LEY DE GAUSS

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ELECTROMAGNETISMO Y ELECTROTECNIA.
LEY DE GAUSS
CLASE 9
MARTES 31 DE AGOSTO DE 2021
APRENDIZAJES ESPERADOS.
1) Representar campos eléctricos mediante líneas de campo eléctrico.
2) Calcular flujo de campo eléctrico para campos uniformes y no uniformes.
3) Usar la ley de Gauss para calcular cargas que generan campos eléctricos.
4) Calcular campos eléctricos con simetría esférica y cilíndrica, usando la ley de Gauss.
CONTENIDOS
1) Flujo de campo eléctrico.
2) Ley de Gauss.
3) Aplicaciones de la ley de Gauss
FLUJO DE CAMPO VECTORIAL.
Antes de referirnos a la ley de Gauss, debemos primero centrarnos
en el concepto de flujo. El flujo ( símbolo ) es una propiedad de cualquier
campo vectorial. El término proviene del latin fluxus y este de fluere, que
significa fluir. Resulta conveniente considerar el flujo de un campo vectorial
determinado como si fuese una medida del flujo o intensidad de
penetración de los vectores de campo a través de una superficie fija
imaginaria en el campo. Posteriormente, consideraremos el flujo de campo
eléctrico para la ley de Gauss, pero por ahora veremos un ejemplo de
campo vectorial mas familiar, es decir, el campo de velocidad de un fluido
que escurre.
FLUJO DE UN FLUIDO.
El campo de velocidad de un fluido da la velocidad en los puntos
por los que fluye el fluido. El campo de velocidad representa al flujo
del fluido, el campo no está fluyendo es una representación fija del
flujo.
La figura 1.a muestra el campo de flujo de un fluido incompresible,
uniforme y estacionario. Imaginemos una superficie de área A de
forma rectangular. En la figura la superficie tiene su plano
perpendicular a la dirección del flujo. Reemplazamos el movimiento
real de las partículas del fluido por el campo de velocidades
asociado con el flujo. Por tanto podemos considerar el flujo real de
las partículas del fluido a través de la superficie, o bien el flujo del
campo de velocidades a través de la superficie
La magnitud  del flujo del campo de velocidad
a través de la superficie de área A está descrito en
términos del gasto volumétrico del flujo del fluido (
digamos en m3/s) como
Φ = 𝑣𝐴 (1)
donde v es la magnitud de la velocidad del fluido en
puntos de la superficie.
El flujo, puede por una parte, considerarse
como la rapidez con la que pasa el fluido a través de
la superficie. Sin embargo en términos del concepto
de campo, es conveniente considerarlo como el
número de líneas de campo que pasan a través de la
superficie.
En la figura 1.b, la posición de la superficie ya
no es perpendicular a la dirección de la velocidad.
Nótese que el número de líneas del campo de
velocidades es menor que en el caso de la figura 1.a.
El área proyectada vertical es Acos, y se puede
observar que el número de líneas de campo que
cruzan la superficie inclinada A es el mismo que el
número de líneas de campo que cruzan el área mas
pequeña Acos perpendicular a las líneas de campo.
Así pues la magnitud del flujo en la situación 1.b es
Φ = 𝑣𝐴 cos 𝜃 (2)
La ecuación (2) se escribe Φ = Ԧ𝑣 ∙ ො𝑛𝐴 (3)
ො𝑛
 Ԧ𝑣
𝐴 cos 𝜃  
Figura 1.b
ො𝑛 vector unitario
perpendicular a la
superficie
Superficie inclinada
un ángulo  respecto
a la vertical
Área A
Si la posición de la superficie es tal que la velocidad del fluido
sea paralela a su superficie como se muestra en la figura 1.c el
flujo seria cero correspondiendo a  = 90° en la ecuación (2).
Nótese que en este caso no pasan líneas de campo a través de
la superficie.
La ley de Gauss, como podremos ver, trata del flujo neto
a través de una superficie cerrada. Por lo tanto debemos
distinguir entre un flujo positivo y uno negativo al penetrar una
superficie. El miembro derecho de la ecuación (2) puede
expresarse en términos del producto punto entre Ԧ𝑣 y un vector
Ԧ𝐴 = ො𝑛𝐴 cuya magnitud es el área de la superficie y cuya
dirección es perpendicular a la superficie. Sin embargo una
normal a la superficie se puede tomar en dos sentidos
opuestos, debemos tener un modo de especificar esta
dirección, de otro modo el signo de  no quedaría definido con
claridad.
Ԧ𝐴1
Ԧ𝐴4
Ԧ𝐴2
Ԧ𝐴5
Ԧ𝐴3
Superficie de área A
Líneas de campo
Figura 1.c
Por convención elegimos que la dirección de Ԧ𝐴 sea la
de la normal hacia afuera de una superficie cerrada. Así el
flujo que sale del volumen encerrado por la superficie se
considera positivo y el flujo que entra al volumen se
considera negativo. Con esta elección podemos entonces
escribir el flujo para una superficie cerrada consistente en
varias superficies individuales como
Φ = σ𝑖=1
𝑖=𝑁 Ԧ𝑣 ∙ Ԧ𝐴𝑖 (4)
donde Ԧ𝑣 es el vector velocidad en la superficie. La suma se
extiende a todas las superficies individuales que forman la
superficie cerrada. El flujo es una cantidad escalar pues es
el producto punto entre dos vectores.
La figura muestra un flujo de
un campo vectorial uniforme
a través de una superficie
cerrada, calculamos el flujo a
través de cada cara y luego
sumamos escalarmente
dichos flujos.
FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO.
Imaginemos ahora que las líneas de campo representan un campo
eléctrico de cargas eléctricas en reposo mas bien que un campo de
velocidad. La definición de flujo es semejante a la definición de flujo de
velocidad, reemplazando el vector campo velocidad por el vector campo
eléctrico. Por analogía con la ecuación (3) definimos el flujo del campo
eléctrico como
Φ = 𝐸 ∙ Ԧ𝐴 = 𝐸 ∙ ො𝑛𝐴 (4)
Como en el caso con el flujo de velocidad, el flujo de campo eléctrico
puede entenderse como el número de líneas de campo eléctrico que cruzan
la superficie. La ecuación (4) se aplica la caso de campo uniforme. El flujo
se mide en Nm2/C.
EJEMPLO 1. Considere el campo eléctrico definido por 𝐸 = 103 4 Ƹ𝑖 − 2 Ƹ𝑗 + ෠𝑘 𝑁/𝐶.
Calcule el flujo de este campo a través de las siguientes superficies.
a) Superficie cuadrada de lado 2 m con un vértice en el origen de coordenadas.
b) Superficie triangular con vértices en los puntos (1,0,0), (0,1,0); (0,0,1)
SOLUCIÓN. 
a) Φ = 𝐸 ∙ ො𝑛𝐴 = 103 4 Ƹ𝑖 − 2 Ƹ𝑗 + ෠𝑘 ∙ (4𝑚2 Ƹ𝑖) = 16 × 103
𝑁𝑚2
𝐶
b) Φ = 𝐸 ∙ ො𝑛𝐴 = 103 4෡𝑖 − 2 Ƹ𝑗 + ෠𝑘 ∙
1
3
Ƹ𝑖 + Ƹ𝑗 + ෠𝑘
3
2
Φ = 5 × 102 4 − 2 + 1 = 15 × 102
𝑁∙𝑚2
𝐶
a) b) Z
Z (0,0,1)
2
(0,1,0)
Y Y
2
X (1,0,0)
X
La ley de Gauss trata del flujo del campo
eléctrico a través de una superficie cerrada. Para definir
el flujo de manera mas general, particularmente en los
casos en que el campo eléctrico no es uniforme,
consideremos la figura (4) que muestra una superficie
cerrada de arbitraria inmersa en un campo eléctrico no
uniforme. Dividimos la superficie en pequeños cuadrados
de área A, siendo cada uno de ellos lo suficientemente
pequeños para que puedan considerarse como planos.
Cada elemento de área puede representarse como un
vector ∆ Ԧ𝐴 = ∆𝐴ො𝑛 cuya magnitud es el área A. La
orientación es la normal a la superficie dirigido hacia
afuera de la superficie. El vector campo 𝐸 puede
considerarse constante en todos los puntos de un
cuadrado determinado.
Figura (4)
Los vectores ∆ Ԧ𝐴, 𝐸 que caracterizan a cada
cuadrado forman un ángulo . Las figuras
inferiores (1), (2) y (3) muestran
ampliaciones correspondientes a tres
situaciones donde el vector campo eléctrico y
el vector área forman ángulos diferentes. Una
definición provisional del flujo total del campo
eléctrico en la superficie es, por analogía con
la ecuación (5)
Φ = σ𝐸 ∙ ∆ Ԧ𝐴 (5)
la suma se extiende a todos los cuadrados en
que se dividió la superficie.
La definición exacta del flujo eléctrico se encuentra en el límite
diferencial de la ecuación (5). Al reemplazar la suma sobre la superficie por
una integral sobre la superficie se obtiene
Φ = 𝐸׭ ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 = 𝐸׭ ∙ ො𝑛𝑑𝑎 (6)
LEY DE GAUSS.
Una vez que hemos definido el flujo del vector del campo eléctrico a
través de una superficiecerrada, estamos listos para escribir la ley de
Gauss. Supongamos que tenemos una colección de cargas positivas y
negativas que crean un campo eléctrico 𝐸 en una cierta región del espacio.
Construimos en ese espacio una superficie cerrada imaginaria, llamada
superficie gaussiana, que puede o no encerrar algunas de las cargas.
La ley de Gauss que relaciona el flujo del campo eléctrico a través de la
superficie gaussiana con la carga encerrada por la superficie, se escribe
Φ = 𝐸׭ ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 = 𝐸׭ ∙ ො𝑛𝑑𝑎 =
𝑄𝑖𝑛𝑡
𝜀𝑜
(7) 
Qint representa la carga encerrada por la superficie. La constante o se llama
permitividad eléctrica en el vació y tiene el valor
𝜀𝑜 =
1
4𝜋𝑘
= 8,854 × 10−12
𝐶
𝑁∙𝑚2
Esta constante se relaciona con la constante k de la ley de Coulomb a
través de la expresión
𝑘 =
1
4𝜋𝜀𝑜
= 8.988109 Nm2/C2
La ley de Gauss establece que el flujo del campo eléctrico a través de una
superficie cerrada es cero si esta superficie no encierra carga alguna.
Como manifestamos anteriormente la magnitud del campo eléctrico
es proporcional al número de líneas de campo que cruzan a un elemento
de área perpendicular al campo. La integral en la ecuación (7) cuenta la
cantidad de líneas que pasan a través de la superficie. Es razonable
suponer que la cantidad de líneas que cruzan la superficie es proporcional
a la cantidad de carga que encierra la superficie.
NOTA. La elección de la superficie es totalmente arbitraria. Esta suele
escogerse de tal manera que la simetría de la distribución dé, aunque sea
solo en una parte de la superficie un campo eléctrico constante, que
puede factorizarse fuera de la integral de la ecuación (7). En tal situación,
la ley de Gauss puede utilizarse para determinar el campo eléctrico.
La figura (5) muestra las líneas de campo de un dipolo
eléctrico. Se han trazado cuatro superficies gaussianas y sus
secciones transversales se muestran en la figura.
En la superficie S1 el campo eléctrico es, en todas partes
hacia afuera y entonces 𝐸 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 es positivo en todas partes de S1
así la integral sobre toda la superfice cerrada S1 el resultado es
positivo y la ley de Gauss exige que la superfine encierre una
carga positiva neta, como es el caso.
En la superficie S2 en cambio el campo eléctrico está
penetrando por todas partes a la superficie, 𝐸 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 es negativo
en todas partes de la superficie, la integral de la ecuación (7)
da un resultado negativo, lo cual indica que la superficie
encierra una carga negativa (como es el caso).
.
Figura (5)
La superficie S3 no encierra ninguna carga y la ley de
Gauss predice que el flujo a través de la superficie es
cero. Esto es consistente con la figura, la cual
muestra que tantas líneas de campo entran por arriba
como las que salen por debajo de la superficie.
La superficie S4 tampoco encierra ninguna carga
neta. Una vez mas el flujo a través de la superficie es
cero. Las líneas que están contenidas totalmente
dentro de la superficie no contribuyen al flujo. Cada
línea que sale de la carga positiva llega a la negativa,
así cada línea que cruza la superficie hacia afuera
tiene que entrar y el flujo es cero.
EJEMPLO 2. Determine el flujo del campo eléctrico a través de las superficies S1, S2, S3, S4.
Las cargas encerradas por estas superficies son Q=0; +Q; -Q y (+Q-Q)
SUPERFICIE FLUJO
S1
S2
S3
S4
SOLUCIÓN. Cálculo de flujo en cada cara del cubo.
Φ1 = 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑋𝑌
Φ1 = ඵ 𝑥
2 + 𝑦2 Ƹ𝑖 + 𝑦 Ƹ𝑗 ∙ −෠𝑘 𝑑𝑎 = 0
Φ2 = 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑌𝑍
Φ2 = ඵ 𝑥
2 + 𝑦2 Ƹ𝑖 + 𝑦 Ƹ𝑗 ∙ − Ƹ𝑖 𝑑𝑎 = −ඵ(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑦𝑑𝑧 = −
𝑎4
3
Φ3 = 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑋𝑍
Φ3 = ඵ 𝑥
2 + 𝑦2 Ƹ𝑖 + 𝑦 Ƹ𝑗 ∙ − መ𝐽 𝑑𝑎 = −ඵ𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 = 0
z
y
x 
EJEMPLO 3. Determine si la superficie cúbica mostrada en la
figura encierra o no alguna carga eléctrica. El campo
eléctrico es 𝐸 = 𝑥2 + 𝑦2 Ƹ𝑖 + 𝑦 Ƹ𝑗. El cubo tiene arista de
longitud a.
Φ4 = 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 0
Φ5 = 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑌𝑍, ubicada en x = a
Φ5 = ඵ 𝑥
2 + 𝑦2 Ƹ𝑖 + 𝑦 Ƹ𝑗 ∙ Ƹ𝑖 𝑑𝑎 = ඵ 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑎4 +
𝑎4
3
=
4𝑎4
3
Φ6 = 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 𝑎𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑋𝑍 𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑦 = 𝑎
Φ6 = ඵ 𝑥
2 + 𝑦2 Ƹ𝑖 + 𝑦 Ƹ𝑗 ∙ Ƹ𝑗 𝑑𝑎
Φ6 =ඵ𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 = 𝑎
3
Φ = 𝑎3(1 + 𝑎)
EJEMPLO 4. La figura muestra dos hexaedros de caras paralelas y con centro común. Los
hexaedros tienen aristas a y 3a. En el interior del cubo mas pequeño hay una carga
puntual Q. La razón entre los flujos del campo eléctrico a través de estos hexaedros (
Φ𝑎/Φ3𝑎) es
A) 1:1
B) 1:2
C) 1:4 3a
D) 2:1
E) 4:1
a
Q
EJEMPLO 5. La gaussiana de la figura encierra una carga q > 0 y deja fuera una carga –q.
El vector unitario perpendicular a la tapa -1 apunta en la dirección de ො𝑢. Sean q y neto
los flujos sobre la tapa -1 del campo debido a q y el campo neto respectivamente. Se
cumple que:
A) Φ𝑞 = Φ𝑛𝑒𝑡𝑜
B) q > neto > 0
C) q < neto
D) 0 > neto > q
E) Φ𝑞  0 𝑦 Φ𝑛𝑒𝑡𝑜 = 0
-q ො𝑢
tapa -1
EJEMPLO 6. Una superficie gaussiana semi esférica de radio 3 cm encierra una carga de
1,810-7 C. El flujo del campo eléctrico producido por esta carga a través de la superficie
redondeada( no plana) es 8104 Nm2/C. El flujo a través de la base plana es
A) cero
B) 6104 Nm2/C.
C) -6104 Nm2/C.
D) 8104 Nm2/C.
C)-8104 Nm2/C.
q
EJEMPLO 7. Señale cual de las siguientes afirmaciones relacionadas con la ley de Gauss es 
correcta:
A) Si se tiene una superficie gaussiana en una región sin cargas entonces se cumple que el
campo eléctrico es nulo en cualquier punto de la superficie gaussiana.
B) Si el flujo a través de una superficie gaussiana es cero entonces el campo eléctrico es
cero.
C) Dadas dos superficies gaussianas que encierran una misma carga se cumple que el flujo
del campo eléctrico es menor a través de la superficie gaussiana que encierra el menor
volumen.
D) La expresión integral de la ley de Gauss es correcta solo si se consideran como
superficies gaussianas superficies equipotenciales.
E) Las cuatro afirmaciones anteriores son incorrectas.
EJEMPLO 8. En una región particular de la atmósfera, se ha medido el campo eléctrico de
la Tierra resultando ser de 150 N/C a una altura de 250 m y de 170 N/C a 400 m, en
ambos casos dirigido hacia abajo. La densidad de carga volumétrica de la atmósfera
suponiendo que es uniforme entre 250 m y 400 m es
A) 8,85410-12 C/m3
B) 1,1810-12 C/m3
C) -1,1810-12 C/m3
D) -0,11810-12 C/m3
E) cero
ො𝑛
S.G
𝑬
400 m
250 m
ො𝑛
APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS. Una de las aplicaciones importantes de la ley de Gauss se
refiere a la determinación de campos eléctricos. Sin embargo esta aplicación requiere el uso de
consideraciones de simetría, las cuales permiten simplificar el cálculo de la integral de superficie.
CAMPO DE CARGA PUNTUAL. Usamos la ley de Gauss para determinar el campo eléctrico de una
carga puntual Q. Tomemos en cuenta que el campo de una carga puntual tiene simetría esférica,
depende solamente de la coordenada radial r y tiene orientación radial, es decir 𝐸 = 𝐸 𝑟 Ƹ𝑟.
Lo anterior nos lleva a elegir como superficie gaussiana
una superficie esférica centrada en la carga Q
Φ = 𝐸׭ ∙ ො𝑛𝑑𝑎 = 𝐸׭ 𝑟 Ƹ𝑟 ∙ Ƹ𝑟𝑑𝑎 = 𝐸(𝑟)׭𝑑𝑎 = 4𝜋𝑟2𝐸(𝑟)
La ley de Gauss implica 4𝜋𝑟2𝐸 𝑟 =
𝑄
𝜀𝑜
𝐸 𝑟 =
1
4𝜋𝜀𝑜
𝑄
𝑟2
Ƹ𝑟
Resultado que ya conocíamos.
𝑬
ො𝑛 = Ƹ𝑟
da da
SG
SG
𝐸
r
Q
CAMPO ELÉCTRICO DE UN HILO RECTO DELGADO MUY LARGO Y CARGADO
UNIFORMEMENTE.
Para resolver esta situación mediante la ley de Gauss, haremos uso de la simetría
cilíndrica del campo creado por este hilo. Se asume el hilo a lo largo del eje Z y el campo
depende de la distancia radial r, orientado en forma perpendicular al eje Z.Elegimos como
superficie gaussiana una superficie cilíndrica de largo L, radio r y coaxial con el hilo (ver la
figura)
Φ = ඵ𝐸 ∙ ො𝑛𝑑𝑎 = ඵ𝐸 𝑟 Ƹ𝑟 ∙ Ƹ𝑟𝑑𝑠 =ඵ𝐸 𝑟 𝑑𝑠 =𝐸(𝑟)ඵ𝑑𝑠 = 2𝜋𝑟𝐿𝐸(𝑟)
El flujo a través de las bases del cilindro es cero.
Usamos ahora ley de Gauss Φ =
𝑄𝑖𝑛𝑡
𝜀𝑜
⇒ 2π𝑟𝐿𝐸 𝑟 =
𝜆𝐿
𝜀0
𝐸 =
𝜆
2𝜋𝜀𝑜𝑟
Ƹ𝑟
CAMPO ELÉCTRICO DE UN PLANO INFINITO CON DENSIDAD
DE CARGA UNIFORME.
Para hallar el campo eléctrico de un plano infinito con
densidad de carga superficial  constante, asumimos que el
campo es uniforme y perpendicular al plano cargado. El plano
cargado es el plano XY. Elegimos como superficie gaussiana
una superficie cilíndrica de área basal A y largo 2r (ver
figura)
Φඵ𝐸 ∙ ො𝑛𝑑𝑎 = ඵ (𝐸෠𝑘 ∙ ෠𝑘 𝑑𝑎 + 𝐸 −෠𝑘 ∙ −෠𝑘 𝑑𝑎 = 𝐸𝐴 + 𝐸𝐴 =
𝑄𝑖𝑛𝑡
𝜀𝑜
El flujo a través del manto cilíndrico es cero.
2𝐸𝐴 =
𝜎𝐴
𝜀𝑜
⇒ 𝐸 =
𝜎
2𝜀𝑜
෠𝑘
EJEMPLO 9. Una esfera maciza de radio R está cargada uniformemente (densidad de carga  =
dq/dv constante). Usando la ley de Gauss determine el campo eléctrico en todo el espacio.
SOLUCIÓN. Asumimos el campo con simetría esférica, es decir 𝐸 = 𝐸 𝑟 Ƹ𝑟 , el campo depende de
la distancia r medida desde el centro de la esfera cargada. Elegimos como S.G. una superficie
esférica concéntrica con la esfera de radio r.
CASO r < R
Φ = 𝐸׭ ∙ ො𝑛𝑑𝑎 = 𝐸׭ 𝑟 Ƹ𝑟 ∙ Ƹ𝑟𝑑𝑎 = 𝐸(𝑟)׭𝑑𝑎 = 4𝜋𝑟2𝐸(𝑟)
𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜌 ∙
4𝜋
3
𝑟3; 𝑄𝑖𝑛𝑡 =
𝑄
4𝜋
3
𝑅3
∙
4𝜋
3
𝑟3 = 𝑄
𝑟
𝑅
3
Φ =
𝑄𝑖𝑛𝑡
𝜀𝑜
⇒ 4𝜋𝑟2𝐸 𝑟 =
𝑄
𝜀𝑜
𝑟
𝑅
3
𝐸 =
𝑄
4𝜋𝜀𝑜
𝑟
𝑅3
Ƹ𝑟 r < R
El campo crece linealmente con r.
𝐸
ො𝑛 = Ƹ𝑟
S.G. S
r
da
o
CASO r > R
Igual que en el caso anterior, el campo presenta simetría esférica, depende de la
coordenada radial r medida desde le centro de la esfera cargada. Elegimos una superficie
gaussiana de radio r > R concéntrica con la esfera cargada.
Φ = ඵ𝐸 ∙ ො𝑛𝑑𝑎 = ඵ𝐸 𝑟 Ƹ𝑟 ∙ Ƹ𝑟𝑑𝑎 = ඵ𝐸 𝑟 𝑑𝑎 = 𝐸(𝑟)ඵ𝑑𝑎 = 4𝜋𝑟2𝐸(𝑟)
Usamos ahora ley de Gauss
Φ =
𝑄𝑖𝑛𝑡
𝜀𝑜
⇒ 4𝜋𝑟2𝐸 𝑟 =
𝑄
𝜀𝑜
𝐸 =
1
4𝜋𝜀𝑜
𝑄
𝑟2
Ƹ𝑟
El campo para r > R decrece inversamente
proporcional con la distancia al centro de
la esfera cargada.
𝐸
ො𝑛 = Ƹ𝑟
SG
r da 
o
R
La figura muestra el
comportamiento del
campo eléctrico creado
por la esfera cargada.
Observemos que para r >
R la esfera se comporta
como si fuera una carga
puntual, el campo
eléctrico es proporcional
a la carga que genera el
campo e inverso
cuadrático con la
distancia r.
E(r)
𝐸 𝑟 =
1
4𝜋𝜀𝑜
𝑄𝑟
𝑅3
𝐸 𝑟 =
1
4𝜋𝜀𝑜
𝑄
𝑟2
r
R
Esfera 
cargada R
o
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