Practica3_EDB_2017_I_solucion_(1)

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ESTADÍSTICA BÁSICA 
SEMESTRE 2017-I 
PRÁCTICA 3 
VIERNES, 26 DE MAYO DE 2017 
Nombre:___________________________________________________________________________ 
Sección:___________________ 
Sólo puede consultarse el formulario y las tablas que se adjuntan. La notación de la normal es 𝑵(𝝁; 𝝈𝟐) 
 
1. Responde de forma breve, pero razonada, a las siguientes cuestiones: 
a. La probabilidad de aprobar el examen sustitutorio de cierta asignatura es del 40%. Si se presentan 10 
alumnos a ese examen, ¿cuál es la probabilidad de que aprueben menos de 3 alumnos? (2p) 
b. Siguiendo con la cuestión anterior, ¿cuál es el percentil 10 del número de alumnos que aprueben ese 
examen sustitutorio? (2p) 
c. Un paso de peatones de cierta calle está regulado con un semáforo. Cuando el semáforo está en verde, 
los autos pasan frente al semáforo a un ritmo medio de 20 autos por minuto, e independientemente unos 
de otros. ¿Podemos asumir que el tiempo que transcurre desde que pasa un vehículo frente al semáforo 
hasta que pasa el siguiente se puede modelizar como una distribución normal? (1p) 
d. Seguimos con la cuestión anterior. Si el semáforo permanece en rojo durante 30 segundos, ¿cuántos 
autos habrá, por término medio, formando cola cuando se vuelva a poner de nuevo en verde? (2p) 
 
SOLUCIÓN: 
a. Sea 𝑋 =número de alumnos que superan la asignatura. Asumiendo que cada alumno supera la asignatura 
independientemente de lo que hagan los demás, se tiene que 𝑋 ∼ 𝐵(𝑛 = 10; 𝑝 = 0.4). (1p) 
Por tanto, 
𝑃(𝑋 < 3) = 𝑃[(𝑋 = 0) ∪ (𝑋 = 1) ∪ (𝑋 = 2)] 
= 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) 
= (10
0
)0.40×0.610 + (10
1
)0.41×0.69 + (10
2
)0.42×0.68 (0.5p) 
= 0.006 + 0.0403 + 0.1209 = 0.1672 (0.5p) 
 
b. Al ser 𝑋 discreta, el percentil 10 será el mínimo valor de 𝑋 que tenga una probabilidad acumulada mayor o 
igual al 10%. Viendo las probabilidades calculadas en el apartado anterior, ese valor es 2, pues 
𝑃(𝑋 ≤ 1) = 0.0463 𝑦 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 0.1672 
⇒ 𝑃10 = 2 (2p) 
 
c. Sea 𝑋 =número de vehículos que pasan frente al semáforo en un minuto. Entonces 
𝑋 ∼ 𝑃𝑜𝑖 (𝜆 = 20
𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠
min
). (0.5p) 
Si el número de autos que pasan frente al semáforo en una unidad de tiempo sigue una distribución de 
Poisson 𝑋 ∼ 𝑃𝑜𝑖(𝜆), el tiempo 𝑇 que transcurre entre dos autos consecutivos será una exponencial, 𝑇 ∼
𝐸𝑥𝑝(𝜆), y no una normal. A diferencia de lo que ocurre con una distribución de Poisson, una distribución 
exponencial no se puede aproximar a una normal aunque 𝜆 sea muy grande. (0.5p) 
 
d. Definimos ahora 𝑌 =número de autos que llegan al semáforo en 30 segundos. Entonces 
𝑌 ∼ 𝑃𝑜𝑖 (𝜆𝑦 = 10
𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠
30 𝑠
). (1p) 
Cuando esté en rojo, los autos que lleguen irán formando una cola hasta que se ponga en verde. Por tanto, 
el número medio de autos que lleguen a ese semáforo en 30 segundos, y que harán cola, será: 
𝐸(𝑌) = 𝜆𝑦 = 10 autos. (1p) 
 
 
 
 
2. Un proceso industrial de fabricación de un artículo manufacturado consta de dos etapas independientes que se 
ejecutan una a continuación de la otra. La duración de la Etapa 1 sigue una distribución 𝑁(11; 1), mientras que la 
duración de la Etapa 2 es 𝑁(10; 1). 
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la Etapa 1 se realice en menos de 10 minutos? (2p) 
b. ¿Cuál es el primer cuartil de la duración de la Etapa 2? (2p) 
c. Si tras finalizar la Etapa 1 un artículo pasase a la Etapa 2 de forma inmediata ¿Cuál es la probabilidad de 
que se pueda completar todo el proceso en menos de 18 minutos? (2p) 
d. ¿Cuál es la probabilidad de que un artículo se demore más en la Etapa 2 que en la Etapa 1? (1p) 
 
SOLUCIÓN: 
 
a. Sea 𝑋1 = duración de la Etapa 1. 
𝑃(𝑋1 < 10) = 𝑃 (
𝑋1 − 11
1
<
10 − 11
1
) = 𝑃(𝑍 < −1) = 0.1587. 
 
b. Sea 𝑋2 = duración de la Etapa 2. Buscamos el valor 𝑥0 tal que 𝑃(𝑋2 ≤ 𝑥0) = 0.25. 
 
𝑃(𝑋2 ≤ 𝑥0) = 𝑃 (𝑍 ≤
𝑥0 − 10
1
) = 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧0) = 0.25 
 
De las tablas de la normal estándar vemos que 𝑧0 ≈ −0.67. Por tanto 
𝑥0 − 10
1
= −0.67 ⇒ 𝑥0 = 10 − 0.67 = 9.33 minutos. 
 
c. Sea 𝑋𝑇 = duración total del proceso. Entonces 𝑋𝑇 = 𝑋1 + 𝑋2. Como la combinación lineal de normales es 
también normal, y dado que 𝑋1 y 𝑋2 son independientes, se tiene que: 
𝐸(𝑋𝑇) = 𝐸(𝑋1) + 𝐸(𝑋2) = 21 
𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑇) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋1) + 𝑉𝑎𝑟(𝑋2) = 2 
𝑋𝑇 ∼ 𝑁(21; 2). 
 
Con este resultado se puede calcular la probabilidad que se pide: 
𝑃(𝑋𝑇 < 18) = 𝑃 (𝑍 <
18 − 21
√2
) = 𝑃(𝑍 < −2.12) = 0.0170. 
 
d. La probabilidad de que La Etapa 2 demore más que la 1 es la probabilidad de que 𝑋2 > 𝑋1 
𝑃(𝑋2 > 𝑋1) = 𝑃(𝑋2 − 𝑋1 > 0) 
 
Si llamamos 𝑌 = 𝑋2 − 𝑋1 tendremos que 
𝑌 ∼ 𝑁(10 − 11; 1 + 1) = 𝑁(−1,2). 
 
Por tanto 
𝑃(𝑋2 > 𝑋1) = 𝑃(𝑌 > 0) = 𝑃 (𝑍 >
0 − (−1)
√2
) = 𝑃(𝑍 > 0.71) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 0.71) = 1 − 0.7611 = 0.2389. 
 
 
 
3. Se tiene un sistema formado por dos componentes en serie como el de la figura: 
 
donde los dos componentes tienen las mismas características. La avería de un componente es independiente del 
estado del otro componente. El sistema funciona si entre A y B es posible encontrar un camino de componentes que 
funcionen. Sabiendo que la duración de cada componente (tiempo transcurrido desde que se conecta hasta que se 
avería) es una variable exponencial de media 6500 horas, se pide responder de forma justificada a las siguientes 
cuestiones: 
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el componente 1 dure más de 8000 horas? (2p) 
b. ¿Cuál debería ser la duración media del componente 1 para que la probabilidad calculada en el apartado 
anterior fuese 0.5? (1p) 
c. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema formado por ambos componentes dure más de 8000 horas? (2p) 
d. Sabiendo que el sistema lleva 2000 horas funcionando, ¿cuál es la probabilidad de que funcione 8000 horas 
más (10000 horas desde que se conectó)? (1p) 
 
SOLUCIÓN: 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el componente 1 dure más de 8000 horas? (2p) 
𝑇~𝐸𝑥𝑝 (
1
6500
) 
𝑃(𝑇1 > 8000) = 𝑒
−8000λ = 𝑒−
8000
6500 = 𝟎. 𝟐𝟗𝟐𝟏 
 
b) ¿Cuánto tendría que valer la media de la duración para que la probabilidad calculada en el apartado anterior sea 
0.5? (1p) 
𝑃(𝑇 > 8000) = 𝑒−8000λ = 0.5 
−8000λ = ln (0.5) 
λ =
ln(0.5)
−8000
 
→ μ =
1
λ
= 𝟏𝟏𝟓𝟒𝟏. 𝟔 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 
 
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema formado por ambos componentes dure más de 8000 horas? (2p) 
𝑃(𝑇𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 > 8000) = 𝑃(𝑇1 > 8000 ∩ 𝑇2 > 8000) 
= 𝑃(𝑇1 > 8000)×𝑃(𝑇2 > 8000) 
= 𝑒−
8000
6500×𝑒−
8000
6500 
= 𝟎. 𝟎𝟖𝟓𝟑 
 
d) Sabiendo que el sistema lleva 2000 horas funcionando, ¿cuál es la probabilidad de que funcione 8000 horas más 
(10000 horas desde que se conectó)? (1p) 
𝑃(𝑇𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 > 10000 | 𝑇𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 > 2000) 
=
𝑃(𝑇𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 > 10000 ∩ 𝑇𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 > 2000)
𝑃(𝑇𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 > 2000)
 
 
=
𝑃(𝑇𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 > 10000)
𝑃(𝑇𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 > 2000)
=
𝑃(𝑇1 > 10000 ∩ 𝑇2 > 10000)
𝑃(𝑇1 > 2000 ∩ 𝑇2 > 2000)
 
 
=
𝑒−
10000
6500 ×𝑒−
10000
6500
𝑒−
2000
6500×𝑒−
2000
6500
 
 
= 𝟎. 𝟎𝟖𝟓𝟑