CLASE 15 - kevin Bellido

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GEOMETRÍA 
Simetría en el espacio 
 
 SIMETRÍA CON RESPECTO DE UN PUNTO 
Definición.- Dos figuras geométricas son simétricas con respecto a 
un punto denominado centro de simetría, si cada punto de una de las 
figuras tiene su simétrico en la otra figura con respecto al punto, 
denominado centro de simetría. 
 
 
 
A 
B 
C 
D 
D 
O 
B 
A 
C 
Los tetraedros ABCD y 
ABCD son simétricos 
con respecto al punto O. 
O es centro de simetría. 
 
 
CENTRO DE SIMETRÍA DE UNA FIGURA GEOMÉTRICA 
Definición.- Un figura geométrica es simétrica con respecto a un punto de 
nominado centro de simetría, si cada punto de la figura tiene su simétrico 
en la misma figura con respecto al centro de simetría. 
 
A 
F 
O 
B 
C 
D 
E 
H 
F 
El hexaedro regular ABCD – EFGH es 
simétrico respecto del punto de 
intersección de las diagonales. 
El punto O es centro de simetría. 
Observación.- Con excepción del 
tetraedro regular, todos los demás 
poliedros regulares tienen centro de 
simetría. 
SIMETRÍA RESPECTO DE UNA RECTA 
Definición.- Dos figuras geométricas son simétricas con respecto a una 
recta denominado eje de simetría, si cada punto de una de las figuras tiene 
su simétrico en la otra figura respecto de la recta denominada eje de 
simetría. 
 
Los tetraedros ABCD y 
ABCD son simétricos 
con respecto a la recta L. 
L es el Eje de simetría. 
 
A 
A 
B C 
D 
D 
B 
C 
L 
P 
 
 
 
EJE DE SIMETRÍA DE UNA FIGURA GEOMÉTRICA 
Definición.- Una figura geométrica es simétrica con respecto a una recta 
denominado eje de simetría, si cada punto de la figura tiene su simétrico en 
la misma figura con respecto al eje de simetría. 
 
 
A 
F 
B 
C 
D 
E 
H 
G 
El hexaedro regular ABCD – EFGH 
es simétrico respecto de cada recta 
que contiene a los centros de dos 
caras opuestas. 
En el hexaedro regular, se muestran 3 
ejes de Simetría de este tipo. 
 
 
El hexaedro regular ABCD – EFGH, 
es simétrico con respecto de cada 
recta que contiene a los puntos 
medios de dos aristas opuestas. 
 
 
 
 
A 
F 
B 
C 
D 
E 
H 
G 
En el hexaedro regular, se observan 6 
ejes de simetría de este tipo. 
 
En total el hexaedro regular tiene 9 
ejes de simetría. 
EJE DE SIMETRÍA DE UNA FIGURA GEOMÉTRICA 
 
 
El tetraedro regular ABCD, es simétrico 
con respecto de cada recta que 
contiene a los puntos medios de dos 
aristas opuestas. 
 
A 
B 
C 
D 
Como existen 3 pares de aristas 
opuestas, el tetraedro regular tiene 
3 ejes de simetría. 
EJE DE SIMETRÍA DE UNA FIGURA GEOMÉTRICA 
 
 
El octaedro regular E–ABCD–F, es 
simétrico con respecto de cada 
recta que contiene los puntos 
medios de dos aristas opuestas. 
 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
 
El octaedro regular tiene 6 pares de 
aristas opuestas, entonces tiene 6 
ejes de simetría de este tipo. 
EJE DE SIMETRÍA DE UNA FIGURA GEOMÉTRICA 
El octaedro regular E–ABCD–F, es 
simétrico con respecto a la recta 
que contiene a dos vértices 
opuestos. 
 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
El octaedro regular tiene 3 pares 
de vértices opuestos, luego tienen 
3 ejes de simetría. 
 
El octaedro regular tiene 9 ejes de 
simetría. 
EJE DE SIMETRÍA DE UNA FIGURA GEOMÉTRICA 
 
 
 SIMETRÍA RESPECTO DE UN PLANO 
Definición.- Dos figuras geométricas son simétricas con respecto a un 
plano denominado plano de simetría, si cada punto de una de las figuras 
tiene su simétrico en la otra figura con respecto al plano, denominado 
plano de simetría. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los tetraedros ABCD y ABCD son 
simétricos con respecto al plano P. 
P es plano de simetría. 
Observación: 
Dos puntos simétricos están 
contenidos en rectas perpendiculares 
al plano, y los segmentos que cada 
dos puntos simétricos determinan 
tienen su punto medio en el plano de 
simetría 
 
A 
B 
C 
D 
A 
D 
B 
C 
P 
 PLANO DE SIMETRÍA DE UNA FIGURA GEOMÉTRICA 
Definición.- Una figura geométrica es simétrica con respecto a un plano, 
denominado plano de simetría, si cada punto de la figura tiene su simétrico 
en la misma figura con respecto al plano mencionado. 
 
 
 
 
 
 
 
F 
A 
B 
C 
D 
E 
H 
G 
El hexaedro regular ABCD – EFGH, es 
simétrico con respecto al plano que 
contiene a los puntos medios de dos 
pares de aristas opuestas. 
El hexaedro regular ABCD-EFGH, tiene 3 
planos de simetría. 
 
 
El hexaedro regular ABCD – EFGH, 
es simétrico con respecto al plano 
que contiene a dos aristas opuestas. 
En total hay 6 planos de simetría de 
este tipo. 
 
 
 
 
F 
A 
B 
C 
E 
H 
G 
El hexaedro regular tiene en total 9 
planos de simetría. 
 PLANO DE SIMETRÍA DE UNA FIGURA GEOMÉTRICA 
PLANOS DE SIMETRIA EN UN TETREDRO REGULAR 
El tetraedro regular ABCD, es 
simétrico con respecto al plano 
que contiene a una arista y el 
punto medio de la arista opuesta. 
 
A 
B 
C 
D 
El tetraedro regular tiene 6 aristas y 
los respectivos puntos medios de 
las aristas opuestas. 
 
El tetraedro regular tiene 6 planos 
de simetría 
M 
GEOMETRÍA 
Prisma 
SUPERFICIE PRISMÁTICA 
Dadas una recta y una línea poligonal plana simple (abierta o cerrada), tal 
que la recta sea secante al plano que contiene a la poligonal, se denomina 
superficie prismática, a la superficie generada por la recta denominada 
generatriz, al trasladarse paralelamente a la recta dada, por todos los 
puntos de la línea poligonal denominada directriz. 
DEFINICIÓN 
C 
A 
B D 
E 
F 
P 
directriz 
superficie 
prismática 
generatriz 
Superficie prismática abierta 
 
C 
P 
D 
B 
A F 
E 
Arista 
Directriz 
Cara 
Si cada arista pertenece a dos caras, la superficie prismática es cerrada; 
en caso contrario, es abierta 
Las generatrices que pasan por los vértices de la directriz se llaman 
aristas. El conjunto de generatrices que pasan por los puntos de un 
mismo lado de la generatriz determinan una cara. 
C 
A 
B 
D 
E 
F P 
Superficie prismática cerrada 
DEFINICIONES 
PRISMA 
Se denomina prisma al poliedro determinado por la unión de la parte de una 
superficie prismática cerrada comprendida entre dos planos paralelos entre 
sí, secantes a todas las generatrices de la superficie prismática, y las dos 
secciones determinadas en los planos. 
 
L 
P 
 
 
 
 Bases: ABCDEF y ABCDEF 
 Aristas básicas: AB, AB, BC, BC, … 
 Caras laterales: ABBA, BCCB, … 
 Aristas laterales: AA, BB, CC, … 
 Altura: EH 
 Sección transversal: UVWXYZ 
 Sección recta: MNLPQR 
W X 
C D 
A 
B E 
F P 
A 
B 
C D 
E 
F 
H 
M 
N 
Q R 
U 
V Y 
Z 
Prisma recto 
Es el prisma cuyas aristas 
laterales son perpendicula-
res a las bases. 
F 
C D 
A 
B E 
A 
B 
C D 
E 
F 
Prisma hexagonal recto 
ABCDEF–ABCDEF 
Prisma regular 
Es el prisma recto cuyas 
bases son regiones poligo-
nales regulares. 
Prisma regular 
 ABC–DEF 
A 
a 
B 
C 
D 
E 
F 
a a 
a a 
a 
Prisma oblicuo 
Es el prisma cuyas aristas 
laterales no son perpendi-
culares a las bases. 
B 
C D 
A 
E 
F 
A 
B 
C D 
E 
F 
Prisma hexagonal oblicuo 
ABCDEF–ABCDEF 
Paralelepípedo 
Es el prisma cuyas bases son regiones 
determinadas por paralelogramos. 
A 
B C 
D 
E 
F G 
H 
Paralelepípedo ABCD–EFGH 
Paralelepípedo recto 
Es el paralelepípedo cuyas aristas laterales 
son perpendiculares a las bases. 
 
A 
B C 
D 
E 
F G 
H 
Paralelepípedo recto ABCD–EFGH 
Paralelepípedo rectangular 
Es el paralelepípedo recto cuyas bases son 
regiones rectangulares. 
También se denomina rectoedro u ortoedro. 
d 
A 
B C 
D 
E 
F G 
H 
a 
b 
c 
Paralelepípedo rectangular ABCD–EFGH 
2 2 2d a b c  
Paralelepípedo oblicuo 
Es el paralelepípedo cuyas aristas 
laterales no son perpendiculares a las 
bases. 
C 
A 
B 
D 
E 
F G 
H 
Paralelepípedo oblicuo ABCD–EFGH 
V abc
PRISMA RECTO 
 L BASES 2p a
T L BS S 2S A 
B 
C 
D 
E 
F 
a h 
 BV S h
A 
B 
C 
D 
E 
F 
F 
B A C 
F D E 
C 
PRISMA OBLICUO 
Teorema.- El área lateral de un prisma es igual al producto del perímetro de 
la sección recta y la longitud de la arista lateral del prisma. 
S.R. 
A 
B 
C 
D 
E 
A 
B 
C 
D 
E 
a 
 L S.R.S 2p a
T L BS S 2S 
h 
 BV S h
 S.R.V S a
Desarrollo de la superficie lateral y total de un prisma oblicuo 
Desarrollo de la superficie 
lateral y total del prisma 
triangular oblicuo ABC–
DEF. 
 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
F 
B 
A 
C 
F 
D 
E 
C