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EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor Ahora los mejores en la modalidad virtual Página 1 TRIGONOMETRÍA SEMANA 03: GEOMETRIA ANALITICA INTRODUCCION A LA GEOMETRIA ANALITICA 01. Se tiene los puntos A(4, 0) y B(0, 8), calcule las coordenadas del punto P situado sobre el eje Y, que sea equidistante de A y B. A) (0, 1) B) (0, 2) C) (0, 3) D) (‒2, 0) E) (‒3, 0) 02. El segmento de extremos A(‒2; 3) y B(12, 8) se divide en cinco partes iguales. Calcular la suma de las abscisas de los puntos de división. A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24 03. Un segmento AB , A(–2; 1) y B(8; 6) se divide en 5 partes iguales, una de las alterna- tivas no corresponde a las coordenadas de división del segmento. A) (0; 2) B) (2; 3) C) (3; 4) D) (6; 5) E) (4; 4) 04. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, las coordenadas del ortocentro (6; 9) y del cir- cuncentro son (3; ‒3). Calcular las coorde- nadas del baricentro del triángulo: A) (‒4; ‒1) B) (4; 1) C) (1; ‒4) D) (2; ‒3) E) (‒2; 3) 05. Los puntos extremos de un segmento son P1(2, 4) y P2(8, –4). Halle el punto P(x, y) que divide a este segmento en dos partes tales que P2P: PP1 = –2 A) (–2, 8) B) (–3, 9) C) (–4, 12) D) (–6, 12) E) (–4, 10) 06. Los vértices de un triángulo equilátero son A(–1;0); B(0;2) y C. Calcule una de las coordenadas del vértice C. A) ( 3 2 1 2 3 ; 2 2 − − − ) B) ( 3 1 1 2 3 ; 2 2 − − ) C) ( 3 1 1 3 ; 2 2 − − ) D) ( 1 2 3 2 3 ; 2 2 − − + ) E) ( 2 3 2 3 ; 2 2 − + ) 07. A(1, 1 ); B(3, 5 ); C(11, 6) y D son vértices de un paralelogramo. Determine la longitud de la menor diagonal. A) 4 5 μ B) 3 5 μ C) 2 2 μ D) 3 2 μ E) 2 3 μ 08. Los vértices consecutivos de un cuadrilá- tero son: A(1;2), B(4; 7), C(–6; 13) y D(–9; 8); luego el cuadrilátero es: A) Cuadrado B) Rombo C) Trapezoide D) Rectángulo E) Trapecio 09. Los vértices consecutivos de un cuadrilá- tero son: A(0;4), B(8;10), C(2;1) y D(–2; –2); luego el cuadrilátero es: A) Cuadrado B) Rombo C) Trapezoide D) Rectángulo E) Trapecio 10. En un trapecio isósceles de bases parale- las al eje x, dos de sus vértices opuestos son (5; 9) y (17; 14). Calcular el área del trapecio. A) 602 B) 392 C) 502 D) 522 E) 522 11. De la figura mostrada, calcule: a 1 b 1 + + A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 12. Si en el gráfico: OA = OB; OP = OQ. Calcule: cot(θ) A) 1 7 B) 2 7 C) 3 7 D) 4 7 E) 5 7 13. Con centro en el punto (5, 3) se dibuja una circunferencia que es tangente al eje de ordenadas en el punto A e intersecta al eje de abscisas en los puntos B y C. Calcule el área de la región triángular ABC: A) 82 B) 122 C) 142 D) 162 E) 202 14. Los vértices de un triángulo ABC son: A(0;–6), B(–2;4) y A(7;1). Calcular la longitud de la proyección del lado sobre el lado BC AC (4, 4) (–2, 10) (1, 1) (b, a) θ θ y B M N Q X P(8; –2) A(6; 8) θ EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor Ahora los mejores en la modalidad virtual Página 2 A) B)2 C) 3 D) 4 E) 6 15. Las coordenadas de los vértices de un triángulo son A(2; ‒3), B(0; 5) y C(‒4; 2). Calcular la longitud de la altura relativa al lado BC. A) 48/5 B) 33/5 C) 37/5 D) 38/5 E) 28/5 16. Los vértices de un triángulo son A(3; 3), B(11; 9), C(4; 10). Calcule las coordenadas del circuncentro. A) (3; 4) B) (7; 6) C) (5; 6) D) (3; 2) E) (7; 5) 17. En la figura mostrada L1//L2 y las coor- denadas del punto C son (2; 15). Calcule el área en u2 de la región triangular AOB. A) 25 B) 37 C) 46 D) 54 E) 82 18. Hallar el área del cuadrilátero cuyos vérti- ces son (–3; 2), (1;–9), (–8;–2) y (6;0). A) 80 B) 81 C) 82 D) 91 E) 12,5 19. Sean los puntos A(–1, 1), B(2, 3 ). Se ubica un punto C en el semieje negativo de las abscisas tal que el área de la región triangular ABC sea igual a 7.5 u2. Calcule la distancia (en u) entre los puntos B y C. A) 12 B) 153 C) 163 D) 13 E) 193 CEPRE_2009-I 20 Los vértices de un triángulo son A(n;2n), B(4n;n), C(2n;3n) si el área de dicho trián- gulo es 182. Calcular el valor de n (n > 0). A) 8 B) 1 C) 2 D) 3 E) 6 21. Si los puntos A(–2, 2), B(2, 4) y C son vértices de un triángulo ABC, donde “C” esta en el IV cuadrante y el lado AC pasa por el origen de coordenadas de centro “O”, calcule la longitud del segmento “CM”, si el área de la región triangular ABC es 2,5 veces el área de la región triangular AOB, M es punto medio de AB. A) 2 5 B) 3 5 C) 4 5 D) 5 5 E) 6 5 22. Una bolilla parte del punto (3;6), rebota en el semieje positivo de las ordenadas alcanzan- do el punto (6;0). Determinar las coordenadas del punto donde rebota. A) (0;6) B) (0;8) C) (0;4) D) (0;5) E) (0;3) 23. Una bolilla parte del punto (4; 9) y rebota en los semiejes positivos del sistema hasta llegar al punto (12; 3). Determinar el recorrido (en u) de la bolilla. A) 20 B) 18 C) 24 D) 15 E) 13 24. Un rayo de luz parte de la posición (–8;5) y después de rebotar en el eje de abscisas llega al punto (7;3). Hallar el recorrido del rayo de luz. A) 10 B) 12 C) 15 D) 17 E) 20 25. Halle el punto Q del gráfico para que la suma de las distancias d(A, Q) + d(Q, B) sea la mínima A) (2, 0) B) 5 ,0 2 C) 7 ,0 2 D) (3,0) E) (4, 0) 26. Dado el triángulo ABC A(–6;1) ; B(4; –1) y C(12;13). Un mosquito viaja del punto medio de hasta el punto medio de tocando al lado . Calcular su menor recorrido. A) 12 B) 10 C) 9 D) 13 E) 16 LA RECTA Y SUS ECUACIONES 2 2 2 2 2 AB BC AC y x B A(8; 6) C L2 L1 0 A(0; 9) B(5; 6) Q(x; 0) 0 X Y EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor Ahora los mejores en la modalidad virtual Página 3 27. Determine el lugar geométrico de todos los puntos en el plano cartesiano, que equidistan de los puntos P(–2; 6) y Q (6: 10) A) x + 2y – 10 = 0 B) 2x – y + 10 = 0 C) 2x + y – 12 = 0 D) x – 2y – 12 = 0 E) 2x + 2y – 5 = 0 28. Dado los puntos P(7; 4) y Q(–1; –2), además, L: ax + by + c = 0 es la mediatriz del segmento PQ, calcule la distancia (en u) del origen de coordenadas a la recta L. A) 3 B) 7 C) 8 D) 10 E) 15 29. Sea una recta cuya ecuación es L:(3k + n – 2)x + (5k – 2n + 1)y + 3k–4n+2=0, y pasa por los puntos (–2; 1) y (2; 0); entonces el valor de 68(k + n) es: A) 97 B) 98 C) 99 D) 100 E) 101 30. Indique una de las ecuaciones de las rectas de pendiente 0,75 tales que forman con los ejes un triángulo de 24 u2 de área. A) 3x – 4y + 21 = 0 B) 3x + 4y + 21 = 0 C) 3x – 4y + 23 = 0 D) 3x – 4y + 24 = 0 E) 3x + 4y + 24 = 0 31. Una recta de pendiente negativa intersecta a los ejes coordenados formando un triángulo rectángulo de área 6 u2 y el punto (6; –4) pertenece a la recta. Determine la menor pendiente de la recta. A) –5/3 B) –4/3 C) –1 D) –1/3 E) –1/6 PARCIAL_2010-I 32. Una recta con pendiente 7/3 pasa por el punto P=(1, 2). A y B son dos puntos sobre esa recta que distan 58 unidades de P, si A está en el primer cuadrante, determine las coorde- nadas de (A – B)/2. A) (2, 4) B) (1, 2) C) (–3; –7) D) (3, 7) E) (–1; –2) PARCIAL_2007-I 33. Una recta L pasa por los puntos (–4b; 0), (0;2b)y (4, 4b). Determine la proyección del origen de coordenadas a la recta L. A) 4 2 , 5 5 − B) 4 4 , 5 5 − C) 4 6 , 5 5 − D) 4 8 , 5 5 − E) 4 10 , 5 5 − 34. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas x– y+5=0 y x+y+1 = 0. Además esta recta debe tener pendiente positiva y distan del origen de coordenadas 3 unidades. A) 5x – 12y + 39 = 0 B) 5x–12y + 19 = 0 C) 10x – 24y + 39 = 0 D)10x–24y+19 = 0 E) 10x – 24y + 49 = 0 35. Halle el área del trapecio formadopor las rec- tas: 3x – y – 5 = 0, x – 2y + 5 = 0, x + 3y – 20 = 0 y x – 2y = 0 A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 36. En el plano XY se tiene las rectas: L1: 3x + 2y – 18 = 0 L2: 3x + 2y – 12 = 0 Determine la ecuación de la recta L3 que equidista de las rectas L1 y L2 contenida en el plano XY. A) 3x + 2y + 15 = 0 B) 3x + 2y + 12 = 0 C) 3x + 2y – 12 = 0 D) 3x + 2y – 6 = 0 E) 3x + 2y – 15 = 0 CEPRE_2007-II 37. Se tienen dos rectas paralelas L1: 3x + 4y – 2 = 0 L2: 3x + 4y – 7 = 0 La tercera recta L3 intersecta a L1 y L2 determi- nando un segmento de longitud 2 u. determine la pendiente positiva de la recta L3. A) 1/7 B) 1/6 C) 1/5 D) 1/4 E) 1/3 38. En la siguiente figura: Se traza una recta de ecuación x + by + c= 0 que pase por el punto C, que intersecte al eje X en un punto E de tal manera que el área del cuadrilátero ABCD y del triángulo ABE sean iguales. Entonces bc es igual a: A) ‒8 B) ‒6 C) 4 D) 5 E) 6 PARCIAL_2008-II 39. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (–1; 2) y que hace un ángulo de π/4 con la recta de ecuación: y– x/4 – 1 = 0 x y C(5,1) B(2,2) A(0,0) D(4,0) EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor Ahora los mejores en la modalidad virtual Página 4 A) y – 2 = 4 3 (x+1) B) y – 2 = 5 3 (x+1) C) y – 2 = 7 3 (x+1) D) y – 2 = 8 3 (x+1) E) y – 2 = 3 (x+1) PARCIAL_2011-I 40. El punto P de ordenada 10, pertenece a la recta L cuyo ángulo de inclinación es 71,5°. Si dicha recta L pasa por el punto (7; –2), calcule el valor aproximado de la abscisa de P. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 41. Sea el triángulo con vértices A= (2; –1), B = (–1, 2) , C = (3, 3) y baricentro G. si θ = m∠GAB, calcule tanθ A) 9/5 B) 5/9 C) 3/5 D) 5/3 E) 4/9 PARCIAL_2007-I 42. Dados los puntos A(1,1) y B(9,7), se pide determinar las coordenadas de un punto C en el primer cuadrante, perteneciente a la recta L’ definida por la ecuación y = x – 6, tal que el ángulo ACB sea recto. A) (10, 4) B) (10,5) C) (5, 10) D) (1, 5) E) (1, 10) PARCIAL_2006-II 43. Desde el punto “P” del eje de ordenadas, se divisa al segmento de extremos A(–5, 1) y B(8; –5), bajo un ángulo de 90°. Calcule la suma de coordenadas de P. A) {–5} B) {–5; 9} C) {–9; 5} D) {5} E) {–5; 7} 44. Los vértices de un triángulo son A(–5; 1), B(–1, 9) y C. Si el tercer vértice C se encuentra en la recta L: x – y = 0, de manera que el perímetro el triángulo es mínimo, calcule la suma de las coordenadas de C. A) 0,25 B) 0,5 C) 1 D) 2 E) 4 45. Sean los puntos A(–6, 2), B y C(14; 12), colineales talque B∈ AC . Halle la ecuación de la recta L, de pendiente positiva y que pasa por B, tal que su distancia a los puntos A y C sea 4u y 6u, respectivamente. A) 4x – 3y + 6 = 0 B) 4x – 3y + 10 = 0 C) 3x + 4y + 6 = 0 D) 3x – 4y – 10 = 0 E) 4x + 3y – 10 = 0 46. Desde el punto A(5; 1) se traza una perpendicular a la recta L: x+y+2=0 que la corta en B. Si el segmento AB es la base de un triángulo isósceles cuyo tercer vértice se encuentra sobre el eje de ordenadas. Halle el vértice C. A) (0; 4) B) (0; –3) C) (0; –4) D) (0; 2) E) (0; –2) 47. Sea la circunferencia con centro en C(0; 1) y con radio R. Determine la ecuación de la recta L, que pase P(5; 0) y cuya distancia al punto C sea máxima. A) 5x + y + 25 = 0 B) x + 5y + 25 = 0 C) 5x – y + 25 = 0 D) x – 5y – 25 = 0 E) 5x – y – 25 = 0 48. Un rayo de luz viaja por la recta L1: y = 3x+7, e incide sobre un espejo que se ubica en la recta L2: y = –4x. Determine la ecuación de la recta que contiene al rayo reflejado A) 37x + 32y = 91 B) 37x + 39y = 119 C) 32x + 37y = 116 D) 39x +37y = 109 E) 3x + 4y = 13 49. Calcule la pendiente positiva de la recta que biseca al ángulo formado por el eje Y y la recta cuya ecuación es: 3y – 4x – 12 = 0 A) 7/3 B) 5/2 C) 8/3 D) 3 E) 7/2 PARCIAL_2011-II 50. Si los vértices de un triángulo son A(1; 1), B(2; 3) y C(8; 0); determine la ecuación de la recta que pasando por “A” sea perpendicular a la bisectriz interior BD del ángulo “B” (D en AC ). A) x – 3y + 2 = 0 B) x – 4y + 3 = 0 C) 3x – y – 2 = 0 D) 4x – y – 3 = 0 E) x – 6y + 5 = 0 51. Los vértices de un triángulo son los puntos A(3, 6), B(–1; 3), C(2, –1). Calcule la longitud de la altura trazada desde el vértice “C” A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 52. Dado los vértices A(–2; 4) y B(6; –2) de un triángulo ABC, y el punto H(1; 3) intersección de sus alturas. Halle el vértice C. A) (–4; 10) B) (2; 13) C) (13; 19) D) (–10; 20) E) 7; 13) 53. Dada la ecuación de la recta L: 2x + 3y – 1 = 0. Determine el punto simétrico del punto P (1; 1) con respecto a la recta L. A) 3 11 ; 13 13 − B) 3 11 ; 13 13 − C) 3 11 ; 13 13 − − EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor Ahora los mejores en la modalidad virtual Página 5 D) 2 11; 13 13 E) 2 11; 13 13 − − 54. Un cuadrado tiene uno de sus lados sobre la recta 3x – y + 2 = 0 y uno de sus vértices en (1; 1). Calcule el área de dicha región cuadrangular (en u2) A) 1,2 B) 1,4 C) 1,6 D) 1,8 E) 2,0 55. Determine la ecuación de la recta que une el ortocentro y el circuncentro del triángulo ABC, A(–3; –3), B(1, 1) y C(3; –5) A) x + y + 1 = 0 B) x + y + 2 = 0 C) x + y + 3 = 0 D) x + y – 1 = 0 E) x + y – 2 = 0 PROF. RAUL ALEJO
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