Examenes finales (con respuestas) - Análisis Matemático II

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN 
DIVISIÓN MATEMÁTICA 
EXAMEN FINAL DE ANÁLISIS II 27 / 12 / 2013 
____________________________________________________________________ 
 
1) Dado el campo  xzxyyzzyxF ,,),,(  , verificar el teorema de Stokes en la 
superficie cilíndrica 422  yx , 10  z . 
 
2) Dado el campo 






x
y
x
y
yxF
2
,),(
2
2
 
a) Demostrar que es conservativo en el semiplano 0x . 
 
b) Hallar todos sus potenciales en el semiplano 0x . 
 
c) Hallar el valor de la integral curvilínea sobre la curva 
1
9
)3(
4
)5( 22



 yx
 
en sentido horario. 
 
3) Calcular el área de una esfera de radio R considerándola como una superficie de 
rotación alrededor del eje x. 
 
4) Dada la función 
49
1),(
22 yx
yxf  
a) Graficar su conjunto de definición. 
b) Estudiar sus curvas de nivel. 
 
 
5) Calcular el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje y del 
dominio plano  2,0:),( 2  xyxxyxD 
 
 
6) Calcular la integral 

D
dzdydxz 
donde  42:),,( 2222  yxzyxzyxD 
 
7) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial 
 
xeyyy  '2'' 
 
 
8) Dada la superficie  132,2,2),( 22  vuvuvuvuX , hallar la ecuación 
cartesiana del plano tangente a la misma en el punto  6,1,3 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Respuestas. Final 27 de diciembre de 2013
1) Flujo del rotor = Circulación del campo= 4π.
2) b) φ(x, y) = y
2
x
+ c. c) 0 (porque la curva es cerrada).
3) 4πR2.
4) a) {(x, y) : x2
9
+ y
2
4
≤ 1}. b)Si C = 1 la curva de nivel se reduce al punto
(0, 0). Si 0 ≤ C < 1 la curva de nivel C es la elipse
x2
9(1− C2)
+
x2
4(1− C2)
= 1
5) 5
6
π
6) 3π
7)y = c1e
x + c2xe
x + 1
2
x2ex
8)16x+ 2y − 5z = 20
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS. DIVISION MATEMATICA 
EXAMEN FINAL DE ANALISIS II 10 / 2 / 2017 
______________________________________________________________________ 
 
1) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial usando el método de 
los coeficientes indeterminados 
 
522'3'' +=++ xyyy 
 
2) Hallar el valor de la siguiente integral 
∫∫∫ ++
D
dzdydxzyx 222 
dónde { } )0(0,0,0,:),,( 2222 >≥≥≥≤++= RzyxRzyxzyxD 
 
3) Dado el campo , hallar la integral del campo 
sobre la circunferencia recorrida en sentido antihorario. 
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛−= −+−+ 1
22122 ,),( yxyx exeyyxF
122 =+ yx
 
 
4) Dado el campo ( zyxzyxF )−= ,,),,( , hallar el flujo saliente del mismo a través de 
la superficie 4,25222 ≥=++ zzyx
 
5) Dada la función 4 22 1032),( −+= yxyxf 
a) Graficar su conjunto de definición. 
b) Hallar la curva de nivel 1. 
 
 
6) Dado el campo 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++++
=
1
,
1
),(
2222 yx
y
yx
xyxF 
a) Mostrar que es conservativo en todo el plano. 
b) Hallar todos sus potenciales. 
c) Hallar la integral del campo sobre la cardioide θcos1+=r desde el punto 
correspondiente a 0=θ hasta el punto correspondiente a 
2
πθ = en sentido antihorario. 
 
7) Hallar el área de la porción de paraboloide 4,22 ≤+= zyxz
 
8) Dada la superficie 
94
22 yxz += , hallar la ecuación cartesiana del plano tangente a la 
misma en el punto (2, 3, 2). 
 
 
 
 
 
Respuestas 
 
1) 1221 +++=
−− xececy xx
2) 4
8
Rπ 
3) π2 
4) π
3
94
− 
5) b) 1
3
11
2
11
22
=+
yx 
 
6) b) cyxyx +++= 1),( 22ϕ 
c) 52 − 
 
7) ( )117
6
2/3 −
π 
 
8) 6323 =−+ zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS. DIVISION MATEMATICA 
EXAMEN FINAL DE ANALISIS II 17 / 2 / 2017 
______________________________________________________________________ 
 
1) Dado el campo , hallar el flujo saliente del 
mismo a través de la frontera del sólido 
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛= ++ 2,,),,(
2222
zeezyxF zxzy
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≤≤+= 1
94
:),,(
22
zyxzyxT . 
 
 
2) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial usando el método de 
los coeficientes indeterminados 
 
22''' +−=− xyy 
 
3) Dada la función 1),( 22 −+= yxyxf 
a) Graficar su conjunto de definición. 
b) Estudiar sus curvas de nivel. 
 
4) Dado el campo ( )yx
yx
yxyxF ,1),(
22
22
+
++
= 
a) ¿Dónde está definido? 
b) ¿Es conservativo en su conjunto de definición? Justifique 
c) Hallar la integral del campo desde el punto )0,2(− hasta el punto (0, 1) sobre la elipse 
1
4
2
2
=+ yx en sentido antihorario. 
 
 
5) Dado el campo ( )23,2),( xxyyxF = , hallar la integral del campo desde el punto 
(0, 1) hasta el punto (1, 2) sobre la parábola . 12 += xy
 
 
6) Hallar el área de la superficie 3,4 22 ≥−−= zyxz
 
 
7) Dado el campo ( zxyzyxF ,,),,( )−= , hallar el flujo saliente del campo a través de 
la superficie 3,222 ≤++= zyxz
 
8) Hallar la ecuación cartesiana de la recta tangente a la espiral de Arquímedes θ=r en 
el punto correspondiente a ππθ 4
2
+= . 
 
 
 
Respuestas 
 
1) π4 
 
2) 221 xeccy
x ++=
 
3) b) )0(1222 ≥+=+ CCyx
 
4) c) 
3
10
− 
 
5) 3 
 
6) ( )15
6
2/3 −
π 
 
7) π
2
5
− 
 
8) ππ
ππ
4
24
2
1
++
+
−= xy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS. DIVISION MATEMATICA 
EXAMEN FINAL DE ANALISIS II Septiembre de 2017 
______________________________________________________________________ 
 
1) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial aplicando el método de 
los coeficientes indeterminados 
 
28'2'' −−=− xyy 
 
 
2) Dado el campo , verificar el teorema de Green en el dominio ( yxyyxF ,),( = )
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≥≥≤+= 0,0,1
94
:),(
22
yxyxyxD 
 
3) Dada la función 221
1),(
yx
yxf
++
= 
a) Hallar su mínima derivada direccional en el punto (1, 1) y en qué dirección ocurre. 
b) Hallar su derivada direccional en el mismo punto (1, 1) y en la dirección del vector 
V = (4, 3) 
 
4) Dado el campo ( )2222 23,23),( yxyyxxyxF ++++= 
a) Mostrar que es conservativo en todo el plano y hallar todos sus potenciales. 
b) Cuál es el valor de la integral del campo desde el punto (1, 1) hasta el punto ( )0,7 
sobre el segmento que une ambos puntos. 
 
5) Dado el campo ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++= + yxzz eeyexzyxF sincos,
3
,
3
),,(
33
, hallar el flujo saliente 
del campo a través de la frontera del sólido 
{ }22222 2,0,:),,( yxzzyxzzyxT −−≤≥+≥= 
 
6) Dada la función ( )1log),( ++= yxyxf 
a) Graficar su conjunto de definición 
b) Estudiar sus curvas de nivel 
 
7) Hallar la longitud de la curva dttty
x
∫ +=
1
22 , en el intervalo [ ]2,1 
 
8) Hallar la ecuación cartesiana de la recta tangente a la curva ( )θθ sincos2 +=r en el 
punto de la curva correspondiente a 0=θ 
 
 
 
 
 
Respuestas 
 
1) xxeccy x 32 221
2 +++=
 
2) La integral curvilínea y la doble dan 4− 
 
3) a) 
9
8
− , (1, 1) 
b) 
45
14
− 
 
4) a) Es conservativo en todo el plano porque es central y sus potenciales son: 
( ) cyxyx +++= 2/3222),(ϕ 
b) 19 
 
5) π
15
4 
 
6) Las curvas de nivel son las rectas , donde c pertenece a los reales. cexy +−−= 1
 
7) 
2
5 
 
8) 2−= xy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS. DIVISION MATEMATICA 
EXAMEN FINAL DE ANALISIS II 28/09/2018 
______________________________________________________________________ 
 
1) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial aplicando el método de 
los coeficientes indeterminados 
 
xxyy sin3cos2'' +=+ 
 
2) Dado el campo 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
++++
=
++++
1
,
1
),(
2222
122122
yx
ey
yx
exyxF
yxyx
. 
a) Mostrar que es conservativo en todo el plano. 
b) Hallar todos sus potenciales. 
c) Hallar la integral del campo desde el punto (0,0) hasta el punto (1,1) sobre la parábola 
2xy = 
 
3) Dada la espiral θ=r , hallar la ecuación cartesiana de la recta tangente a la misma 
que pasa por el punto correspondiente a 
2
3πθ = . 
 
4) Hallar la integral dydx
xD
∫∫
1 , dóndeD es el triángulo limitado por las rectas 
 , y = 1 y x =1. 10=+ yx
 
 
5) Dado el campo . Verificar el teorema de la divergencia en el 
sólido 
( zxyzyxF ,,),,( = )
{ }2221:),,( yxzzyxT −−≤≤= 
 
 
6) Hallar el área encerrada por la cardioide )0()cos1( >+= aar θ 
 
7) Hallar la longitud de la curva 
θcos
1
=r , 
4
0 πθ ≤≤ 
 
8) Dada la función 1
22
),( ++= yxeyxf . Hallar su derivada direccional en el punto 
P = (1,2) y en la dirección del vector V = (3, 4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respuestas. 
 
1) xxxxxcxcy sincos
2
3sincos 21 +−+= 
 
2) a) Es conservativo porque es un campo central. b) 1
22
),( ++= yxeyxϕ c) ee −3 
 
3) π
π 2
3
3
2
−−= xy 
 
4) 9log98 +−
 
5) 
22
ππ
= 
 
6) 2
2
3 aπ 
 
7) 1 
 
8)
65
11 6e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN 
 
EXAMEN FINAL DE 
 ANÁLISIS MATEMÁTICO II 06 / 07 / 2016 
______________________________________________________________________ 
 
1) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial aplicando el método de 
los coeficientes indeterminados 
 
2'' 2 +=+ xyy 
 
2) Dado el campo ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+++= + yxezzxyzzyxF
3
,,),,(
3
2323 . Hallar el flujo saliente del 
campo a través de la frontera del sólido { }0,1:),,( 222 ≥≤++= zzyxzyxT 
 
 
3) Resolver la siguiente integral 
 
∫∫
D
dydxyx 2 
dónde 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≥≥≤+= 0,0,1:),( 2
2
2
2
yx
b
y
a
xyxD )0,0( >> ba
 
 
4) Dada la curva ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−= 2,1
2
1,1
3
)( 2
3
ttttC . Hallar su longitud en el intervalo 
 [ ]1,0∈t
 
5) Dado el campo 
( ) ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++++
= 2/32/3 2
,
2
),(
2222 yx
y
yx
xyxF 
a) Mostrar que es conservativo en todo el plano y hallar todos sus potenciales. 
b) Hallar la integral del campo sobre la cicloide ( )ttttC cos1,sin)( −−= desde el punto 
correspondiente a 0=t hasta el punto correspondiente a π=t 
 
 
6) Hallar el área encerrada por la cardioide θcos1+=r . 
 
7) Estudiar las curvas de nivel de la función 22 321),( yxyxf ++= . 
 
8) Hallar el área de la porción de paraboloide , definida en el dominio 122 ++= yxz
{ }1:),( 22 ≤+= yxyxD 
 
 
 
Respuestas 
 
1) 221 sincos xxcxcy ++=
 
2) π
15
2 
 
3) 
15
23ba 
 
4) 4/3 
 
5) a) c
yx
yx +
++
−=
2
1),(
22
φ 
b) 
2
1
6
1
2
+
+
−
π
 
 
6) π
2
3 
 
7) Si C = 1 la curva de nivel se reduce al punto (0, 0) 
Si C > 1 la curva de nivel C es la elipse centrada en el origen 
1
3
1
2
1 2
2
2
2
=
−
+
− C
y
C
x 
Si C < 1 no hay curva de nivel 
 
8) ( )15
6
2/3 −
π 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS. DIVISION MATEMATICA 
EXAMEN FINAL DE ANALISIS II 7 / 08 / 2015 
____________________________________________________________________ 
 
1) Dado el campo ( )22 ,),( xyyxF −= . Hallar la integral del campo sobre la frontera 
del dominio { }0,0,1:),( 22 ≥≥≤+= yxyxyxD recorrido en sentido antihorario. 
 
 
2) Dado el campo ( )xxyxyxyyxyxF 234,3266),( 2322 +−−+−= 
a) Mostrar que es conservativo en todo el plano. 
b) ¿Cuál es el valor de la integral del campo desde el punto (0,0) hasta el punto (1,2) 
sobre la poligonal formada por los dos segmentos , )0,( t [ ]1,0∈t y , ? ),1( t [ ]2,0∈t
 
 
3) Dado el campo ( )2222222 ,,),,( yxzxzyzzyxF ++++= . Hallar el flujo saliente 
del campo a través de la frontera del sólido 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≥≥≥≤++= 0,0,0,1:),,( 2
2
2
2
2
2
zyx
c
z
b
y
a
xzyxT , donde . 0,0,0 >>> cba
 
 
4) Dada la curva en coordenadas polares 
θsin
1
=r , donde ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡∈
2
,
4
ππθ . 
Hallar su longitud. 
 
 
 
5) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial 
 
xexyyy =+− 6'5'' 
 
 
6) Hallar el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje x del dominio 
D limitado por la cardioide θcos1+=r , [ ]πθ ,0∈ y el eje x. 
 
 
7) Hallar la ecuación cartesiana de la recta tangente a la espiral de Arquímedes θ=r 
en el punto correspondiente a πθ = . 
 
 
8) Hallar el área de la superficie cónica generada por la rotación alrededor del eje x de 
la curva , 24 += xy [ ]1,0∈x
 
 
jakimczu@mail.unlu.edu.ar 
 
1 Respuestas. Final 7 de agosto de 2015
1) 4/3
2)b) 3
3) π
8
abc2.
4) 1
5) y = c1e
2x + c2e
3x +
(
1
2
x+ 3
4
)
ex
6) 8π
3
7)y = πx+ π2
8)8π
√
17
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN 
DIVISIÓN MATEMÁTICA 
EXAMEN FINAL DE ANÁLISIS II 07 / 02 / 2014 
____________________________________________________________________ 
 
1) Hallar la longitud de la curva 








 2
3
2
2
,
3
,1)( t
t
ttC , donde  1,0t . 
 
2) a) Hallar la derivada direccional de la función 222 32),,( zyxzyxf  en el 
punto (1, 1, 1) y en la dirección del vector V = (3, 4, 0). 
b) Hallar la máxima derivada direccional en el mismo punto y en qué dirección ocurre. 
 
 
3) Calcular la integral del campo  zyxzyxF ,,),,(  sobre la página exterior del 
paraboloide 22 yxz  , 1z . 
 
 
4) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial : 
xeyyy 26'5''  
 
 
5) a) Hallar la ecuación en coordenadas polares )(rr  de la circunferencia 
2)1()1( 22  yx 
b) ¿ Para qué valores de  está definida esta ecuación? 
c) Graficar la circunferencia. 
 
 
6) Hallar el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje y del dominio 
plano  0,,1:),( 22  xxyyxyxD 
 
 
7) Dado el campo  yxyxyx exexeyxF   ,),( . Hallar la integral del campo 
sobre la cicloide  ttttC cos1,sin)(  , donde  2,0t . 
 
 
8) Calcular la integral 
 

D
dzdydxx2 
donde 






 1
259
:),,(
22
2 zyxzyxD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Respuestas. Final 7 de febrero de 2014
1) 4/3
2) a)36/5 b)
√
56 , (4, 6, 2)
3) π/2.
4) y = c1e
2x + c2e
3x − xe2x
5) a) r = −2(sin θ + cos θ). b)3
4
π ≤ θ ≤ 7
4
π. c) Indicación: Note que la
circunferencia pasa por el origen ya que el punto (0,0) verifica su ecuación
cartesiana.
6) π
3
(2−
√
2)
7)2πe2π
8)4π
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN 
DIVISIÓN MATEMÁTICA 
EXAMEN FINAL DE ANÁLISIS II 13 / 02 / 2015 
____________________________________________________________________ 
 
1) Dado el campo ( )2222 23,23),( yxyyxxyxF ++++= 
a) Mostrar que es conservativo en todo el plano. 
b) Hallar todos sus potenciales. 
c) ¿Cuál es el valor de la integral del campo desde el punto (1, 1) hasta el punto ( 7 ,0) 
sobre cualquier curva que una ambos puntos? 
 
 
2) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial 
 
2' xyy =+ 
 
 
3) Hallar el área de la superficie 225),( yxyxf −−= , . 422 ≤+ yx
 
 
4) Dado el campo ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++= + yxeeyexzyxF zz sincos,
3
,
3
),,(
33
, hallar el flujo saliente del 
campo a través de la frontera del sólido 
{ }22222 2,0,:),,( yxzzyxzzyxT −−≤≥+≥= 
 
 
5) Hallar la longitud de la curva ( )θθ sincos2 +=r , donde ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−∈ ππθ
4
3,
4
 
 
 
6) Dada la función )1log(),( ++= yxyxf . Estudiar sus curvas de nivel. 
 
 
 
7) Dado el campo . Verificar el teorema de Green en el dominio ( xyyxF 2,),( = )
{ }10,10:),( ≤≤−≤≤= xeyyxD x 
 
 
8) Dado el campo ( )2,,),,( zxyzyxF = . Verificar el teorema de la divergencia en el 
sólido cilíndrico { }10,1:),,( 22 ≤≤≤+= zyxzyxT 
 
 
jakimczu@mail.unlu.edu.ar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Respuestas. Final 13 de febrero de 2015
1) b)ϕ(x, y) = (2 + x2 + y2)
3/2
+ C c) 19
2)y = x2 − 2x+ 2 + ke−x
3) 2
√
5π
(√
5− 1
)
.
4) 4
15
π
5) 2
√
2π
6) y = −x− 1 + ec (c ∈ R)
7)Integral doble=Integral curvilinea=e− 2
8)Flujo saliente=Integral de la divergencia=π
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN 
DIVISIÓN MATEMÁTICA 
EXAMEN FINAL DE ANÁLISIS II 20 / 12 / 2013 
____________________________________________________________________ 
 
1) Calcular la integral 
dydx
yx
D
  49
1
22
 
donde 





 1
49
:),(
22 yx
yxD 
 
2) Escribir la ecuación cartesiana del plano normal y la ecuación vectorial de la recta 
tangente a la curva intersección de las siguientes dos superficies 
02 222  zyx 
33  zyx 
en el punto (1, 1, -1). 
 
3) Dada la función  
x
eyxyxf 2
1
22),(

 . Calcular su máximo y su mínimo 
absolutos y los puntos donde éstos son alcanzados en el dominio 122  yx . 
 
4) Calcular la longitud de la curva dttxf
x
 
0
12)( , donde  1,0x . 
 
5) Dado el campo 





 2,
2
,
2
),,( z
yx
zyxF verificar el teorema de la Divergencia en el 
sólido  2210:),,( yxzzyxT  . 
 
6) Hallar el área de la superficie 2216 yxz  definida en el dominio 
422  yx . 
 
7) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial 
 
xyyy sin4'4''  
 
8) Calcular la integral del campo 




 

2
,),(
22 yx
yxyxF sobre el arco de cardioide 
cos1r desde el punto correspondiente a 0 hasta el punto correspondiente a 
2

  , en sentido antihorario. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Respuestas. Final 20 de diciembre de 2013
1) 4π.
2) Recta: X(t) = (1, 1,−1) + t(1, 0, 1). Plano: x+ z = 0.
3) M =
√
e en (−1, 0) y m = 0 en (0, 0).
4) 8
3
− 2
√
2
3
5) Integral de la divergencia = Flujo saliente a través de la frontera del sólido=
5
6
π
6) 8π(4−
√
12)
7)y = c1e
−2x + c2xe
−2x − 4
25
cosx+ 3
25
sinx
8)1/6
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS. DIVISION MATEMATICA 
EXAMEN FINAL DE ANALISIS II 26/ 2 / 2016 
______________________________________________________________________ 
 
1) Hallar el área de la superficie generada por la rotación alrededor del eje y de la curva 
, donde . xy cosh= [ ]1,0∈x
 
 
2) Dada la función , hallar su máxima derivada direccional en el 
punto (1, 2). 
1),( 22 ++= yxyxf
 
 
3) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial 
 
xeyyy 36'5'' =+− 
 
 
4) Dada la función 2214),( yxyxf −−+= , hallar su máximo y su mínimo absolutos 
y los puntos donde éstos son alcanzados en su dominio de definición. 
 
 
5) Dado el campo ( )xxyyxF += 3,),( , hallar la integral del campo sobre la 
circunferencia recorrida en sentido antihorario. 122 =+ yx
 
 
6) Dado el campo ( )2,,),,( zxyzyxF = , verificar el teorema de la divergencia en el 
sólido { }1:),,( 22 ≤≤+= zyxzyxT 
 
 
7) Mostrar que el campo ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++++++
= 222222222 ,,),,( zyx
z
zyx
y
zyx
xzyxF es 
conservativo en todo el espacio privado del origen. Hallar la integral del campo sobre la 
curva ( )1,1,1)( 232 −+−+−+= ttttttC desde el punto correspondiente a hasta 
el punto correspondiente a . 
0=t
1=t
 
 
8) Hallar el área encerrada por la curva 
θθ cos2sin3
6
+
=r , donde ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡∈
4
,0 πθ . 
 
 
 
 
 
 
 
Respuestas 
 
1) 2π ( )11cosh1sinh +− 
 
2) 20 
 
3) xxx xeececy 332
2
1 ++=
 
4) M = 5 en (0,0) 
m = 4 en la frontera 122 =+ yx
 
5) π
4
3 
 
6) ππ
3
2
3
2
= 
 
7) 2log
2
13log
2
16log
2
1
=− 
 
8) 
10
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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