geo_1 (1)

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PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
11111
Demostrar que los puntos ( )A 0,1= y ( )B 3,5= ; ( )C 7,2= y ( )D 4, 2= −
son los vértices de un cuadrado.
Solución:
LQQDcuadrado. un es ABCD
5CDADBCAB:Como
525916CD
525169AD
525916BC
525169AB
ˆ
====
==+=
==+=
==+=
==+=
!
!
!
!
11111Capítulo
SISTEMA DE COORDENADAS
22222
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos ( )A 1,1= − y
( )B 3,1= . Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Dos casos).
Solución:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )321,1C
321y
1x
: y De
161y3x
ABBC
1y1x
1y3x
ACBC
vértice. tercer el x,yC Sea
22
22
22
±=



±=
=
→=−+−
=
→−++=
=−+−
=
=
ˆ
!"
!
"
!
!
!
!
Dados los puntos ( )P 2, 31 = − y ( )P 1,22 = − encontrar sobre 21PP el
punto que diste doble de 1P que 2P .
Solución:
( )
( )
0x0
3
0
3
22
21
122
r1
xrxx
2
1
2
PP
PPr
pedido. punto el x,yP Sea
21
2
1
===−=
=
+
−+=
+
+
=
===
=
!
!
!
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
33333
( )
( ) 



==
==+−=
+
+−=
+
+=
3
1,0y,xP
3
1y
3
1
3
43
21
223
r1
yryy 21
ˆ
!!
El lado de un rombo es igual a 105 y dos de sus vértices opuestos son
los puntos ( )4,9P = y ( )2,1Q −= . Calcular el área de este rombo.
Solución:
101006436PQ ==+=
( )
2
2222
m150A150
2
1030
2
dDA
:Luego
15x225x252505105x
==×=×=
==−=−=
!
!!!
:
44444
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento que es
dividido en tres partes iguales por los puntos ( )2,2P = y ( )1,5Q = .
Solución:
( )
( )13,A
1y
2
5y2
3x
2
x12
1
PQ
APr
:,yxA de Cálculo
1
1
1
1
11
−=







−=
+
=
=+=
==
=
ˆ
!
!
!
!
!
( )
( )0,8B
8y
2
y25
0x
2
x21
1
QB
PQr
:,yxB de Cálculo
2
2
2
2
22
=







=+=
=+=
==
=
ˆ
!
!
!!
!
La longitud del segmento MN es igual a 13; su origen está en el punto
( )23,M −= ; la proyección sobre el eje de abscisas es igual a 12− . Hallar
las coordenadas del otro extremo del segmento, si forma con el eje de
ordenadas un ángulo dado.
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
55555
Solución:
( ) ( )
( ) ( )79,y,xN
7y132y3x13MNSi
9x123x12ABSi
22
−−==
−==++−=
−=−=−−=
ˆ
!!
!!
!
!
Tres de los vértices de un paralelogramo son ( )1,4A −= , ( )11,B −= y
( )6,1C = . Si la ordenada del cuarto vértice es 6. ¿Cuál es su abscisa?
Solución:
( )
( ) ( ) ( ) ( )2222 1116461xBCAD
pedido. punto el ,6xD Sea
++−=−++=
=
!!
66666
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
( ) ( )4,6D,6xD
:Luego
6x
4x
024x2x
es: operacionEfectuando
2
1
2
==




−=
=
=−+
!
!
!
!
El punto medio de cierto segmento es el punto ( )1,2M −= y uno de sus
extremos es el punto ( )2,5N = . Hallar las coordenadas del otro extremo.
Solución:
( )
( ) ( )14,yx,P
1y
2
5y2
2
yy
y
4x
2
2x1
2
xx
x
pedido. punto el yx,P Sea
N
M
N
M
−−==
−=+=
+
=
−=+=−
+
=
=
ˆ
!!
!!
!
!
Los vértices de un triángulo ABC son ( )12,A −= , ( )4,7B −= y ( )8,0C = .
Calcular las coordenadas del baricentro de dicho triángulo.
Solución:
:que Sabemos
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
77777
( ) ( )2,2yx,G
2
3
6y
3
071y
3
yyyy
2
3
6x
3
842x
3
xxxx
321
321
==
==++−=++=
==+−=++=
ˆ
!!
!!
!
!
¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que une los puntos
( )11,A −= y ( )4,5B = en la dirección AB, para que su longitud se triplique?
Solución:
( )
AB2BP
2
1
BP
AB:Sabemos
pedido. punto el yx,P Sea
==
=
!!
88888
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
!
"
→=+−−+
++−=−+−+++−
=+
→=−−−+
++−=−+−
014y10x8yx
:soperacione Efectuando
1y1x5y4x1514
APBPAB: También
0139y10x8yx
:soperacione Efectuando
151425y4x
22
222222
22
2222
!
!
!
!
!
( ) ( )10,17yx,P
7y;2x
17y;10x
: y De
22
11
==




−=−=
==
ˆ
!"