CAPACITANCIA Y CAPACITORES

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ELECTROMAGNETISMO Y ELECTROTECNIA
CLASE 12
VIERNES 13 DE MAYO DE 2022
CAPACITANCIA Y CAPACITORES 
OBJETIVOS.
1) Calcular capacitancia de un capacitor y capacitancia equivalente.
2) Explicar el efecto de un dieléctrico en un capacitor aplicando la teoría microscópica.
3) Calcular carga, voltaje y energía en un capacitor cuando se cambia un parámetro 
geométrico, con y sin conexión a una fuente.
4) Calcular capacitancia equivalente de capacitores con y sin dieléctricos.
5) Calcular carga, voltaje y energía de capacitores con dieléctrico. 
CONTENIDOS.
1) Capacitancia y capacitor.
2) Energía de un capacitor 
3) Combinación serie y paralelo de capacitores.
4) Dieléctricos. 
CAPACITANCIA. La figura muestra un capacitor generalizado
que consta de dos cuerpos conductores de forma arbitraria.
Sin importar su forma geométrica a estos cuerpos se les
llama PLACAS y suponemos que se encuentran totalmente
aislados del medio entorno, como también que, por el
momento están al vacío.
Decimos que el capacitor está cargado si sus placas
contienen cargas +q y –q, de igual magnitud y de signos
opuestos. Nótese que la carga del capacitor no es q, pues su
carga neta es cero. En nuestro estudio sobre los capacitores,
denotamos por q el valor absoluto de la carga en cada placa,
esto es, q representa una magnitud solamente y el signo de
la carga en una placa debe especificarse.
Figura 1
Podemos cargar una capacitor conectando las
placas a los bornes opuestos de una batería. En el
proceso de carga la batería mueve los electrones
desde una placa a la otra placa. Este proceso es
prácticamente instantáneo si no hay resistencia
eléctrica entre el capacitor y la batería. El proceso
cesa cuando las placas que son conductoras, son
también equipotenciales, adquieren la diferencia
de potencial de la batería. Por conveniencia a la
diferencia de potencial entre las placas la
representaremos por V ( V = V+ - V- )
Mas adelante demostraremos que, existe una proporcionalidad entre
la magnitud de la carga q del capacitor y la diferencia de potencial V, esto
es
𝑞 = 𝐶 ∙ 𝑉 (1)
donde C la constante de proporcionalidad se llama CAPACITANCIA del
capacitor. Mas adelante demostraremos que la capacitancia depende de
propiedades geométricas del capacitor y calcularemos la dependencia real
de estas propiedades para tres casos diferentes. La capacitancia C también
depende del tipo de material que llena el espacio entre las placas. Sin
embargo, por el momento supondremos que el espacio entre las placas es
el vacío.
La unidad de Capacitancia en el S.I que se infiere de la ecuación (1)
es el Coulomb/Volt y se le da el nombre de Farad (F) en honor de Michael
Faraday, quien entre otras contribuciones, desarrolló el concepto de
capacitancia.
Los submúltiplos del Farad son el picoFarad ( pF = 10-12 F), el
nanoFarad (nF= 10-9F), el microFarad (F = 10-6F), son unidades más
útiles considerando que el Farad es una unidad demasiado grande para la
capacitancia.
Los capacitores están
presentes en diferentes circuitos
cumpliendo diferentes funciones.
Por ejemplo en las cámaras
fotográficas formando parte del
circuito que genera el flash, en los
teclados de los ordenadores, en
diversos instrumentos tales como
amperímetros, voltímetros, etc.
Figura 2
Los capacitores tienen
diferentes formas geométricas,
así por ejemplo tenemos el
capacitor de láminas paralelas,
el capacitor esférico, capacitor
cilíndrico o también según el
diseño, cerámicos, de aire,
electrolítico, además algunos
tienen capacitancia variable
mientras que otros
capacitancias fijas.
CAPACITOR DE LÁMINAS PARALELAS. Uno de los capacitores de mayor
aplicación es el capacitor de láminas paralelas, que está formado por dos
láminas delgadas conductoras de área A cada una, paralelas entre ellas y
separadas la distancia d mucho menor que las dimensiones lineales de las
láminas.
Supondremos que el capacitor lo hemos cargado con una batería de
modo que la carga en una placa es +q, en la otra -q y la diferencia de
potencial entre ellas es V.
Entre las placas hay un campo eléctrico creado por la láminas
cargadas. Usando el hecho que la distancia d es mucho menor que las
dimensiones de las placas, el campo eléctrico en el espacio entre las placas
se aproxima como la superposición de los campos creados por planos
infinitos con densidades de carga uniforme. De este modo
𝐸 =
𝜎
2𝜀𝑜
+
𝜎
2𝜀𝑜
=
𝜎
𝜀𝑜
; 𝜎 =
𝑞
𝐴
𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 (2)
Figura 3
+ d -
A 𝑬 A
En los bordes de las placas el campo eléctrico ya no es constante y las líneas de
campo se curvan , como se muestra en la figura (3). Considerando que la distancia d es
mucho menor que las dimensiones lineales de las placas, despreciaremos este efecto. Las
líneas de campo son rectas paralelas entre sí, igualmente espaciadas y apuntan de la placa
positiva a la placa negativa.
La diferencia de potencial entre la placa positiva y la placa negativa es
𝑉 = 𝑉+ − 𝑉− = −׬−
+
𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = −׬−
+
𝐸𝑑𝑙 cos 180° = 𝐸𝑑 =
𝜎
𝜀𝑜
𝑑 (3)
La capacitancia del capacitor es
𝐶 =
𝑞
𝑉
=
𝜎𝐴
𝜎
𝜀𝑜
𝑑
= 𝜀𝑜
𝐴
𝑑
(4)
De esta manera la capacitancia para este capacitor depende solamente del tamaño
de las placas y la separación entre ellas y no depende de la carga que contenga cada placa
y tampoco de la diferencia de potencial entre ellas. Estas dos últimas magnitudes son
proporcionales entre sí.
CAPACITOR ESFÉRICO. Consiste de dos cascarones esféricos,
conductores, concéntricos de radios a y b ( a < b) . La figura
(4) muestra un corte transversal de este tipo de capacitor. El
campo eléctrico es nulo para r < a y para r > b, mientras que
en el espacio entre los cascarones el campo eléctrico es igual
al de una carga puntual 𝐸 =
1
4𝜋𝜀𝑜
𝑞
𝑟2
Ƹ𝑟
La distancia r se mide desde el centro del cascarón de radio a.
Suponemos el cascarón interno con carga +q y el externo con
carga –q. La diferencia de potencial entre los cascarones es
𝑉 = 𝑉+ − 𝑉− = −න
−
+
𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = −න
−
+ 1
4𝜋𝜀𝑜
𝑞
𝑟2
Ƹ𝑟 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 =
𝑞
4𝜋𝜀𝑜
1
𝑎
−
1
𝑏
La capacitancia es
𝐶 =
𝑞
𝑉
= 4𝜋𝜀𝑜
𝑎𝑏
𝑏 −𝑎
(5)
b 
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
a
o
Figura 4
El resultado anterior es otro ejemplo que nos muestra de que manera la
capacitancia depende de parámetros geométricos, en este caso de los radios interno y
externo.
Un caso interesante se obtiene por ejemplo si consideramos que el radio b del
cascarón exterior tiende a infinito, en este caso
𝐶 = 4𝜋𝜀𝑜
𝑎𝑏
𝑏−𝑎
= 4𝜋𝜀𝑜
𝑎
1 −
𝑎
𝑏
⇢ 𝐶 = 4𝜋𝜀𝑜𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏 ⇢ ∞ (6)
EJEMPLO 1. ¿Cuál es el radio de una esfera de capacitancia C = 1 Farad?
SOLUCIÓN. Usamos el resultado (6), despejamos a
𝑎 =
𝐶
4𝜋𝜀𝑜
; 𝑎 =
1 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑
4𝜋×8.85410−12 𝐶
2
𝑁𝑚2
= 8,98 × 109 𝑚
Es decir una esfera de radio mucho mayor que el radio terrestre. Este ejemplo nos
muestra que la unidad Farad tiene un valor demasiado grande y los capacitores en la
práctica poseen capacitancias mucho menores, del orden de micro faradios o nano faradios
CAPACITOR CILÍNDRICO. Un capacitor cilíndrico está
formado por dos capas cilíndricas conductoras y coaxiales
de radios a y b ( a < b) la capa interior de carga +q y la
exterior de carga –q. Supondremos que el largo L del
capacitor muy grande respecto a los radios.
La capacitancia por unidad de longitud de este
capacitor es
𝐶
𝐿
=
2𝜋𝜀𝑜
ln
𝑎
𝑏
(7)
Igual que en los casos anteriores la capacitancia
por unidad de longitud, depende nuevamente de
parámetros geométricos, radios a, b.
FIGURA 5
CAPACITORES EN SERIE Y PARALELO. Al analizar circuitos es conveniente conocer la
capacitancia equivalente de dos o más capacitores que están conectados en cierta forma.
Por capacitancia equivalente queremos decir la capacitancia de un capacitor individualque
puede sustituirse por la combinación sin que cambie la operación del resto del circuito. En
un circuito eléctrico un capacitor se representa por el símbolo, ,el cual, aunque
parezca un capacitor de placas paralelas, representa a cualquier tipo de capacitor.
La figura (6) muestra tres capacitores conectados en serie. Hay tres características
que distinguen a una combinación en serie:
a) si intentamos viajar de A hacia B, debemos pasar por todos los elementos del circuito
en sucesión,
b) cuando se conecta una batería en la combinación, la diferencia de potencial V en la
batería es igual a la suma de las diferencias de potencial entre cada uno de los
elementos,
c) la carga q entregada a cada elemento del circuito tiene el mismo valor.
La figura (6) muestra tres capacitores C1 y C2 y C3
conectados a una batería de voltaje V. En el proceso de carga
de la combinación, la batería extrae carga de la placa derecha
de C3 y la entrega a la placa izquierda de C1, hasta que la
diferencia de potencial entre estas placas se iguala con la
diferencia de potencial entre los bornes de la batería. Las
placas intermedias se cargan por inducción.
Si la carga transferida por la batería es q, entonces
esta es la carga de cada capacitor y la del sistema de
capacitores. La diferencia de potencial de la batería es V = V1
+ V2 + V3, donde V1, V2 y V3 son las diferencias de potencial
de los capacitores C1 , C2 y C3 respectivamente.
𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2+ 𝑉3=
𝑞
𝐶1
+
𝑞
𝐶2
+
𝑞
𝐶3
= 𝑞
1
𝐶1
+
1
𝐶2
+
1
𝐶3
;
1
𝐶𝑒
= σ1
3 1
𝐶𝑖
(8)
El valor recíproco de la
capacitancia equivalente
es igual a la suma de los
valores recíprocos de las
capacitancias de los
capacitores individuales.
1
𝐶𝑒
= ෍
1
𝑛
1
𝐶𝑖
FIGURA 6
La figura (7) muestra tres capacitores conectados en paralelo. Hay
tres características que distinguen a una combinación en serie:
a) cuando se conecta una batería en la combinación, la diferencia de
potencial V en cada capacitor es igual a la diferencia de potencial
en la batería.
b) la carga q entregada a cada capacitor es diferente y ahora la
carga total entregada por la batería es la suma de las cargas
adquiridas cada capacitor.
c) Ahora la batería extrae carga de la placa derecha de cada
capacitor y la deposita en la placa izquierda de cada capacitor.
La carga del sistema de capacitores es 𝑞 = 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3.
Para cada carga se tiene 𝑞1 = 𝐶1𝑉; 𝑞2 = 𝐶2𝑉; 𝑞3 = 𝐶3𝑉
De este modo 𝑞 = 𝐶1𝑉 + 𝐶2𝑉 + 𝐶3𝑉 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 𝑉 = 𝐶𝑒𝑉
La capacitancia equivalente es 𝐶𝑒 = σ1
3𝐶𝑖 (9)
En una combinación en 
paralelo la capacitancia 
equivalente es la suma 
de las capacitancias 
individuales.
𝐶𝑒 = ෍
1
𝑛
𝐶𝑖
FIGURA 7
EJEMPLO 3. Determine la capacitancia equivalente para la combinación de capacitores
mostrada en la figura entre los puntos a y b. C1= 80 mF;C2 = 5mF; C3 = 30 mF; C4 = 14
mF;C5 = 20 mF;C6 = 80 mF.
SOLUCIÓN. Para resolver este ejemplo, debemos ir descubriendo los capacitores que están
conectados en serie o en paralelo. Así los capacitores C5 y C6 están en serie.
La capacitancia equivalente de estos dos capacitores es
1
𝐶
=
1
20𝑚𝐹
+
1
80𝑚𝐹
; 𝑐 = 16 𝑚𝐹.Este
capacitor está en paralelo con el capacitor C4 y la capacitancia equivalente entre estos dos
es C= 16 mF + 14 mF = 30 mF. El capacitor de 30 mF está en serie con C3.
La capacitancia equivalente es ahora 
1
𝐶
=
1
30𝑚𝐹
+
1
30𝑚𝐹
;
𝐶 = 15 𝑚𝐹. A su vez el capacitor de 15 mF está en paralelo
con C2. La capacitancia equivalente es ahora C = 15 mF +
5 mF = 20 mF. Finalmente este capacitor de 20 mF está
en serie con C1 La capacitancia equivalente es
1
𝐶
=
1
80 𝑚𝐹
+
1
20 𝑚𝐹
; 𝐶 = 16 𝑚𝐹
ENERGÍA ALMACENADA POR UN CAPACITOR. Un uso
importante de los capacitores es el almacenamiento de
energía electrostática en aplicaciones que van desde las
lámparas de destello hasta los sistemas de laser,
dependiendo ambas de la carga y energía que almacena el
capacitor. Un capacitor cargado tiene energía potencial
eléctrica proveniente del trabajo que realiza el agente
externo para cargarlo (el agente externo puede ser por
ejemplo la batería que carga el capacitor). Podemos
visualizar el trabajo en el proceso de carga al imaginar que
el agente externo mueve los electrones desde la placa
positiva hacia la placa negativa.
Supongamos que en cierto instante t se transfiere una
cantidad de carga q´ desde una placa hacia la otra. La
diferencia de potencial entre las placas en ese momento es
V´=q´/C
V´
+q´ -q´
´
dq´
Proceso de carga de un
capacitor
Supongamos ahora que se transfiere un incremento de carga dq´de una placa a la otra,
el cambio de energía potencial que se produce en el capacitor es
𝑑𝑈 = 𝑉´𝑑𝑞´ =
𝑞´
𝐶
𝑑𝑞´.
Si este proceso se continúa hasta que se halla transferido una carga q, la energía
potencial eléctrica total del capacitor es
𝑈 = ó׬
𝑞 𝑞´
𝐶
𝑑𝑞´; 𝑈 =
1
2
𝑞2
𝐶
(10)
Usando la relación C= q/V podemos escribir las relaciones alternativas
𝑈 =
1
2
𝐶𝑉2 (11) 𝑈 =
1
2
𝑞𝑉 (12)
Naturalmente que esta energía se mide en Joule.
La energía potencial eléctrica del capacitor es la energía necesaria para crear el campo
eléctrico entre las placas del capacitor. Podemos pensar esta energía almacenada en el
campo eléctrico del capacitor. En el caso del capacitor de placas planas y paralelas la
capacitancia es
C =
𝜀𝑜𝐴
𝑑
Si el área de las placas es A y la distancia entre ellas es d, entonces el volumen entre las
placas es Ad. Usando la capacitancia C del capacitor placas paralelas y V = Ed, la densidad
de energía del campo eléctrico es
𝑢 =
𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛
=
1
2
𝐶𝑉2
𝐴𝑑
=
1
2
𝜀𝑜𝐴
𝑑
×𝐸2𝑑2
𝐴𝑑
=
1
2
𝜀𝑜𝐸
2 (13)
De este modo la densidad de energía u es proporcional al cuadrado del campo eléctrico,
Aún cuando el resultado se obtiene para el caso de capacitor de placas paralelas es lo
suficiente general y válido para cualquier tipo de capacitor.
EJEMPLO 4. Una esfera conductora aislada cuyo radio es 10 cm contiene una carga q = 
10 C, 
a) ¿Cuánta energía está almacenada en el campo eléctrico de esta esfera?
b) ¿Cuál es la densidad de energía en la superficie de la esfera?
c) ¿Cuál es el radio Ro de una superficie esférica tal que la mitad de la energía potencial 
eléctrica esté almacenada en ella?
SOLUCIÓN. a) La energía almacenada por un capacitor es 𝑈 =
𝑞2
2𝐶
mientras que la
capacitancia de la esfera es 𝐶 = 4𝜋𝜀𝑜𝑅; de estas ecuaciones obtenemos 𝑈 =
𝑞2
8𝜋𝜀𝑜𝑅
.
𝑈 =
(10 × 10−6𝐶)2
8𝜋 × 8.854 × 10−12
𝐹
𝑚
× 0.1 𝑚
= 4.494 J
b) La densidad de energía es 𝑢 =
1
2
𝜀𝑜𝐸
2, donde E es el campo eléctrico en la superficie.
Este campo es 𝐸 =
1
4𝜋𝜀𝑜
𝑞
𝑅2
. La densidad de energía es 𝑢 =
𝑞2
32𝜋2𝜀𝑜𝑅
4
𝑢 =
(10𝜇𝐶)2
32𝜋2 × 8,854 × 10−12 × (0.1 𝑚)4
= 357.6
𝐽
𝑚3
c) La energía que se encuentra en una esfera hueca entre los radios r y r + dr es
𝑑𝑈 = 𝑢𝑑𝑉 = 𝑢 × 4 × 𝜋𝑟2𝑑𝑟
Usando el resultado en la letra anterior para la densidad de energía en una esfera de radio 
r se obtiene 
𝑑𝑈 =
𝑞2
32𝜋2𝜀𝑜𝑟
4
× 4𝜋𝑟2𝑑𝑟 =
𝑞2
8𝜋𝜀𝑜𝑟
2
𝑑𝑟
La condición dada para este problema es que ׬𝑅
𝑅𝑜 𝑑𝑈 =
1
2
𝑅׬
∞
𝑑𝑈
Usando el resultado obtenido para dU y cancelando los factores comunes en ambos 
miembros de la igualdad se obtiene
න
𝑅
𝑅𝑜 𝑑𝑟
𝑟2
=
1
2
න
𝑅
∞𝑑𝑟
𝑟2
lo cual se convierte en 
1
𝑅
−
1
𝑅𝑜
=
1
2𝑅
Al despejar Ro nos queda Ro = 2R= 20.1 m = 0. 2 m
EJEMPLO 5. Considere un capacitor de placas paralelas de área A y separación d entre
placas. Este capacitor se carga mediante una batería de voltaje Vo. Posteriormente el
capacitor se desconecta cuidadosamente de la batería. En estas condiciones separamos las
placas a la distancia 4d.
a) ¿Qué sucede con la capacitancia, la carga, el campo eléctrico, el voltaje y la energía si
el proceso de separación de las placas se hace con el capacitor conectado a la batería?
b) ¿ Y si el proceso se hace conel capacitor conectado a la batería?
c) Suponga ahora que cuando el capacitor está cargado y desconectado de la batería, se
conecta a un capacitor descargado de las mismas dimensiones. ¿Qué sucede con la
capacitancia, la carga, el voltaje, el campo eléctrico y la energía del capacitor?
SOLUCIÓN.
a) 𝐶𝑜 =
𝜀𝑜𝐴
𝑑
; 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑄𝑜 = 𝐶𝑜𝑉𝑜; 𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜 = 𝐸𝑜 =
𝜎
𝜀𝑜
; 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑉𝑜 = 𝐸𝑜𝑑; 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 = 𝑈𝑜 =
1
2
𝐶𝑜𝑉𝑜
2
Ahora separamos las placas a la distancia 4d con el capacitor cargado y desconectado de
la batería.
𝐶 =
𝐶𝑜
4
; 𝑄 = 𝑄𝑜; 𝐸 = 𝐸𝑜; 𝑉 = 4𝑉𝑜; 𝑈 =
1
2
𝐶𝑜
4
4𝑉𝑜
2 = 4𝑈𝑜
¿Cómo se explica el incremento de energía, si el capacitor está 
desconectado de la batería?
b) Ahora mantenemos el capacitor conectado a la batería.
𝐶 =
𝐶𝑜
4
; 𝑄 = 𝐶𝑉𝑜 =
𝑄𝑜
4
; 𝑉 = 𝑉𝑜; 𝐸 =
𝑄
𝐴𝜀𝑜
=
𝐸𝑜
4
; 𝑈 =
1
2
𝐶𝑜
4
𝑉𝑜
2 =
𝑈𝑜
4
¿Cómo se explica esta pérdida de energía del capacitor?
+ -
d
+ -
4d
c) El capacitor cargado se conecta a otro capacitor de las mismas dimensiones y
descargado.
Los capacitores quedan conectados en paralelo.
Esto lo deducimos pues la placas conectadas son del mismo signo
Capacitancia equivalente C = 2Co.
Carga del sistema de dos capacitores Qo , la que tiene el capacitor
cargado, el otro está descargado.
La carga entonces se reparte mitad y mitad. Q = Qo/2
𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 = 𝐸 =
𝜎
𝜀𝑜
=
𝑄
𝐴𝜀𝑜
=
𝑄𝑜
2𝐴𝜀𝑜
=
𝐸𝑜
2
Voltaje V es el mismo en cada capacitor por estar conectados en
paralelo. V = Ed = Eod/2 = Vo/2
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑈 =
1
2
𝐶𝑉2 =
1
2
2𝐶𝑜
𝑉𝑜
2
2
=
𝑈𝑜
2
+Qo
d
-Qo
Q= 0
d
Q=0
+ +
- -
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