Unidad II Espacios vectoriales

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Nombre del alumno: Antony Arturo García Pérez
Matrícula: 2020690020
Carrera: Licenciatura en Ciencia de Datos
Nombre de la materia: Álgebra Lineal
Nombre del docente: Juan Candelario Pantoja Espinoza
Unidad II Espacios vectoriales
Sabinas, Coahuila							01/12/2020
Unidad II Espacios vectoriales
1. Bases de un espacio vectorial
Vectores linealmente dependientes: Un conjunto de vectores será linealmente dependiente si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal del resto. Otra definición equivalente será que el vector cero se podrán expresar como combinación lineal de este conjunto de vectores en el que al menos algún coeficiente será distinto de cero.
Vectores linealmente independientes: Un conjunto de vectores será linealmente independiente si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal del resto de los vectores. Otra forma de definirlo será si el vector cero sólo se puede expresar como combinación lineal de estos vectores cuando los coeficientes que multiplican a cada vector son nulos.
Pues bien, en el estudio del plano, siempre que tengamos un conjunto de dos vectores linealmente independientes, podremos expresar cualquier vector del plano como combinación lineal de estos dos vectores
La idea es sencilla: en el plano nos encontramos con dos dimensiones, el largo y el ancho. Cada vector dará una dirección del plano. Si tenemos dos direcciones, a partir de éstas podremos obtener el resto de direcciones simplemente con buscar combinaciones lineales de estos vectores.
Esta idea se recoge en la siguiente definición:
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL:
Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes y que son capaces de generar cualquier vector de dicho espacio. En nuestro estudio del plano, una base estará formada por dos vectores linealmente independientes.
COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE:
Las coordenadas de un vector respecto de una base son los escalares por los que hay que multiplicar los vectores de la base de forma que representen al vector dado mediante una combinación lineal de dichos vectores de la base.
a. Dimensión de un espacio vectorial
La dimensión de un espacio vectorial (también llamada dimensión de Hamel de un espacio vectorial, para distinguirla de la dimensión de Hilbert en el caso de los espacios de Hilbert) es el número de vectores que forman una base [de Hamel] del espacio vectorial.
Dado un espacio vectorial pueden considerarse conjuntos de vectores S de un espacio vectorial V y se puede examinar si poseen algunas de estas propiedades:
· Independencia lineal se dice que un conjunto de vectores {\displaystyle S\subset V}SєV es linealmente independiente si para cualquier número finito de vectores se cumple que:
Nótese que en un espacio vectorial de dimensión finita n, el máximo número de vectores linealmente independientes es n.
· Conjunto generador, dado un subespacio lineal L se dice que un conjunto S es generador de L si:
Nótese que un conjunto finito de m elementos puede generar a lo sumo un subespacio L de dimensión a lo sumo m.
Un conjunto que sea linealmente independiente (1) y generador del espacio vectorial (2) se dice que es una base vectorial. Puede demostrarse que todas las bases de un espacio vectorial son conjuntos con el mismo número de elementos (es decir, conjuntos que tienen el mismo cardinal). Y el número común de elementos de una base cualquiera es precisamente la dimensión del espacio vectorial.
Nótese un hecho importante, si se cambia el cuerpo de los escalares, de {\displaystyle \mathbb {R} }R a {\displaystyle \mathbb {C} }C, entonces el mismo punto M será determinado por el complejo zM =x + yi, es decir por un solo parámetro.
La dimensión de P es 1 sobre {\displaystyle \mathbb {C} }C y dos sobre R{\displaystyle \mathbb {R} }RRR:
Un plano real es por lo tanto una recta compleja. La apelación plano complejo para designar un plano real con escritura compleja de las coordenadas (x + yi en vez de (x; y)) es errónea, pero muy común.
El espacio ambiente es tridimensional y se requiere por lo tanto tres reales (x, y, z) para definir un punto. No se le puede considerar como un espacio sobre {\displaystyle \mathbb {C} }C.
En la teoría de la relatividad, se añade una cuarta variable: el tiempo, y un punto (x, y, z, t) de este espacio cuadridimensional corresponde a un evento o acontecimiento (las coordenadas nos dicen donde y cuando ocurrió).
En algunas teorías actuales, los físicos trabajan en un modelo del espacio con once dimensiones, pero sobre el conjunto de los enteros, y no los reales. Como el conjunto {\displaystyle \mathbb {Z} }Z de los enteros no es un cuerpo sino un anillo, el espacio no es vectorial (se dice que es un módulo). Sin embargo, la definición de la dimensión es válida en tales espacios. En este ejemplo, la mayoría de las dimensiones son enrolladas sobre sí mismas, como una serpiente que se muerde la cola. Su curvatura es enorme, pues su radio es microscópico, menor que el de un núcleo. Los espacios vectoriales no tienen curvatura.
b. Rango de una matriz
El rango de una matriz es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente independientes. El rango fila y el rango columna siempre son iguales: este número es llamado simplemente rango de A (prueba más abajo). Comúnmente se expresa como rg(A).
El número de columnas independientes de una matriz A de m filas y n columnas es igual a la dimensión del espacio columna de A. También la dimensión del espacio fila determina el rango. El rango de A será, por tanto, un número no negativo, menor o igual que el mínimo entre m y n:
Aplicaciones
Una útil aplicación de calcular el rango de una matriz es la de determinar el número de soluciones al sistema de ecuaciones lineales, enunciado del Teorema de Rouché–Frobenius. El sistema tiene por lo menos una solución si el rango de la matriz de coeficientes equivale al rango de la matriz aumentada. En ese caso, ésta tiene exactamente una solución si el rango equivale al número de incógnitas; en otro caso, la solución general tiene k parámetros libres, donde k es la diferencia entre el número de incógnitas y el rango.
Una matriz de {\displaystyle \scriptstyle n\times n}nxn es invertible (tiene inversa) si y sólo si su rango es máximo, es decir, igual a n.{\displaystyle \scriptstyle n}n
En teoría de control, el rango de una matriz se puede usar para determinar si un sistema lineal es controlable u observable.
2. Cambio de base
Un cambio de base se define como una aplicación lineal que permite relacionar entre sí las coordenadas de un espacio vectorial expresadas respecto a dos bases distintas. Esta definición depende a su vez del concepto de base en álgebra lineal, que se caracteriza como un conjunto de elementos linealmente independientes entre sí que constituyen un sistema generador del espacio vectorial al que pertenecen. Una base de un espacio vectorial de dimensión n es un conjunto de n vectores (α1,…, αn), llamados base de vectores, con la propiedad de que cada vector en el espacio puede expresarse como una combinación lineal única de los vectores de la base.
Las representaciones matriciales de las aplicaciones que operan sobre los vectores también están determinadas por la base elegida. Dado que a menudo es deseable trabajar con más de una base, es de fundamental importancia poder transformar fácilmente las representaciones de los vectores coordenados y de las aplicaciones que operan sobre ellos definidos con respecto a una base, a sus representaciones equivalentes con respecto a otra base. Esta transformación se denomina cambio de base.
a. Matriz cambio de base
La matriz del cambio de base de B' a B es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de B’ respecto de B. Por ejemplo, si tenemos las bases de R3 B= {(1,0,0), (0,1,0), (0,0, 1)} (la canónica) y B’ = {(1,0,1),(0,2,0),(0,0,3)}, la matriz P del cambio de base de B’ a B se obtiene poniendo por columnas las coordenadas de los vectores de B respecto de B (puesto que B es la canónica estas coordenadasson fáciles de calcular)
La ecuación cambio de base de B’ a B es
X = PX’
Siendo P la matriz del cambio de base de B’ a B. La ecuación matricial de nuestro ejemplo (de B’ a B) será:
Se nota que el cambio es de B’ a B en que introduciendo X’ (coordenadas respecto de B') al multiplicar por P.
Así si tenemos el vector x de R3 que tiene coordenadas respecto de B’: x = (2, 1, 2) B’, obtenemos:
Es decir x = (2, 2, 8) B.
3. Espacios con producto interno
Espacio vectorial con producto interno
Producto Interno:
Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>.
Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real ‹u, v› con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas:
Propiedades:
i. (v, v) ≥ 0
ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
iii. (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)
iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)
v. (u, v) = (v, u)
vi. (αu, v) = α(u, v)
vii. (u, αv) = α(u, v)
Espacios con producto interior:
El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación.
U ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)
‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V.
a. Base ortogonal y ortonormal
Una base de un espacio vectorial es ortogonal cuando los vectores que la forman son perpendiculares dos a dos.
Una base de un espacio vectorial es ortonormal cuando es una base ortogonal y sus vectores son unitarios
Propiedades de conjuntos ortogonales y ortonormales
Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos se puede normalizar como en el ejemplo de la sección anterior para obtener un conjunto ortonormal. Es decir, si S es un conjunto de vectores distintos de 0, entonces
Es un conjunto ortonormal.
Una propiedad fundamental de los conjuntos ortonormales de vectores es que son linealmente independientes. Se puede probar algo un poco más general.
Bases ortogonales y ortonormales
Cuando una base de un espacio vectorial es ortogonal (o bien, ortonormal), pasan varias cosas buenas. Esto amerita una definición por separado.
Definición. 
Sea S un conjunto de vectores en V. Decimos que S es
· Una base ortogonal si S es una base de V y es un conjunto ortogonal.
· Una base ortonormal si S una base de V y es un conjunto ortonormal.