Transformação Linear e Curvas de Nível

Vista previa del material en texto

Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa
Departamento de Matemática
Campus Santiago
Pauta Control 1
1. Dada la función f(x, y) =
√
x− y
x + y
(a) Determine y grafique el dominio de f .
(b) El dominio de f es un conjunto abierto?
(c) Determine la frontera del dominio de f y sus puntos de acumulación.
(d) Determine las curvas de nivel f(x, y) = c. y grafique para c = 0, c = 1, c =
1
2
, c = 2.
(e) Analice que sucede cuando c crece indefinidamente.
Solución:
(a)
Dom(f) = {(x, y) ∈ R2 : x− y
x + y
≥ 0}
= {(x, y) ∈ R2 : x− y ≥ 0 ∧ x + y > 0}
⋃
{(x, y)R2 : x− y ≤ 0 ∧ x + y < 0}
= {(x, y) ∈ R2 : x ≥ y ∧ x > −y}
⋃
{(x, y) ∈ R2 : x ≤ y ∧ x < −y}
(b) El Dom(f) no es un conjunto abierto.
Basta tomar, por ejemplo, el punto p = (1, 1) y un radio cualquiera r ∈ R para que la bola abierta
B(p, r) no esté contenida en el dominio de f .
(c) Frontera de Dom(f)={(x, y) ∈ R2 : y = x}
⋃
{(x, y) ∈ R2 : y = −x}
Los puntos de acumulación del Dom(f) forman el conjunto
{(x, y) ∈ R2 : x ≥ y ∧ x ≥ −y}
⋃
{(x, y) ∈ R2 : x ≤ y ∧ x ≤ −y}
(d)
f(x, y) = c ⇔
√
x− y
x + y
= c
⇔ x− y
x + y
= c2
⇔ y =
(
1− c2
1 + c2
)
x
Es decir, las curvas de nivel son rectas que pasan por el origen.
(e) Como lim
c→∞
(
1− c2
1 + c2
)
= −1, quiere decir que cuando c crece indefinidamente las curvas de nivel
tienden a la recta y = −x.
2. Sea T : R3[x] → R2[x], tal que
T [p(x)] = p′′(x) +
∫ 1
0
p(x) dx
(a) Pruebe que T es una transformación lineal.
(b) Sean
B1 = { 1, x− 1, (x− 1)2, (x− 1)3 }
B2 = { 1, x, x(x− 1) }
bases de R3[x] y R2[x] respectivamente. Determine [T ]B2B1 y use esta matriz para obtener el núcleo
de T .
Solución:
(a)
T (p(x) + q(x)) = (p(x) + q(x))′′ +
∫ 1
0
(p(x) + q(x))dx
= p′′(x) +
∫ 1
0
p(x)dx + q′′(x) +
∫ 1
0
q(x)dx
= T (p(x)) + T (q(x))
T (αp(x)) = (αp(x))′′ +
∫ 1
0
(αp(x))dx
= αp′′(x) + α
∫ 1
0
p(x)dx
= α
(
p′′(x) +
∫ 1
0
p(x)dx
)
= αT (p(x))
(Otra forma: T es lineal porque es suma de transformaciones lineales.)
(b)
T (1) = 1 = α1 + βx + γx(x− 1) ⇒ α = 1, β = 0, γ = 0
T (x− 1) = − 12 = α1 + βx + γx(x− 1) ⇒ α = −
1
2 , β = 0, γ = 0
T ((x− 1)2) = 73 = α1 + βx + γx(x− 1) ⇒ α =
7
3 , β = 0, γ = 0
T ((x− 1)3) = − 254 + 6x = α1 + βx + γx(x− 1) ⇒ α = −
25
4 , β = 6, γ = 0
Por lo tanto,
[T ]B2B1 =
 1 − 12 73 − 2540 0 0 6
0 0 0 0

Determinemos el Kert(T ). Sea p(x) = a + bx + cx2 + dx3
Ker(T ) = {p(x) ∈ R3[x] : [T ]B2B1p(x) = 0}
=
p(x) ∈ R3[x] :
 1 − 12 73 − 2540 0 0 6
0 0 0 0


a
b
c
d
 =
 00
0


= {a + bx + cx2 + dx3 ∈ R3[x] : a− 12b +
7
3c−
25
4 d = 0 ∧ 6d = 0}
= { 12b−
7
3c + bx + cx(x− 1) : b, c ∈ R}
= {b( 12 + x) + c(x
2 − x− 73 ) : b, c ∈ R}
Por lo tanto, Ker(T ) =< { 12 + x, x
2 − x− 73} >