Ejercicio Binomial y multinomia (Estadística II). By Christian Miglionico

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III Corte - Actividad 1: 
Trabajo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cagua, Enero, 2023 
T.S.U Christian Miglionico 
C. I: 26.681.756 
 
Estadística 2 
Empresas - Empresas 
Semestre 
 
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA 
 MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA 
EDUCACION UNIVERSITARIA, CIENCIA Y 
TECNOLOGÍA 
UNIVERSIDAD PANAMERICANA DEL PUERTO 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y 
SOCIALES 
 PROCASO UNIPAP - CUAM CAGUA 
 
1. Estudie el material proporcionado, explique y de ejemplo de los siguientes 
distribuciones: 
a) Binomial y multinomial 
b) Distribucion Hipergeométrica. 
2. Se entregan dos altavoces idénticos a 12 personas y se les pide que los escuchen 
para determinar si hay alguna diferencia entre ellos. Suponga que sus respuestas son 
simplemente conjeturas. Calcule la probabilidad de que tres personas afi rmen haber 
detectado una diferencia entre los dos altavoces. 
3. Para evitar la detección en la aduana, un viajero coloca 6 comprimidos con narcóticos 
en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que aparentemente son similares. Si 
el oficial de la aduana selecciona 3 de las tabletas al azar para su análisis, ¿cuál es la 
probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión ilegal de narcóticos? 
 
La distribución binomial se relaciona con un experimento aleatorio conocido 
como experimento de Bernoulli, el cual tiene las siguientes características: 
 
 El experimento está constituido por un número finito, n, de pruebas 
idénticas. 
 
 Cada prueba tiene exactamente dos resultados posibles. A uno de ellos se 
le llama arbitrariamente éxito y al otro, fracaso. 
 
 La probabilidad de éxito de cada prueba aislada es constante para todas las 
pruebas y recibe la denominacion de p. 
 
 Por medio de la distribucion binomial tratamos de encontrar un número 
dado de éxitos en un número igual o mayor de pruebas. 
 
Puesto que sólo hay dos resultados posibles, la probabilidad de fracaso, a la que 
podemos denominar q, está dada por la diferencia 1 – p, esto es, corresponde al 
complemento de la probabilidad de éxito, y como ésta última es constante, 
entonces también lo es la probabilidad de fracaso. 
 
La probabilidad de x éxitos en n intentos está dada por la siguiente expresión: 
 
 
 
 
Esta fórmula nos dice que la probabilidad de obtener x número de éxitos 
en n pruebas, está dada por la multiplicación de n combinaciones en grupos 
de x por la probabilidad de éxito elevada al número de éxitos deseado, y por la 
probabilidad de fracaso elevada al número de fracasos deseados. 
 
Ejemplo: 
Se presentan varios ejemplos que nos ayudarán a comprender el uso de esta 
distribución. 
Un embarque de veinte televisores incluye tres unidades defectuosas. Si se inspeccionan 
tres televisores al azar, indique usted cuál es la probabilidad de que se encuentren dos 
defectuosos. Podemos verificar si se trata de una distribución binomial mediante una lista 
de chequeo de cada uno de los puntos que caracterizan a esta distribución. 
 
Una vez que hemos confirmado que se trata de una distribución binomial, aplicamos la 
expresión P(x) = nCx pxq(n-x), de modo que… 
 
P(2) = 3C2 (3/20)2(17/20)1 = 3 (0.0225)(0.85) = 0.057375 
 
El resultado obtenido es la probabilidad de que aparezcan dos aparatos de televisión 
defectuosos. Si queremos pasarlo a porcentaje, el valor se debe multiplicar por 100 %. 
 
 
 
Varianza de una variable aleatoria binomial. 
Consideremos de nueva cuenta el ejemplo Televisores. ¿Qué pasa con las 
probabilidades de los otros valores posibles para la variable aleatoria? Si hacemos los 
cálculos respectivos tendríamos… 
 
P(0) = 3C0 (3/20)0(17/20)3 = 0.614125 
 
P(1) = 3C1 (3/20)1(17/20)2 = 3(0.15)(0.7225) = 0.325125 
 
P(3) = 3C3 (3/20)3(17/20)0 = (0.003375) = 0.003375 
Si recordamos que P(2) = 0.057375, entonces podemos confirmar que… 
 
P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 1.00 
Lo que era de esperarse, puesto que los valores 0, 1, 2 y 3 constituyen el universo en el 
experimento en cuestión. 
 
Con estos valores podemos determinar la esperanza y varianza de la variable aleatoria 
considerada. Para ello, nos es útil acomodar los datos en una tabla recordando que… 
 
μ = Σ x [P(X=x)], y que, σ2 = Σ (x – μ)2 [P(X=x)] 
Parámetros de la distribución binomial. 
Si interpretamos las probabilidades anteriores en un sentido frecuentista, diríamos que 
si consideramos un número grande de realizaciones del experimento, por ejemplo, un 
millón de veces, en aproximadamente 614 125 realizaciones tendremos televisores sin 
defecto; en 325 125 veces encontraremos un televisor con defecto; en otras 57 375 
ocasiones encontraremos dos televisores con defecto; y en 33 751 veces los tres 
televisores estarían defectuosos. 
 
Calculo del promedio y la varianza. 
 
Luego… 
 
μ = 450 000/1 000 000 = 0.45 
 
Asimismo, podemos calcular la varianza 
σ2 = [614125(0-0.45)2 + 325125(1-0.45)2 + 57375(2-0.45)2 + 3375(3-0.45)2]/100 
= (124360.313 + 98350.3125 + 137843.438 + 29945.9375)/100 
= 0.3825 
 
Observa que hemos seguido fielmente las lecciones de estadística descriptiva en el 
cálculo de μ y σ, y que hemos llegado a los mismos valores que ya habíamos obtenido. 
Esto nos proporciona por lo menos un esquema con el cual podemos interpretar la 
esperanza y varianza, haciendo uso del concepto de frecuencias. 
 
Es importante darse cuenta que podemos llegar a estos mismos valores de un modo 
más sencillo si nos percatamos que… 
μ = 0.45 es precisamente el resultado que se obtiene al multiplicar el número de 
ensayos por la probabilidad de éxito, esto es, 3(0.15). 
σ2 = 0.3825 es precisamente el resultado que se obtiene al multiplicar el número de 
ensayos por la probabilidad de éxito y por la de fracaso, esto es, 3(0.15) (0.85). 
 
En otras palabras… 
 
Media y varianza de una variable aleatoria binomial 
 
μ = npσ2 = npq 
 
 
 
 
Distribución Multinomial. 
Un proceso de ensayos multinomiales es una secuencia de variables aleatorias 
independientes, distribuidas idénticamente, X=(X1,X2,…)X=(X1,X2,…) cada una de las 
cuales toma valores kk posibles. Así, el proceso de ensayos multinomiales es una simple 
generalización del proceso de ensayos de Bernoulli (que corresponde ak=2k=2). Por 
simplicidad, denotaremos el conjunto de resultados por{1,2,…,k}{1,2,…,k}, y 
denotaremos la función de densidad de probabilidad común de las variables de ensayo 
por: 
pi=P(Xj=i),i∈{1,2,…,k}(11.5.1)(11.5.1)pi=P(Xj=i),i∈{1,2,…,k} 
supuesto pi>0pi>0 para cadaii y ∑ki=1pi=1∑i=1kpi=1. En términos estadísticos, la 
secuencia XX se forma por muestreo a partir de la distribución. 
Al igual que con nuestra discusión sobre la distribución binomial, nos interesan las 
variables aleatorias que cuentan el número de veces que ocurrió cada resultado. Así, 
vamos. Por supuesto, estas variables aleatorias también dependen del parámetro (el 
número de ensayos), pero este parámetro está fijo en nuestra discusión así que lo 
suprimamos para mantener la notación simple. Tenga en cuenta que 
∑ki=1Yi=n∑i=1kYi=n así si conocemos los valoresk−1k−1 de las variables de conteo, 
podemos encontrar el valor de la variable restante. 
Yi=#{j∈{1,2,…,n}:Xj=i}=∑j=1n1(Xj=i),i∈{1,2,…,k}(11.5.2)(11.5.2)Yi=#{j∈{1,2,…,n}:Xj=i}=∑
j=1n1(Xj=i),i∈{1,2,…,k} 
Los argumentos básicos usando independencia y combinatoria pueden ser utilizados 
para derivar las densidades conjuntas, marginales y condicionales de las variables de 
conteo. En particular, recordemos la definición del coeficiente multinomial: para enteros 
no negativos (j1,j2,…,jn)(j1,j2,…,jn) con∑ki=1ji=n∑i=1kji=n, 
(nj1,j2,…,jk)=n!j1!j2!⋯jk!(11.5.3)(11.5.3)(nj1,j2,…,jk)=n!j1!j2!⋯jk! 
 
 
Distribución Conjunta 
Para enteros no negativos (j1,j2,…,jk)(j1,j2,…,jk) con∑ki=1ji=n∑i=1kji=n, 
P(Y1=j1,Y2,=j2…,Yk=jk)=(nj1,j2,…,jk)pj11pj22⋯pjkk(11.5.4)(11.5.4)P(Y1=j1,Y2,=j2…,Y
k=jk)=(nj1,j2,…,jk)p1j1p2j2⋯pkjk 
 
La distribución de Y=(Y1,Y2,…,Yk)Y=(Y1,Y2,…,Yk)se denomina distribución 
multinomial con parámetrosnn y p=(p1,p2,…,pk)p=(p1,p2,…,pk). También decimos 
que(Y1,Y2,…,Yk−1)(Y1,Y2,…,Yk−1) tiene esta distribución (recordemos que los valores 
dek−1k−1 de las variables de conteo determinan el valor de la variable restante). Por lo 
general, queda claro a partir del contexto qué significado del término distribución 
multinomial se pretende. Nuevamente, la distribución binomial ordinaria corresponde 
ak=2k=2. 
 
Distribuciones Marginales 
Para cada uno i∈{1,2,…,k}i∈{1,2,…,k},YiYi tiene la distribución binomial con 
parámetrosnn y pipi: 
P(Yi=j)=(nj)pji(1−pi)n−j,j∈{0,1,…,n}(11.5.5)(11.5.5)P(Yi=j)=(nj)pij(1−pi)n−j,j∈{0,1,…,n} 
 
Agrupación 
La distribución multinomial se conserva cuando se combinan las variables de conteo. 
Específicamente, supongamos que(A1,A2,…,Am)(A1,A2,…,Am) es una partición del 
índice establecido{1,2,…,k}{1,2,…,k} en subconjuntos no vacíos. Para 
j∈{1,2,…,m}j∈{1,2,…,m} dejar 
Zj=∑i∈AjYi,qj=∑i∈Ajpi(11.5.6)(11.5.6)Zj=∑i∈AjYi,qj=∑i∈Ajpi 
Z=(Z1,Z2,…,Zm)Z=(Z1,Z2,…,Zm) tiene la distribución multinomial con parámetros 
nn yq=(q1,q2,…,qm)q=(q1,q2,…,qm). 
Distribución Condicional 
La distribución multinomial también se conserva cuando se observan algunas de las 
variables de conteo. Específicamente, supongamos que(A,B)(A,B) es una partición del 
índice establecido{1,2,…,k}{1,2,…,k} en subconjuntos no vacíos. Supongamos 
que(ji:i∈B)(ji:i∈B) es una secuencia de enteros no negativos, indexados porBB tal 
quej=∑i∈Bji≤nj=∑i∈Bji≤n. Vamosp=∑i∈Apip=∑i∈Api. 
 
La distribución condicional de(Yi:i∈A)(Yi:i∈A) dado(Yi=ji:i∈B)(Yi=ji:i∈B) es multinomial 
con parámetrosn−jn−j y(pi/p:i∈A)(pi/p:i∈A). 
 
Las combinaciones de los resultados básicos que 
implican agrupación y condicionamiento se pueden utilizar para calcular cualquier 
distribución marginal o condicional. 
 
Momentos 
Calcularemos la media y varianza de cada variable de conteo, y la covarianza y 
correlación de cada par de variables. 
Para i∈{1,2,…,k}i∈{1,2,…,k}, la media y varianza de YiYi son 
1. E(Yi)=npiE(Yi)=npi 
2. var(Yi)=npi(1−pi)var(Yi)=npi(1−pi) 
 
Para distintosi,j∈{1,2,…,k}i,j∈{1,2,…,k}, 
1. cov(Yi,Yj)=−npipjcov(Yi,Yj)=−npipj 
2. cor(Yi,Yj)=−pipj/[(1−pi)(1−pj)]−−−−−−−−−−−−−−−−−−√cor(Yi,Yj)=−pipj/[(1−pi)(1−p
j)] 
Del último resultado, tenga en cuenta que el número de veces queii ocurre el resultado 
y el número de veces que ocurre el resultado se correlacionan negativamente, pero la 
correlación no depende de ello. 
Sik=2k=2, entonces el número de veces que ocurre el resultado 1 y el número de veces 
que ocurre el resultado 2 están perfectamente correlacionados. 
 
Ejemplos y Aplicaciones 
En el experimento de dados, seleccione el número de ases. Para cada distribución de 
troqueles, comience con un solo dado y agregue dados uno a la vez, anotando la forma 
de la función de densidad de probabilidad y el tamaño y ubicación de la barra de 
media/desviación estándar. Cuando llegue a 10 dados, ejecute la simulación 1000 veces 
y compare la función de frecuencia relativa con la función de densidad de probabilidad, 
y los momentos empíricos con los momentos de distribución. 
Supongamos que lanzamos 10 dados estándar, justos. Encuentra la probabilidad de 
cada uno de los siguientes eventos: 
1. Las puntuaciones 1 y 6 ocurren una vez cada una y las otras puntuaciones 
ocurren dos veces cada una. 
2. Las puntuaciones 2 y 4 ocurren 3 veces cada una. 
3. Hay 4 puntuaciones pares y 6 puntajes impares. 
4. Las puntuaciones 1 y 3 ocurren dos veces cada una dado que la puntuación 2 
ocurre una vez y la puntuación 5 tres veces. 
 
 
 
 
 
b) Distribucion Hipergeométrica. 
Se utiliza para calcular la probabilidad de una selección aleatoria de un objeto sin 
repetición. 
Fórmula: 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
En una jaula hay 30 pericos rusos y 20 pericos chinos, si extraemos 10 pericos al azar, 
calcular posibilidad de que 3 de ellos hablen chino. (Característica deseada) 
 
 
 
Solución: 
La probabilidad de que salgan 3 pericos que hablen chino es de 0.2259. 
 
Observaciones: 
La distribución hipergeométrica es especialmente útil en todos aquellos casos en los que 
se extraigan muestras o se realizan experiencias repetidas sin devolución del elemento 
extraído o sin retornar a la situación experimental inicial. 
 El número de repeticiones del experimento (n) es constante. 
 Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes. 
2- Se entregan dos altavoces idénticos a 12 personas y se les pide que los 
escuchen para determinar si hay alguna diferencia entre ellos. Suponga que 
sus respuestas son simplemente conjeturas. Calcule la probabilidad de que tres 
personas afirmen haber detectado una diferencia entre los dos altavoces. 
 
Solución: 
Probabilidad Binomial Datos: n = 12 P = 0.5 P(x=3) = P(x≤3) – P(x≤2) = 0.0730 – 0.0193 
= 0.0537 
R= 
Existe un 5.37% de probabilidad de que tres personas afirmen haber detectado una 
diferencia entre los dos altavoces. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Para evitar la detección en la aduana, un viajero coloca 6 comprimidos con narcóticos 
en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que aparentemente son similares. Si 
el oficial de la aduana selecciona 3 de las tabletas al azar para su análisis, ¿cuál es la 
probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión ilegal de narcóticos? 
 
a) N = 9+6 =15 total de tabletasa = 6 tabletas de narcóticon = 3 tabletas seleccionadasx 
= 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que nos indica el número detabletas de 
narcótico que se puede encontrar al seleccionar las 3 tabletas p(viajero sea arrestado 
por posesión de narcóticos) = p(de que entre las 3tabletas seleccionadas haya 1 o más 
tabletas de narcótico) 
 
 
 
 
Otra forma de resolver; p(el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = 1 – p(de 
que entre las tabletas seleccionadas no haya una sola de narcótico) 
 
 
 
 
b) p(no sea arrestado por posesión de narcóticos)