Problemas de integración

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Cálculo integral: El cálculo integral está fundamentado en el proceso inverso de la 
derivación, dicho proceso se denomina integración coma el teorema de cálculo integral 
se dice: que la integración y la derivación son procesos inversos. 
𝐹=𝑓ⅆ𝑥=𝐹+𝐶 
En matemática, el término integral tiene un concepto mas complejo, en vista que la 
integral de una función F consiste en el área bajo la curva delimitada por los extremos 
de esta y sus proyecciones sobre uno de los ejes. 
 
 
Problema: 
Un tanque cilíndrico de 10 metros de altura y 5 metros de diámetro está lleno de agua. 
Se desea calcular la fuerza que ejerce el agua sobre la base del tanque. 
Solución: 
Para calcular la fuerza que ejerce el agua sobre la base del tanque, podemos utilizar la 
fórmula de la presión hidrostática: P = ρgh 
 
Donde P es la presión hidrostática, ρ es la densidad del líquido, g es la aceleración 
gravitacional y h es la altura del líquido. 
En este caso, el líquido es agua, cuya densidad es de 1000 kg/m³ y la altura del líquido 
es de 10 metros. Además, g = 9,8 m/s². 
Para calcular la presión hidrostática en cualquier punto del tanque, podemos dividir el 
tanque en pequeñas secciones verticales y calcular la presión hidrostática en cada una de 
ellas. Luego, podemos sumar todas las fuerzas que ejerce el agua sobre cada una de las 
secciones y obtener la fuerza total que ejerce el agua sobre la base del tanque. 
Cada sección vertical de agua se comporta como un prisma rectangular de base circular. 
La fuerza que ejerce el agua sobre cada sección se puede calcular mediante la fórmula: 
F = P * A 
 
Donde F es la fuerza, P es la presión hidrostática y A es el área de la sección. El 
área de la sección circular se puede calcular mediante la fórmula: 
A = πr² 
Donde r es el radio de la sección, que es la mitad del diámetro. 
Como el diámetro del tanque es de 5 metros, el radio es de 2,5 metros. 
Para una sección vertical de altura dy, el radio es constante y la presión hidrostática es 
P = ρg(y + h0), donde h0 es la altura del fondo del tanque respecto a la base del tanque. 
La fuerza sobre la sección vertical se puede calcular mediante la integral: 
dF = P * A * dy = ρg(y + h0) * πr² * dy 
Integrando esta expresión desde y = 0 hasta y = 10, obtenemos la fuerza total que ejerce 
el agua sobre la base del tanque: 
 
F = ∫₀¹₀ ρg(y + h0) * πr² dy 
= ρgπr² * ∫₀¹₀ (y + h0) dy 
= ρgπr² * [(y²/2) + h0y] from y = 0 to y = 10 
= 4906250 N 
Por lo tanto, la fuerza total que ejerce el agua sobre la base del tanque es de 4.906.250 
N, o aproximadamente 4.9 MN.