Tema3_Probabilidad_EDB_2016-II

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2ESTADÍSTICA BÁSICA
TEMA 3 - PROBABILIDAD
B1
B2
B3
B4
A
(𝐴 𝑩𝟏) (𝐴 𝑩𝟐) (𝐴 𝑩𝟑) (𝐴 𝑩𝟒)
TEMA 3: Probabilidad
1. Introducción
2. Definición de probabilidad y propiedades
3. Probabilidad condicionada y total
4. Independencia de sucesos
5. Teorema de Bayes
4ESTADÍSTICA BÁSICA
SUCESO:
Ejemplo A: sacar un dos al lanzar un dado
B: sacar más de 3 al lanzar un dado
C: que el ordenador O tarde más de 10 sg en hacer la tarea T
D: que el material M1 resista el peso P
resultado de un experimento
Antes de realizar el experimento: 
¿Observaremos el suceso o no?
Probabilidad= medida de la incertidumbre sobre dicho suceso
1. Introducción
Probabilidad: medida de la incertidumbre sobre un suceso ¿ocurrirá o no?
5ESTADÍSTICA BÁSICA
EXPERIMENTO: Cualquier procedimiento de obtención de un dato, 
dadas unas condiciones de experimentación
Si obtenemos un nuevo dato manteniendo constantes las condiciones 
de experimentación estamos REPITIENDO el experimento
Conceptos importantes
Ejemplo: comprobar si una muestra del material M1 resiste el peso P
Ejemplo: cronometrar el tiempo que el ordenador O tarda en hacer la tarea T
Ejemplo: medir la longitud de una pieza del tipo T producida por la máquina M
Ejemplo: calcular el resultado de sumar 10+4
1. Introducción
6ESTADÍSTICA BÁSICA
Experimento determinista: es aquél en el que cada vez que se repite se obtiene el 
mismo resultado
¿Por qué? 
Experimento aleatorio: es aquél en el que no siempre se obtiene el mismo 
resultado = INCERTIDUMBRE
¿Por qué? 
Tipos de experimentos
porque las condiciones de experimentación 
contiene a TODOS los factores que influyen
Ejemplo: calcular el resultado de sumar 10+4
porque las condiciones de experimentación NO 
contiene a TODOS los factores que influyen. 
Ejemplo: comprobar si una muestra del material M1 resiste el peso P
Ejemplo: cronometrar el tiempo que el ordenador O tarda en hacer la tarea T
Ejemplo: medir la longitud de una pieza del tipo T producida por la máquina M
1. Introducción
7ESTADÍSTICA BÁSICA
SUCESO ELEMENTAL:
Ejemplo: Al lanzar un dado, los sucesos elementales son 1,2,3,4,5,6
Al medir el tiempo de realización de una misma tarea, los sucesos
elementales son infinitos 
cada uno de los resultados elementales del experimento aleatorio
SUCESO COMPUESTO:
Ejemplo: Al lanzar un dado, sacar un número par 𝐴: {2,4,6}
unión de sucesos elementales
SUCESO CONTRARIO o COMPLEMENTARIO:
Ejemplo: Al lanzar un dado, sacar un número par A:{2,4,6}
y su contrario será sacar impar, Ā :{1,3,5}
El suceso complementario a A , Ā , es el que se observa cuando 
no ocurre A
1. Introducción
8ESTADÍSTICA BÁSICA
ESPACIO MUESTRAL:
Ejemplo Al lanzar un dado, E={1,2,3,4,5,6}
Al medir el tiempo de realización de una tarea 𝐸 = {𝑡 ≥ 0}
conjunto de todos los sucesos posibles en un experimento. E. Se
suele definir uniendo los elementales. También se le llama el
Suceso Seguro
SUCESO IMPOSIBLE o VACÍO:
Ejemplo Al medir el tiempo de realización de una tarea Ø = {𝑡 < 0}
suceso que nunca puede observarse, Ø
1. Introducción
9ESTADÍSTICA BÁSICA
Diagrama de Venn
Representación gráfica de sucesos: nos representa los diferentes 
sucesos que pueden observarse al realizar un ‘experimento aleatorio’
E
A
B
C
1. Introducción
E
A
Ā
A  Ā =E
Ejemplo: sucesos elementales al lanzar un dado
1 2 3 4 5 6
1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6=E
10
11ESTADÍSTICA BÁSICA
A
B
A  B
Unión de sucesos o ‘suceso unión’: es el suceso que ocurre cuando ocurre 
alguno de los que se unen.
A  B o bien A + B 
Ejemplo:
A: sacar 2 ó 3 al lanzar un dado; A={2,3}
B: sacar un número par; B={2,4,6}
A+B={2,3,4,6}
1. Introducción
12ESTADÍSTICA BÁSICA
A
B
A  B
o bien AB
A
B
A  B= Ø
(sucesos disjuntos o mutuamente 
excluyentes)
Intersección de sucesos o ‘suceso intersección’: es el suceso que ocurre 
cuando los sucesos ocurren simultáneamente.
Ejemplo:
A: sacar 2 ó 3 al lanzar un dado; A={2,3}
B: sacar un número par; B={2,4,6}
AB=suceso en A y en B={2}
1. Introducción
TEMA 3: Probabilidad
1. Introducción
2. Definición de probabilidad y propiedades
3. Probabilidad condicionada y total
4. Independencia de sucesos
5. Teorema de Bayes
14ESTADÍSTICA BÁSICA
2. Definición de probabilidad y propiedades
A : suceso en el que estamos interesados. 
Hacemos el experimento y ... ¿Observaremos el suceso A?
Medida de la incertidumbre de observar A.
Probabilidad de observar el suceso A en la 
siguiente repetición del experimento aleatorio
P(A)
Probabilidad de un suceso A: es la frecuencia relativa de aparición 
del suceso si repitiésemos el experimento indefinidamente
• 0 𝑃(𝐴)1
• 𝑃(𝐸) = 1
• 𝑃(Ø) = 0
• 𝑃(Ā) = 1 − 𝑃(𝐴)
Ejemplo, A: sacar cara al lanzar una moneda
Ejemplo, B: tardar más de 10 sg en realizar una tarea
Ejemplo, C: que mañana llueva
Ejemplo, D: que apruebe la asignatura
15ESTADÍSTICA BÁSICA
A
B
Para sucesos mutuamente excluyentes
𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
A
B
Si no son mutuamente excluyentes
𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Si no restamos 𝑃(𝐴 ∩ B), estamos 
contando el suceso intersección dos 
veces
2. Definición de probabilidad y propiedades
16ESTADÍSTICA BÁSICA
Una máquina ha producido 50 piezas del Tipo I y 200 del Tipo II. Cada 
una de estas piezas puede ser defectuosa o aceptable. La distribución 
bivariante es la siguiente:
Tipo I Tipo II TOTAL
Aceptables 46 184 230
Defectuosas 4 16 20
TOTAL 50 200 250
Si seleccionamos un artículo al azar ¿Cuál es la 
probabilidad de que sea defectuoso?
Si seleccionamos un artículo al azar ¿Cuál es la 
probabilidad de que sea del Tipo II?
P(Defectuoso)=20/250=0.08
P(Tipo II)=200/250=0.80
2. Definición de probabilidad y propiedades
Ejemplo
Una máquina ha producido 50 piezas del Tipo I y 200 del Tipo II. Cada 
una de estas piezas puede ser defectuosa o aceptable. La distribución 
bivariante es la siguiente:
Tipo I Tipo II TOTAL
Aceptables 46 184 230
Defectuosas 4 16 20
TOTAL 50 200 250
Un comprador quiere una pieza del Tipo II que funcione. Se extrae una pieza al azar de las 250
¿Cuál es la probabilidad de sacar una pieza que no le valga)
Solución 1:
𝑃 no vale = 1 − 𝑃 𝑣𝑎𝑙𝑒
= 1 − 𝑃 Aceptable ∩ 𝑇𝑖𝑝𝑜 𝐼𝐼
= 1 −
184
250
= 0.264
Ejemplo
Ejemplo Una máquina ha producido 50 piezas del Tipo I y 200 del Tipo II. Cada 
una de estas piezas puede ser defectuosa o aceptable. La distribución 
bivariante es la siguiente:
Tipo I Tipo II TOTAL
Aceptables 46 184 230
Defectuosas 4 16 20
TOTAL 50 200 250
Un comprador quiere una pieza del Tipo II que funcione. Se extrae una pieza al azar de las 250
¿Cuál es la probabilidad de sacar una pieza que no le valga)
Solución 2:
P(no vale)=P(Defectuosa Tipo I)
=P(Defectuosa)+P(Tipo I)-P(Defectuosa Tipo I)
20 50 4
= + - 0.264
250 250 250

TEMA 3: Probabilidad
1. Introducción
2. Definición de probabilidad y propiedades
3. Probabilidad condicionada y total
4. Independencia de sucesos
5. Teorema de Bayes
20ESTADÍSTICA BÁSICA
3. Probabilidad condicionada y total
La probabilidad de un suceso depende de la información que tengamos
A: sacar un 2 al lanzar un dado P(A)=1/6
¿Y si nos dicen que el 
número que ha salido 
es par?
P(A sabiendo que ha salido un número par)
=1/3>1/6
Probabilidad condicionada
Notación:
• Suceso que no sabemos si se observará: A . Por ejemplo A: sacar un 2
• Suceso conocido: B. Por ejemplo B: es un número par
Definimos el suceso que no se ha observado aún y el que sí se ha observado
Probabilidad de A condicionada a B
Probabilidad de A dado B
P(A|B)
21ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo En una sala hay 300 personas, que se pueden clasificar de la 
siguiente forma:
Chicas Chicos TOTAL
Fuman 15 15 30
No fuman 105 165 270
TOTAL 120 180 300
P(Fuma)=30/300=0.10
Si seleccionamos a una persona al azar ¿Cuál 
es la probabilidad de que sea fumadora?
Si seleccionamos a una persona al azar y 
vemos que es chico, ¿Cuál es la probabilidad de 
que sea fumador?
P(Fuma|Chico)=15/180=0.083Ya sabemos que es chico
15
(Fuma | Chico)
180
P 
3. Probabilidad condicionada y total
22ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo
En una sala hay 300 personas, que se pueden clasificar de la 
siguiente forma:
Chicas Chicos TOTAL
Fuman 15 15 30
No fuman 105 165 270
TOTAL 120 180 300
(Fuma | Chi
1
8
o)
0
c
5
1
P 
nº de personas que son chicos Y fuman
nº de chicos

15/ 300 (nº de personas que son chicos Y fuman)/(nº de personas)
180 / 300 (nº de chicos)/(nº de personas)
 
P(Fuma 15/ 300
1
Chi
80
co)
P(Chic00 o)/ 3

 
P(Fuma Chico)
(Fuma | Chico)
P(Chico)
P


3. Probabilidad condicionada y total
Regla de la probabilidad condicionada
( )
( | )
( )
P A B
P A B
P B
De esta regla también puede tenerse
( ) ( | ) ( )P A B P A B P B
( ) ( | ) ( )P A B P B A P A
( )
( | )
( )
P A B
P B A
P A
Análogamente:
23
Regla de la probabilidad total
Sean B1,B2,...,Bn sucesos de un experimento cuya unión sea E
1
n
i
i
B E
Sea A otro suceso que se observa al 
mismo tiempo que los sucesos Bi
B1
B2
B3
B4
A
Ejemplo: B1: ser varón
B2: ser mujer
A: ser fumador
Problema
Queremos saber P(A: ser fumador), pero lo que sabemos 
es P(A|varón) y P(A|mujer)
¿Cómo podemos reconstruir la probabilidad total?
1 2B B E
1
( ) | ( )
n
i i
i
P A P A B P B
Regla de la Probabilidad Total
24
( ) ( )P A P A E
B1
B2
B3
B4
A
1
( )
n
i
i
P A P A B
como 
1
n
i
i
B E
1 2( ) nP A P A B A B A B
(A  B1) (A  B2) (A  B3) (A  B4)
mutuamente excluyentes
1 2( ) nP A P A B P A B P A B
25
B1
B2
B3
B4
A
(A  B1) (A  B2) (A  B3) (A  B4)
1 2( )
n
P A P A B P A B
P A B
usando que 
( ) ( | ) ( )i i iP A B P A B P B
1 1 2 2( ) | ( ) | ( ) | ( )n nP A P A B P B P A B P B P A B P B
1
( ) | ( )
n
i i
i
P A P A B P B
Regla de la Probabilidad Total
26
B1
B2
B3
B4
A
(A  B1) (A  B2) (A  B3) (A  B4)
1
( ) | ( )
n
i i
i
P A P A B P B
Regla de la Probabilidad Total
Ejemplo: B1: ser varón B2: ser mujer
A: ser fumador
Queremos saber P(A: ser fumador), pero lo que sabemos es P(A|varón) y P(A|mujer)
P(Fumador)=P(Fumador|Mujer)P(Mujer)+P(Fumador|Varón)P(Varón)
27
28ESTADÍSTICA BÁSICA
En una sala hay 300 personas, que se pueden clasificar de la 
siguiente forma:
Chicas Chicos TOTAL
Fuman 15 15 30
No fuman 105 165 270
TOTAL 120 180 300
P(Fuma|chica)=15/120=0.125
P(Chica)=120/300=0.40
P(Fuma|chico)=15/180=0.0833
P(Chico)=180/300=0.60
P(Fuma)=P(Fuma|Chica)P(Chica)+P(Fuma|Chico)P(Chico)
0.125 0.40 0.0833 0.60 0.10    
3. Probabilidad condicionada y total
Ejemplo
TEMA 3: Probabilidad
1. Introducción
2. Definición de probabilidad y propiedades
3. Probabilidad condicionada y total
4. Independencia de sucesos
5. Teorema de Bayes
30ESTADÍSTICA BÁSICA
4. Independencia de sucesos
¿Qué significa que dos sucesos A 
y B sean independientes?
La información que tengamos 
de uno de ellos no nos sirve
para conocer mejor el otro
La probabilidad de uno de ellos no 
cambia por observar o no el otro
P(A|B)=P(A) ; P(B|A)=P(B)
Ejemplos:
A: sacar 2 con un dado
B: sacar cara con una moneda
P(A)=1/6; P(A|B)=1/6=P(A)
son independientes
B: sacar número par con un dado P(A)=1/6; P(A|B)=1/3P(A)
son dependientes
B: sacar número impar con un dado P(A)=1/6; P(A|B)=0P(A)
son dependientes
31ESTADÍSTICA BÁSICA
4. Independencia de sucesos
Dos sucesos A y B son independientes si la 
probabilidad de uno de ellos no cambia por 
observar o no el otro
P(A|B)=P(A) ; P(B|A)=P(B)
( )
( | ) ( )
( )
P A B
P A B P A
P B
por la regla de la probabilidad 
condicionada
( )
( | ) ( )
( )
P A B
P B A P B
P A
( ) ( ) ( )P A B P A P BIndependencia:
Dependencia: ( ) ( | ) ( )P A B P B A P A ( ) ( | ) ( )P A B P A B P Bó
32ESTADÍSTICA BÁSICA
Unas piezas cilíndricas pueden ser defectuosas por tener una longitud 
inadecuada o por tener un diámetro inadecuado, siendo ambos tipos de defectos 
independientes. Si la proporción de cilindros con longitud inadecuada es de 5%
y la de cilindros con diámetro inadecuado es del 3%. ¿Qué porcentaje de 
cilindros son defectuosos?
P(longitud inadecuada)=0.05
P(diámetro inadecuado)=0.03
P(defecto)=P(long diam)
=P(long)+P(diam)-P(long diam)
sucesos 
independientesP(long diam)=P(long) P(diam)=0.05 0.03=0.0015  
P(defecto)=P(long)+P(diam)-P(long diam)=0.05+0.03-0.0015=0.0785
4. Independencia de sucesos
Ejemplo
33ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo Una máquina ha producido 50 piezas del Tipo I y 200 del Tipo II. Cada 
una de estas piezas puede ser defectuosa o aceptable. La distribución 
bivariante es la siguiente:
Tipo I Tipo II TOTAL
Aceptables 46 184 230
Defectuosas 4 16 20
TOTAL 50 200 250
Se extraen, con reposición, dos piezas. ¿Cuál es la probabilidad de ambas que sean del Tipo I?
2. Definición de probabilidad y propiedades
Ejemplo Una máquina ha producido 50 piezas del Tipo I y 200 del Tipo II. Cada 
una de estas piezas puede ser defectuosa o aceptable. La distribución 
bivariante es la siguiente:
Tipo I Tipo II TOTAL
Aceptables 46 184 230
Defectuosas 4 16 20
TOTAL 50 200 250
Se extraen, con reposición, dos piezas. ¿Cuál es la probabilidad de ambas que sean del Tipo I?
Solución:
Los resultados de ambas extracciones son sucesos independientes. Por tanto
( ) ( ) ( )
50 50
0.04
250 250
P A B P A P B 
  
Si sacamos con reposición dos piezas, y repetimos este experimento 
indefinidamente, sólo el 4% de las veces obtendremos dos piezas del Tipo I
35ESTADÍSTICA BÁSICA
Un sistema está formada por 3 componentes como indica el gráfico. El sistema
funciona siempre que haya conexión entre los puntos A y B. Los 3 componentes que
se encuentran en la red tienen una probabilidad de fallo de 0.05, siendo sus estados
(funcionando/averiado) independientes unos de otros. Calcula la probabilidad de que
este sistema falle. Llamaremos 𝐶𝑖: el componente 𝐶𝑖 funciona
𝐶1 𝐶2 𝐶3
A B
¿Qué fiabilidad (prob. de que funcione) deben tener los componentes individuales
de un sistema de 10 componentes en serie para que la fiabilidad del conjunto del
sistema sea superior a 0.99
𝐶1 𝐶2 𝐶10
A B…
EJERCICIOS
Al estar los componentes en serie, el sistema funcionará si funcionan todos:
𝑃(Sistema)=𝑃 𝐶1 ∩ 𝐶2 ∩ 𝐶3 = 𝑃 𝐶1 𝑃 𝐶2 𝑃 𝐶3 = 𝑃 𝐶1
3 = 1 − 0.05 3
𝑃 𝑆 = 𝑃 𝐶1
10 > 0.99 ⇒ 𝑃 𝐶1 >?
36ESTADÍSTICA BÁSICA
Un sistema está formada por 2 componentes en paralelo como indica el gráfico. La
red funciona siempre que haya conexión entre los puntos A y B. Los 2 componentes
que se encuentran en la red tienen una probabilidad de fallo de 0.05, siendo sus
estados (funcionando/averiado) independientes unos de otros. Demuestra que al
estar en paralelo, la probabilidad del sistema es mayor que la de cada componente
individual.
𝐶1
𝐶2
A B
𝑃 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎 = 𝑃 𝐶1 ∪ 𝐶2
= 𝑃 𝐶1 + 𝑃 𝐶2 − 𝑃 𝐶1 ∩ 𝐶2
= 𝑃 𝐶1 + 𝑃 𝐶2 − 𝑃 𝐶1)𝑃(𝐶2
EJERCICIOS
También se puede calcular usando el complementario:
𝑃 Sistema funciona = 𝑃 Sistema falla = 𝑃 ҧ𝐶1 ∩ ҧ𝐶2 = 𝑃 ҧ𝐶1)𝑃( ҧ𝐶2
El sistema funciona si funciona algún componente. El sistema falla 
si ambos componentes fallan.
37ESTADÍSTICA BÁSICA
𝐶1
𝐶1A B
𝑃 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝑃 𝐶1 ∪ 𝐶2 ∪ 𝐶3
= 1 − 𝑃 ҧ𝐶1 ∩ ҧ𝐶2 ∩ ҧ𝐶3
= 1 − 𝑃 ҧ𝐶1 𝑃 ҧ𝐶2 𝑃 ҧ𝐶3
𝐶3
Cuántos componentes de los anteriores tengo que tener en paralelo para que la
fiabilidad del sistema sea superior a 0.999999.
𝐶1
𝐶1A B
𝐶𝐾
⋮
𝑃 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝑃 𝐶1 ∪ 𝐶2 ∪⋯∪ 𝐶𝐾
= 1 − 𝑃 ҧ𝐶1 ∩ ҧ𝐶2 ∩ ҧ𝐶3⋯∩ 𝐶𝐾
= 1 − 𝑃 ҧ𝐶1
𝐾 = 0.999999
Un sistema está formada por 3 componentes en paralelo como indica el gráfico. La
red funciona siempre que haya conexión entre los puntos A y B. Los 3 componentes
tienen una probabilidad de fallo de 0.05, siendo sus estados (funcionando/averiado)
independientes unos de otros. Calcula la fiabilidad de este sistema
TEMA 3: Probabilidad
1. Introducción
2. Definición de probabilidad y propiedades
3. Probabilidad condicionada y total
4. Independencia de sucesos
5. Teorema de Bayes
39ESTADÍSTICA BÁSICA5. Teorema de Bayes
Problema: Conocemos P(B|A), ¿Cómo podemos calcular P(A|B)?
¿P(A|B)?
Por la regla de la 
probabilidad condicionada
( )
( | )
( )
P A B
P A B
P B
( | ) ( )
( | )
( )
P B A P A
P A B
P B
Teorema de Bayes
pero también tenemos que
( ) ( | ) ( )P A B P B A P A
( )
( | )
( )
P A B
P B A
P A
40ESTADÍSTICA BÁSICA
Una empresa que gestiona la red de una gran empresa adquiere un antivirus
con las siguientes características. Si hay virus, da la alarma con probabilidad
0.95. Aunque no haya virus, hay una probabilidad de 0.08 de que dé una falsa
alarma de virus.
Si la red de dicha empresa suele recibir un ataque de virus por cada 1000 accesos, calcula la 
probabilidad de que cuando dé la alarma de virus, haya de verdad un ataque
A: al analizar un mensaje se da la alarma
V: el mensaje tiene un virus
( | ) 0.95
( | ) 0.08
( ) 0.001
P A V
P A V
P V



( | ) ( )
( | )
( )
P A V P V
P V A
P A

0.95 0.001
( | )
( )
P V A
P A


1
( ) | ( )
n
i i
i
P A P A B P B
Regla de la Probabilidad Total
5. Teorema de Bayes
Ejemplo
Una empresa que gestiona la red de una gran empresa adquiere un antivirus
con las siguientes características. Si hay virus, da la alarma con probabilidad
0.95. Aunque no haya virus, hay una probabilidad de 0.08 de que dé una falsa
alarma de virus.
Si la red de dicha empresa suele recibir un ataque de virus por cada 1000 accesos, calcula la 
probabilidad de que cuando dé la alarma de virus, haya de verdad un ataque
A: al analizar un mensaje se da la alarma
V: el mensaje tiene un virus
( | ) 0.95
( | ) 0.08
( ) 0.001
P A V
P A V
P V



( | ) ( )
( | )
( )
P A V P V
P V A
P A

0.95 0.001
( | )
( )
P V A
P A


( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )P A P A V P V P A V P V 
0.95 0.001 0.08 0.999 0.08087    
0.95 0.001
( | ) 0.012
0.08087
P V A

 
41
Ejemplo