Practica2_EDB_2017_I_solucion

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ESTADÍSTICA BÁSICA 
SEMESTRE 2017-I 
PRÁCTICA 2 
VIERNES, 12 DE MAYO DE 2017 
Nombre:___________________________________________________________________________ 
Sección:___________________ 
No se puede consultar ningún tipo de documentación. JUSTIFICA TODAS TUS RESPUESTAS. 
 
1. Responde de forma breve pero razonada a las siguientes cuestiones: 
a. Sea 𝑋 una variable aleatoria discreta que toma los valores 𝑋 = {1,2,3,4} con función de probabilidad 
𝑝(𝑥) = 𝑐/𝑥. ¿Cuánto debe valer 𝑐? (1.5p) 
b. Sea 𝑋 una variable aleatoria discreta que toma los valores 𝑋 = {2,4,6,8,10,12} y cierta función de 
probabilidad 𝑝(𝑥). ¿Puede 𝑥 = 2 ser la mediana? (1.5p). 
c. Sea 𝑋 una variable aleatoria de media 𝜇𝑋 = 0 y varianza 𝜎𝑋
2 = 3 , y sea 𝑌 una variable aleatoria 
independiente de 𝑋 y de media 𝜇𝑌 = 1 y varianza 𝜎𝑌
2 = 1. Calcula: 
• 𝑉𝑎𝑟(𝑌 − 𝑋). (0.5p) 
• 𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 2𝑌 + 2). (0.5p) 
• 𝐸(𝑌 − 𝑋). (0.5p) 
• 𝐸 (
2𝑋+3𝑌
3
). (0.5p) 
d. Indica las razones por las que la siguiente curva no puede corresponder a una función de distribución de 
una variable aleatoria continua. Razona brevemente la respuesta. (2p) 
 
SOLUCIÓN 
a. Para que 𝑝(𝑥) sea función de probabilidad tiene que cumplirse que 0 ≤ 𝑝(𝑥) ≤ 1 y ∑𝑝(𝑥𝑖)=1. En nuestro caso 
se tiene que: 
∑𝑝(𝑥𝑖) =
𝑐
1
+
𝑐
2
+
𝑐
3
+
𝑐
4
=
(12 + 6 + 4 + 3)𝑐
12
=
25𝑐
12
= 1 ⇒ 𝑐 =
12
25
. 
Es fácil comprobar, además, que con este valor de 𝑐 se verifica que 0 ≤ 𝑝(𝑥) ≤ 1. 
b. Sí puede. La mediana es el mínimo valor de 𝑋 tal que 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥𝑚) ≥ 0.5. Para ello, basta con que 𝑝(2) ≥ 0.5. 
c. Los cálculos son los siguientes: 
• 𝑉𝑎𝑟(𝑌 − 𝑋) = 𝑉𝑎𝑟(𝑌) + 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 3 + 1 = 4; 
• 𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 2𝑌 + 2) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 4𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 3 + 4 = 7. 
• 𝐸(𝑌 − 𝑋) = 𝐸(𝑌) − 𝐸(𝑋) = 1 − 0 = 1. 
• 𝐸 (
2𝑋+3𝑌
3
) =
2𝐸(𝑋)+3𝐸(𝑌)
3
=
2(0)+3(1)
3
= 1. 
d. Ese gráfico no puede corresponder a una función de distribución 𝐹(𝑥) de una variable continua por las 
siguientes 4 razones: (0.5p cada una) 
1. Tiene una discontinuidad entre los valores 9 y 10, mientras que 𝐹(𝑥) no puede presentar 
discontinuidades al tratarse de probabilidades que se van acumulando paulatinamente. 
2. Tiene un salto en 𝑋 = 11 de valor 0.1, lo que es imposible. Ese salto implicaría que 𝑃(𝑋 = 11) = 0.1. 
Sin embargo, en cualquier v.a. continua se tiene que 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) = 0. 
3. Entre 11 y 14 toma valores mayores que 1. Dado que 𝐹(𝑥) es una probabilidad, 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥), no puede 
nunca estar por encima de 1. 
4. Entre 13 y 15 decrece, lo que no es posible. 𝐹(𝑥) va acumulando probabilidad al crecer 𝑥, por lo que 
siempre es monótona no decreciente. 
 
 
 
2. En el estacionamiento de un banco hay 3 espacios destinados a los vehículos de los clientes. Se ha realizado un 
estudio sobre la ocupación de dichos espacios, y se ha determinado que la variable X, número de espacios 
ocupados, tiene la siguiente función de probabilidad: 
X p(x) 
0 0.15 
1 0.35 
2 0.30 
3 0.20 
Conteste de forma razonada las siguientes cuestiones: 
a) Defina 𝐹(𝑥). (1.5p) 
b) Grafique 𝐹(𝑥). (1p) 
c) Si se sabe que hay al menos un espacio ocupado, ¿cuál es la probabilidad de que no estén ocupados todos 
los espacios? (1p) 
d) Calcule los cuartiles de la variable 𝑋. (1.5p) 
e) Calcule la varianza de la variable 𝑋. (1p) 
 
SOLUCIÓN 
a) 
X p(x) F(x) 
0 0.15 0.15 
1 0.35 0.5 
2 0.30 0.80 
3 0.20 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
c) 
𝑃(𝑋 < 3 | 𝑋 > 0) =
𝑃(𝑋 < 3 ∩ 𝑋 > 0)
𝑃(𝑋 > 0)
=
𝑃(0 < 𝑋 < 3)
𝑃(𝑋 > 0)
=
𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2)
1 − 𝑃(𝑋 ≤ 0)
 
 
 
0; 𝑥 < 0 
0.15; 0 ≤ 𝑥 < 1 
0.5; 1 ≤ 𝑥 < 2 
0.8; 2 ≤ 𝑥 < 3 
1; 𝑥 ≥ 3 
𝐹(𝑥) = 
𝑃(𝑋 < 3 | 𝑋 > 0) =
0.35 + 0.3
1 − 0.15
= 𝟎. 𝟕𝟔𝟒𝟕 
 
d) Conociendo las funciones de probabilidad y distribución: 
 
X p(x) F(x) 
0 0.15 0.15 
1 0.35 0.5 
2 0.30 0.80 
3 0.20 1 
 
 
𝐹(𝑄1) = 0.25 → 1 
𝐹(𝑄2) = 0.50 → 1 
𝐹(𝑄3) = 0.75 → 2 
 
e) 
𝜇 = (0×0.15) + (1×0.35) + (2×0.30) + (3×0.20) = 1.55 
 
𝜎2 = (0 − 1.55)2×0.15 + (1 − 1.55)2×0.35 + (2 − 1.55)2×0.30 + (3 − 1.55)2×0.20 = 𝟎. 𝟗𝟒𝟕𝟓 
 
 
 
 
3. La longitud (mm) X de una pieza manufacturada es una variable aleatoria con función densidad: 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 
 
 
Conteste de manera razonada las siguientes cuestiones: 
a) Calcule el valor de 𝑘. (1.5p) 
b) Calcule los percentiles 20, 60 y 90 de la variable longitud. (1.5p) 
c) Las piezas defectuosas son aquellas cuyas longitudes son menores que 11 y mayores que 14. ¿Qué 
proporción de piezas son defectuosas? (1.5p) 
d) Calcule la longitud esperada de las piezas manufacturadas. (1.5p) 
e) ¿Cuál es la moda de la variable longitud? (1p) 
SOLUCIÓN: 
a) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
= ∫ (𝑘𝑥 − 0.9)𝑑𝑥
12
10
+ ∫ (−0.025𝑥 + 0.5)𝑑𝑥
16
12
 
[
𝑘(12)2
2
− 0.9(12) − 
𝑘(10)2
2
+ 0.9(10)] + 0.6 = 1 
𝑘 = 0.1 
 
b) Ya que 𝑓(𝑥) es una función a trozos, primero conviene calcular 𝐹(12) para conocer la probabilidad 
acumulada en 12: 
𝐹(12) = ∫ (0.1𝑥 − 0.9)𝑑𝑥
12
10
= 0.4 
Por lo tanto: 
- El percentil 20 se encontrará bajo el primer trozo de la función. 
 
∫(0.1𝑢 − 0.9)𝑑𝑢
𝑥
10
= 0.2 
0.05𝑥2 − 0.9𝑥 + 4 = 0.2 
 
𝑥 = 𝑷𝟐𝟎 = 𝟏𝟏. 𝟐𝟒 
 
- Los percentiles 60 y 90 se encontrarán bajo el segundo trozo de la función: 
∫ (0.1𝑢 − 0.9)𝑑𝑢
12
10
+ ∫(−0.025𝑢 + 0.5)𝑑𝑢
𝑥
12
= 0.6 
0.4 + ∫(−0.025𝑢 + 0.5)𝑑𝑢
𝑥
12
= 0.6 
∫(−0.025𝑢 + 0.5)𝑑𝑢
𝑥
12
= 0.2 
𝑥 = 𝑷𝟔𝟎 = 𝟏𝟑. 𝟎𝟕 
 
 
𝑘𝑥 − 0.9 ; 10 ≤ 𝑥 < 12 
−0.025𝑥 + 0.5 ; 12 ≤ 𝑥 ≤ 16 
 
∫ (0.1𝑢 − 0.9)𝑑𝑢
12
10
+ ∫(−0.025𝑢 + 0.5)𝑑𝑢
𝑥
12
= 0.9 
⇒ 0.4 + ∫(−0.025𝑢 + 0.5)𝑑𝑢
𝑥
12
= 0.9 
∫(−0.025𝑢 + 0.5)𝑑𝑢
𝑥
12
= 0.5 
𝑥 = 𝑷𝟗𝟎 = 𝟏𝟓. 𝟏𝟎 
 
c) 
𝑃(defectuosa) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
11
10
+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
16
14
 
= ∫ (0.1𝑥 − 0.9)𝑑𝑥
11
10
+ ∫ (−0.025𝑥 + 0.5)𝑑𝑥
16
14
 
= 0.15 + 0.25 = 0.4 
 
𝑷(defectuosa) = 𝟎. 𝟒 
d) 
𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
16
10
 
= ∫ 𝑥(0.1𝑥 − 0.9)𝑑𝑥
12
10
+ ∫ 𝑥(0.025𝑥 + 0.5)𝑑𝑥
16
12
 
 
 
𝑬(𝑿) = 𝟏𝟐. 𝟕𝟑𝟑𝟑 
 
e) 
 
 
Ya que 𝑓(𝑥) es abierta en 12 para el primer trozo, la moda no existe. 
 
 
 
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
8 10 12 14 16 18