Reglas de la Derivacion Cálculo Diferencial e Integral

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
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Reglas de derivación 
Fecha: _______________ 
 
 
Reglas de Derivación 
 
𝑑𝑐𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
= 𝑐 
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] =
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
 ± 
𝑑𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑎𝑓(𝑥) ± 𝑏𝑔(𝑥)] = 𝑎 
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
± 𝑏 
𝑑𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
 
 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
+ 𝑔(𝑥) 
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
 
𝑑
𝑑𝑥
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
] =
𝑔(𝑥)
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
− 𝑓(𝑥)
𝑑𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
(𝑔(𝑥))2
 
 
 
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Derivadas de funciones básicas 
Fecha: _______________ 
 
 
Derivadas de funciones básicas 
 
1. Derivada de una función constante: 
𝑑𝑐
𝑑𝑥
= 0,⩝ 𝑐 ∈ 𝑅 
2. Derivada de la función idéntica: 
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 1 
3. Derivada de la función seno: 
𝑑𝑆𝑒𝑛 𝑣
𝑑𝑥
= 𝐶𝑜𝑠 𝑣 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 
4. Derivada de la función coseno: 
𝑑𝐶𝑜𝑠 𝑣
𝑑𝑥
= −𝑆𝑒𝑛 𝑣 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 
5. Derivada de la función seno hiperbólico: 
𝑑𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑣
𝑑𝑥
= 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑣 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 
6. Derivada de la función coseno hiperbólico: 
𝑑𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑣
𝑑𝑥
= 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑣 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 
7. Derivada de la función exponencial: 
𝑑𝑒𝑣
𝑑𝑥
= 𝑒𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 
8. Derivada de la función potencia: 
𝑑𝑣𝑛
𝑑𝑥
= 𝑛𝑣𝑛−1
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 
9. Derivada de la función logaritmo natural: 
𝑑
𝑑𝑥
𝐿𝑛 𝑣 =
1
𝑣
 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 
 
 
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Derivada (Interpretación geométrica) 
Fecha: _______________ 
 
 
 
Derivada (Interpretación geométrica) 
 
Sea: 
𝑓: 𝐴 → 𝑅; 𝐴 ⊂ 𝑅 
𝑦 = 𝑓(𝑥) 
Supongamos que la gráfica de 𝑓(𝑥) es 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema encontrar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥), 
en el punto 𝑃 = (𝑥, 𝑓(𝑥)) 
La pendiente de la recta secante a la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) que pasa por los puntos: 
𝑃 = (𝑥, 𝑓(𝑥)) y 𝑄 = (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 + ℎ)) 
Esta dada por: 
𝑚𝑠𝑒𝑐 = 
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑥 + ℎ − 𝑥
 
 
 
𝑚𝑠𝑒𝑐 =
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
 
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Derivada (Interpretación geometrica) 
Fecha: _______________ 
 
 
 
Conforma 𝑄 aproxima a 𝑃, la pendiente de la secante (𝑚𝑠𝑒𝑐) se aproxima a la pendiente de la recta tangente. 
Es decir: 
lim
𝑄→𝑃
 𝑚𝑠𝑒𝑐 = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= 𝑚𝑡𝑎𝑛 
Se dice que 𝑚𝑡𝑎𝑛 = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
 se llama derivada de la función f que se denota por 𝑓 ´(𝑥) =
𝑑𝑓
𝑑𝑥
 es decir 
𝑓 ´(𝑥) =
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
= 𝑚𝑡𝑎𝑛 
Geométricamente: por 𝑓 ´(𝑥) =
𝑑𝑓
𝑑𝑥
 es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto 
𝑃 = (𝑥, 𝑓(𝑥)) 
Analíticamente: 𝑓 ´(𝑥) ó 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
 es a su vez una función real de variable real, donde 
𝐷𝑓´ = [𝑥 ∈ 𝐷𝑓 | ∋ limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
 , 𝑐𝑜𝑛 ℎ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 + ℎ ∈ 𝐷𝑓] 
𝐶𝑓´ = 𝑅 
Regla de correspondencia 𝑓 ´(𝑥) =
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
 
𝑓 ´(𝑥) es el valor de la derivada de 𝑓 en el punto 𝑥 
Si 𝑥0 ∈ 𝐷𝑓, entonces 𝑓 es derivable en 𝑥0, f es derivable en 𝐴 ⊂ 𝑅 si 𝐴 ⊂ 𝐷𝑓´ 
 
 
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Derivada (Interpretación geométrica) 
Fecha: _______________ 
 
 
Problema. 
Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1, en el punto de tangencia 
𝑃 = (2,5). 
Solución: 
Paso1: Dejar bien definida 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 
𝑓: 𝑅 → 𝑅 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 
 
 𝑓 es una función real de variable real 
 𝑓 es una función polinomial de grado 2 
 𝑓 es una función cuadrática 
 
Paso 2. Graficar 𝑦 = 𝑥2 + 1 
 
 
Ilustración 1Grafica realizada en Geogebra 𝑦 = 𝑥2 + 1 
 
 
𝑦 = 𝑥2 + 1 ⇒ 𝑦 − 1 = 𝑥2 
 
𝑦 − 1 = 1 (𝑥 − 0)2 … (A) 
 
Recordando que : 
𝑦 − 𝑘 = 4𝑝 (𝑥 − ℎ)2 … . (𝐵) 
 
Comparando (A) y (B), sabemos que: 
𝑓(𝑥) es una parábola, donde (ℎ, 𝑘) = (0,1) es el 
vértice , el Eje focal ll eje 𝑦. 
4𝑝 = 1 > 0 ⇒ la parábola se abre hacia arriba 
 
Paso 3: Escribir la forma de la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1, en el 
punto 𝑃 = (2,5). 
Sabemos que la ecuación de punto pendiente de una recta es de la forma: 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) … (D) 
Sustituyendo el punto 𝑃 = (2,5) en (D), se tiene: 
𝑦 − 5 = 𝑚(𝑥 − 2) …. (E) 
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Derivada (Interpretación geométrica) 
Fecha: _______________ 
 
 
 
Solo falta encontrar a 𝑚 
Paso 4. Cálculo de 𝑚= ¿? 
Sabemos que: 𝑚𝑡𝑎𝑛 = 𝑓
´(𝑥) =
𝑑𝑓
𝑑𝑥
 
Por tanto calculamos 
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
 (𝑥2 + 1) 
𝑚𝑡𝑎𝑛 = 𝑓
´(𝑥) = 2𝑥 
Considerando que 𝑥 = 2, tenemos 
𝑚𝑡𝑎𝑛 = 2(2) = 4 …. (F) 
Sustituimos (F) en (E) 
 
𝑦 − 5 = 4(𝑥 − 2) ⇒ 𝑦 − 5 = 4𝑥 − 8 
𝑦 = 4𝑥 − 8 + 5 
𝑦 = 4𝑥 − 3 
 
 
 
 
𝑦 = 4𝑥 − 3 es la ecuación de la recta tangente a la 
gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 en el punto de 
tangencia 𝑃 = (2,5) 
 
 
 
 
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Tarea 
Fecha: _______________ 
 
 
Tarea 
 
En los ejercicios 1-5 realizar lo siguiente: 
 Dejar bien definida la función. 
 Graficar la función. 
 Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de tangencia 
que se indica. 
 
1. 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4, en el punto 𝑃 = (1,3). 
2. 𝑔(𝑥) = 𝑥, en el punto 𝑃 = (−3, −3). 
3. ℎ(𝑥) = 
𝑥2+2𝑥−8
𝑥−2
, en el punto 𝑃 = (1,5). 
4. 𝑘(𝑥) = −4 + √1 − 𝑥2, en el punto 𝑃 = (1, −4). 
5. ℎ(𝑥) = 2 − √6 − 𝑥, en el punto 𝑃 = (2,0). 
 
En los ejercicios 6 al 10, encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función dada en el punto de 
tangencia que se indica 
6. 𝑓(𝑥) = 1 + 3 𝑆𝑒𝑛 (2𝑥2), en el punto 𝑃 = (𝜋, 1). 
7. 𝑔(𝑥) = 1 + 𝐶𝑜𝑠 (𝜋𝑥), en el punto 𝑃 = (
1
2
, 1). 
8. ℎ(𝑥) = 
1
𝑥3
, en el punto 𝑃 = (
1
2
, 1) 
9. 𝑓(𝑥) = 𝑒−3𝑥 + 4𝑥2, en el punto 𝑃 = (0, 1) 
10. 𝑘(𝑥) = −3𝑥3 + (𝐿𝑛 𝑥)2, en el punto 𝑃 = ( 1, 3)