introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-213

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14.5 COMPARACIÓN DE VARIAS POBLACIONES MULTINOMIALES: UNA CLASIFICACIÓN DE DOS VÍAS CON TOTALES DE RENGLÓN O COLUMNA FIJOS ❍ 613
TÉCNICAS BÁSICAS
14.27 Muestras aleatorias de 200 observaciones fueron 
seleccionadas de cada una de tres poblaciones y cada 
observación fue clasifi cada de acuerdo a si cayó en una 
de tres categorías mutuamente exclusiva:
 Categoría
Población 1 2 3 Total
1 108 52 40 200
2 87 51 62 200
3 112 39 49 200
Se desea saber si los datos dan sufi ciente evidencia para 
indicar que las proporciones de observaciones en las 
tres categorías dependen de la población de la cual se 
sacaron.
a. Dé el valor de X2 para la prueba.
b. Dé la región de rechazo para la prueba para a � .01.
c. Exprese sus conclusiones.
d. Encuentre el valor p aproximado para la prueba 
e interprete su valor.
14.28 Suponga que se desea probar la hipótesis nula de 
que tres parámetros binomiales pA, pB y pC son iguales 
contra la hipótesis alternativa de que al menos dos de los 
parámetros difi eren. Muestras aleatorias independientes 
de cien observaciones se seleccionaron de entre cada 
una de las poblaciones. Los datos se muestran en la tabla.
 Población
 A B C Total
Éxitos 24 19 33 76
Fracasos 76 81 67 224
Total 100 100 100 300
a. Escriba las hipótesis nula y alternativa para probar la 
igualdad de las tres proporciones binomiales.
b. Calcule el estadístico de prueba y encuentre el valor p 
aproximado para la prueba en el inciso a).
c. Use el valor p aproximado para determinar la 
signifi cancia estadística de sus resultados. Si los 
resultados son estadísticamente signifi cativos, explore 
la naturaleza de las diferencias en las tres proporciones 
binomiales.
APLICACIONES
14.29 La generación del sándwich ¿En qué 
forma los estadounidenses de la “generación sándwich” 
equilibran las demandas de cuidar a familiares más viejos 
y más jóvenes?
 EJERCICIOS14.5
En una encuesta telefónica de estadounidenses entre 40 
y 55 años de edad realizada por el New York Times,9 el 
número que dan apoyo fi nanciero a sus familiares aparece 
en la siguiente tabla.
Dan apoyo fi nanciero Sí No
Estadounidenses blancos 40 160
Afroestadounidenses 56 144
Hispanoestadounidenses 68 132
Estadounidenses asiáticos 84 116
¿Hay una diferencia signifi cativa en la proporción de 
individuos que dan apoyo fi nanciero a sus familiares para 
estas subpoblaciones de estadounidenses? Use a � .01.
14.30 Pollos enfermos Se piensa que una enfermedad 
particular en pollos no es comunicable. Para probar 
esta teoría, 30 mil pollos se dividieron al azar en tres 
grupos de 10 mil. Un grupo no tenía contacto con pollos 
enfermos, uno tenía contacto moderado y el tercero tenía 
contacto frecuente. Después de 6 meses, se recabaron 
datos sobre el número de pollos enfermos en cada grupo 
de 10 mil. ¿Los datos dan sufi ciente evidencia para 
indicar una dependencia entre la cantidad de contacto 
entre aves enfermas y no enfermas y la incidencia de 
la enfermedad? Use a � .05.
 Contacto
 Sin contacto moderado Contacto frecuente
Enfermedad 87 89 124
No enfermedad 9 913 9 911 9 876
Total 10 000 10 000 10 000
14.31 Atención a largo plazo Un 
estudio realizado en el noroeste de Inglaterra 
hizo una evaluación de instalaciones de atención a largo 
plazo que tienen residentes con demencia.10 Las casas 
incluían aquellas que daban servicio especializado a 
personas ancianas con enfermedad o problemas de salud, 
conocidas como “casas EMI”, así como otras clasifi ca-
das como “casas no EMI”. Se esperaba que las casas EMI 
tuvieran una clasifi cación más alta en varias medidas 
de calidad de servicio para personas con demencia. Una 
medida incluía la estructura de la casa y los servicios 
proporcionados, como se da en la tabla siguiente.
 Tipo de casa
Tipo de atención EMI NoEMI Total
Enfermería 54 22 76
Atención residencial 59 77 136
Doble registro 49 26 75
Total 162 125 287
DATOSMISMIS
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614 ❍ CAPÍTULO 14 ANÁLISIS DE DATOS CATEGÓRICOS
a. Describa los experimentos binomiales cuyas 
proporciones se han comparado en este experimento.
b. ¿Estos datos indican que el tipo de atención propor-
cionado varía por los tres tipos de casa? Pruebe al 
nivel a � .01.
c. Con base en los resultados del inciso b), explique la 
naturaleza práctica de la relación entre el tipo de casa 
y el tipo de atención.
14.32 Investigación de mares profundos W.W. 
Menard ha realizado investigaciones respecto a nódulos 
de manganeso, una mezcla rica en minerales hallada 
en abundancia en el lecho de mares profundos.11 En 
una parte de su informe, Menard proporciona datos que 
relacionan la edad magnética de la corteza terrestre con 
la “probabilidad de hallar nódulos de manganeso”. La 
tabla siguiente da el número de muestras del núcleo de 
la tierra y el porcentaje de las que contienen nódulos 
de manganeso para cada una de un conjunto de 
edades de la corteza magnética. ¿Estos datos dan 
sufi ciente evidencia para indicar que la probabilidad 
de hallar nódulos de manganeso en la corteza de mares 
profundos de la Tierra depende de la clasifi cación de 
edad magnética?
 Número de Porcentaje
Edad muestras con nódulos
Mioceno; reciente 389 5.9
Oligoceno 140 17.9
Eoceno 214 16.4
Paleoceno 84 21.4
Cretácico tardío 247 21.1
Cretácico temprano o medio 1120 14.2
Jurásico 99 11.0
14.33 ¿Qué tan grande es la familia? Una 
cámara de comercio local encuestó a 120 fami-
lias en su ciudad, 40 en cada uno de tres tipos de 
residencia (departamentos, dúplex o casas solas) 
y registró el número de miembros en cada una de las 
familias. Los datos se muestran en la tabla.
 Tipo de residencia
Miembros
de familia Departamento Dúplex Casa sola
1 8 20 1
2 16 8 9
3 10 10 14
4 o más 6 2 16
¿Hay diferencia signifi cativa en las distribuciones del 
tamaño de familia para los tres tipos de residencia? 
Pruebe usando a � .01. Si hay diferencias signifi cativas, 
describa su naturaleza.
14.34 Ir a la iglesia y edad Una foto en 
USA Today indica que hay una brecha en los 
feligreses de iglesias entre estadounidenses de 20 años y 
de más edad.12 Suponga que al azar seleccionamos cien 
estadounidenses en cada uno de los cinco grupos de edad 
y registramos los números que dicen que van a la iglesia 
en una semana típica.
¿Asiste regularmente? 20s 30s 40s 50s 60�
Sí 31 42 47 48 53
No 69 58 53 52 47
Fuente: Barna Research Group
a. ¿Estos datos indican que la proporción de adultos que 
van a la iglesia difi ere regularmente dependiendo de la 
edad? Pruebe usando a � .05.
b. Si hay diferencias signifi cativas en el inciso a), 
describa la naturaleza de estas diferencias al calcular 
la proporción de quienes van a la iglesia en cada 
categoría de edad. ¿Dónde parece que están las 
diferencias signifi cativas?
DATOSMISMIS
EX1433
DATOSMISMIS
EX1434
LA EQUIVALENCIA DE PRUEBAS 
ESTADÍSTICAS
Recuerde que cuando hay sólo k � 2 categorías en un experimento multinomial, el 
experimento se reduce a un experimento binomial donde se registra el número de éxi-
tos x (o O1) en n (o O1 � O2) intentos. Del mismo modo, los datos que resultan de dos 
experimentos binomiales se pueden exhibir en una clasifi cación de dos vías con r � 2 y 
c � 2, de modo que la prueba ji cuadrada de homogeneidad se puede usar para comparar 
las dos proporciones binomiales, p1 y p2. Para estas dos situaciones, hemos presentado 
pruebas estadísticas para las proporciones binomiales basadas en el estadístico z del 
capítulo 9:
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 14.7 OTRAS APLICACIONES DE LA PRUEBA JI CUADRADA ❍ 615
• Una muestra: z � 
p̂ � p0 ______ 
 �
____
 
p0q0 ____ n 
 k � 2
• Dos muestras: z � 
p̂1 � p̂2 ____________ 
 �
___________
 p̂q̂ � 1 __ n1 � 1 __ n2 � 
 r � c � 2
¿Por qué haydos pruebas diferentes para la misma hipótesis estadística? ¿Cuál debe-
ría usarse? Para estas dos situaciones, se puede usar ya sea la prueba z o bien la prueba ji 
cuadrada, y se obtendrán resultados idénticos. Para la prueba de una o de dos muestras, 
podemos demostrar algebraicamente que
z2 � x 2
de modo que el estadístico de prueba z será la raíz cuadrada (ya sea positiva o negati-
va, dependiendo de los datos) del estadístico ji cuadrada. Además, podemos demostrar 
teóricamente que la misma relación se cumple para los valores críticos de las tablas z 
y x2 del apéndice I, que produce valores p idénticos para las dos pruebas equivalentes. 
Para probar una hipótesis alternativa de una cola como H0 : p1 
 p2, primero se deter-
mina si p̂1 � p̂2 
 0, es decir, si la diferencia en proporciones muestrales tiene el signo 
apropiado. Si es así, el valor crítico apropiado de x 2 de la tabla 5 tendrá un grado de 
libertad y un área de cola derecha de 2a. Por ejemplo, el valor crítico x 2 con 1 df y a � 
.05 será x 2.10 � 2.70554 � 1.645
2.
En resumen, usted es libre de escoger la prueba (z o X2) que sea más cómoda. Como 
casi todos los paquetes de computadora incluyen la prueba ji cuadrada y la mayor parte 
de ellos no incluyen las pruebas z de muestra grande, la prueba ji cuadrada puede ser 
preferible.
OTRAS APLICACIONES DE LA PRUEBA 
JI CUADRADA
La aplicación de la prueba ji cuadrada para analizar datos de cantidades es sólo uno de mu-
chos problemas de clasifi cación que resultan en datos multinomiales. Algunas de estas 
aplicaciones son bastante complejas, requiriendo procedimientos complicados o difíci-
les desde el punto de vista de cálculos para estimar las cantidades de celda espe radas. No 
obstante, varias aplicaciones se utilizan con sufi ciente frecuencia para hacerlas dignas 
de mención:
• Pruebas de bondad del ajuste: Se puede diseñar una prueba de bondad de 
ajuste para determinar si los datos son consistentes con datos tomados de una 
distribución particular de probabilidad, posiblemente normal, binomial, de Pois-
son u otras distribuciones. Las celdas de un histograma de frecuencia muestral 
corresponden a las k celdas de un experimento multinomial. Las cantidades espe-
radas de celda se calculan usando las probabilidades asociadas con la distribución 
hipotética de probabilidad.
• Multinomiales dependientes del tiempo: Se puede usar el estadístico ji cua-
drada para investigar la rapidez de cambio de proporciones multinomiales (o 
binomiales) en el tiempo. Por ejemplo, suponga que la proporción de respuestas 
correctas en un examen de 100 preguntas se registra para un estudiante, que 
Muestra 1 Muestra 2
Éxitos Éxitos
Fracasos Fracasos
Éxitos Fracasos
Las pruebas binomiales de 
una y de dos muestras del 
capítulo 9 son equivalentes a 
pruebas ji cuadrada, z 2 � x 2.
CONSEJOMIMI
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	14 ANÁLISIS DE DATOS CATEGÓRICOS
	14.5 Comparación de varias poblaciones multinomiales: una clasificación de dos vías con totales de renglón o columna fijos
	Ejercicios
	14.6 La equivalencia de pruebas estadísticas
	14.7 Otras aplicaciones de la prueba ji cuadrada