Segundos exámenes parciales (con respuestas) - Análisis Matemático II

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN 
 
SEGUNDA EVALUACIÓN DE 
 
ANÁLISIS MATEMÁTICO II 13/06/2016 TEMA 3 
______________________________________________________________________ 
 
 
1) Dado el campo , hallar el flujo saliente del campo a través de la 
porción de paraboloide . 
( zyxzyxF ,,),,( = )
)
4,22 ≤+= zyxz
 
 
2) Dado el campo , verificar el Teorema de Green en el dominio ( yxyyxF ,),( −=
{ }0,33:),( 2 ≥≤≤= xyxyxD . 
 
 
3) Resolver la siguiente ecuación diferencial 
 
1
2
1
1' 22 +
=
+
+
x
y
x
y y(0) = 4 
 
 
4) Dada la superficie ( )434,23,2),( vuvuvuvuX +++= , hallar la ecuación cartesiana 
del plano tangente a la misma en el punto ( )5,5,3 . 
 
 
5) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial 
 
xeyyy 3412'7'' =+− 
 
6) Dado el campo ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++++
=
2
,
2
),( 2222 yx
y
yx
xyxF 
a) Mostrar que es conservativo en todo el plano y hallar todos sus potenciales. 
 
b) Hallar la integral del campo desde el punto ( )0,0 hasta el punto ( )0,2π sobre la 
cicloide ( )ttt cos1,sin −− . 
 
 
7) Hallar el área de la superficie ( ) [ ] [ ]π2,0,4,1,,sin3,cos3 ∈∈ vuuvuvu 
 
 
 
 
 
 
 
Respuestas 
 
 
 
1) π8 
 
 
2) 4/34/3 =
 
 
3) xey arctan22 −+= 
 
 
4) 11412 −=++− zyx 
 
 
5) xxx exececy 342
3
1 4−+=
 
 
6) a) ( ) cyxyx +++= 2log
2
1),( 22φ 
b) ( ) 2log
2
124log
2
1 2 −+π 
 
7) π9015 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN 
 
SEGUNDA EVALUACIÓN DE 
 
ANÁLISIS MATEMÁTICO II 18/06/2014 TEMA 1 
______________________________________________________________________ 
 
1) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial 
 
xeyyy 416'8''  
 
2) Dado el campo: 
 2233223 343,4916),( xyyxxyxyyxxyxF  
a) Mostrar que es conservativo en todo el plano y hallar todos sus potenciales. 
b) Calcular la integral del campo sobre la astroide  tt 33 sin,cos desde el punto (1, 0) 
hasta el punto (0, 1) en sentido antihorario. 
 
3) Calcular la integral 
   dyyedxxy y
D
x 22
2
cos1
2
sin








 
donde  0,4:),( 22  yyxyxD . 
 
 
4) Calcular el flujo saliente del campo 






 5
2
2
2
,2,sin32),,( sin x
z
zeyeyxzyxF xz 
a través de la frontera del sólido  21:),,( 22  zyxzyxT 
 
5) Dado el campo 






3
,
3
),(
33 xy
yxF , verificar el teorema de Green en el dominio 
 10,0:),( 2  xxyyxD 
 
 
6) Calcular el área de la superficie 224 yxz  , dónde 422  yx . 
 
 
7) Dado el campo  zyxzyxF ,,),,(  , calcular el flujo saliente a través de la superficie 
cilíndrica  41,4:),,( 22  zyxzyxS 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN 
 
SEGUNDA EVALUACIÓN DE 
 
ANÁLISIS MATEMÁTICO II 18/06/2014 TEMA 2 
______________________________________________________________________ 
 
1) Dado el campo: 
 2233223 343,4916),( xyyxxyxyyxxyxF  
a) Mostrar que es conservativo en todo el plano y hallar todos sus potenciales. 
b) Calcular la integral del campo sobre la astroide  tt 33 sin,cos desde el punto (1, 0) 
hasta el punto (0, 1) en sentido antihorario. 
 
 
2) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial 
 
xeyyy 416'8''  
 
 
3) Calcular el flujo saliente del campo 






 5
2
2 2
2
,4,cos34),,( sin2 x
z
zeyeyxzyxF xz 
a través de la frontera del sólido  21:),,( 22  zyxzyxT 
 
4) Dado el campo 






3
,
3
),(
33 xy
yxF , verificar el teorema de Green en el dominio 
 10,0:),( 2  xxyyxD 
 
 
5) Calcular la integral 
   dyyedxxy y
D
x 332
2
sin2
2
cos








 
donde  0,4:),( 22  yyxyxD 
 
 
6) Dado el campo  zyxzyxF ,,),,(  , calcular el flujo saliente a través de la superficie 
cilíndrica  51,1:),,( 22  zyxzyxS 
 
 
7) Calcular el área de la superficie 224 yxz  , dónde 422  yx . 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN 
 
SEGUNDA EVALUACIÓN DE 
 
ANÁLISIS MATEMÁTICO II 18/06/2014 TEMA 3 
______________________________________________________________________ 
 
1) Calcular la integral 
   dyyedxxy y
D
x 52
2
cos4
2
sin1









 
donde  0,9:),( 22  yyxyxD 
 
2) Dado el campo 






3
,
3
),(
33 xy
yxF , verificar el teorema de Green en el dominio 
 10,0:),( 2  xxyyxD 
 
 
3) Calcular el área de la superficie 229 yxz  , dónde 922  yx . 
 
 
4) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial 
 
xeyyy 39'6''  
 
 
5) Dado el campo: 
 2233223 622,22612),( xyyxxyxyyxxyxF  
a) Mostrar que es conservativo en todo el plano y hallar todos sus potenciales. 
b) Calcular la integral del campo sobre la astroide  tt 33 sin,cos desde el punto (1, 0) 
hasta el punto (0, 1) en sentido antihorario. 
 
 
6) Calcular el flujo saliente del campo 






 2
2
2 6
2
,35,sin45),,( sin8 x
z
zeyeyxzyxF xz 
a través de la frontera del sólido  31:),,( 22  zyxzyxT 
 
 
7) Dado el campo  zyxzyxF ,,),,(  , calcular el flujo saliente a través de la superficie 
cilíndrica  52,9:),,( 22  zyxzyxS 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN 
 
SEGUNDA EVALUACIÓN DE 
 
ANÁLISIS MATEMÁTICO II 18/06/2014 TEMA 4 
______________________________________________________________________ 
 
1) Dado el campo 






3
,
3
),(
33 xy
yxF , verificar el teorema de Green en el dominio 
 10,0:),( 2  xxyyxD 
 
 
2) Calcular el área de la superficie 229 yxz  , dónde 922  yx . 
 
 
3) Calcular la integral 
   dyyedxxy y
D
x
7cos1
2
64
2
sin








 
donde  0,9:),( 22  yyxyxD . 
 
 
4) Calcular el flujo saliente del campo 






 5
2
22 20
2
,12,3sin5),,( sin5 x
z
zeyeyxzyxF xz 
a través de la frontera del sólido  31:),,( 22  zyxzyxT 
 
 
5) Dado el campo  zyxzyxF ,,),,(  , calcular el flujo saliente a través de la superficie 
cilíndrica  32,16:),,( 22  zyxzyxS 
 
 
6) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial 
 
xeyyy 39'6''  
 
 
7) Dado el campo: 
 2233223 622,22612),( xyyxxyxyyxxyxF  
a) Mostrar que es conservativo en todo el plano y hallar todos sus potenciales. 
b) Calcular la integral del campo sobre la astroide  tt 33 sin,cos desde el punto (1, 0) 
hasta el punto (0, 1) en sentido antihorario. 
 
 
 
 
1 Respuestas. Tema 1
1) y = c1e
4x + c2xe
4x + 1
2
x2e4x
2)a) φ(x, y) = 4x4 + 3x3y − 2x2y2 − xy3 + c, b) −4
3)16/3
4) 5
6
π
5)26/105
6)π
6
(
173/2 − 1
)
7)24π
2 Respuestas. Tema 2
1) φ(x, y) = 4x4 + 3x3y − 2x2y2 − xy3 + c, b) −4
2) y = c1e
4x + c2xe
4x + 1
2
x2e4x
3) 5
6
π
4) 26/105
5) 16/3
6) 8π
7)π
6
(
173/2 − 1
)
3 Respuestas. Tema 3
1)54/3
2)26/105
3) π
6
(
373/2 − 1
)
4) y = c1e
3x + c2xe
3x + 1
2
x2e3x
2
5)φ(x, y) = 3x4 − 2x3y + x2y2 − 2xy3 + c, b) −3
6) 14
3
π
7) 54π
4 Respuestas. Tema 4
1)26/105
2) π
6
(
373/2 − 1
)
3)54/3
4)14
3
π
5)32π
6)y = c1e
3x + c2xe
3x + 1
2
x2e3x
7)φ(x, y) = 3x4 − 2x3y + x2y2 − 2xy3 + c, b) −3
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN 
 
SEGUNDA EVALUACIÓN DE 
 
ANÁLISIS MATEMÁTICO II 19/06/2015 TEMA 1 
______________________________________________________________________ 
 
1) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial 
 
xeyy =−'' 
 
 
2) Dado el campo . Hallar la integral del campo sobre la hélice 
, 
( zyxzyxF ,,),,( = )
( )ttt ,sin,cos [ ]π2,0∈t 
 
 
 
3) Dado el campo . Verificar el teorema de la divergencia en el 
sólido 
( zyxzyxF ,,),,( = )
{ }22 2280:),,( yxzzyxT −−≤≤= 
 
 
4) Dado el campo . ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ += +++ yxyxyx eyeeyxyxF222
,2),(
a) Mostrar que el campo es conservativo en todo el plano y hallar todos sus potenciales. 
b) Hallar la integral del campo sobre la cicloide ( )ttt cos1,sin −− , desde el punto 
correspondiente a 0=t hasta el punto correspondiente a π=t . 
 
 
5) Hallar el área de la superficie ( )uvvuvuvuX 4,,),( −+= , donde 
2
122 ≤+ vu 
 
 
6) Dado el campo ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−= yexxeyyxF yx sin
3
,cos
3
),( cossin
33
. Hallar la integral del 
campo sobre la frontera del dominio 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≤+= 1
94
:),(
22 yxyxD en sentido antihorario. 
 
 
 
7) Dado el campo , verificar el teorema de Green en el dominio ( yyxyxF ,),( = )
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ ≤≤≤≤= xyxyxD cos0,
2
0:),( π 
 
 
 
 
Respuestas al Tema 1 
 
Ejercicio 1. xxx exececy
2
1
21 ++=
− 
Ejercicio 2. 22π
 
Ejercicio 3. Flujo saliente a través de la frontera del sólido = Integral de la 
divergencia en el sólido = π48 
 
Ejercicio 4. a) Potenciales: ceyyx yx += +
2
),(ϕ
b) 2
2
2 +πe
 
Ejercicio 5. ( )15
6
2/3 −
π 
 
Ejercicio 6. π
2
39 
 
Ejercicio 7. Integral curvilínea = Integral doble = 
2
1 π− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	Respuestas al Tema 1 
	 
	Ejercicio 3. Flujo saliente a través de la frontera del sólido = Integral de la divergencia en el sólido =