se supone para cada número real x el conjunto {a / X(a) £ x }de 
sucesos elementales a en que X toma valores menores o iguales que x es un suceso de 
la familia A. El caso de variable aleatoria discreta supone además que hay un numero 
finito o numerable de valores xi tales que P[X=xi] = pi ³ 0, 
 
 
 
 Una variable aleatoria puede ser discreta o continua según sea el rango de esta función. 
 
Este conjunto de valores P[X=xi]=pi es lo que se llama la ley o distribución de la 
probabilidad de la variable X. En otras palabras se llama función de probabilidad de la 
variable aleatoria discreta X a la aplicación que asocia a cada valor xi de la variable 
aleatoria su probabilidad pi. 
 
Dada una variable aleatoria discreta X, a la función acumulativa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
Varianza y covarianza de variables aleatorias. 
La covarianza es el valor a través del cual se refleja en qué cuantía don variables 
cualesquiera varían de forma conjunta respecto de sus medias aritméticas. Así, esta 
medida nos permite conocer cómo se comportan las variables en cuestión respecto de 
otras variables. La covarianza puede adquirir valores negativos y positivos, y además 
puede adquirir valores iguales a 0. 
 
Supongamos que tenemos dos variables, X e Y, con los siguientes datos: 
X = (x1, x2, x3) = (0, 4, 8) 
Y = (y1, y2, y3) = (3, 9, 9) 
 
Ahora es el momento de calcular la media aritmética de cada una de las variables: 
X’ = (0 + 4 + 8) /3 = 4 
Y’ = (3 + 9 + 9) /3 = 7 
Una vez calculada la media aritmética hemos de calcular cuál es la covarianza. Vamos 
a ello: 
Cov (X, Y) = (0 – 4) x (3 – 7) + (4 – 4) x (3 – 7) + (8 – 4) x (9 – 7) / 3 = -2,67 
 
En este supuesto, el valor que adquiere la covarianza es menor de 0. Significa que la 
variable X y la variable Y guardan una relación negativa, de manera que X e Y son 
inversamente proporcionales la una respecto de la otra, en palabras más sencillas, 
cuando una variable aumenta, la otra variable disminuye. 
 
La covarianza se representa por 
Discretas Sean X,Y variables aleatorias discretas con distribución conjunta f(x,y). 
Entonces la covarianza de X,Y es: 
 
 
Continuas Sean X,Y variables aleatorias continuas con densidad conjunta f(x,y). 
Entonces la covarianza de X,Y es: 
 
 
2. 
 
∪ = ∈ (𝑥) = ∑ 𝑥 𝑓(𝑥)
𝑥
 
∪ = 0 𝑓(0) + 1 𝑓(1) + ⋯ + 4 𝑓(4) 
 
∪ = 0 (0.41) + 1 (0.37) + 2 (0.16) + 3(0.05) + 4 (0.01) 
 
∪ = 0.88 R//. 
 
 La distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es 
 
𝑓(𝑥) = (
3
𝑥
) (
1
4
)
𝑥
(
3
4
)
−𝑥
, 𝑥 = 0,1,2,3,4 
 
Calcule la media de X. 
 
Xi 0 1 2 3 4 
F(xi) 3
𝑥
 (
1
4
)𝑥 (
3
4
)−𝑥 
3
𝑥
 
1
4
 
 
𝑚 = ∈ (𝑥) = 𝑎° 𝑋𝑖 𝑓(𝑋𝑖) 
 
𝑚 = ∈ (𝑥) = 0 (
3
𝑥
) + 1 (
1
4
)
𝑥
+ 2 (
3
4
)
−𝑥
+ 3 (
3
𝑥
) + 4 (
1
4
) 
 
𝑚 = 11.75 R//. 
 
 
 
 
3. 𝜎2 = ∈ (𝑥) − 𝜇2 
𝜎2 = 2 ∫ 𝑥2 
1
0
(1 − 𝑥)𝑑𝑥 − 𝜇2 
𝜎2 = 2 ∫ 𝑥2 
1
0
(1 − 𝑥)𝑑𝑥 − 
1
9
 
𝜎2 = 2 (
𝑥3
3
 
1
|
0
− 
𝑥4
4
 
1
|
0
) − 
1
9
 
𝜎2 = 2 (
1
3
− 
1
4
) − 
1
9
 
𝜎2 = 
1
6
− 
1
9
 
𝜎2 = 
1
18
 
 
𝜎 = √
1
18
 → 𝜎 = 0.24 R//. 
 
𝜇 = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 
𝜇 = 2 ∫ 𝑥
1
0
 (1 − 𝑥)𝑑𝑥 
 
𝜇 = 2 (∫ 𝑥
1
0
 𝑑𝑥 ∫ 𝑥2
1
0
 𝑑𝑥) 
 
𝜇 = 2 (
𝑥2
2
 
1
|
0
− 
𝑥3
2
 
1
|
0
 ) 
 
𝜇 = 2 (
1
2
− 
1
3
) 
 
𝜇 = 
1
3
 R//.