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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE ADMINISTRACION Y ECONOMIA
 DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA Y ECONOMETRIA
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE ADMINISTRACION Y ECONOMIA
 DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA Y ECONOMETRIA
MODELOS PROBABILÍSTICOS DISCRETOS Y CONTINUOS.TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE.
PROFESOR: RAÚL CORNEJO ROMERO
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Una máquina produce artículos en los que hay una proporción de defectuosos. El ingeniero a cargo de la producción acostumbra inspeccionar la máquina cada hora, mediante una muestra. Si la muestra no contiene artículos defectuosos, permite que la máquina siga trabajando. Admitiendo que , determinar el tamaño máximo de la muestra, de modo que la probabilidad que la máquina no sea detenida en una inspección determinada sea menor o igual que 0.01.
Solución:
· Sea n el tamaño de la muestra, que queremos determinar.
· Número de artículos defectuosos en la muestra de tamaño n.
· La distribución de probabilidad de X es, 
· La máquina no se detiene, si la variable aleatoria X toma el valor, 0, entonces, 
2. Las personas llegan aleatoriamente a la ventanilla de un banco en promedio a una razón de 24 por hora durante el período de tiempo entre 11.30 AM y 12 AM de cierto día. ¿Cuál es la probabilidad que exactamente 5 personas lleguen durante un período de tiempo de 12 minutos? ¿Cuál es la probabilidad que lleguen por lo menos 10 personas? ¿Qué lleguen a lo más 12?
Solución:
· Número de personas que llegan durante un período de 12 minutos 
· 
· X es una variable aleatoria de Poisson y su distribución es 
· 
· 
· 
· Hay una probabilidad de 0.1747 de que exactamente 5 personas lleguen durante cualquier período de tiempo de 12 minutos.
3. En una fábrica el número de accidentes por semana sigue un proceso de Poisson con parámetro . Determinar:
(a) La probabilidad de que haya 4 accidentes en el transcurso de tres semanas.
(b) La probabilidad que haya 2 accidentes en una semana y otros 2 accidentes la semana siguiente.
(c) Es lunes y ya ha habido un accidente. La probabilidad que en aquella semana no haya más de 3 accidentes.
Solución:
(a) Definimos las variables aleatorias de Poisson con parámetro 
 respectivamente.
 número de accidentes en la primera semana.
 número de accidentes en la segunda semana.
 número de accidentes en la tercera semana.
Las tres variables aleatorias son independientes. La variable aleatoria , número de accidentes en las tres semanas, también sigue una distribución de Poisson de parámetro 2+2+2=6
(b) Si y son las variables aleatorias definidas en (a) debemos calcular
(c) Sea número de accidentes en una semana. Es una variable aleatoria de Poisson de parámetro . Debemos calcular,
4. Los microbuses de cierta línea van a un horario estricto con intervalo de 8 minutos. Un pasajero llega de improviso a un determinado paradero. Si X es la variable aleatoria que representa el tiempo de espera del pasajero. Hallar:
(a) La función de densidad de la variable aleatoria X.
(b) La función de distribución de X.
(c) La probabilidad que espere al microbús menos de 5 minutos.
(d) La probabilidad que espere más de 2 minutos.
(e) La probabilidad que espere exactamente 7 minutos.
Solución: 
La variable aleatoria X está definida por tiempo (en minutos) que debe esperar el pasajero.
(a) Puesto que, el pasajero llega en cualquier instante al paradero, y todos los instantes son igualmente posibles (equiprobables), la variable aleatoria X sigue una distribución uniforme en un intervalo [a,b] de longitud b-a=8. Considerando a=0 y b=8, la función de densidad de X es
(b)	La función de distribución acumulativa es
 
(c)	Sea el evento A: “el pasajero espera menos de 5 minutos”
A es equivalente a que la variable aleatoria X está comprendida entre 0 y 5 minutos. Es decir
(d) B: “el pasajero espera más de 2 minutos”
(e) porque X es una variable aleatoria continua.
5. Suponga que la vida de cierto tipo de tubos electrónicos tiene una distribución exponencial con vida media de 500 horas. Si X representa la vida de un tubo (el tiempo que dura el tubo).
(a) Hallar la probabilidad que se queme antes de las 300 horas.
(b) ¿Cuál es la probabilidad que dure por lo menos 300 horas?
(c) Si un tubo particular ha durado 300 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que dure otras 400 horas?
Solución: 
Sabemos que , entonces , de donde 
La función de densidad de la variable aleatoria X es,
	
La función de distribución es
(a) 
(b) 
(c) 
Observe que, 
Esto es una propiedad de la distribución exponencial que se conoce como la de no tener memoria. En general, dado cualquier real a,b>0, se tiene 
Es decir, se cumple
6. Suponga que un fabricante tenga que decidir entre dos procesos de fabricación de cierto componente electrónico. El costo del proceso A es de dólares y del proceso B es dólares por unidad de componente, donde .
Los componentes electrónicos tienen un tiempo de falla exponencial con una razón de fallas por hora para las fabricadas por el proceso A y fallas por hora para B. El fabricante debe garantizar, de manera que, si un componente dura menos de 400 horas, pagará una multa de dólares. ¿Qué proceso deberá usar?
Solución: 
Definimos las variables aleatorias siguientes:
 Tiempo de falla de cada componente electrónico.
 Costo (por unidad) del componente electrónico fabricado por el proceso A.
 Costo (por unidad) del componente electrónico fabricado por el proceso B.
Para el proceso A, tenemos
Para el proceso B, tenemos
La función de distribución de la variable T es
Donde es respectivamente.
Calculemos el costo esperado para cada uno de los procesos
 
 
 será mayor, igual o menor que , según que sea mayor, igual o menor que uno. Es decir
Cuando se cumple la primera relación escogemos el proceso B; en cambio si ocurre la segunda, escogemos cualquiera y cuando se cumple la tercera relación escogemos el proceso A. En nuestro caso
Si k cumple la relación (1), entonces la razón , escogemos el proceso B.
7. Un vendedor vende periódicos en una esquina. Los periódicos que vende son eventos de un proceso de Poisson con parámetro por hora. Si alguien acaba de comprarle un periódico. ¿Cuál es la probabilidad que transcurran al menos 2 minutos antes que venda otro? 
 Solución: 
Sea X la variable aleatoria definida por Longitud de tiempo entre ventas.
En el proceso de Poisson por hora. Entonces el promedio de ventas por minuto será, . La función de distribución de X es
8. La fábrica de neumáticos “DURAMAS” produce un tipo de neumáticos que tiene una vida útil media de 80000 km y una desviación estándar de 8000 km. Suponiendo que esta vida útil está distribuida normalmente:
(a) ¿Cuál es la probabilidad que un neumático dure más de 96000 km?
(b) El 50% de los neumáticos duran entre y kilómetros. Hallar los valores de y , si ellos son simétricos respecto a la media.
(c) El fabricante garantiza que reemplazará gratis cualquier neumático cuya duración sea inferior a x. Determinar el valor de x de modo que tenga que reemplazar sólo el 1% de los neumáticos.
Solución: 
X = Vida útil de un neumático en km.
(a) 
(b) , además, y, simétricos respecto a la media. Por lo tanto
 y 
De donde 
(c) 
km
9. El número de horas de duración de una pila para transistores, tiene una distribución normal con y . Si se seleccionan muestras aleatorias de 16 pilas. 
(a) ¿Qué proporción de las medias muestrales estará entre 100 y 125 horas?
(b) ¿Por debajo de qué valor en horas caerá el 95% de las medias muestrales?
(c) ¿Dentro de qué límites caerá el 99% de las medias muestrales alrededor de la media de la población?
(d) ¿Es necesario que se cumpla el teorema central del límite para contentar (a), (b), (c)? Explique.
Solución:
· La población, Número de horas de duración de una pila; tiene una distribución normal con y .
· Se extraen muestras aleatorias de 16 pilas, de esta población. Entonces cada tiene una distribución normal con y .
· , tiene una distribución normal (propiedad reproductiva) con y .(a) 
(b) Sea el valor que debemos determinar, entonces 
De donde se obtiene .
(c) Suponiendo que los límites y dentro de los cuales caerá el 99% de medias muestrales alrededor de la media poblacional son simétricos respecto a dicha media. Es decir y . Entonces,
 
 
Obtenemos de donde . Por lo tanto, los límites pedidos son:
(d) No es necesario que se cumpla el teorema central del límite, puesto que la población tiene una distribución normal.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Una compañía quiere evaluar sus procedimientos de inspección en embarques de 50 artículos idénticos. El procedimiento consiste en tomar una muestra de 5 y aceptar el embarque si no se encuentran más de dos defectuosos. ¿Qué proporción de embarques con un 20% de artículos defectuosos será aceptada?
2. Los accidentes de trabajo que se producen por semana en una fábrica siguen una ley de Poisson, tal que, la probabilidad que haya 5 accidentes es 16/15 de que haya 2. Calcular:
(a) El parámetro de la distribución de Poisson.
(b) La probabilidad que no haya accidentes en 3 semanas.
3. En determinada planta manufacturera han ocurrido accidentes a razón de 1 cada 2 meses. Suponiendo que ocurren en forma independiente. ¿Cuál es el número esperado de accidentes al año? ¿Cuál es la desviación estándar del número de accidentes al año? ¿Cuál es la probabilidad que no haya accidentes en un mes?
4. Cierto semáforo permanece rojo 45 segundos cada vez. Usted llega (al azar) al semáforo y encuentra en rojo. Use una función de densidad uniforme apropiada para hallar la probabilidad que el semáforo se ponga en verde en menos de 15 segundos.
5. El tiempo que tarda una persona en ser atendida en una cafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad que una persona sea atendida en menos de 3 minutos, al menos en 4 de los 6 días siguientes?
6. En un conmutador telefónico se reciben llamadas de acuerdo a un proceso de Poisson con parámetro por hora. Si hay una persona en el conmutador. ¿Cuál es la probabilidad que transcurran al menos 15 minutos antes de la siguiente llamada? ¿De que no pasen más de 10 minutos? Si ya han transcurrido 10 minutos desde la última llamada, ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran a lo más 5 minutos más para la siguiente llamada?
7. Un supermercado almacena 30 kilogramos de queso fundido cada semana. Si la demanda semanal de queso fundido está normalmente distribuida con media 24 kg y desviación típica 5 kg. Determinar la probabilidad que el supermercado agote los quesos fundidos durante una semana seleccionada al azar.
8. El número de días entre la facturación y el pago de las cuentas corrientes de crédito en una tienda de departamentos grande tiene una distribución aproximadamente normal con una media de 18 días y una desviación estándar de 4 días. ¿Qué proporción de las facturas será pagada
(a) Entre 12 y 18 días
(b) Entre 20 y 23 días
(c) En menos de 8 días
(d) ¿Dentro de cuántos días estará pagado el 99.5% de las facturas?
(e) ¿Entre cuales dos valores simétricamente distribuidos alrededor de la media recaerá el 98% de las facturas?
(f) Si se eligen aleatoria e independientemente 10 facturas. ¿Cuál es la probabilidad que 3sean pagadas en menos de 8 días?
9. Suponga que los pesos de los pasajeros que viajan por aire en los vuelos establecidos que parten de un aeropuerto grande siguen una distribución normal con media 78 kg y desviación estándar 10 kg. Encuentre los límites (simétricos alrededor de la media) de tal manera que el 95% de los pasajeros tengan un peso límite dentro de estos valores. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso total de una muestra al azar de 100 pasajeros exceda a 8000 kg?
10. Una cadena de tiendas a nivel nacional, vende una marca muy conocida de calculadora de bolsillo. Para poder lograr el máximo descuento por volumen de compra, todas las tiendas deben hacer un nuevo pedido de calculadoras al mismo tiempo. La decisión para el nuevo pedido, es hacer el pedido cuando el inventario promedio en una muestra de tiendas es menor de 25 calculadoras. Con base en datos anteriores, se supone que la desviación estándar es de 10 calculadoras. Si se selecciona una muestra de 25 tiendas, ¿Cuál es la probabilidad que se vuelva a ordenar el pedido de calculadoras,
(a) Cuando el inventario promedio real de todas las tiendas es de 20 calculadoras?
(b) Cuando el inventario promedio real de todas las tiendas es de 30 calculadoras?
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