Estudie el material proporcionado, explique y de ejemplos de los siguientes procedimientos: a) distribución de probabilidad conjunta de variable al...

Distribución de probabilidad conjunta de variable aleatoria discreta

La distribución de probabilidad conjunta de una variable aleatoria discreta X y Y es una función que describe la probabilidad de que X tome un valor x y Y tome un valor y, simultáneamente.

La función de probabilidad conjunta de una variable aleatoria discreta X y Y se puede representar de la siguiente manera:

P(X = x, Y = y)

donde:

• x es un valor posible de X.
• y es un valor posible de Y.
• P(X = x, Y = y) es la probabilidad de que X tome el valor x y Y tome el valor y.

La función de probabilidad conjunta debe satisfacer las siguientes condiciones:

• Debe ser no negativa para todos los valores de x e y.
• La suma de las probabilidades de todos los pares ordenados (x, y) debe ser igual a 1.

Ejemplo

Consideremos la siguiente distribución de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias discretas, X e Y:

x | y
-- | --
1 | 1 | 0.1
1 | 2 | 0.2
2 | 1 | 0.2
2 | 2 | 0.5

Esta distribución de probabilidad nos dice que la probabilidad de que X sea igual a 1 y Y sea igual a 1 es de 0.1. La probabilidad de que X sea igual a 1 y Y sea igual a 2 es de 0.2. La probabilidad de que X sea igual a 2 y Y sea igual a 1 es de 0.2. Y la probabilidad de que X sea igual a 2 y Y sea igual a 2 es de 0.5.

Distribución de probabilidad conjunta de variable aleatoria continua

La distribución de probabilidad conjunta de una variable aleatoria continua X y Y es una función que describe la probabilidad de que X tome un valor x y Y tome un valor y, simultáneamente.

La función de probabilidad conjunta de una variable aleatoria continua X y Y se puede representar de la siguiente manera:

f(x, y)

donde:

• x es un valor posible de X.
• y es un valor posible de Y.
• f(x, y) es la densidad de probabilidad de que X tome el valor x y Y tome el valor y.

La función de densidad de probabilidad conjunta debe satisfacer las siguientes condiciones:

• Debe ser no negativa para todos los valores de x e y.
• La integral de f(x, y) sobre el dominio de X y Y debe ser igual a 1.

Ejemplo

Consideremos la siguiente distribución de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias continuas, X e Y:

f(x, y) = e^(-x - y) / (4 * pi)

Esta distribución de probabilidad nos dice que la densidad de probabilidad de que X sea igual a x y Y sea igual a y es e^(-x - y) / (4 * pi). Esta densidad de probabilidad es no negativa para todos los valores de x e y. Además, la integral de esta densidad de probabilidad sobre el dominio de X y Y es igual a 1.

Conclusiones

La distribución de probabilidad conjunta es una herramienta importante en probabilidad y estadística. Nos permite describir la probabilidad de que dos o más variables aleatorias tomen ciertos valores simultáneamente.