Tema9_Diap_DosPoblaciones_EDB_2016-II

Vista previa del material en texto

1ESTADÍSTICA BÁSICA
2ESTADÍSTICA BÁSICA
9. Inferencia con dos poblaciones
3ESTADÍSTICA BÁSICA
Tema 9: Inferencia con dos poblaciones
2. Comparación de dos medias usando muestras independientes
3. Comparación de dos medias usando datos emparejados
4. Comparación de dos proporciones
5. Comparación de dos varianzas en poblaciones normales
1. Introducción
4ESTADÍSTICA BÁSICA
1. Introducción
Población 1 Población 2
1X 2X
1 2
1 2
11X 12X 13X 11nX... 21X 22X 23X 22nX...
1x
2
1̂s
2x
2
2ŝ
POBLACIONES NO OBSERVABLES
1 2¿ ? 
2 2
1 2¿ ? 
5ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo
Tomamos una muestra de rodamientos de dos fabricantes distintos y 
medimos su capacidad de carga (peso que admite hasta deformación)
¿Son diferentes ambos tipos de rodamientos?
Ejemplo
Se tienen dos sistemas diferentes para acceder a la red. Se toman un 
conjunto de tiempos de acceso para cada sistema. 
¿Cuál es más rápido?
Ejemplo
Se tienen los pesos de niños y niñas recién nacidos en un hopital 
durante Semana Santa. A la vista de esos datos
¿Pesan al nacer los niños igual que las niñas?
6ESTADÍSTICA BÁSICA
Tema 9: Inferencia con dos poblaciones
2. Comparación de dos medias usando muestras independientes
3. Comparación de dos medias usando datos emparejados
4. Comparación de dos proporciones
5. Comparación de dos varianzas en poblaciones normales
1. Introducción
7ESTADÍSTICA BÁSICA
2. Comparación de dos medias usando muestras independientes
1
1
1
1
1
n
i
i
X
X
n

  
1 2
1 1
2 1
1
1
ˆ
1
n
i
i
X X
S
n





1 2¿ ? 
2
2
1
2
2
n
i
i
X
X
n

  
2 2
2 2
2 1
2
2
ˆ
1
n
i
i
X X
S
n





Con poblaciones normales o muestras grandes...
ത𝑋1 ∼ 𝑁 𝜇1,
𝜎2
2
𝑛1
ത𝑋2 ∼ 𝑁 𝜇2,
𝜎2
2
𝑛2
ത𝑋1 − ത𝑋2 ∼ 𝑁 𝜇1 − 𝜇2,
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
8ESTADÍSTICA BÁSICA
2. Comparación de dos medias usando muestras independientes
1 2¿ ? 
Intervalo de confianza
2 2
1 2
1 2 1 2 / 2
1 2
(1 ) :IC x x z
n n

 
  
  
      
  
parámetro
estimación
valor de tablas
desv. típica del estimador
ത𝑋1 − ത𝑋2 ∼ 𝑁 𝜇1 − 𝜇2,
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
( ത𝑋1− ത𝑋2) − 𝜇1 − 𝜇2
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
∼ 𝑁(0,1)
9ESTADÍSTICA BÁSICA
2. Comparación de dos medias usando muestras independientes
1 2¿ ? 
Intervalo de confianza
2 2
1 2
1 2 1 2 / 2
1 2
(1 ) :IC x x z
n n

 
  
  
      
  
1 2 1 2 / 2
1 2
1 1
(1 ) :IC x x z
n n
   
  
      
  
2 2
1 2si  
ത𝑋1 − ത𝑋2 ∼ 𝑁 𝜇1 − 𝜇2,
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
( ത𝑋1− ത𝑋2) − 𝜇1 − 𝜇2
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
∼ 𝑁(0,1)
10ESTADÍSTICA BÁSICA
2 2
2 1 1 2 2
1 2
ˆ ˆ( 1) ( 1)ˆ
2
T
n S n S
S
n n
  

 
Con muestras grandes, la aproximación a la normal sigue 
siendo válida si sustituimos parámetros por estimaciones
Muestras grandes
2 2
1 2
1 2 1 2 / 2
1 2
ˆ ˆ
(1 ) :
s s
IC x x z
n n
  
  
      
  
1 2 1 2 / 2
1 2
1 1
ˆ(1 ) : TIC x x z s
n n
  
  
      
  
Poblaciones normales 
(muestras pequeñas)
2 2
1 2
1 2 1 2 ; / 2
1 2
ˆ ˆ
(1 ) : v
s s
IC x x t
n n
  
  
      
  
1 21 2 1 2 2; / 2
1 2
1 1
ˆ(1 ) : n n TIC x x t s
n n
    
  
      
  
2
2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
1 2
1 1 2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ1 1
1 1
S S
n n
v
S S
n n n n
 
 
 
   
   
    
11ESTADÍSTICA BÁSICA
Se quiere elegir entre dos tipos de material textil para construir sistemas 
de amarre. Para ello se mide la tensión de rotura de varias cintas de 
prueba utilizando dos tipos de material. Se toman 24 datos usando el 
material M1, obteniéndose (kg/mm²) y . Se toman 
además 30 datos usando el material M2, obteniéndose , 
Se sabe que las tensiones de rotura se distribuyen como una normal. Se 
supondrá, además, que las varianzas de ambas poblaciones son iguales.
Ejemplo
1 87x  1̂ 2s 
2 75x  2ˆ 2.3s 
Si las varianzas son iguales, las 
muestras pequeñas, pero las 
poblaciones son normales 
1 21 2 1 2 2; / 2
1 2
1 1
ˆ(1 ) : n n TIC x x t s
n n
    
  
      
  
Hay evidencia a favor de M• 1 (el intervalo no tiene al 0)
• M1 aventaja a M2 entre 10.87 y 13.13 unidades por 
término medio, (con una confianza del 95%)
12ESTADÍSTICA BÁSICA
Contrastes de hipótesis
0 1 2 1 1 2: ; :H H    
0 1 2 1 1 2: ; :H H    
0 1 2 1 1 2: ; :H H    
(a)
(b)
(c)
PASO 1:
PASO 2:
2 2
1 2 
2 2
1 2 
PASO 3:
Muestras 
grandes
N(0,1)
Poblaciones normales
N(0,1)
N(0,1)
1 2 2n n
t  
vt
2
2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
1 2
1 1 2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ1 1
1 1
S S
n n
v
S S
n n n n
 
 
 
   
   
    
13ESTADÍSTICA BÁSICA
Contrastes de hipótesis
0 1 2 1 1 2: ; :H H    
0 1 2 1 1 2: ; :H H    
0 1 2 1 1 2: ; :H H    
(a)
(b)
(c)
PASO 1:
PASO 4:
Región de rechazo
Rechazo H0 Rechazo H0
Acepto H0
(a)
Rechazo H0
Acepto H0
(b)
Rechazo H0 Acepto H0
(c)
La región de rechazo está 
donde señala H1
 /2z /2z
 /2t /2t
z
t
z
t
14ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo Se quiere comparar la precisión de dos calibres diferentes. Para ello se 
comparan las mediciones realizadas en 100 clavos procedentes del mismo 
lote de fabricación. Se miden 50 clavos con un calibre y los otros 50 con 
otro calibre distinto. ¿Cómo son las mediciones medias de cada calibre?
Los clavos son del mismo tipo. 
Las diferencias entre los 
calibres no se deben a los 
clavos
¿Es esa diferencia significativa?
1 2x x 1 2¿ ? 
Muestras grandes
Varianzas tal vez distintas
15ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo Se quiere comparar la precisión de dos calibres diferentes. Para ello se 
comparan las mediciones realizadas en 100 clavos procedentes del mismo 
lote de fabricación. Se miden 50 clavos con un calibre y los otros 50 con 
otro calibre distinto. ¿Cómo son las mediciones medias de cada calibre?
Los clavos son del mismo tipo. 
Las diferencias entre los 
calibres no se deben a los 
clavos
¿Es esa diferencia significativa?
Rechazo H0
Acepto H0
-1.96 1.96
Rechazamos H0
La diferencia entre las medias es 
significativa
Rechazo H0
16ESTADÍSTICA BÁSICA
Tema 9: Inferencia con dos poblaciones
2. Comparación de dos medias usando muestras independientes
3. Comparación de dos medias usando datos emparejados
4. Comparación de dos proporciones
5. Comparación de dos varianzas en poblaciones normales
Introducción1.
17ESTADÍSTICA BÁSICA
3. Comparación de dos medias usando datos emparejados
De cada elemento: 2 datos
Ejemplo: • Antes/después de cierto cambio
• Antes/después de un tratamiento
• Con distintos aparatos de medida
• Elemento 1
• Elemento 2
• Elemento 3
...
• Elemento n
X11
X12
X13
...
X1n
X21
X22
X23
...
X2n
X1 X2
Y1 =X11 -X21
Y2 =X12 -X22
Y3 =X13 -X23
...
Yn =X1n -X2n
Y
1 2 Y
1 2¿ ?  ¿ 0?Y 
Como en temas 
anteriores
18ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo Se quiere comparar la precisión de un calibre analógico y uno digital. Para 
ello mide la longitud de 95 tornillos del mismo tipo. Cada tornillo se ha 
medido dos veces, una vez con un calibre digital (muy preciso) y una 
segunda vez con un calibre analógico (menos preciso). 
¿Hay diferencias? 
Y=diferencia entre la medición digital y la analógica
Estadístico de 
contraste
Como la 
muestra es 
grande
0
0
ˆ /y
y
T
S n


19ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo Se quiere comparar la precisión de un calibre analógico y uno digital. Para 
ello mide la longitud de 95 tornillos del mismo tipo. Cada tornillo se ha 
medido dos veces, una vez con un calibre digital (muy preciso) y una 
segunda vez con un calibre analógico (menos preciso). 
¿Hay diferencias? 
Como |t0|>1.96 Rechazamos H0
La diferencia media observada entre ambos 
calibres es pequeña, pero significativa
0
0
ˆ /y
y
T
S n


20ESTADÍSTICA BÁSICA
Tema 9: Inferencia con dos poblaciones
2. Comparación de dos medias usandomuestras independientes
3. Comparación de dos medias usando datos emparejados
4. Comparación de dos proporciones
5. Comparación de dos varianzas en poblaciones normales
1. Introducción
21ESTADÍSTICA BÁSICA
4. Comparación de dos proporciones poblacionales
Población 1
Proporción de individuos 
con cierto atributo
p1
Población 2
Proporción de individuos 
con cierto atributo
p2
muestra n1
1p̂
muestra n2
2p̂
¿p1=p2?
22ESTADÍSTICA BÁSICA
4. Comparación de dos proporciones poblacionales
Población 1
Proporción de individuos 
con cierto atributo
p1
Población 2
Proporción de individuos 
con cierto atributo
p2
muestra n1
1p̂
muestra n2
2p̂
23ESTADÍSTICA BÁSICA
Intervalo de confianza
Contraste de hipótesis
0 1 2 1 1 2: ; :H p p H p p 
0 1 2 1 1 2: ; :H p p H p p 
0 1 2 1 1 2: ; :H p p H p p 
PASO 1:
PASO 3:
Muestras 
grandes
N(0,1)
PASO 2:
con
PASO 4:
La región de rechazo está 
donde señala H1
24ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo ¿Aprueban la Estadística el mismo porcentaje de chicas que de chicos en 
Ingeniería Industrial?
Tomamos una muestra de alumnos: 
examen de junio del 2003
Alumnos de 1º de I. Industrial
270 alumnos
225 chicos. 30% de aprobados
45 chicas. 42% de aprobados
1 1 2 2
0
1 2
ˆ ˆ 225 0.30 45 0.42
ˆ 0.32
225 45
n p n p
p
n n
   
  
 
1 2
0
0 0
1 2
ˆ ˆ 0.30 0.42
1.57
1 11 1
0.32 0.68ˆ ˆ
225 45
p p
z
p q
n n
 
   
   
    
  
Rechazo H0 Rechazo H0
Acepto H0
-1.96 1.96
0 0.025| | 1.96z z Como
La diferencia encontrada en la muestra no es 
significativa al 5%.
No podemos rechazar que ambos tengan la 
misma probabilidad de aprobar
25ESTADÍSTICA BÁSICA
Tema 9: Inferencia con dos poblaciones
2. Comparación de dos medias usando muestras independientes
3. Comparación de dos medias usando datos emparejados
4. Comparación de dos proporciones
5. Comparación de dos varianzas en poblaciones normales
Introducción1.
26ESTADÍSTICA BÁSICA
 
1 2
1 1
2 1
1
1
ˆ
1
n
i
i
X X
S
n





2 2
1 2¿ / ? 
 
2 2
2 2
2 1
2
2
ˆ
1
n
i
i
X X
S
n





5. Comparación de dos varianzas en poblaciones normales
Con poblaciones normales
1 2
2 2
1 1
1, 12 2
2 2
ˆ /
ˆ /
n n
S
F F
S


 
Distribución F de Fisher
1 2,g g
F
grados de libertad 
del numerador
grados de libertad 
del denominador
27ESTADÍSTICA BÁSICA
5. Comparación de dos varianzas en poblaciones normales
• Perfil parecido a la chi-cuadrado
• La asimetría disminuye al aumentar los grados de libertad
• La moda está cerca del 1
28ESTADÍSTICA BÁSICA
5. Comparación de dos varianzas en poblaciones normales
1 2
2 2
1 1
1, 12 2
2 2
ˆ /
ˆ /
n n
S
F F
S


 
29ESTADÍSTICA BÁSICA
5. Comparación de dos varianzas en poblaciones normales
Intervalo de confianza
30ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo Se quiere comparar la precisión de dos calibres diferentes. Para ello se 
comparan las mediciones realizadas en 100 clavos procedentes del mismo 
lote de fabricación. Se miden 50 clavos con un calibre y los otros 50 con 
otro calibre distinto. ¿Cómo son las mediciones medias de cada calibre?
2
1̂ 7.4s 
2
2
ˆ 21.9s 
49,49;0.975 0.57F 
49,49;0.025 1.76F 
• El intervalo está lejos de contener el 1
• Hay mucha evidencia de que las varianzas son distintas
• El calibre 1 es mucho más preciso que el 2
31ESTADÍSTICA BÁSICA
5. Comparación de dos varianzas en poblaciones normales
Contraste de hipótesis
1 2
2 2
1 1
1, 12 2
2 2
ˆ /
ˆ /
n n
S
F F
S


  
2
1
0 2
2
ˆ
ˆ
S
F
S

Estadístico de contraste Distribución de 
referencia
1 20 1, 1n n
F F  
32ESTADÍSTICA BÁSICA
PASO 1: PASO 2:
PASO 3:
(a)
Rechazo H0 Rechazo H0
Acepto H0
(a)
(b)
(c)
PASO 4:
La región de rechazo está 
donde señala H1
Rechazo H0Acepto H0
(b)
Rechazo H0
Acepto H0
(c)
2 2 2 2
0 1 2 1 1 2: ; :H H    
2 2 2 2
0 1 2 1 1 2: ; :H H    
2 2 2 2
0 1 2 1 1 2: ; :H H    
2
1
0 2
2
ˆ
ˆ
S
F
S

1 20 1, 1n n
F F  
1 21, 1;1 / 2n n
F    1 21, 1; / 2n nF  
1 21, 1;1n n
F   
1 21, 1;n n
F  
33ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo En el problema de la elección entre dos tipos de material para construir 
sistemas de amarre, supusimos que eran varianzas iguales. Sabiendo que 
las poblaciones son normales, contrastar esa igualdad
Material M1: 24 datos, 1̂ 2s 
2
ˆ 2.3s Material M2: 30 datos, 
2
0 2
2
0.76
2.3
f  
2 2 2 2
0 1 2 1 1 2: ; :H H    
Rechazo H0 Rechazo H0
Acepto H0
23,29;0.975 0.44F  23,29;0.025 2.17F 
Se acepta, con un nivel de 
significación del 5% que 
las varianzas son iguales 
La diferencia observada en la 
varianza de las muestras, no 
es significativa