Tema4_VariablesAleatorias_EDB_2016-II

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2ESTADÍSTICA BÁSICA
TEMA 4 – VARIABLES ALEATORIAS
Tema 4: Variables Aleatorias
1. Introducción. 
2. Variables aleatorias univariantes discretas
3. Variables aleatorias univariantes continuas
4. Medidas características de las variables aleatorias
4ESTADÍSTICA BÁSICA
1. Introducción 
¿Qué es una variable aleatoria?
Experimento: proceso de obtener un dato dadas unas condiciones de experimentación. La 
obtención de un nuevo dato, con las mismas condiciones, es una repetición del experimento
Experimento aleatorio: experimento que al repetirlo no siempre se obtiene el mismo 
valor. 
Ejemplo:medir el tiempo que una máquina tarda en hacer la misma tarea, observar el 
valor al lanzar un dado...
Variable aleatoria: es el resultado (numérico) de un experimento aleatorio. 
Es la variable numérica que es la respuesta de un experimento aleatorio
Ejemplo: Experimento- observar el resultado de lanzar una moneda
Variable aleatoria- valor que se obtiene al lanzar una moneda (variable discreta)
Ejemplo: Experimento- medir el tiempo de acceso de un ordenador a una red
Variable aleatoria- tiempo de acceso (variable continua)
5ESTADÍSTICA BÁSICA
Variable aleatoria: es el resultado –numérico- de un experimento 
aleatorio
¿Cómo se define una variable aleatoria?
A Definiendo el espacio muestral
B Teniendo alguna función que nos ayude a asignar probabilidades a los 
diferentes sucesos que nos interesen (modelo de probabilidad)
Experimento- observar el resultado de lanzar una moneda
Variable aleatoria- valor que se obtiene al lanzar una moneda (variable 
discreta)
Ejemplo: 
• Espacio muestral: {1=cara,0=cruz}
• Modelo de probabilidad: P(X=1)=P(X=2)=0.5
1. Introducción 
6ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo: 𝑋=resultado de lanzar una moneda
𝑌=resultado de lanzar un dado
NOTACIÓN:
Variable aleatoria: letras mayúsculas del final del alfabeto
Ejemplo: 𝑌=resultado de lanzar un dado
Valores observados: a los valores observados se les denomina realizaciones de la 
variable aleatoria. 
Si lanzamos el dado 5 veces tendremos 5 realizaciones de la variable aleatoria 
𝑌, por ejemplo 1,3,3,1,6. 
realizaciones
• Cuando nos refiramos de forma genérica a un valor numérico que pueda tomar la variable aleatoria, 
usaremos letras minúsculas.
𝑃(𝑋 = 𝑥) es la probabilidad de que la variable aleatoria 𝑋 tome el valor 𝑥
𝑃(𝑌 = 𝑦𝑖) es la probabilidad de que la variable aleatoria 𝑌 tome el valor 𝑦𝑖 , 𝑖 = 1,2,… , 𝑛
1. Introducción 
Tema 4: Variables Aleatorias
1. Introducción. 
2. Variables aleatorias univariantes discretas
3. Variables aleatorias univariantes continuas
4. Medidas características de las variables aleatorias
8ESTADÍSTICA BÁSICA
2. Variables aleatorias univariantes discretas 
Sea X una variable aleatoria cuantitativa discreta
Sean 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝐾 los valores posibles que puede tomar
X= valor al lanzar un dado 
x1=1
x2=2
X3=3
X4=4
x5=5
x6=6
X= estado 
aceptable/defectuoso de un 
artículo manufacturado
x1=0 (aceptable)
x2=1 (defectuoso)
X= número de clientes que 
llegan a un puesto de 
servicio en una unidad de 
tiempo
x1=0, x2=1, ... idealmente infinitos
Ejemplos
9ESTADÍSTICA BÁSICA
Para tener un modelo de probabilidad que asigne probabilidades a los sucesos:
función de probabilidad o función de distribución
A este tipo de variables aleatorias: K valores diferentes 
equiprobables, se les llama UNIFORMES DISCRETAS
Función de probabilidad
Es la función 𝑝(𝑥) de la variable aleatoria discreta X que asigna a cada valor
diferente de 𝑋: 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝐾 la probabilidad de ser obtenido en una repetición del
experimento aleatorio.
x
Ejemplo
X= resultado de lanzar un dado
Se tiene que 𝑥 = 1,… , 6 y cada valor es igual de probable
Función de probabilidad: 𝑝(𝑥) = 1/6 para x=1,...,6.
𝑝(𝑥)
1 2 3 4 5 6
1/6
2. Variables aleatorias univariantes discretas 
¿Probabilidad del suceso A: más de 2 líneas ocupadas? 
𝑃(𝐴) = 𝑃[(𝑋 = 3) 𝑈 (𝑋 = 4) 𝑈 (𝑋 = 5)] = 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5) = 0.32
Ejemplo Una centralita telefónica tiene 5 líneas. 
Sea X=número de líneas ocupadas en una unidad de tiempo.
Espacio muestral: X={0,1,2,3,4,5} 
Supongamos que la centralita recibe por término medio 2 llamadas por unidad de tiempo (y la 
duración de la llamada se completa en esa misma unidad de tiempo). Entonces se puede 
demostrar (próximo tema) que la función de probabilidad es:
P(X=0)=0.14
P(X=1)=0.27
P(X=2)=0.27
P(X=3)=0.18
P(X=4)=0.09
P(X=5)=0.05
¿Probabilidad de que haya alguna línea disponible? 
10
11ESTADÍSTICA BÁSICA
Función de distribución
• Es una función 𝐹(𝑥) definida en toda la recta real
• En cada punto 𝑥, en el dominio de la variable aleatoria 𝑋, es la probabilidad 
acumulada hasta es punto, es decir
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 𝑥
• 𝐹(−∞) = 0, 𝐹(+) = 1
2. Variables aleatorias univariantes discretas 
𝑥1 = 1.5
Para cada valor 𝑥 de la 
recta real, 𝐹 𝑥 nos da la 
probabilidad acumulada
𝐹 1.5
= 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1
= 0.41
𝑥2 = 4.5
Para cada valor 𝑥 de la 
recta real, 𝐹 𝑥 nos da la 
probabilidad acumulada
𝐹 4.5
= 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑥 = 1
+ 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃 𝑋 = 3
+ 𝑃(𝑋 = 4) = 0.95
X= número de líneas ocupadas en una unidad de tiempo
14
x p(x) F(x)
0 0.14 0.14
1 0.27 0.41
2 0.27 0.68
3 0.18 0.86
4 0.09 0.95
5 0.05 1
Para cada uno de los 
sucesos elementales, 
F(x) se obtiene 
sumando p(x) hasta 
ese número.
F(2)=0.68
Para obtener F(x) en 
variables discretas 
(finitas) lo más 
cómodo puede ser 
hacer esta tabla
X= número de líneas ocupadas en una unidad de tiempo
15
x p(x) F(x)
0 0.14 0.14
1 0.27 0.41
2 0.27 0.68
3 0.18 0.86
4 0.09 0.95
5 0.05 1
Para cada cualquier 
otro valor que no sea 
suceso elemental es 
también la suma de 
p(x) hasta ese valor
F(3.5)=0.86
x=3.5
Para obtener F(x) en 
variables discretas 
(finitas) lo más 
cómodo puede ser 
hacer esta tabla
0.14 si x=0
0.27 si x=1
0.27 si x=2
0.18 si x=3
0.09 si x=4
0.05 si x=5
p(x)
Función de 
probabilidad
X= número de líneas ocupadas en una unidad de tiempo
Función de 
distribución 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋𝑥)
0𝑠𝑖 𝑥 < 0, pues 𝑃(𝑋  0) = 0
0.14 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1, pues 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 𝑃(𝑋 < 0) + 𝑃(𝑋 = 0)
0.41 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 2, pues 𝑃(𝑋  𝑥) = 𝑃(𝑋 < 1) + 𝑃(𝑋 = 1)
0.68 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 3, pues 𝑃(𝑋  𝑥) = 𝑃(𝑋 < 2) + 𝑃(𝑋 = 2)
0.86𝑠𝑖 3 ≤ 𝑥 < 4, pues 𝑃(𝑋  𝑥) = 𝑃(𝑋 < 3) + 𝑃(𝑋 = 3)
0.95𝑠𝑖 4 ≤ 𝑥 < 5, pues 𝑃(𝑋  𝑥) = 𝑃(𝑋 < 4) + 𝑃(𝑋 = 4)
1.00 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 5
16
Tema 4: Variables Aleatorias
1. Introducción. 
2. Variables aleatorias univariantes discretas
3. Variables aleatorias univariantes continuas
4. Medidas características de las variables aleatorias
18ESTADÍSTICA BÁSICA
3. Variables aleatorias univariantes continuas 
Con variables cuantitativas continuas: infinitos valores posibles
• 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 0 siempre
• Sólo interesa probabilidad de valores en un intervalo 𝑃(𝑋 > 𝑎), 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏)…
Ejemplos
• X=valor seleccionado al azar en el intervalo [3,4], 
𝑃(𝑋 = 𝜋) = 1/∞ = 0
𝑃(𝑋 < 3.5) = 0.5
• X= longitud de una pieza 
• X= tiempo en ejecutar una tarea
• X= tiempo entre la llegada de dos clientes consecutivos
uniforme 
continua
3 4
Para calcular probabilidades: función de densidad y función de distribución
Área bajo 𝑓(𝑥)=PROBABILIDAD
La función de densidad 𝑓(𝑥) es una función matemática tal que
f(x): función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria X en el punto x. Su valor es 
tanto mayor cuanto más probable sea obtener valores en un entorno de dicho punto x 
Función de densidad
Intuitivamente, puede considerarse 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 como la probabilidad de X de caer en 
el intervalo infinitesimal [x, x + dx].
𝑓 𝑥 ≥ 0
20ESTADÍSTICA BÁSICA
Es como el polígono de frecuencia ‘límite’ en un histograma con infinitos datos
Cuantos más datos se tenga:
• se pueden hacer más intervalos
• el polígono es más suave
3. Variables aleatorias univariantes continuas 
21ESTADÍSTICA BÁSICA
• Histograma o polígono: Describe sólo a los n datos observados(MUESTRA)
Es la frecuencia de cada uno de los k intervalos
• Función de densidad: Describe a TODA LA POBLACIÓN
Es la densidad de probabilidad
o probabilidad por unidad de medida en cada punto 
(unidades distintas que el histograma)
Diferencias:
3. Variables aleatorias univariantes continuas 
22ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo
X=longitud de una pieza manufacturada
¿Cuánto debe valer k?
0 0
X
3. Variables aleatorias univariantes continuas 
23ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo
X=longitud de una pieza manufacturada
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Función de densidad f(x)
x
Si la pieza es aceptable cuando está en el intervalo [1.7;2.4]
¿Qué porcentaje de piezas defectuosa se fabrican?
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Función de densidad f(x)
x
PIEZAS VÄLIDAS 
PIEZAS DEFECTUOSAS PIEZAS DEFECTUOSAS 
X
3. Variables aleatorias univariantes continuas 
24ESTADÍSTICA BÁSICA
Para calcular probabilidades: función de densidad y función de distribución
Función de distribución 𝑭(𝒙)
Tiene la misma definición que en el caso discreto
3. Variables aleatorias univariantes continuas 
A partir de 𝑓 𝑥 podemos obtener 𝐹(𝑥) y viceversa. 
Es la misma información con diferente expresión. 
Si tenemos 𝐹(𝑥) es muy sencillo calcular probabilidades. No hace falta integrar, 
pues 𝐹(𝑥) ya es una integral.
25ESTADÍSTICA BÁSICA
x
0.45
x
0.45
f(x)
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥)
3. Variables aleatorias univariantes continuas 
න
−∞
𝒙
𝒇 𝒗 𝒅𝒗 = 𝟎. 𝟒𝟓
𝐹 𝑥 ya me da 
la integral; la 
probabilidad 
de tener 
valores 
menores o 
iguales a 𝑥.
𝑭(𝒙) = 𝟎. 𝟒𝟓
Tema 4: Variables Aleatorias
1. Introducción. 
2. Variables aleatorias univariantes discretas
3. Variables aleatorias univariantes continuas
4. Medidas características de las variables aleatorias
27ESTADÍSTICA BÁSICA
4. Medidas características de las v. aleatorias
Buscamos medidas que resuman algunas características de la variable aleatoria
4.1 Medidas de centralización
4.2 Medidas de dispersión
1. Media
2. Mediana
3. Moda
1. Varianza
2. Cuartiles
4.3 Efectos de las transformaciones lineales
28ESTADÍSTICA BÁSICA
4.1 Medidas de centralización
1. Media, Esperanza matemática, E(X), μ
Es el promedio de los infinitos datos que forman la población 
• Los infinitos datos que se obtendrían de extraer infinitas realizaciones de la 
variable
• Los infinitos datos que se obtienen de repetir el experimento aleatorio infinitas 
veces
• ¿Cómo lo podemos hacer?
V. aleatorias discretas:
En el Tema 1: para el cálculo de la media de un conjunto de datos que 
repiten sus valores ...
𝑥1 se repite 𝑛1 veces
𝑥2 se repite 𝑛2 veces 
...
𝑥𝐽 se repite 𝑛𝐽 veces
Donde 𝑓𝑟(𝑥𝑗) es la frecuencia relativa del valor 𝑥𝑗
ҧ𝑥 = ෍
𝑗=1
𝐽
𝑥𝑗𝑓𝑟(𝑥𝑗)
29ESTADÍSTICA BÁSICA
1. Media, Esperanza matemática, E(X), μ
Es el promedio de los infinitos datos que forman la población
¿Cómo lo podemos hacer?
V. aleatorias discretas:
Sea X una variable aleatoria cuantitativa discreta. Sean x1,x2,...,xK los 
valores distintos que puede tomar
Una centralita telefónica tiene 5 líneas. 
Sea X=número de líneas ocupadas.
Espacio muestral: X={0,1,2,3,4,5} 
Ejemplo
0.14 si x=0
0.27 si x=1
0.27 si x=2
0.18 si x=3
0.09 si x=4
0.05 si x=5
p(x)
0.14 0.27 0.( ) 1.9627 0.18 0.09 0.050 1 2 3 4 5E X
4.1 Medidas de centralización
30ESTADÍSTICA BÁSICA
1. Media, Esperanza matemática, E(X), μ
V. aleatorias discretas:
V. aleatorias continuas:
Ejemplo: Sea X una v. aleatoria continua definida en (0,1) con 
4.1 Medidas de centralización
31ESTADÍSTICA BÁSICA
1. Media, Esperanza matemática, E(X), μ
Es el centro de gravedad de la población
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
1.96
3/5=0.6
4.1 Medidas de centralización
32ESTADÍSTICA BÁSICA
1. Media, Esperanza matemática, E(X), μ
Algunas propiedades (similares a la media muestral):
4.1 Medidas de centralización
33ESTADÍSTICA BÁSICA
2. Mediana
La mediana de X es el valor xm que deja a cada lado el 50% de la población 
(la probabilidad a cada lado es 0.5)
F(xm )=P(X xm )=0.50
Ejemplo: Sea X una v. aleatoria continua en (0,1) de densidad f(x)=2x
0 1
0.5
0.5
1
2
f(x)
x
4.1 Medidas de centralización
En distribuciones discretas, es el mínimo valor tal 
que 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥𝑚 ≥ 0.5
34ESTADÍSTICA BÁSICA
3. Moda
La moda de X es el valor x que maximiza 𝑝(𝑥) o 𝑓(𝑥)
x
p(x)
moda
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
moda
x
f(x)
4.1 Medidas de centralización
4.2 Medidas de dispersión
Varianza de un conjunto de 
datos:
Media muestral de las 
desviaciones cuadráticas 
a la media muestral
Varianza de una variable aleatoria:
(varianza de toda la población)
Esperanza de las desviaciones cuadráticas 
a la esperanza
Desviación típica= 𝜎 ; Coeficiente de variación= 𝜎/|𝜇|
Variable aleatoria… 𝑋
Desviación a la media… 𝑋 − 𝜇
al cuadrado... (𝑋 − 𝜇)2
Su media, o esperanza, 
es la varianza
𝜎2 = 𝐸[ 𝑋 − 𝜇 2]
Su media o esperanza… 𝐸(𝑋) = 𝜇
1. Varianza, var(X), 𝝈𝟐 Es un concepto análogo al de la varianza de una muestra de datos, pero
extendido a todos los elementos de la población
36ESTADÍSTICA BÁSICA
¿Cómo calcular la varianza a partir de 𝑝(𝑥) o 𝑓(𝑥)?
𝜎2 = 𝐸[ 𝑋 − 𝜇 2] = 𝐸 𝑋 − 𝐸 𝑋
2
𝐸(𝑋) = 𝜇
𝑔(𝑋) = 𝑋 − 𝜇
2
** propiedad de la esperanza matemática **
4.2 Medidas de dispersión
Ejemplo: Sea X una v. aleatoria continua definida en (0,1) con 
X= número de líneas ocupadas. X={0,1,2,3,4,5}.Ejemplo:
0.14 si x=0
0.27 si x=1
0.27 si x=2
0.18 si x=3
0.09 si x=4
0.05 si x=5
p(x)
( ) 0 0.14 1 0.27 2 0.27 3 0.18 4 0.09 5 0.05 1.96E X
2 2 2
2 2 2
0.14 0.27 0.27( ) ( 1.96) ( 1.96) ( 1.96)
( 1.96) ( 1.96)0.18 ( 1.96)
0 1 2
3 0.09 0.05 1 25 .84
Var X
38ESTADÍSTICA BÁSICA
2. Cuartiles Q1, Q2, Q3
Son los valores que dividen la población en grupos de probabilidad 0.25
Se calculan de forma análoga a la mediana (Q2). Es decir:
F(Q1)=0.25;F(Q3)=0.75
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
x
𝑓(𝑥)
0.25
0.25
0.25
0.25
Q1 Q2 Q3
4.2 Medidas de dispersión
En distribuciones discretas, es el mínimo valor tal que 𝑃 𝑋 ≤ 𝑄1 ≥ 0.25. Se 
razona de manera análoga para los demás cuartiles.
39ESTADÍSTICA BÁSICA
2. Cuartiles Q1, Q2, Q3
4.2 Medidas de dispersión
En distribuciones discretas, 𝑄1es el mínimo valor tal que 𝑃 𝑋 ≤ 𝑄1 ≥ 0.25.
Se razona de manera análoga para los demás cuartiles y percentiles.
0.25
𝑄1 = 1
𝑄2 = 2
𝑄3 = 3
0.50
0.75
Percentil 10=0
Percentil 35=1
Percentil 40=1
Percentil 85=3
41ESTADÍSTICA BÁSICA
4.3 Efectos de las transformaciones lineales
La esperanza es una suma, es por tanto un operador lineal
similar a la media muestral y la varianza muestral
42ESTADÍSTICA BÁSICA
¿Por qué?
SE puede demostrar queb Si X e Y son independientes…
Estos resultados son de interés teórico para los próximos temas
4.3 Efectos de las transformaciones lineales
Sean 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 un conjunto de variables aleatorias independientes 
de varianza 𝜎𝑖
2, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Entonces se cumple que 
𝑣𝑎𝑟 ෍
𝑖
𝑋𝑖 =෍
𝑖
𝑣𝑎𝑟(𝑋𝑖) = ෍
𝑖
𝜎𝑖
2