Estudie el material proporcionado, explique y de ejemplo de los siguientes distribuciones: a) Binomial y multinomial b) Distribucion Hipergeométr...

Distribución binomial

La distribución binomial es una distribución discreta que describe la probabilidad de obtener un cierto número de éxitos en n ensayos independientes, cada uno con una probabilidad fija de éxito p.

La función de probabilidad de la distribución binomial es:

P(X = k) = nCk * p^k * (1 - p)^n - k

donde:

• X es la variable aleatoria que representa el número de éxitos.
• n es el número de ensayos.
• k es el número de éxitos deseados.
• p es la probabilidad de éxito en cada ensayo.

Por ejemplo, la probabilidad de que una moneda lanzada al aire caiga cara 3 veces en 5 lanzamientos es:

P(X = 3) = 5C3 * (1/2)^3 * (1/2)^2 = 10 * 1/32 * 1/4 = 5/96

Distribución multinomial

La distribución multinomial es una generalización de la distribución binomial para el caso en el que hay más de dos resultados posibles.

La función de probabilidad de la distribución multinomial es:

P(X = x1, X2, ..., Xk) = n! / x1! * x2! * ... * xk! * p1^(x1) * p2^(x2) * ... * pk^(xk)

donde:

• X1, X2, ..., Xk son las variables aleatorias que representan el número de éxitos en cada uno de los k resultados posibles.
• n es el número total de ensayos.
• p1, p2, ..., pk son las probabilidades de cada uno de los k resultados posibles.

Por ejemplo, la probabilidad de que en un grupo de 5 niños, 2 sean niñas y 3 sean niños, es:

P(X1 = 2, X2 = 3) = 5! / 2! * 3! * (1/2)^2 * (1/2)^3 = 10 * 1/32 * 1/8 = 5/256

Distribución hipergeométrica

La distribución hipergeométrica es una distribución discreta que describe la probabilidad de obtener k éxitos en n ensayos, tomados de una población de tamaño N, donde hay K éxitos en toda la población.

La función de probabilidad de la distribución hipergeométrica es:

P(X = k) = [Ck^K * C(N-n)^K-k] / C^N_n

donde:

• X es la variable aleatoria que representa el número de éxitos.
• n es el número de ensayos.
• k es el número de éxitos deseados.
• K es el número total de éxitos en la población.
• N es el tamaño de la población.

Por ejemplo, la probabilidad de que en una urna con 10 bolas, 5 sean blancas y 5 sean negras, al extraer 3 bolas, 2 sean blancas y 1 sea negra, es:

P(X = 2) = [C^2_5 * C^3_5] / C^10_3 = [10 * 10] / 120 = 5/24

Espero que esta explicación sea útil.