Unidad 3-Números complejos(1)

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Unidad 3: Los Números 
Complejos
Universidad Nacional del Nordeste
Instituto de Ciencias Criminalísticas y Criminología
CONJUNTOS NUMÉRICOS
R
N: Conjunto de los números naturales.
Z: Conjunto de los números enteros.
Q: Conjunto de los números racionales.
R: Conjunto de los números reales. 
Q
Z
N
NUMEROS NATURALES
El conjunto de los números naturales lo
representamos con el símbolo N y sirven
para contar u ordenar.
PROPIEDADES DE N
El conjunto de los números naturales es
infinito.
Tiene primer elemento. No tiene último
elemento.
 .....1,2,3,....N 
PROPIEDADES DE N
Todo número natural tiene un sucesor o
siguiente. Un número natural y su sucesor
se dicen consecutivos.
Todo número natural, excepto el uno, tiene
un antecesor.
Entre dos números naturales existe
siempre un número finito de números
naturales.
PROPIEDADES DE (N,+)
1. Ley de cierre: a, bN: a + b  N
2. Propiedad asociativa:
a,b,cN: (a + b) + c = a + (b + c)
3. Propiedad conmutativa:
a,b N: a + b = b + a 
PROPIEDADES DE (N, )
1. Ley de cierre: a, bN: a.b  N
2. Propiedad asociativa:
a,b,cN: (a.b).c = a.(b.c)
3. Propiedad conmutativa:
a, b N: a.b = b.a
4. Existencia de elemento neutro:
a N: a.1 = 1.a = a
Además de las propiedades vistas verifica:
Propiedad distributiva del producto con respecto a la
suma: a,b,cN: (a + b).c = a.c + b.c
NÚMEROS ENTEROS
Llamamos conjunto de números enteros, Z,
a la unión del conjunto de los números
naturales, el cero y el conjunto de los
opuestos de los números naturales.
Es decir:
}/{ NnnN 






NNZ }0{
,......}3,2,1{N
0
PROPIEDADES DE Z
El conjunto de los números enteros es
infinito.
No tiene primero ni último elemento.
Todo número entero tiene un sucesor. Un
número entero y su sucesor se dicen
consecutivos.
Todo número entero tiene un antecesor.
Entre dos números enteros existe siempre
un número finito de números enteros.
PROPIEDADES DE (Z,+)
1. Ley de cierre: a, bZ: a + b  Z
2. Propiedad asociativa:
a,b,cZ: (a + b) + c = a + (b + c)
3. Propiedad conmutativa:
a, b Z: a + b = b + a 
4. Existencia de elemento neutro:
a Z: a + 0 = 0 + a = a 
5. Existencia de opuesto para cada elemento:
a Z, (- a) Z / -a + a = a + (-a) = 0
PROPIEDADES DE (Z, )
1. Ley de cierre: a, bZ: a.b  Z
2. Propiedad asociativa:
a,b,cZ: (a.b).c = a.(b.c)
3. Propiedad conmutativa:
a, b Z: a.b = b.a
4. Existencia de elemento neutro:
a Z: a.1 = 1.a = a
Además de las propiedades vistas verifica:
Propiedad distributiva del producto con respecto a la
suma: a,b,cZ: (a + b).c = a.c + b.c
NÚMEROS RACIONALES
En muchas ocasiones, para medir es
necesario fraccionar la unidad y es así que
surge la idea de número fraccionario.
Las fracciones son las expresiones
numéricas de los números fraccionarios y
están dadas por el cociente entre dos
números enteros.






 0,/ bZba
b
a
Q
PROPIEDADES DE Q
 El conjunto de los números racionales es
infinito
 No tiene primero ni último elemento.
 Entre dos números racionales existe
siempre un número infinito de números
racionales.
NÚMEROS REALES
El conjunto de los números reales está
formado por la unión del conjunto de los
números Racionales y el conjunto de los
números Irracionales.
RQ  I
Los números Irracionales son aquellos que
no son racionales, es decir aquellos que no
pueden escribirse como un cociente de dos
números enteros.
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Sea R el conjunto de los números reales y las
operaciones suma (+) y producto (.) definidas
en él y una relación de orden estricto “<”.
En R se verifican los siguientes axiomas: 
(R,+)
1) Ley de Cierre: 
2) Propiedad asociativa: 
3) Propiedad conmutativa: 
4) Existencia de neutro: 
5) Existencia de opuesto: 
RyxRyx  :,
)()(:,, zyxzyxRzyx 
xyyxRyx  :,
xxRxR  0:/0
0)(/)(,  xxRxRx
(R, . ) 
6) Ley de Cierre:
7) Propiedad asociativa:
8) Propiedad conmutativa:
9) Existencia de neutro:
10) Existencia de inverso para cada elemento
no nulo:
Denotaremos a « » como:
11) Propiedad distributiva del producto con
respecto a la suma:
RyxRyx  .:,
)..()..(:,, zyxzyxRzyx 
xyyxRyx ..:, 
xxRxR  1.:/)01(,1
1./,0,  axRaxRx
zyzxzyxRzyx ..).(:,, 
1 xaa
AXIOMAS DE ORDEN 
12) Ley de Tricotomía: Dados x,y ϵ R, se verifica una, y
sólo una, de las siguientes posibilidades:
13) Propiedad Transitiva:
14) Consistencia con respecto a la suma:
15) Consistencia restringida con respecto al producto:
xyyxyx  ,,
zxzyyxRzyx  :,,
zyzxyxRzyx  :,,
zyzxzyxRzyx ..0:,, 
16) AXIOMA DEL SUPREMO: “Todo
subconjunto real no vacío y acotado
superiormente, admite supremo en R”.
Este axioma, contempla un corolario referido
al ínfimo: “Todo subconjunto real no vacío y
acotado inferiormente, admite ínfimo en R”.
Además de los 16 axiomas, R verifica dos
propiedades:
17) “Entre dos números reales distintos existe
otro número real”.
En símbolos:
18) PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES: “Dado un
número real, siempre es posible encontrar un
número natural que lo supera.” Es decir, R no
es acotado superiormente.
En símbolos:
yzxRzyxRyx  //,
xnNnRx  /,
Sean a y b  R/ a < b
1) Intervalo abierto de extremos a y b: 
(a,b) = x/xR  a < x < b
Está formado por los números reales x comprendidos 
entre a y b, excluidos ambos. 
2) Intervalo cerrado de extremos a y b: 
[a,b] = x/xR  a  x  b
Está formado por los números reales x comprendidos 
entre a y b, incluidos ambos. 
INTERVALOS REALES
3) Intervalo cerrado a izquierda y abierto a la 
derecha: 
[a,b) = x/xR  a  x < b
Está formado por los números reales x comprendidos 
entre a y b, incluido a. 
4) Intervalo abierto a izquierda y cerrado a derecha: 
(a,b] = x/xR  a < x  b
Está formado por los números reales x comprendidos 
entre a y b, incluido b. 
5) Intervalo infinito abierto de extremo a: 
(-∞,a) = x/xR  x < a
Está formado por los números reales x menores que 
a, excluido a.
6) Intervalo infinito cerrado de extremo a: 
(-∞,a] = x/xR  x  a
Está formado por los números reales x menores que 
a, incluido a. 
7) Intervalo infinito cerrado de origen a: 
[a,+∞) = x/xR  x  a
Está formado por los números reales x mayores que 
a, incluido a. 
8) Intervalo infinito abierto de origen a:
(a,+∞) = x/xR  x > a
Está formado por los números reales x mayores que 
a, excluido a. 
VALOR ABSOLUTO





 
0
0
/: 0
xsix
xsix
xRR
0x
xx 
00  xx
El valor absoluto de un número real se
define como una función:
Propiedades: 
2) 
3) 
1) 
0,,   RxSea
VALOR ABSOLUTO. PROPIEDADES
Propiedades: 
5) 
6) 
4) 
0,,   RxSea
  xxx
  xx
  xx
  xxx
axxx  
7) 
8) 
LOGARITMO: DEFINICIÓN
abca cb log
RcbRbRaSea   ,1,,Definición:
LOGARITMO. PROPIEDADES
1) El logaritmo de 1, en cualquier base es 0.
101log 0  bb
bbbb 
11log
mmm
b bbmb log
2) El logaritmo de un número igual a la base,
es 1.
3) El logaritmo de una potencia cuya base es
igual a la base del logaritmo es igual al
exponente de la potencia.
4) El logaritmo de un producto es igual a la
suma de los logaritmos de los factores.
LOGARITMO. PROPIEDADES
caca bbb loglog).(log 
5) El logaritmo de un cociente es igual a la
resta de los logaritmos del numerador, menos
el logaritmo del denominador.
ca
c
a
bbb logloglog 





6) El logaritmo de una potencia es igual al
producto del exponente por el logaritmo de la
base.
LOGARITMO. PROPIEDADES
ana b
n
b log.)(log 
7) El logaritmo de una raíz es igual al
logaritmo del radicando dividido el índice de la
raíz.
n
a
a bnb
log
log 
NÚMEROS COMPLEJOS
Definición: Se llama número complejo a todo par
ordenado de números reales. Es decir, un número
complejo tiene la forma:
Al conjunto de números complejosse lo designa
con la letra C.
Simbólicamente:
Rbaconba ,),(
}/),{( RbRabaC 
Observemos que el número complejo (1,2) es
distinto al número complejo (2,1)
NÚMEROS COMPLEJOS
La primera componente de cada par se
llama componente o parte real del número
complejo y la segunda, la componente
imaginaria del mismo.
Dado un número complejo , se
definen:
Componente real de z : 
Componente imaginaria de z: bz )Im(
),( baz 
az )Re(
NÚMEROS COMPLEJOS
Un complejo es imaginario si y sólo si su
parte real es cero.
Definición:
Un complejo es real si y sólo si su parte
imaginaria es cero. )0,(az 
),0( bz 
Sean los números complejos y 
),(),(),(21 dbcadcbazz 
),(1 baz  ),(2 dcz 
SUMA Y PRODUCTO EN C
),(),).(,(. 21 bcadbdacdcbazz 
)1,5()23,14()2,1()3,4(21  zz
)5,10())3(8),6(4()2,1).(3,4(. 21 zz
Por ejemplo: Dado y )3,4(1 z )2,1(2 z
SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS
En (C,+) se verifican los siguientes axiomas: 
1) Ley de Cierre: 
CzzCzz  2121 :,
)()(:,, 321321321 zzzzzzCzzz 
122121 :, zzzzCzz 
2) Propiedad asociativa:
3) Propiedad conmutativa:
SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS
),(),( bazbazSi 
4) Existencia de elemento neutro:
zzzCbazCz  00 :),(/)0,0(
)0,0()(/)(,  zzCzCz
),()0,0(),()0,0( bababa 
5) Existencia de elemento simétrico (opuesto): 
)0,0(),(),(  baba
PRODUCTO DE NÚMEROS COMPLEJOS
En (C, . ) se verifican los siguientes axiomas: 
1) Ley de Cierre: 
CzzCzz  2121 .:,
).(.)..(:,, 321321321 zzzzzzCzzz 
122121 ..:, zzzzCzz 
2) Propiedad asociativa:
3) Propiedad conmutativa:
PRODUCTO DE NÚMEROS COMPLEJOS
 ),( bazSi
4) Existencia de elemento neutro:
zzzCbazCz  .:),(/)0,1( 11
)0,1(./),0,0(, 11   zzCzzCz
),().0.1,.0.1(),().0,1( baabbaba 
5) Existencia de elemento simétrico: 
)0,1(., 1
2222
1 








  zz
ba
b
ba
a
z
COMPLEJOS CONJUGADOS
Definición: Dos números complejos son
conjugados si y sólo si tienen la misma
parte real y sus partes imaginarias son
números opuestos.
Ejemplo:
),(),(
__
bazbaz 
)1,2()1,2(
__
 zz
COMPLEJOS CONJUGADOS. PROPIEDADES 
1) El conjugado del conjugado de cualquier
número complejo es el mismo número
complejo.
2) El conjugado de la suma de dos números
complejos es igual a la suma de los
conjugados de dichos números.
3) El conjugado del producto de dos números
complejos es igual al producto de los
conjugados de dichos números.
zzCz  :
212121 :, zzzzCzz 
212121 ..:, zzzzCzz 
COMPLEJOS CONJUGADOS. PROPIEDADES 
4) El conjugado de una potencia es igual a la
potencia del conjugado.
5) Un número complejo es igual a su conjugado si
y sólo si es un complejo real.
  NnzzCz nn  ,:
0:  bzzCz
)0,()0,( azaz 
COMPLEJOS CONJUGADOS. PROPIEDADES 
6) La suma de un número complejo y su conjugado
es el doble de la parte real.
7) El producto de un número complejo y su
conjugado es igual a la suma de los cuadrados
de las dos componentes.
azzCz 2: 
)0,2(),(),(),( abbaababazz 
22.: bazzCz 
)0,(),(),).(,(. 2222 babaabbababazz 
LA UNIDAD IMAGINARIA. POTENCIAS.
Se llama unidad imaginaria, al número complejo
imaginario, que tiene la parte real nula y de segunda
componente igual a 1.
)1,0(i
POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
i0 = (1,0)
i1 = i = (0 , 1)
i2 = i . i = (0 , 1) . (0 , 1) = (0.0 - 1.1 , 0.1 + 1.0) = (-1 , 0) 
i3 = i2 . i = (-1 , 0) . (0 , 1) = (-1.0 – 0.1 , -1.1 + 0.0) = (0 , -1) 
i4 = i2 . i2 = (-1 , 0) . (-1 , 0) = -1 .(-1) – 0 . 0 , -1 . 0 + 0 . (-1) = (1 , 0) 
VECTORES
Existen dos clases de magnitudes:
 Las magnitudes escalares, son las que quedan
determinadas por un número y la
correspondiente unidad de medida, como la
longitud, el área, el volumen, por ej: 2m, 4kg,
etc.
 Las magnitudes vectoriales que además de su
valor numérico tiene una dirección y un sentido
determinado, como la velocidad, la fuerza y la
aceleración. Estas magnitudes vectoriales se
representan con un vector que es un segmento
orientado con una flecha.
Dados dos puntos
 En geometría elemental se consideran y
como un mismo segmento, es decir, no importa el
orden en que se toman los extremos.
 Si en los extremos se fija un orden, llamando a un
extremo “origen” y al otro simplemente “extremo”
del segmento, se dice que el segmento es un
segmento orientado, lo notamos:

 abv
___
ab
___
ba
b
a
b
a
El segmento orientado es distinto del segmento
orientado

ab

ba
bya
CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR
Un vector queda determinado por su dirección,
sentido y módulo.
La dirección del vector está dada por la dirección
de la recta R, llamada recta soporte, o la dirección de
sus paralelas.
a
b
R
CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR
El sentido del vector está dado por el orden de
los puntos , origen y extremo.

ab
bya
Se llama módulo del vector a la longitud del
segmento , y lo notamos:
___
ab

ab

 abv ||
SUMA DE VECTORES
Dado dos vectores u y v, alineados y con el mismo
sentido.
El vector suma es un vector que tiene la misma
dirección, el mismo sentido y cuyo módulo es la
suma de los módulos de u y v.
u
v
vu
SUMA DE VECTORES
Dados dos vectores u y v, alineados y con sentido
contrario.
El vector suma es un vector que tiene la misma
dirección, cuyo módulo es la diferencia de los
módulos de los vectores u y v; y el sentido será del
vector que tenga mayor módulo.
u
v
vu
SUMA DE VECTORES
Para sumar dos vectores no alineados, se aplica la
llamada regla del paralelogramo: se trasladan los
vectores de manera que tengan el punto de
aplicación común (en caso de no tenerlo), y luego
por el extremo de cada uno de ellos se traza una
paralela al otro, determinando un segmento de la
misma longitud y formando así un paralelogramo.
La diagonal de este paralelogramo es el “vector
suma”.
u
v
vu
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR
El producto de un número (un escalar) por un vector
es otro vector que tiene la misma dirección y el
mismo sentido si el número es positivo, y sentido
contrario si el número es negativo; en ambos casos
el módulo es igual al del vector original multiplicado
por el valor absoluto del escalar.
v
v2
Representación de los números complejos 
mediante vectores
Podemos representar un número complejo como
un vector con origen en el origen del sistema y
cuyo extremo es el punto determinado por el par
ordenado correspondiente.
El vector asociado a z se puede expresar como la
suma de los vectores a y bi, es decir: biaz 
biabababa  )1,0()0,1(),0()0,(),(
DISTINTAS FORMAS DE REPRESENTACIÓN 
DE UN NÚMERO COMPLEJO 
Hasta ahora definimos a los números
complejos en forma de par ordenado:
El mismo número complejo puede
expresarse en forma binómica:
Rbaconbaz  ,),(
biaz 
biabababa  )1,0()0,1(),0()0,(),(
DISTINTAS FORMAS DE REPRESENTACIÓN 
DE UN NÚMERO COMPLEJO 
FORMA DE PAR ORDENADO de un
número complejo:
FORMA BINÓMICA de un número complejo
Rbaconbaz  ,),(
biaz 
biabababa  )1,0()0,1(),0()0,(),(
Módulo de un número complejo
Dado un número complejo 
Se define el módulo de un número complejo como 
el valor positivo de la raíz cuadrada de la suma de 
los cuadrados de las componentes.
FORMA TRIGONOMÉTRICA O POLAR DE UN 
NÚMERO COMPLEJO
biaz 
22|| baz 
),0( b
)0,(a
),( baz 
Im
Re
|| z
Argumento de un número complejo
Se llama argumento de un número complejo
al ángulo positivo menor que un giro que forma el
vector que representa al complejo con el semieje real
positivo; se lo simboliza con la letra griega .
FORMA TRIGONOMÉTRICA O POLAR DE UN 
NÚMERO COMPLEJO
biaz 






 
a
b
tg
a
b
tg 1
),0( b
)0,(a
),( baz 
Im
Re

Sea un número complejo no nulo.
Las coordenadas polares del punto de coordenadas
cartesiana son: el radio vector y el
ángulo .
FORMA TRIGONOMÉTRICA O POLAR DE UN 
NÚMERO COMPLEJO
biaz  senzb
z
b
sen .||
||

),0( b
)0,(a
),( baz 
Im
Re

bya

|| z
 cos.||
||
cos za
z
a

 senizzbiaz ..||cos.|| 
)..(cos||  senizz 
Sea el número complejo
POR EJEMPLO:
iz 22
cuadranteprimerelenestá
822|| 22 z






 
4
1
.
4
1
cos.8 seniz
    451
2
2 1tgtg 
Sea el número complejo
POR EJEMPLO
iz 22






 
4
1
.
4
1
cos.8 seniz
FORMA DE PAR ORDENADO:
iz 22
)2,2(z
FORMA BINÓMICA:
FORMA TRIGONOMÉTRICA:
DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Dado los complejos:
Para dividir dos números complejos, siendo
el divisor distinto de cero, se multiplica el
dividendo y el divisor por el conjugado del
divisor.
diczbiaz  21 ,
dic
dic
dic
bia
zz
zz
z
z




 .
.
.
22
21
2
1
i
dc
adbc
dc
bdac
dc
dicbia
dic
dic
dic
bia
z
z
222222
2
1 )).((.














POR EJEMPLO: 
Sean: iziz 21,32 21 




i
i
z
z
21
32
2
1 




i
i
i
i
21
21
.
21
32
22 21
)34()62(



i
i
5
1
5
8


