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GEOMETRIA 
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CAPITULO I 
 
NOCIONES BÁSICAS DE GEOMETRÍA 
 
GEOMETRÍA: 
 Parte de la matemática que estudia las figuras geométricas, sus propiedades, y las relaciones entre las propiedades. 
 La Geometría Euclideana se divide en: “geometría plana” y “Geometría del espacio”. 
 
TÉRMINOS MATEMÁTICOS 
 
1. PROPOSICION.- Es un enunciado u oración que tiene la característica de ser verdadero o falso. 
 
2. AXIOMA.- Proposición evidente por si misma que no necesita demostración. Es de carácter universal. 
 
3. POSTULADO.- Es una proposición evidente que sin tener la evidencia del axioma se acepta sin demostración. 
 
4. TEOREMA.- Es una proposición que para ser evidente requiere ser demostrada. Consta de dos partes: 
a) Hipótesis.- Son los datos que se suponen que son ciertos 
b) Tesis.- Es lo que se debe demostrar. 
 
5. LEMA.- Es una proposición que sirve de base para la demostración de un teorema. 
 
6. COROLARIO.- Proposición que se establece como consecuencia de la demostración de un teorema. 
 
7. PROBLEMA.- Enunciado en el cual se pide determinar una cantidad conociendo algunos datos, según condiciones 
establecidas. 
 
CONCEPTOS NO DEFINIDOS: 
PUNTO, RECTA Y PLANO 
 
1. EL PUNTO.- Es un ente geométrico abstracto. Solo tiene posición en el espacio. No tiene dimensiones. Es no 
medible. No tiene existencia física. 
La existencia del punto se establece mediante el siguiente postulado: 
“Existen infinitos elementos llamados puntos” 
Se denota con letras mayúsculas: A, B, P, … 
 
2. LA RECTA.- Es un conjunto de infinitos puntos continuos que siguen una misma dirección e ilimitada en ambos 
sentidos. 
La recta no es medible. 
La existencia de la recta se establece mediante los siguientes postulados: 
a) “Dados dos puntos diferentes, existe una única recta que los contiene” 
b) Toda recta contiene por lo menos dos puntos diferentes. 
 
3. EL PLANO.- Conjunto de infinitos puntos que se representa mediante regiones planas que se extienden 
infinitamente en todas las direcciones de la región. 
El plano es no medible. No tiene espesor 
La existencia del plano se establece mediante los siguientes postulados: 
a) Dados tres puntos diferentes no colineales existe exactamente un plano que los contiene. 
b) Todo plano contiene por lo menos tres puntos diferentes no colineales. 
 
FIGURA GEOMÉTRICA: 
 Conjunto de puntos del plano o del espacio que adoptan una determinada forma, tamaño y posición. 
 Una figura también se puede denominar como la representación de líneas, superficies y sólidos, adoptando cierta 
forma y teniendo una determinada extensión, a excepción del punto, el cual representa al conjunto unitario; toda figura 
se distingue de otra por su tamaño y forma. 
 
ESPACIO: 
 Es el conjunto de todos los puntos. 
 
CEPRU – UNSAAC 
– 2 – 
RELACIÓN ENTRE FIGURAS GEOMÉTRICAS 
Dos figuras geométricas pueden ser: 
1. Semejantes (), si tienen igual forma sin importar su medida. 
2. Equivalentes (), si tienen igual medida sin importar su forma. 
3. Congruentes (), si tienen igual forma y medida. 
 
FIGURAS GEOMÉTRICAS CONVEXAS Y NO CONVEXAS 
Una figura geométrica es convexa si y solo si para todo par de puntos de esta figura geométrica, el segmento 
determinado por estos puntos está contenido en la figura. 
 
Una figura geométrica  es convexa  ( , P Q  PQ ) 
 
 
 
 
 
 
Caso contrario se dice que esta figura geométrica es no convexa. 
 
 
 
 
 
 
AXIOMAS DE SEPARACIÓN. 
 
1. Todo punto de la recta, determina en la recta tres conjuntos convexos disjuntos: dos semirrectas y el 
mismo punto 
2. Toda recta contenida en un plano, determina en el plano tres conjuntos convexos, disjuntos: dos 
semiplanos y la misma recta. 
3. Todo plano determina en el espacio, dos semi-espacios. 
 
SEMIRECTA: 
 Es uno de los sentidos de la recta, sin considerar al punto que lo determina. 
 
RAYO: 
 Es la figura formada por una semirrecta y su punto de origen. 
 
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN UN PLANO 
A) Secantes. 
B) Paralelas. 
 
EJERCICIO RESUELTO: 
1) Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) 
I) Una recta está contenida en un plano, cuando por los menos dos puntos de la recta pertenecen a este plano 
II) Dos figuras geométricas son congruentes cuando tienen igual forma y medidas diferentes. 
III) Si a un círculo se le excluye un radio, el conjunto resultante es convexo. 
Señalar la alternativa con la secuencia correcta. 
A)FVV B)FFV C)VFF D)FVF E)FFF 
Resolución: 
I) Verdadero: 
 
 
 
 
 
II) Falso: Dos figuras geométricas son congruentes cuando tienen igual forma y medida. 
III) Falso: Si a un círculo se le excluye un radio, el conjunto resultante es no convexo 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rpta: VFF 
 
A .
B .
P
Q 
P 
P 
Q 
P Q 
GEOMETRIA 
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EJERCICIOS 
 
1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son 
verdaderas? 
I. El cilindro macizo es un conjunto convexo. 
II. El interior de un ángulo agudo es un conjunto 
convexo. 
III. Una línea siempre es un conjunto no convexo. 
IV. El círculo es un conjunto no convexo. 
V. El punto es un conjunto convexo. 
A) I, II y V B) Sólo II C) Solo I 
D) Sólo III E) II, III y IV 
 
2. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son 
verdaderas? 
I. Un pentágono, puede ser congruente a una 
circunferencia. 
II. Dos figuras congruentes, son siempre 
equivalentes. 
III. Dos figuras equivalentes, son siempre 
congruentes. 
IV. Un cubo y un cilindro, pueden ser equivalentes. 
V. Un hexágono y un triangulo, que tienen igual 
perímetro, se denominan equivalentes. 
A) I y II B) Sólo II C) II. IV y V 
D) Sólo III E) II, III y IV 
 
3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones corresponde 
a un Lema? 
A) Proposición que se acepta sin ser 
demostrado. 
B) Proposición que para ser evidente necesita 
ser demostrado. 
C) Proposición que sirve de base para demostrar 
otra proposición. 
D) Es una consecuencia inmediata de una 
proposición ya demostrada. 
E) Es una advertencia que se hace a una 
proposición ya demostrada. 
 
4. Responder con (V) si es verdadero y con (F) si es 
falso 
I. Dos figuras equivalentes, son siempre 
congruentes. 
II. El punto es un conjunto convexo. 
III. Un pentágono, puede ser equivalente a una 
circunferencia. 
IV. LEMA es una consecuencia inmediata de una 
proposición ya demostrada. 
V. Si los lados de un triángulo miden 4, 11 y 12 
entonces es un triángulo acutángulo. 
A) FVFFV B) FVFVV C)VVFVF 
D) VFVFV E) FVVFF 
 
5. Un conjunto convexo es: 
A) Todo conjunto de puntos tal que algún 
segmento determinado por dos puntos del 
conjunto está contenido en el conjunto. 
B) Todo conjunto de puntos tal que existe un 
segmento determinado por dos puntos del 
conjunto está contenido en el conjunto. 
C) Todo conjunto de puntos tal que todo 
segmento determinado por dos puntos del 
conjunto está contenido en el conjunto. 
D) Todo conjunto de puntos tal que algún 
segmento determinado por dos puntos del 
conjunto no está contenido en el conjunto. 
E) Todas las anteriores. 
6. Responder con (V) si es verdadero y con (F) si es 
falso. 
I. Una línea es siempre una sucesión de puntos 
alineados. 
II. El punto es un conjunto. 
III. Una línea que cambia constantemente de 
dirección se denomina línea quebrada. 
IV. Una sucesión de puntos alineados es una 
línea curva. 
A) FVFF B) FVFV C) FVFV 
D) FVVV E) FVVF 
 
7. Indicar el valor de verdad o falsedad de las 
siguientes proposiciones: 
I) Toda línea es una recta. 
II) El punto sólo tiene Posición. 
III) La intersección de dos planos es un conjunto 
convexo. 
IV) Dos rectas secantes están contenidas en un 
solo plano. 
A)VFVV B)VVFV C)FVVV 
D)VVVV E)FFVV 
 
8. En la geometría Euclideana cuál o cuales de las 
siguientes proposiciones son falsas: 
I) El plano es medible. 
II) La recta no es medible. 
III) El punto no se puede definir. 
IV) El punto, la recta y el plano son conceptos 
fundamentales de la geometría Euclideana.A) I y II B) Sólo II C) Solo I 
D) Sólo III E) II, III y IV 
 
9. Para la geometría Euclideana son conceptos no 
definidos: 
I) El punto y la semirecta 
II) Todas las figuras 
III) El triángulo y el cuadrado 
IV) El punto, la recta y el plano 
V) La línea recta, el plano y conjunto de puntos. 
A) I y II B) Sólo I C) II y IV 
D) Sólo IV E) Sólo V 
 
10. Dadas las siguientes proposiciones: 
I) Un punto contenido en una recta, determina 
en ella sólo dos figuras convexas. 
II) Una recta contenida en un plano, determina 
tres figuras convexas. 
III) El punto es una figura convexa. 
IV) El ángulo en el plano determina dos regiones: 
una es figura convexa y la otra no convexa. 
V) La circunferencia es una figura no convexa, 
mientras el círculo es una figura convexa. 
A)VVVFV B)FVFFV C)FVVVV 
D)VVFVF E)FVVFV 
 
11. En la geometría Euclideana, cuál o cuales de las 
siguientes proposiciones son verdaderas. 
I) El punto es un objeto físico. 
II) El punto es una letra o un aspa. 
III) La recta es un concepto fundamental de la 
geometría. 
IV) El plano geométrico es medible. 
V) El punto no es definible. 
A) I y IV B) I y II C) III y V 
D) solo V E) solo III 
CEPRU – UNSAAC 
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12. Las figuras geométricas de igual forma y medida, 
se denominan: 
I) Semejantes 
II) Congruentes 
III) Equivalentes 
IV) Isoperimetricas 
V) Convexos. 
A) Sólo I B) Sólo IV C) II y V 
D) Sólo II E) III y V 
 
13. Un cono de altura “h” y radio 3cm tiene 3cm39 de 
volumen y una cuña esférica de radio 3cm tiene 
por volumen 3cm
3
27
, entonces el cono y la cuña 
son: 
I) Semejantes 
II) Equivalentes. 
III) Congruentes 
IV) Iguales 
A) I y IV B) Sólo III C) Sólo II 
D) II y III E) I y II 
 
14. Dadas las siguientes proposiciones referidas a 
figuras geométricas 
I) El semiplano no es convexo 
II) El conjunto de dos puntos separados es 
convexo. 
III) El ángulo es convexo 
IV) El cuadrado es convexo 
V) La región rectangular es convexo 
En el orden que aparecen, indicar verdadero V o 
falso F. 
A)VFFVF B)FVVVF C)FFFVV 
D)VVVVF E)FFFFV 
 
15. Dadas las siguientes proposiciones, indicar con “V” 
si es verdadera y con “F” si es falsa: 
I) La intersección de dos planos es medible 
II) Se tienen los puntos colineales y consecutivos 
A, B, C y D; entonces: ADCDBCAB  
III) En dos circunferencias concéntricas, 
si: AB CD entonces CDAB  
IV) Las figuras adjuntas son equivalentes 
 
 
 
 
 
 
 
A)FVFV B)FFFV C)FVVF 
D)VFFV E)FFVF 
16. En las siguientes proposiciones al indicar con “V” si 
es verdadero y con “F” si es falsa, en el mismo 
orden en que aparecen, se obtiene: 
I) La región triangular siempre es convexa 
II) Toda región cuadrilátera es convexa 
III) La región angular cuyo ángulo mide 80º, es 
convexa 
IV) El interior de una circunferencia es una región 
convexa. 
A)VVFF B)VVVF C)VFVF 
D)FVFV E)VFVV 
 
17. Si los perímetros de dos triángulos son cada uno 
12cm, entonces dichos triángulos son: 
I) Congruentes 
II) Semejantes 
III) Equivalentes. 
IV) No convexas 
V) Convexas. 
A) Sólo I B) Sólo II C) sólo III 
D) II y V E) III y IV 
 
18. Indicar el valor de verdad o falsedad de las 
siguientes proposiciones: 
I) El interior de una esfera es un conjunto 
convexo. 
II) En una región triangular, si se omite el punto 
medio de un lado, siempre resulta una región 
convexa. 
III) La región interior de un cuadrilátero equilátero 
es convexa. 
IV) La intersección de un plano con una esfera es 
un conjunto convexo. 
A)VVFF B)VFFV C)VFFV 
D)VFVV E)FVFV 
 
19. Indicar el valor de verdad o falsedad de las 
siguientes proposiciones: 
I) Si la intersección de dos conjuntos es un 
conjunto convexo, entonces dichos conjuntos 
siempre son conjuntos convexos. 
II) La intersección de regiones circulares es 
siempre un conjunto convexo. 
III) La unión de dos conjuntos no convexos es 
convexo. 
A)FVV B)VVF C)FVF 
D)FFV E)FFF 
 
20. Dadas las siguientes proposiciones, indicar con “V” 
si es verdadera y con “F” si es falsa: 
I) La figura geométrica A es convexa 
)APQAQ;P(  
II) Una región circular de cuyo contorno se han 
excluido dos puntos diametralmente opuestos 
es convexa 
III) Un arco de circunferencia es convexo 
IV) La superficie cilíndrica circular recta es 
convexa 
A)VFFF B)VFVF C)VVFF 
D)VFFV E)FVFF 
 
21. En la siguiente figura, son conjuntos convexos: 
I) El triángulo ABC. 
II) El interior del triángulo ABC. 
III) El vértice B. 
IV) El ángulo BAC. 
 
 
 
 
 
 
A) II y III B) Sólo II C) I y III 
D) II y IV E) I y IV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
C 
150º 
b 
2h 
b 
h 
GEOMETRIA 
– 5 – 
 
 
 
CAPITULO II 
 
RECTA Y SEGMENTO DE RECTA 
 
LÍNEA RECTA 
Es un conjunto de infinitos puntos continuos que siguen una misma dirección e ilimitada en ambos sentidos. 
Representación: 
 
 
 
Notación: se puede representar de dos maneras 
 
 
 
 
 
 
 
SEMIRECTA: 
Es cada una de las porciones determinadas en una recta por cualquiera de sus puntos, sin considerar a estos. A 
cualquiera de estos puntos se llama origen y el conjunto de puntos ubicados a un lado del origen se llama semirrecta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
RAYO: 
Es cada una de las porciones determinadas en una recta por cualquiera de sus puntos, considerándolos a estos. 
 
 
 
 
SEGMENTO DE RECTA 
Para dos puntos cualesquiera A y B de una recta L , el segmento AB es el conjunto de los puntos A y B y todos los 
puntos que están entre A y B. 
Los puntos A y B se denominan extremos de AB . 
 
 
 
 
Representación: 
 
 
 
Notación: 
Segmento de recta de extremos A y B: AB 
 
MEDIDA DE UN SEGMENTO: 
Se denomina también longitud de un segmento. La medida de un segmento es un número real positivo 
 
 
 
 
Medida del segmento AB: 
 
Línea recta L : L 
 
A B 
Línea recta AB : AB 
 
O 
 
O O O 
origen 
Semirecta OR: ºOR Semirecta OQ: ºOQ 
Q R 
O O Q R 
Rayo OQ: OQ Rayo OR: OR 
A B 
L 
A B 
A B d 
CEPRU – UNSAAC 
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m(AB ) d ; d R

 
 
La medida de AB se denota por: AB 
 
AB)AB(m  
 
 
SEGMENTOS CONGRUENTES: Dos segmentos son congruentes cuando tienen la misma longitud. 
AB  CD  AB = CD. 
 
 
 
 
 
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO 
Es aquel punto que pertenece a un segmento de recta y que determina con los extremos de este dos segmentos de 
igual longitud. 
M es punto medio de MBAM;ABMAB  
 
 
 
 
Extremos: A y B 
Punto medio: M 
 
OBSERVACIÓN 
I) Todo segmento de recta tiene un único punto medio 
II) MBAM  ó MBAM  
 
OPERACIONES CON MEDIDAS DE SEGMENTOS 
Con las medidas de los segmentos se pueden realizar las operaciones algebraicas ( m(AB ) AB d    ) 
 
RAZÓN DE MEDIDAS DE SEGMENTOS: 
La razón 
b
a
BC
AB
 se lee AB es a BC como “a” es a “b”; es decir; akAB  y bkBC  
 
El cual gráficamente representa: 
 
 
 
 
DIVISIÓN ARMÓNICA DE UN SEGMENTO: 
Se dice que los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D constituyen una “cuaterna armónica”, si B y D son 
conjugados armónicos de A y C. 
 
En toda cuaterna armónica se cumple que: 
 
 
 
 
 
 
CD
AD
BC
AB
 ó 
c
d
b
a
 
 
TEOREMA: 
Si los puntos B y D son conjugados armónicos de A y C, se tiene: 
 
AC
2
AD
1
AB
1
 , (Relación de Descartes) 
 
COROLARIO: 
Si se cumple (AB)(CD) = n(BC)(AD), entonces: 
A C B ak bk 
A B M 
A D B a b C c 
d 
B A 
D C 
AB  CD 
GEOMETRIA 
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n
AB
 + 
1
AD
 = 
n 1
AC

 
 
TEOREMA: Si los puntos B y D son conjugados armónicos de A y C y O punto medio del segmento AC , entonces: 
2
(OA) (OB)(OD) (Relación de Newton) 
 
 
 
 
 
HAZ ARMÓNICO: 
Es el conjunto de cuatro rayos que tienen en común el origen y que determinan sobre cualquier transversal a ellos 
cuatro puntos armónicos 
 
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO 
Es la recta perpendicular a un segmento que contiene al punto medio de dicho segmento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema de la mediatriz: Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista a los extremos de dicho segmento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P L mediatrizdeAB PAPB    
 
EJERCICIOS RESUELTOS: 
1. En un recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que (AB)(AD) 5(BC)(CD) y 
x y z
CD AC AB
  . El valor de x y z  , es: 
A) 13 B) 10 C) 11 
D) 12 E) 9 
 
Resolución: 
 
 
 
Por dato: 
 (AB)(AD) 5(BC)(CD) 
(AB)(AC CD) 5(AC AB)(CD)   
(AB)(AC) (AB)(CD) 5(AC)(CD) 5(AB)(CD)   (AB)(AC) (AB)(CD) 5(AB)(CD) 5(AC)(CD)   
 (AB)(AC) 6(AB)(CD) 5(AC)(CD)  
Dividiendo todos los términos entre (AB)(CD)(AC) , se tiene: 
1 6 5
CD AC AB
  
De donde: x=1, y=6 y z=5 
x y z 12    
 
A B 
M 
L: mediatriz 
A B 
M 
P 
L: mediatriz 
A B C D 
CA DBO
CEPRU – UNSAAC 
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2. Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D. tal que: 
BC CD
AB AD
 , además 
1 1 1
AB AD 10
  , la medida de 
AC , es: 
A) 10 B) 20 C) 30 
D) 15 E) 25 
 
Resolución: 
 
 
 
Por dato: 
BC CD
AB AD
 ó 
AB AD
BC CD
 
 
Se tiene que los puntos B y D son conjugados armónicos de A y C, luego debe cumplirse la relación de Descartes 
AC
2
AD
1
AB
1
 
Además por dato 
1 1 1
AB AD 10
  
 
AC 20  
 
 
EJERCICIOS 
 
1) ¿Cuál o cuáles de las proposiciones son 
verdaderas? 
I) Los puntos alineados A, B, C y D, constituyen 
una cuaterna armónica si se cumple que: AB. 
CD = AC. AD 
II) Si los puntos alineado A, B, C y D, constituyen 
un a cuaterna armónica entonces se cumple 
que: 
1
AD
 + 
1
AB
 = 
2
BC
 
III) Si los puntos alineados A, B, C y D, 
constituyen un a cuaterna armónica entonces 
se cumple que: AD. BC = CD. AB. 
A) Sólo I B) Sólo II C) II y III 
D) Sólo III E) I y II 
 
2) Un Has Armónico es: 
A) Un conjunto de rayos. 
B) Un conjunto de rayos que parten de los tres 
vértices de un triangulo. 
C) Un conjunto de rayos tales como 
OA , OB OC OD , tal que A, B, C y D 
constituyen una cuaterna armónica 
D) Es un conjunto de cevianas que parten de los 
tres vértices de un triangulo y que se cortan 
en un solo punto. 
E) Un conjunto de rectas con un punto en 
común. 
 
3) Se tiene los puntos colíneales y consecutivos A, 
B, C y D. Siendo B, punto medio del segmento 
AC. Calcular la longitud del segmento AB, sí 3BD 
= 4AC y AD = 22 m. 
 
A) 1m B) 3m C) 6m 
D) 9m E) 12m 
 
4) Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, 
M, C y D; tales que: M es punto medio del 
segmento AD; AB + CD = 10m y BM – MC = 2m. 
Calcula la longitud del segmento CD. 
 
A)12m B)6m C)15m 
D)9m E)3m 
 
5) Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, 
C y D tales que: AB.CD = n BC.AD. 
Calcular n, si: 
1
AD
 + 
n
AB
 = 
8
AC
 
A)3 B)5 C)7 
D)9 E)6 
 
6) Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, 
C y D tales que: AB.AC=3BC.CD y 
CD

+
AC

=
AB

. Calcular 
2 2 2
E      
A)18 B)20 C)19 
D)24 E)26 
 
7) Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, 
C y D tales que: 2CD. AB = 3 BC. AD y 
2 5
1
BC AC
  . Calcular CD. 
 
A) 1 B) 2 C) 5 
D) 3 E) 4 
 
8) Se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D 
en una recta, tal que: CD)AB(2  y M es punto 
medio de BC . Calcular BD, si 12AM  . 
 
A)24 B)12 C)6 
D)18 E)30 
9) Se tiene los puntos colineales y consecutivos R, I, 
C y O tales que: RI = a, IC = b, CO = c; RI. CO = 
IC. RO y 
a b a b c
RC 4RO 3RI
 
  Hallar E = abc 
A)8 B)10 C)7 
D)9 E)11 
 
A B C D
GEOMETRIA 
– 9 – 
10) Se tiene los puntos colineales y consecutivos M, I, 
C y O tales que: MO = 24, MI x y  , IC x y  , 
CO 2y x  . Hallar el valor de y;  y, x N . 
A)9 B)6 C)7 
D)5 E)8 
 
11) En una línea recta, se ubican los puntos 
consecutivos A, B y C, tal que )AB(3)AC(2  y 
6BC  . Calcular AC. 
A)20 B)18 C)14 
D)12 E)16 
 
12) En una recta se ubican los siguientes puntos 
consecutivos A, B, C y D tal que 20ACAB  cm, 
4ABAC  cm y CDAC  . La medida de AD , 
es: 
A) 18cm B) 12cm C) 24cm 
D) 15cm E) 20cm 
 
13) Sobre una recta se encuentran los puntos 
consecutivos A, B, C y D, de modo que B es punto 
medio de AC y )CD(2)BC(3  . Si AD mide 28, 
la medida de AC , es: 
A)12 B)16 C)8 
D)14 E)6 
 
14) Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos 
A, B, C, D y E, tal que CEAC  , 16CDAB  y 
4BCDE  . Calcule CD. 
A)12 B)10 C)8 
D)6 E)4 
15) En una línea recta se ubican los puntos 
consecutivos A, B, C y D, tal que 
)AD)(BC()CD)(AB(4  y 
AB
1
AD
4
10
1
 . Calcule 
AC. 
 
A)40 B)30 C)50 
D)45 E)60 
 
16) En una recta se ubican los puntos consecutivos A, 
B, C y D, tal que C es punto medio de BD . Si 
2)BD(28)AD)(AB(4  , calcule AC. 
 
A) 3 B) 5 C) 7 
D)3 E) 11 
 
17) Sean los puntos colineales i consecutivos A, B, C, 
D y E, tal que )BC(3CDAB  y ABDE . Si 
luego se ubica el punto medio M de BE , donde 
MD=2 y AE=16, calcule MC. 
 
A)2 B)3 C)4 
D)5 E)6 
 
18) En una recta se ubican los puntos consecutivos A, 
B, C y D. Si se cumple la relación 
4)CD(2BD)AB(4  , además AB=3 y AC=5. 
Calcule AD. 
 
A)2 B)3 C)5 
D)7 E)9 
 
19) Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos 
A, B, C y D, tal que )BC)(AD()CD)(AB(  , 
28)CD)(BC(  y 7BCCD  . Calcule AC. 
 
A)10 B)2 C)6 
D)12 E)8 
 
20) Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, 
B, C, D, E y F; sabiendo que AC=15m, BD=25m, 
CE=20m y DF=30m; siendo M y N los puntos 
medios de AB y EF , respectivamente, la medida 
de MN , es: 
A)45m B)35m C)25m 
D)55m E)15m 
 
21) Sobre una recta se ubican los puntos A, B, C y D 
consecutivos, determinando así segmentos cuyas 
medidas satisfacen que: “BD es media 
proporcional de AC y AD”. Con esa condición, 
calcular el valor de la expresión “E”, si 
2
BD
AC
AB
CD
E 





 
A)2 B)0 C)
2
1
 
D)
4
1
 E)1 
 
22) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos 
A, B y C de modo que: 2)AC(n)BC)(AB(  y 
1
AB
BC
BC
AB
 . Entonces, el valor de “n” será: 
 
A)
2
1
 B)
4
1
 C)
3
1
 
D)
5
1
 E)1 
 
23) Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos 
A, B, C y D. Si 
CD
AD
BC
AB
 y 
n
1
AD
1
AB
1
 ; 
0n  . Calcular AC. 
 
A) 2n B) n C) 4n 
D) 3n E) 2n 
24) Sobre una recta, se ubican los puntos 
consecutivos M, A y B, siendo O el punto medio de 
AB . Calcule el valor de K para que se cumpla la 
siguiente igualdad 
 2)AO(2)MO(k2)MB(2)MA(  . 
 
A)1 B)2 C)3 
D)4 E)5 
 
25) En una recta se ubican los puntos consecutivos A, 
M, N y R. Si )NR)(MN(3)AR)(AM(  y 
AN
p
AM
n
NR
m
 . Calcule pnm  . 
 
A)16 B)8 C)12 
D)14 E)18 
 
 
 
CEPRU – UNSAAC 
– 10 – 
26) Sobre una línea recta se consideran los puntos 
consecutivos A, B C y D. si P y Q son puntos 
medios de AB y CD respectivamente donde AB 
mide 40 y CD mide 20, entonces el segmento que 
tiene por extremos los puntos medios de PC y 
BQ , mide: 
 
A)12 B)20 C)13 
D)10 E)15 
 
27) Dado los segmentos consecutivos sobre una recta: 
AB , BC , CD ; tienen medidas que cumplen con 
las siguientes expresiones: 
CD
BC
AD
AB
 y 
(BC).(CD)
4
CD BC


. Hallar la medida de AC . 
 
A)10 B)8 C)9 
D)12 E)6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA 
– 11 – 
 
 
 
CAPITULO III 
 
ÁNGULOS 
 
 
ÁNGULO 
Definición: Figura geométrica formada por dos rayos 
coplanares que tienen el mismo origen y que no están 
en línea recta. 
Representación gráfica: 
Notación: 
ángulo AOB: AOB 
AOB : OA OB   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos: 
1) Lados: OA ; OB 
2) Vértice: O 
 
POSTULADO DE LA MEDIDA DE UN ÁNGULO: 
A cada ángulo AOB le corresponde un único número 
entre 0° y 180°, llamado medida del ángulo AOB. 
Se denota: 
Medida del AOB : m( AOB)   
0°<<180°CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS: 
Los ángulos se clasifican de acuerdo a su medida, a la 
suma de sus medidas y a la posición de sus lados. 
SEGÚN SU MEDIDA: 
I) Ángulo agudo: 0º 90º   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II) Ángulo recto: 90º  
 
 
 
 
 
 
III) Ángulo obtuso: 90º 180º   
 
 
 
 
NOTA: 
I) 
 
0º  
 
II) 
 
 
180º  
 
III) 
 
 
 
180º 360º   
 
IV) 
 
 
360º  
 
 
SEGÚN LA RELACIÓN ENTRE SUS MEDIDAS 
I) ÁNGULOS COMPLEMENTRIOS: dos ángulos son 
complementarios si la suma de sus medidas es 90º. 
 
 
 
 
 
 
 
90º   AOB y PQR son complementarios 
Se dice también: 
“ AOB complemento de PQR ” ó 
“ PQR complemento de AOB ” 
NOTA: La medida del complemento de un ángulo de 
medida “”, es: “90º–” 
 
C 90º

  
A 
B 
O 
 
 
P 
Q 
R A 
B 
O 
 
 
 
 
 
A 
B 
O 
Región interior 
del AOB 
Región exterior 
del AOB 
 se representa: 
 
 
 
O 
CEPRU – UNSAAC 
– 12 – 
II) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS: dos ángulos son 
suplementarios, si la suma de sus medidas es 
180º. 
 
 
 
 
 
 
 
180º   AOB y PQR son suplementarios 
Se dice también: 
“ AOB suplemento de PQR ” ó 
“ PQR suplemento de AOB ” 
 
NOTA: la medida del suplemento de un ángulo de 
medida “”, es: “180º–” 
 
S 180º

  
 
SEGÚN LA POSICIÓN DE SUS LADOS: 
I) ÁNGULOS ADYACENTES: Dos ángulos son 
adyacentes si tienen un lado común, sus interiores 
son disjuntos y están contenidos en un mismo 
plano. 
 
 
 
 
 
 
 
II) Ángulos adyacentes suplementarios o par lineal. 
 
 
 
 
 
 
 
180º  
 
III) ÁNGULOS CONSECUTIVOS: Son aquellos 
ángulos con el mismo vértice y lado común que 
están contenidos en un mismo plano, sus interiores 
son disjuntos. 
 
 
 
 
 
 
 
IV) ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE: Son 
dos ángulos que tienen el mismo vértice en donde 
los lados de uno de ellos son los rayos opuestos 
del otro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: 
Es aquel rayo cuyo origen es el vértice de un ángulo, y 
sus demás puntos al estar en el interior del ángulo, 
forman con sus lados, ángulos congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bisectriz: OP 
m( AOP) m( POB) OP bisec trizde AOB     
Teorema de la bisectriz: Todo punto situado sobre la 
bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS 
PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ángulos Internos Externos 
 
Alternos 
(medidas iguales) 
 
 
Conjugados 
(son 
suplementarios) 
 
 
Correspondientes 
(medidas iguales) 
 
 
 
PROPIEDADES 
1. Si: 
1 2
L // L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x    
 
 
 
x 
L1 
L2 
 
 
lado común 
O 
 
 
O 
   
O 
a b 
c d 
m n 
p q 
L1 
L2 
conjugados internos 
externos 
externos 
correspondientes 
A 
B 
O 
 
 
P 
Q R 
A 
B 
O 
 
 
P 
O 
M 
N 
P 
 
 
PM = PN 
GEOMETRIA 
– 13 – 
2. Si: 
1 2
L // L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x y   
 
3. Si: 
1 2
L // L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x   
 
 
 
4. Si: 
1 2
L // L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
180º  
 
5. Los ángulos consecutivos formados alrededor de 
un punto y a un mismo lado de una recta, tienen 
medidas que suman 180º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
180º 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Los ángulos consecutivos formados alrededor de 
un punto, tienen medidas que suman 360º 
 
 
 
 
 
 
 
 
360º 
 
7. Los ángulos opuestos por el vértice, tienen 
medidas iguales. 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
TEOREMA 
Las bisectrices de dos ángulos adyacentes 
suplementarios forman un ángulo recto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
90º  
 
ANGULOS DE LADOS PARALELOS 
A) Dos ángulos agudos o dos ángulos obtusos que 
tienen sus lados respectivos paralelos, son 
congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B) Dos ángulos, uno agudo y el otro obtuso, que 
tienen sus lados respectivos paralelos, son 
suplementarios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
L1 
L2 
 
x 
 
x 
L1 
L2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 =  
 +  = 180º 
 
 
 
 
 
 
L1 
L2 
 
 
 
 
O 
 
 
 
 
P Q 
A 
B 
C 
O 
 
 
 
 
B D 
A 
C 
E 
O 
 
 
 
 
B 
D 
A 
C 
   
O 
CEPRU – UNSAAC 
– 14 – 
ANGULOS DE LADOS PERPENDICU-LARES 
A) Dos ángulos agudos o dos ángulos obtusos que 
tienen sus lados respectivos perpendiculares, son 
congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B) Dos ángulos, uno agudo y el otro obtuso, que 
tienen sus lados respectivos perpendiculares, son 
suplementarios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS 
 
1) Dado los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD. 
Si OC es la bisectriz del ángulo BOD y 
m( AOB) m( AOD) 180º    . Calcular la 
medida del ángulo AOC. 
 
A)80º B)100º C)95º 
D)90º E)105º 
 
2) Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y 
COD, tal que m( BOD) 3m( AOB) 60º    y 
m( COD) 3m( AOC)   . Calcule m( BOC) 
 
A)12º B)22º C)25º 
D)18º E)15º 
 
3) Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y 
COD tal que la m( AOB) 18º y la 
m( COD) 24º . Calcule la medida del ángulo 
formado por las bisectrices de los ángulos AOC y 
BOD. 
 
A)12º B)21º C)6º 
D)25º E)33º 
 
4) Los rayos OA , OB , OC , OD y OE se 
encuentran ubicados en un mismo plano, de modo 
que la bisectriz OX del ángulo AOB es 
perpendicular a la bisectriz OD del ángulo BOE. 
Si m( EOX) 160º entonces la medida del ángulo 
BOD, es: 
A)70º B)60º C)90º 
D)40º E)50º 
 
5) Se consideran los ángulos consecutivos AOB, 
BOC y COD de modo que la medida del ángulo 
COD es el doble de la medida del ángulo AOB. Se 
traza la bisectriz OE del ángulo BOC, si la medida 
del ángulo AOE es 1º entonces la medida del 
ángulo BOD, es: 
 
A) 4º B) 3º C) 1º 
D) 5º E) 2º 
 
6) En la figura 
1 2
L // L , 120º   . Calcular el 
valor de “x”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A)90º B)130º C)110º 
D)150º E)120º 
 
7) Los ángulos AOC y BOC son complementarios 
donde m( BOC) m(AOC)  ; si se traza la bisectriz 
OX del ángulo AOB, el cálculo de la medida del 
ángulo COX, es: 
A)15º B)45º C)5º 
D)30º E)25º 
 
8) En la figura. Si 
1 2
L // L , donde 
a 7
b 3
 . Calcular x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A)63º B)60º C)45º 
D)65º E)75º 
 
9) En la figura 
1
L es paralelo a 
2
L ; 
3
L es paralelo 
a 
4
L ; 
5
L es paralelo a 
6
L ; además a 30º , 
b 35º . Calcular el valor de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A)125º B)115º C)105º 
D)120º E)110º 
 =  
 
 
 
 
 
 
 +  = 180º 
L1 
L2 
 
 
a 
b 
x 
 
  
 
a 
b 
L1 
x 
L2 
L6 
L3 
L5 
L4 
 
 
x 
L1 
L2 
GEOMETRIA 
– 15 – 
 
10) Se tienen los ángulos consecutivos AOB. BOC y 
COD, tal que m( AOB) m( COD)     . Calcule 
la medida del ángulo que forman las bisectrices de 
los ángulos BOD y AOC. 
A)
8

 B) 
6

 C) 
2

 
D) 
4

 E) 
3

 
 
11) En la figura 
1 2
L // L y 
3 4
L // L , hallar la medida 
del ángulo “x”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A)38º B)30º C)40º 
D)34º E)36º 
 
12) En la figura: 
1 2
L // L y 
3 4
L // L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La medida del ángulo “x”, es: 
A) El complemento de 3 
B) El suplemento de 6 
C) El suplemento de  
D) El complemento de 6 
E) El suplemento de 3 
 
13) Dos ángulos cuyos lados son respectivamente 
perpendiculares, uno es agudo y el otro obtuso; 
entonces, dichos ángulos son: 
I) Complementarios 
II) Opuestos por el vértice 
III) Adyacentes 
IV) Suplementarios. 
V) Necesariamente consecutivos 
La afirmación verdadera, es: 
A) I B) IV C) V 
D) III E) II 
 
 
 
 
 
 
14) En la figura adjunta 
1
L es paralelo 
2
L . Calcular el 
valor de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A)20º B)30º C)60º 
D)15º E)25º 
 
15) En la figura, calcule el valor de “x”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A)30º B)24º C)20º 
D)25º E)22º 
 
16) De la figura, 
1 2
L // L y 
3 4
L // L , si y 60º . 
Calcule el mayor valor entero de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A)119º B)120º C)115º 
D)121º E)125º 
 
17) Un ángulomide la mitad de su complemento y el 
otro ángulo mide 1/3 de su suplemento. Calcule el 
suplemento de la suma de las medidas de dichos 
ángulos. 
A)80º B)100º C)110º 
D)75º E)105º 
 
18) Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y 
COD; se trazan las bisectrices OX , OY y OZ 
de los ángulos AOB, COD y XOY respectivamente. 
Hallar m( BOZ) , si m(BOY) m( AOX) 2   
 
A) /2 B)2/3 C)2 
D) /3 E)  
 
 
 
 
 
 
L1 
x 
L2 
L3 
L4 
2 
4 
x 
60º 
30º 
L1 
L2 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
L1 
x 
L2 
L3 
L4 
 
 
 
 
y 
L1 
x L2 
L3 
L4 
80º 
4x 
CEPRU – UNSAAC 
– 16 – 
19) De la figura calcular x si: 200º  y 
1 2 3
L // L // L . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A)85º B)75º C)70º 
D)60º E)80º 
 
20) Del gráfico, hallar x 
 
 
 
 
A)60º 
B)95º 
C)89º 
D)90º 
E)80º 
 
 
 
21) En la figura PN//CM , calcular x. 
 
 
A)20° 
B)25º 
C)30º 
D)45º 
E)50º 
 
 
 
 
22) Según el gráfico, calcular el valor de , si 
1 2
L // L 
y PN//CM . 
 
 
 
 
 
A)20º 
B)18º 
C)22º 
D)15º 
E)14º 
 
 
23) En al figura hallar x si 
1 2
L // L . 
 
A)20º 
B)25º 
C)30º 
D)50º 
E)45º 
 
 
 
 
24) Si la diferencia de las medidas de dos ángulos 
adyacentes es 20°. Hallar la medida del ángulo 
que forma el lado común con la bisectriz del ángulo 
formado por las bisectrices de los dos ángulos 
adyacentes. 
A) 10° B) 15° C) 5° 
D) 17° E) 20º 
 
25) En la siguiente figura: Si las medidas a, b y c 
están en la razón de los números 2; 3 y 4 
respectivamente 
 
 
 
 
 
 
 
Calcular el valor de c: 
 
A)60º B)65º C)70º 
D)80º E)85º 
 
26) Un ángulo mide (4x–100°) y su opuesto por el 
vértice mide (2x–40°). La medida del primer ángulo 
es: 
 
A)15º B)20º C)30º 
D)45º E)60º 
 
27) En la siguiente figura se tiene que OP es 
perpendicular a OQ y el ángulo AOP mide 150° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El ángulo AOQ mide: 
A)112º B)120º C)140º 
D)118° E)125º 
 
28) En la figura, se tiene que el ángulo AOB mide la 
mitad de la medida del ángulo BOD 
 
 
 
 
 
 
 
 
La medida del ángulo AOB es: 
A)30º B)50º C)60º 
D)70º E)80º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
P 
B 
O 
Q 
O 
D 
C B 
A 
90º 
x 
30º P 
N 
C 
M 
a 
b 
c 
x 
80º 
 2θ 
θ 
1 
2 
θ 
4θ 
3θ 
M 
C 
N 
P 
4θ 
1 
2 
3x 
4x 
x 
x 
β 
θ 
1 
2 
3 
GEOMETRIA 
– 17 – 
29) En la siguiente figura se tiene que: OE es la 
bisectriz del ángulo AOD. El ángulo COD mide 55° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La medida del ángulo AOE es: 
A)60º10´ B)60º20´ C)58°20´ 
D)62º30´ E)50º20´ 
 
30) En la siguiente figura se tiene que: OA OC , el 
ángulo AOB mide 35° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El ángulo AOD mide: 
A)135º B)120º C)145º 
D)150º E)155º 
 
31) El complemento de la sustracción entre dos 
ángulos es igual al suplemento de la suma de 
dichos ángulos. Determinar la medida de uno de 
los ángulos. 
A)30º B)45º C)25º 
D)50º E)20º 
 
32) Si en la siguiente figura se tiene: Rayo OB es 
perpendicular al rayo OD. El ángulo BOC mide 
100° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El valor de x, es: 
A)160º B)165º C)170º 
D)175º E)150º 
 
33) Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y 
COD luego se trazan las bisectrices OX , OY y 
OZ de los ángulos AOB, COD y XOY 
respectivamente. Hallar la m(AOB) si 
m( XOC) m( XOD) 4m( BOZ) 80º   
A) 40° B) 50° C) 45° 
D) 20° E) 30° 
 
34) En la figura 
1 2 3
L // L // L , el valor de “x” es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 30º B) 60º C) 50º 
D) 80º E) 70º 
 
35) Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC, 
COD, tal que 
m( AOD) 180º , m( AOB) m( COD) , se 
trazan las bisectrices OX , OY y OZ de los 
ángulos BOC, XOD y AOC respectivamente. Si 
m( ZOY) 65º entonces la medida del ángulo 
BOY, es: 
A) 75° B) 85° C) 95° 
D) 105° E) 45° 
 
36) Si AB//CD , Calcular el valor de “x”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A)94º B)90º C)84º 
D)60º E)53º 
 
37) Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y 
COD. Si m( AOB) 17º y m( COD) 43º , 
calcular la medida del ángulo formado por las 
bisectrices de los ángulos BOC y AOD. 
A)13º B)30º C)18º 
D)26º E)27º 
38) En la figura adjunta 1L es paralelo 2L . Calcular 
el valor de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A)23º B)30º C)60º 
D)15º E)25º 
 
 
 
 
 
 
 
D E 
A 
B 
O C 
O 
C 
D 
B 
A 
x 
D 
C O A 
B 
A B
DC
231º
215º
x
20º
80º
 


x
1L
2L
3L
x 
37º 
L1 
L2 
60º 
CEPRU – UNSAAC 
– 18 – 
 
 
 
CAPITULO IV 
 
TRIÁNGULOS 
 
 
TRIÁNGULO: 
Dados tres puntos no colineales A, B y C se llama 
triángulo a la reunión de los segmentos 
AB, BC y CA . 
Notación: ABC: AB BC CA    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos: 
a) Vértices: A, B, C 
b) Lados: AB, BC, CA 
Sus medidas son: 
AB=c, BC=a, AC=b 
 
c) Ángulos interiores: 
ABC, BCA, CAB 
Sus medidas respectivas son: 
, ,  
 
d) Ángulos exteriores: 
Sus medidas son: x, y, z 
 
e) Perímetro: P= a b c  
f) Semiperímetro: 
a b c
p
2
 
 
g) Puntos: interior(I), exterior(E), aferente(F) 
 
 
PROPIEDADES FUNDAMENTALES: 
 
1. En todo triángulo, la suma de las medidas de los 
ángulos interiores, es 180º: 
 
+ +  = 180º 
 
2. En todo triángulo, la suma de las medidas de tres 
ángulos exteriores, es 360º 
 
x + y + z = 360º 
 
3. En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior 
es igual a la suma de las medidas de los ángulos 
interiores no adyacentes a dicho ángulo. 
 
x   
 
4. En todo triángulo se cumple que a mayor lado se le 
opone mayor ángulo y viceversa 
 
 
 
 
 
 
a c   
 
5. Teorema de existencia: En todo triángulo la 
longitud de uno de sus lados está comprendida 
entre la diferencia y la suma de las longitudes de 
los otros dos lados. 
 
b c a b c    
 
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS: 
I. SEGÚN LA MEDIDA DE SUS LADOS: 
a) Triángulo equilátero: Sus tres lados son de igual 
longitud. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En un triángulo equilátero: 60º 
 
b) Triángulo isósceles: Dos de sus lados tienen 
igual longitud. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde: 
AB y BC : lados laterales 
 AC : base 
 90º 
 
A 
B 
C 
  
 
x 
y 
z 
Región exterior 
relativa a AC 
I 
E 
F 
a b 
c 
Región 
interior 
Región 
exterior 
a c 
  
A 
B 
C 
a a 
a 
 
 
 
A 
B 
C 
a a 
  
GEOMETRIA 
– 19 – 
c) Triángulo escaleno: No tiene lados de igual 
longitud 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sus ángulos interiores tienen diferente medida 
 
 
II. SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS 
INTERIORES: 
a) Triángulo rectángulo: Uno de sus ángulos 
interiores es recto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde: AB y AC : catetos 
 BC : hipotenusa 
Propiedad: 90º  
 
2 2 2a b c  
 
b) Triángulo acutángulo: Sus ángulos interiores son 
agudos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
90º , 90º , 90º 
 
Propiedad: 
2 2 2a b c  
 
c) Triángulo obtusángulo: Uno de sus ángulos 
interiores es obtuso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
90º , 90º , 90º 
 
Propiedad: 
2 2 2a b c  
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA: Sea el triángulo ABC tal que: 
BC = a, AB = c y AC = b 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si a > b, a > c, y: 
 
 
 
 
 
 
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CUYOS ÁNGULOS 
INTERIORES MIDEN: 45º, 30º, 60º, 37º y 53º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPIEDADES: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2 2I) a b c 
2 2 2II) a b c 
2 2 2III) a b c 
  ABC es Obtusángulo 
  ABC es Acutángulo 
  ABC es Rectángulo 
A 
B 
C 
a 
b 
c 
 
30º 
60º 
2K 
 K 
K 3 
45º 
45º 
K 2 
K 
K 
37º 
53º 
5K 
3K 
4K 
m
n
ab
banm  
2. 
A
B
C

 x
x 
1. 
3. 
banm  
a
m
n
b
A 
B 
C 
a 
b 
c 
  
 
 
 
a 
b 
c A 
C 
B 
A 
B 
C 
a 
b 
c 
  
 
A 
B 
C 
a 
b 
c 
 
 
 
CEPRU – UNSAAC 
– 20 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS 
 
01. Los lados de un triángulo miden: 2,  a 3 y 8. 
Calcular el menor valor entero que puede tener “a” 
para que el triángulo exista. 
 A) 1 B) 2 C) 3 
 D) 4 E) 5 
 
02. Dos lados de un triángulo miden 5m y 6 m.respectivamente, y el tercero mide el doble de uno 
de los lados conocidos. Calcular el perímetro de 
dicho triángulo. 
 A) 20 B) 24 C) 21 
 D) 23 E) 25 
 
03. En un triángulo ABC. Si AB 2 y AC 10 . Hallar 
el valor de BC si se sabe que es entero, además el 
ángulo en B es obtuso. 
 A) 6 B) 7 C) 8 
 D) 9 E) 5 
 
04. En un triángulo ABC, AB=4,2 y BC=8,2 hallar la 
suma del máximo y mínimo valor entero de AC. 
 A) 17 B) 16 C) 15 
 D) 14 E) 13 
 
05. Si dos lados de un triángulo miden 4cm y 16cm, 
calcular la suma del mayor y menor valor entero 
posible que puede tomar el tercer lado. 
A)23 B)30 C)32 
D)28 E)40 
 
06. El perímetro de un triángulo rectángulo es 36. 
Calcular el mínimo valor entero de la hipotenusa. 
A)12 B)14 C)16 
D)13 E)15 
 
07. Se tiene un triángulo isósceles ABC (AB=BC). 
Sobre los lados AB , BC y AC se ubican los 
puntos M, N y Q respectivamente, tal que el 
triángulo MNQ sea equilátero. Si 
º98)QNC(m)BMN(m  . Calcular )AQM(m  . 
A)49º B)48º C)52º 
D)50º E)46º 
 
08. En un triángulo ABC se consideran los puntos: M 
en BC y D en AC , F es el punto de intersección 
de BD y AM . Si los ángulos MAC, ACB y ABD 
tienen igual medida, m CBD 48º  y AB = BD, la 
medida del ángulo BFM, es: 
A) 74º B) 76º C) 68º 
D) 60º E) 45º 
 
 
 
 
09. En la figura: AB BP QC.  Calcular x. 
A) 75º 
B) 65º 
C) 55º 
D) 45º 
E) 35º 
 
 
 
 
 
10. En la figura, FE ED 3  , AB=18. Calcular la 
medida del segmento cuyos extremos son C y B. 
 
 
 
 
 
 
 
A) 18 B) 24 C)21 
D) 20 E) 19 
 
11. En la figura. Si AB AC CD,  calcular x, además 
2 .   
 
A) 100º 
B) 80º 
C) 60º 
D) 70º 
E) 50º 
 
 
 
12. En un triángulo ABC, en la prolongación de AC se 
ubica un punto P, a partir del cual, se traza una 
secante, que interseca a los lados BC y AB en E 
y D respectivamente, de modo que AP = AB = PD 
y el ángulo BCP mide 134°. Hallar la medida del 
ángulo ABC siendo un valor entero. 
A) 45° B) 37° C) 52° 
D) 32° E) 60° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B
A
C
D


x

x
 
º180x  
4. 
A Q C
B
x
120º
P
30º
45º
37º
60º
B
E FD
C
A
GEOMETRIA 
– 21 – 
 
LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO 
 
MEDIANA: Es el segmento de recta que tiene por 
extremos un vértice y el punto medio del lado opuesto. 
 
 
 
 
 
 
 
Un triángulo tiene tres medianas correspondientes a 
cada lado. 
 
ALTURA: Es el segmento trazado desde un vértice, 
perpendicular al lado opuesto o a su prolongación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Un triángulo tiene tres alturas correspondientes a cada 
lado. 
 
BISECTRIZ: Es la bisectriz de cada ángulo del 
triángulo. 
 
 
 
 
 
 
AE : bisectriz exterior del triángulo ABC relativa al lado 
AC , siendo AC>AB. 
 
MEDIATRIZ: Es la mediatriz de cada lado 
 
 
 
 
 
 
 
 
CEVIANA: Es aquel segmento de recta que tiene por 
extremos un vértice y un punto cualquiera del lado 
opuesto o de su prolongación. 
 
 
 
 
 
 
 
PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO 
BARICENTRO: 
La intersección de las tres medianas es un punto 
interior al triangulo llamado baricentro. 
 
 
 
 
 
 
 
También se le conoce como centroide, centro de 
gravedad o gravicentro. 
El baricentro G, determina en la mediana, dos 
segmentos cuyas medidas están en la relación de dos 
a uno. 
El baricentro G, es un punto interior del triángulo. 
Todo triángulo tiene un solo baricentro. 
 
ORTOCENTRO: 
La intersección de las alturas o de sus prolongaciones 
es un punto llamado Ortocentro. 
 El ortocentro “O” en un triángulo acutángulo se 
encuentra en el interior del triangulo 
 El ortocentro “O” en un triángulo obtusángulo se 
encuentra en el exterior del triángulo 
 El ortocentro “O” en un triángulo rectángulo es el 
vértice del ángulo recto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INCENTRO: 
El punto de intersección de las bisectrices interiores se 
llama incentro (I) que es el centro de la circunferencia 
inscrita en el triángulo. 
Inradio (r): radio de la circunferencia inscrita 
El incentro(I) equidista de los lados del triángulo 
 
El incentro (I) es un punto interior al triángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B C D E 
   
 
Bisectriz 
interior 
Bisectriz 
exterior 
A B 
C 
H 
G 
Altura relativa al 
lado BC 
Altura relativa 
al lado AB 
Prolongación de AB 
A 
B C M 
Mediatriz 
relativa al 
lado BC 
A 
B C D E 
Ceviana 
interior 
Ceviana 
exterior 
B 
A 
C 
G 
Baricentro 
a 
2a 
b 
2b 
c 
2c 
M 
A 
B C M 
Mediana 
relativa al 
lado BC 
A
B
C
Ortocentro
B
CA
Ortocentro
A
B
Ortocentro
r 




I
CEPRU – UNSAAC 
– 22 – 
EXCENTRO: 
Dos bisectrices exteriores y una bisectriz interior se 
intersecan en un punto llamado Excentro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1E es el excentro del triángulo relativo al lado BC . 
1E es el centro de la circunferencia exinscrita del 
triángulo relativa al lado BC . 
En todo triángulo se pueden encontrar tres 
circunferencias ex-inscritas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: 
 Un vértice, el incentro(I) y el excentro(E) están 
contenidos en una línea recta 
 El triángulo 321 EEE es conocido como triángulo 
exincentral. 
CIRCUNCENTRO: 
Las tres mediatrices de un triángulo se interceptan en 
un punto llamado circuncentro que es el centro de la 
circunferencia circunscrita al triángulo. 
 El circuncentro “L” en un triangulo acutángulo se 
encuentra en el interior del triángulo 
 El circuncentro “L” en un triángulo obtusángulo se 
encuentra en el exterior del triangulo 
 El circuncentro “L” en un triangulo rectángulo es el 
punto medio de la hipotenusa 
R: circunradio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El circuncentro equidista de los vértices del triángulo 
Propiedad: En la figura si L es circuncentro , se 
cumple: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RECTA DE EULER: 
Es la recta que contiene a los Puntos: ortocentro, 
baricentro y circuncentro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPIEDADES: 
1) En todo triángulo la distancia del ortocentro al 
baricentro es dos veces la distancia del baricentro al 
circuncentro: 
 
OG 2(GL) 
 
 
 
2) La distancia del ortocentro a un vértice es el doble 
de la distancia del circuncentro al lado opuesto del 
vértice mencionado. 
OB 2(LM) 
También se cumple: 
BH 3(GN) 
 
A
B
C
R
L
A C
B
RR L
A
C
L
B
R
O L G k 2k 
1E
2E
3E
A
B
C
2r
3r
1r
Recta de Euler 
A 
B 
C 
L 
G 
O 
H N M 
1E
A
B
C
1r
A 
B 
C 
L 
 
2 
GEOMETRIA 
– 23 – 
3) En un triángulo rectángulo el ortocentro, baricentro y 
el circuncetro se encuentran contenidas en la mediana 
relativa a la hipotenusa, que esta a la vez contenida en 
la recta de Euler 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: 
 El baricentro (G) se encuentra entre el ortocentro 
(O) y el circuncentro (L). 
 Todo triángulo, excepto el triángulo equilatero, 
tienen una unica recta de Euler. 
 
EJERCICIOS 
1. En un triángulo, se sabe que la distancia del 
baricentro al circuncentro es 3cm, entonces la 
distancia del ortocentro al circuncentro, es: 
A)7cm B)6cm C)12cm 
)9cm E)8cm 
 
2. En un triángulo obtusángulo, son puntos notables 
exteriores: 
A) Incentro y circuncentro 
B) Incentro y baricentro 
C) Ortocentro y baricentro 
D) Ortocentro y circuncentro 
E) Incentro y ortocentro 
. 
3. Indicar el valor de verdad o falsedad de las 
siguientes proposiciones: 
I) En todo triángulo no equilátero, el ortocentro, 
baricentro y circuncentro son colineales 
II) La propiedad fundamental del baricentro es 
la de determinar en la mediana dos 
segmentos cuyas medidas están en la 
relación de dos a uno. 
III) En el triángulo obtusángulo el ortocentro y el 
circuncentro son puntos exteriores. 
A)VVV B)VVF C)VFV 
D)VFF E)FVV 
 
4. Determinar el valor de verdad V o falsedad F de 
las siguientes proposiciones: 
I) Un triángulo equilátero tiene infinitas rectas de 
Euler 
II) En un triángulo rectángulo, la medianarelativa 
a la hipotenusa está contenida en la recta de 
Euler. 
III) Los puntos notables en la recta de Euler, se 
encuentran en el siguiente orden: ortocentro, 
baricentro y circuncentro 
IV) Los puntos notables en la reta de Euler, se 
encuentran en el siguiente orden: baricentro, 
ortocentro y circuncentro 
A)VVFV B)VVFF C)VFFV 
D)VVVF E)VFFF 
 
 
 
 
 
 
 
5. En la figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De las siguientes proposiciones: 
I) L es el ortocentro del triángulo ABC 
II) E es el ortocentro del triángulo AEB. 
III) A es el ortocentro del triángulo BLC. 
La secuencia correcta, es: 
A)VVV B)VFV C)VVF 
D)FFV E)FVF 
 
6. En un triángulo ABC de circuncentro L, si LC=10, 
la medida del ángulo BAC es 70º, la medida del 
ángulo BCA es 40º, la distancia de L a la altura 
relativa a AC , es: 
 A) 10/3 B) 2 C) 5 
 D) 10/4 E) 10 
 
7. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices 
interiores BD y AF (D en AC , F en BD ). Si 
 m ACB 20º y  m BAC 40º , la medida del 
ángulo DFC, es: 
 A) 40º B) 60º C) 80º 
 D) 75º E) 70º 
 
8. En la figura, H es ortocentro, si la medida del 
ángulo HBC es 30º, entonces la medida del ángulo 
HAC, es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A) 37º B) 60º C) 45º 
 D) 15º E) 30º 
 
9. En la figura, si m ABO 18º , m BAO a 12º  , 
m OBC m OAC 60º a   , el valor de x, es: 
 
 
A) 52º 
B) 12º 
C) 18º 
D) 72º 
E) 78º 
 
 
 
10. En un triángulo acutángulo ABC, O es el ortocentro 
y L es el circuncentro, si 
   m BAC m BCA 30º  , la medida del ángulo 
OBL, es: 
 A) 37º B) 60º C) 10º 
 D) 15º E) 30º 
 
 
3x
A
B
CM
Ortocentro
Baricentro
Circuncentro
3x
x
2x
A 
B 
C 
D E 
F 
L 
A 
B 
C 
H 
A 
O 
C 
B 
 x 
CEPRU – UNSAAC 
– 24 – 
11. En la figura, E es un excentro del triángulo ABC, 
ED es bisectriz del ángulo BEC, 
   m ACB m DEB . La medida del ángulo 
BED, es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A) 37º B) 60º C) 45º 
 D) 53º E) 30º 
 
12. En un triángulo ABC, la recta de Euler es paralela 
al lado BC , si  m BAC 45º y la altura relativa 
al lado BC mide 6, la longitud del circunradio de 
dicho triángulo, es: 
A) 3/2 B) 2 C) 2 2 
D) 2/3 E) 2 3 
 
13. En la figura AB=BC, el valor de x, es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A) 30º B) 10º C) 20º 
 D) 15º E) 5º 
 
ÁNGULOS FORMADOS POR LAS 
LINEAS NOTABLES 
 
TEOREMAS: 
1. La medida del ángulo mayor formado por dos 
bisectrices interiores es igual a 90º más la mitad de 
la medida del tercer ángulo interior.. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. La medida del ángulo formado por dos bisectrices 
exteriores es igual a 90º menos la mitad de la 
medida del tercer ángulo interior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. La media del ángulo formado por una bisectriz 
interior y una exterior es igual a la mitad de la 
medida del tercer ángulo interior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. La medida del Ángulo formado por una bisectriz 
interior y la altura trazadas desde un mismo vértice 
es igual a la semi diferencia de la medida de los 
otros dos ángulos interiores 
:BI Bisectriz 
:BH Altura 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. La medida del ángulo formado por las líneas 
notables en un triangulo rectángulo es: 
i) :BM Mediana 
 :BH Altura 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii) :BM Mediana 
 :BI Bisectriz 
 
 
 
 
 
 
 
 
iii) :BM Mediana 
 :BI Bisectriz 
 :BH Altura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
 
 
 
 
 
A 
B 
C 
2
º90x

 
A 
B 
C 
 
 
 
 
 x 
2
º90x

 
A 
B 
C 
  
 
 x 
 
2
x

 
2
x

 
A 
B 
C 
x 
  
I H 
A 
B 
C 
M H 
  
x 
x 
A 
B 
C M I 
  
x 2
x

 
A 
B 
C 
M H I 
  
x y 
x = y 
A B 
C 
D 
E 
A C 
B 
 2x 3x 
 x 
  
 3 
GEOMETRIA 
– 25 – 
NOTA: 
El ángulo formado por una bisectriz interior y otra 
exterior trazados desde un mismo vértice es una 
ángulo recto. 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA: 
i) La longitud de la mediana respecto a la hipotenusa 
de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la 
longitud de la hipotenusa. 
 
AC
BM
2
 
 
 
 
 
ii) La altura respecto a la hipotenusa de un triángulo 
rectángulo determina tres triángulos rectángulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPIEDADES EN EL TRIANGULO ISÓSCELES 
i) En un triángulo isósceles al trazar la altura relativa a 
la base, se tiene que la bisectriz mediana y bisectriz 
son coincidentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii) En el triángulo isósceles de la figura se cumple: 
 
 
 
 x a b   
 
 
 
 
 
 
PROPIEDADES EN EL TRIANGULO EQUILÁTERO. 
i) En un triangulo equilátero los puntos notables 
coinciden en un único punto y las líneas notables son 
coincidentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii) La suma de las distancias de un punto interior a un 
triángulo equilátero hacia sus lados es igual a 
cualquiera de las alturas. 
 
 
 
 h a b c    
 
 
 
 
 
iii) Sea Q un punto exterior a un triangulo equilátero, 
entonces se cumple: 
 
 
 
 
 
 h a b c    
 
 
 
PROPIEDADES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a
b
c
h
a b
x
P
ortocentro
incentro
baricentro
circuncentro





a
bc
h
A 
B 
C 
  
  
A 
B 
C M 
A 
B 
C 
H 
  
  
Bisectriz
Altura
Mediana
Mediatriz
Ceviana





A
B
CH
A
B
C
m
n

 

x
1. 
2
nm
x

 
A
B
C
 
 mn
nm 
)
2
(º90n

 
3. 
x y
m
n
yxnm  
4. 
45º
4
x

  
A
B
C





 x
 
5. 
m
  
n
x
2. 
2
nm
x

 
CEPRU – UNSAAC 
– 26 – 
EJERCICIOS 
1. En un triángulo ABC. si I es el incentro y la suma 
de las medidas de los ángulos exteriores de A y B 
es 290°, la medida del ángulo AIB, es: 
 A) 145° B) 135° C) 205° 
 D) 95° E) 115° 
 
2. En un triángulo ABC, el ángulo formado por la 
bisectriz interior del  y la bisectriz exterior del Ĉ 
mide 40º. Si ˆˆmA mC 30º  , hallar la m Ĉ . 
A)60º B)65º C)35º 
D)45º E)30º 
 
3. En el triángulo ABC, recto en B, AB=5; BC=12; se 
traza la altura BH y luego se trazan las bisectrices 
de los ángulos ABH y HBC que intersecan al lado 
AC en los puntos F y E respectivamente. Hallar el 
valor de FE. 
A)6 B)7 C)8 
D)5 E)4 
 
4. En un triángulo cuyos catetos miden 3 y 4 
respectivamente. Calcular la medida del ángulo 
agudo formado por los segmentos: altura relativa a 
la hipotenusa y mediana relativa a la hipotenusa. 
A)16º B)23º C)12º 
D)16º30’ E)12º30’ 
 
5. Se tiene un triángulo isósceles ABC (AB=BC), en 
el interior del triángulo se consideran un punto P tal 
que m( PAB) m( PCA)   , m( ABC) 20º  . 
Calcule m( APC) . 
A)130º B)120º C)110º 
D)80º E)100º 
 
6. Hallar la medida del ángulo obtuso formado por la 
intersección de las bisectrices de los ángulos 
exteriores de los ángulos agudos de un triángulo 
rectángulo 
A)45º B)135º C)90º 
D)55º E)60º 
 
7. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC), se traza 
la ceviana interior CD , tal que m( BCD) 26º . 
La medida del ángulo agudo formado por la 
bisectriz del ángulo ADC y el lado AC , es: 
A)67º B)77º C)64º 
D)60º E)80º 
 
8. Los lados de un triángulo ABC miden AB=6, BC=8 
y AC=10. Se traza la altura BH y la bisectriz AD 
(D en BC ), las cuales se intersecan en E. el valor 
de BE, es: 
A)3/2 B)2 C)1 
D)2/3 E)3 
 
9. En la figura, AB = 16 y BD = 13. Calcular DC 
 
A) 24 
B) 27 
C) 29 
D) 25 
E) 14,5 
 
10. En un triángulo ABC, se traza por B una paralela al 
lado AC que interseca a la bisectriz del ángulo 
BAC en P y a la bisectriz exterior del ángulo C en 
Q. Hallar el valor de PQ, si AB = 15 y BQ = 19. 
 A) 2 B) 3 C) 4 
 D) 2,5 E) 5 
 
11. En un triángulo ABC, el punto “O” es su ortocentro 
y “L” es su circuncentro. El ángulo BAC mide 60º y 
el ángulo ACB mide 53º. La medida del ángulo 
OBL, es: 
A)37º B)15º C) 7º 
D)16º E)14º 
 
12. En un triangulo ABC acutángulo AB=BC se traza 
la altura AH y la bisectriz interior CF secantes en 
el punto R. Si mHAB + mHRC.= 69º Hallar 
mB. 
A) 69º B) 33º C) 74º 
D) 88º E) 78º 
 
13. En un triangulo ABC AB=BCse traza la bisectriz 
interior CF y luego FR CF (R en BC ) Si 
mBFR=24º, hallar la medida del ángulo en B. 
A)24º B) 38º C) 28º 
D) 36º E) 18º 
 
14. En un triángulo ABC, 
   m BAC 2m BCA 12º  ; se traza la altura 
BH (H en AC ) y la ceviana interior BD tal que 
   m ABD 2m CBD , la medida del ángulo 
HBD, es: 
A)48º B)24º C)37º 
D)34º E)30º 
 
15. En el triángulo ACB de la figura, se cumple: 
CS n 3 , SB=2n, n  ; m( SNB) m( SNM)   y 
m( SMN) m( SMC)   . Calcular la medida del 
ángulo MSN. 
 
 
 
A) 55º 
B) 30º 
C) 75º 
D) 60º 
E) 45º 
 
 
TRIÁNGULOS 
EJERCICIOS 
1) En el triángulo ABC se cumple que 
m( ABC) 90º  ; AB=3 y BC=10. Encontrar la 
diferencia entre el máximo y el mínimo valor entero 
que puede tomar la longitud del lado AC . 
A)2 B)3 C)5 
D)4 E)1 
 
2) Dado un triángulo ABC y un punto P exterior, tal 
que PC AB {D}  . Si PA=5, PB=4 y 
BC AC 11  , calcular el máximo valor entero de 
la longitud de PC . 
A)10 B)5 C)9 
D)11 E)7 
A 
M 
C 
S 
B 
N 
A C D 
B 
2 
3 
  
GEOMETRIA 
– 27 – 
 
3) En un triángulo ABC, AB=BC, se traza la ceviana 
interior BE en el triángulo BEC se traza la ceviana 
EQ , tal que BE=BQ, si el ángulo ABE mide 48º, 
hallar la medida del ángulo QEC. 
A) 25º B) 24º C) 23º 
D) 22º E) 20º 
 
4) En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se 
traza la altura BH . La bisectriz del ángulo HBC 
interseca en P a AC . Si AB=5. Calcular el máximo 
valor entero de BP. 
A)5 B)6 C)7 
D)8 E)9 
 
5) Calcular el valor de “x”. 
 
A) 7 
B) 9 
C) 11 
D) 13 
E) 15 
 
 
 
6) En la figura mostrada AB BC y el triángulo QSC 
es equilátero el ángulo QCA mide 20º Luego, el 
ángulo BQS mide: 
 A) 60º 
 B) 40º 
 C) 30º 
 D) 38º 
 E) 35º 
 
 
 
 
7) En la figura, AD es bisectriz y BD=2. hallar la 
longitud de la proyección ortogonal de AD sobre 
AC . 
 
A) 3 
B) 3 
C) 2 
D) 2 3 
E) 3 3 
 
8) La suma de las medidas de dos ángulos exteriores 
de un triángulo es 270º, si el lado mayor mide 18. 
Hallar la distancia del ortocentro al baricentro del 
triángulo. 
 A) 5 B) 6 C) 8 
 D) 10 E) 18 
 
9) En la figura: AB >BC y CD > ED . Calcular “x”, si su 
valor es entero. 
 
 
 
A) 65º 
B) 110º 
C) 115º 
D) 125º 
E) 135º 
 
 
10) Calcule el valor de  . 
A) 20º 
B) 22º 
C) 25º 
D) 30º 
E) 32º 
 
 
 
 
11) En un triangulo ABC isósceles (AB=BC) se traza 
la ceviana interior AF, de modo que AF=BC. 
Si  m FAC 12º , Hallar la  m BAF . 
A) 12º B) 24º C) 36º 
D) 48º E) 44º 
 
12) Del gráfico, m ABC 140º .Calcule el valor de “x”. 
 
A) 10º 
B) 15º 
C) 20º 
D) 30º 
E) 35º 
 
 
 
 
13) En la figura. Hallar el valor de x. 
A) 12º 
B) 14º 
C) 16º 
D) 18º 
E) 20º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) En el triángulo isósceles ABC donde se cumple: 
AB = BC, se inscribe un triángulo equilátero según 
se muestra en la figura. Hallar “x”. 
A) 
a b
2

 
B) 
a b
2

 
C) 
ab
2
 
D) a b 
E) a b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2




x
A
B
C
A C
E
B
F
L
a
b
x
A C
E
B
 
D
3x x
 
18º
4
2 
3
 
x
A C 
B 
 Q 
S 

40º 


50º


30º 
A 
B D C 
A D 
B 
C 64º 
66º 
E 
x 
CEPRU – UNSAAC 
– 28 – 
15) En la figura mostrada AB BC y el triángulo QSC 
es equilátero. Luego: 
 
A) a b 
B) 2a b 
C) 2a 3b 
D) a 2b 
E) a b 60º  
 
 
 
16) En la figura, ME=MP; FN=NQ; AE=ED y FD=FC. 
Calcule x: 
 
A) 20º 
B) 30º 
 C) 35º 
 D) 40º 
 E) 45º 
 
 
17) Del gráfico, calcular el valor de “x”. 
 
A) 30º 
B) 35º 
C) 40º 
D) 45º 
E) 50º 
 
 
 
18) El ABC es isósceles, AB AC. Hallar el valor de 
x. 
 
A) 9º 
B) 11º 
C) 12º 
D) 13º 
E) 14º 
 
19) En la figura: AB AD DC  . Calcular “x”. 
 
A) 5º 
 B) 6º 
 C) 7º 
 D) 12º 
 E) 4º 
 
 
20) En la figura, calcular el valor de “x”: 
 
A) 12º 
B) 16º 
C) 18º 
D) 20º 
E) 22º 
 
 
21) En la figura, calcular el valor de “x” 
A) 30º 
B) 40º 
C) 72º 
D) 82º 
E) 90º 
 
 
 
 
22) En un triángulo ABC se traza la ceviana interior 
BD , de tal manera que AB BC 35  y AC 25 . 
Hallar el mínimo valor entero de BD. 
 A) 2 B) 3 C) 4 
 D) 5 E) 6 
 
23) En la figura, AB BD BC  y EF ED. Calcule el 
valor de x. 
 
A) 100º 
B) 105º 
C) 110º 
D) 115º 
E) 120º 
 
 
 
 
 
24) En la figura, si aº cº 24º  el valor de z, es: 
 
A) 64 
B) 58 
C) 68 
D) 77 
E) 78 
 
 
25) En la figura, el valor de , es: 
 
A) 60º 
B) 40º 
C) 80º 
D) 70º 
E) 90º 
 
 
 
26) En la figura, el valor de , es: 
 
A) 16º 
B) 17º 
C) 18º 
D) 19º 
E) 20º 
 
 
 
27) En la figura mostrada, si BM es mediana y 
PB 10, hallar el valor de MH. 
 
 
A) 5 
B) 10 
C) 15 
D) 20 
E) 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A C
Q
B
S
a
b
x




3x
x
x
A D C
B
E
M
F
N
P Q
120º
x
A
N
R
D
20º
50º 50º
x 10º
A
B
C
D
3x
2x
13x
 2
4x
a
a
b
b
x
2

 
aº zº cº
35º
35º
3xº



 2x
º
5º
A
D
Cxº40º
E
B
20º
F
A C
B

2
n
n
m
m
4
A
H
B P C
M
 
A C
B
Q
P
x
2x
68º
3x 40º
GEOMETRIA 
– 29 – 
28) Se tiene el triángulo ABC (AB=BC). Sean los 
puntos P, Q y R en AB , BC y AC respectivamente 
tal que el triángulo RQP es equilátero. 
Si m( PRA)  , m( BPQ)  y m( RQC)  ; 
se cumple: 
A) 
 
 
2
 B) 
 
 
2
 
C) 
 
 
2
 D) 

 
2
 
E) 
 
 
2
2
 
29) En un triángulo ABC, AB =BC, CR es una ceviana 
interior, tal que  m RCB 24º . La bisectriz del 
ángulo ARC interseca a AC en el punto Q. Hallar 
la medida del ángulo AQR. 
 
A)72º B)56º C)76 
D)78º E)82º 
 
30) Calcular x, si DB=BC y AE=ED=DC 
 
 
A) 30º 
B) 25º 
C) 22º 
D) 18º 
E) 36º 
 
 
31) En la figura, AC=12; Calcular el valor de BD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 15 3 B) 7 3 
C) 10 3 D) 7 
E) 14 
 
32) Si a b 60º  , el valor de “X”, es 
 
 
 
A) 80º 
B) 90º 
C) 100º 
D) 110º 
E) 120º 
 
33) En el interior de un cuadrado ABCD se construyen 
los triángulos equiláteros AFB y AED. La 
prolongación del segmento FE interseca en G al 
lado BC . Calcular la medida del ángulo FGC. 
A) 30º B) 37º C) 45º 
 D) 53º D) 60º 
 
 
 
 
 
34) En la figura mostrada, si PB 9 y PC 15, hallar 
AB. 
 
 
A) 10 
B) 12 
C) 14 
D) 16 
E) 18 
 
 
 
35) El ángulo interior en A de un triángulo ABC mide 
20º. Se traza la ceviana CT y en el triángulo ATC 
se traza la ceviana TQ . Si m ATQ 40º y 
TQ QC BC  . Calcular la m B . 
 A) 40º B) 60º C) 80º 
 D) 75º E) 55º 
 
36) En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la 
bisectriz interior del ángulo BAC interseca al lado 
BC en D, en el triángulo ADC se traza la ceviana 
interior DE tal que AB//DE , si la medida del 
ángulo ADE es 28º, entonces la medida del ángulo 
ACB, es: 
A) 14º B) 24º C) 60º 
D) 22º E) 34º 
 
37) La suma de las distancias del baricentro de un 
triángulo, a sus vértices es 24. Calcular la suma de 
las longitudes de las medianas del triángulo dado. 
 A) 48 B) 36 C) 30 
 D) 32 E) 42 
 
38) En un triángulo equilátero, la distancia del punto 
incentro a un vértice mide “x”. Calcular la distancia 
del incentro a uno de los puntos excentro de dicho 
triángulo. 
A) 3x B) x/2 C) x 
D) x/3 E) 2x 
 
39) La altura BQ de un triángulo acutángulo ABC mide 
9cm. Hallar la distancia del circuncentro del 
triángulo a AC , si la recta de Euler es paralela a 
este lado. 
A)3cm B)5cm C)4cm 
D)2cm E)6cm 
 
40) En un triángulo acutángulo ABC, se ubican los 
puntos “O” ortocentro y “M” circuncentro, tales que 
m( AOB) m( AMB)   , si la altura AH (H BC) 
mide 3 3 , calcular la medida del lado AC 
A)4 B)6 C)5 
D)9 E)8 
 
41) En un triángulo ABC, la distancia del vértice “A” al 
punto incentro “I” del triángulo mide 4cm. Al trazar 
las bisectrices una interior y otra exterior 
correspondientes a los ángulos en los vértices C y 
A respectivamente, se observa que se intersecan 
en un punto E, donde m( AEC) 30º  . Calcular la 
distanciadel punto “I” al punto excentro del 
triángulo correspondiente al lado AB . 
A)10cm B)5cm C)12cm 
D)3cm E)8cm 
 
E
A DB C
30º 45º 53º
A 
B 
C D 
E 
x 
3x 


A B
P
C

2

2
x
a
b
CEPRU – UNSAAC 
– 30 – 
42) Los lados de un triángulo ABC miden AB=6, BC=8 
y AC=10. Se traza la altura BH y la bisectriz AD 
(D en BC ), las cuales se intersecan en E. Calcular 
BE. 
A) 3/2 B) 2 C) 1 
D) 2/3 E) 3 
 
43) En la figura AB=AD=DC. Calcular “x” 
 
 
 A) 5º 
 B) 6º 
 C) 8º 
 D) 9º 
 E) 10º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
C 
D 
2x 
3x 
13x 
GEOMETRIA 
– 31 – 
 
 
 
CAPITULO V 
 
CONGRUENCIA, 
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA 
 
 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
 
Definición: Dos triángulos son congruentes si y sólo si 
los tres pares de ángulos correspondientes son 
congruentes y sus tres pares de lados 
correspondientes son congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABC A'B'C'   
 
CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS: 
Para demostrar que dos triángulos son congruentes es 
suficiente que posean al menos tres elementos 
respectivos congruentes, de los cuales por lo menos 
uno de ellos debe ser un lado. 
 
CASOS DE CONGRUENCIA: 
POSTULADO: ALA (Ángulo–Lado–Ángulo) 
Dos triángulos son congruentes, si tienen dos pares de 
ángulos correspondientes congruentes y el par de 
lados comprendidos entre ellos congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
POSTULADO: LAL (Lado–Ángulo–Lado) 
Dos triángulos son congruentes, si tienen dos pares de 
lados correspondientes congruentes y el par de 
ángulos comprendidos entre ellos congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POSTULADO : LLL (Lado–Lado–Lado) 
Dos triángulos son congruentes, si poseen sus tres 
pares de lados correspondientes respectivamente 
congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE LA BISECTRIZ 
Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de 
sus lados 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los triángulos OPR y OPQ son congruentes. 
 
TEOREMA DE LA MEDIATRIZ 
Todo punto sobre la recta mediatriz de un segmento 
equidista de sus extremos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los triángulos APM y BPM son congruentes. 
TEOREMA DE LA BASE MEDIA 
En todo triángulo el segmento que tiene por extremos 
los puntos medios de dos lados, es paralelo al tercer 
lado y su longitud igual a la mitad de la longitud de 
este. 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
A
B
C
  
P
Q
R


 
A
B
C
 
P
Q
R

A
B
C P
Q
R


O Q
P
R
A
B
C
M N


 
C A 
B 
C’ 
A’ 
B’ 
A B
P
L
M 
CEPRU – UNSAAC 
– 32 – 
 
EJERCICIOS 
39) En un triángulo ABC, se traza la mediana AM , 
hallar la distancia del vértice B a la mediana, si la 
distancia del punto medio N de AC a la mediana 
es 2cm. 
A) 2 B) 3 C) 5 
D) 6 E) 4 
 
40) En el triángulo ABC se traza la altura AH , de tal 
modo que BH=3 y HC=10. si 
m( ABC) 2m( ACB)   , entonces el valor de AB, 
es:. 
A) 10 B) 13 C) 8 
D) 7 E) 5 
 
41) En el interior de un triángulo equilátero ABC se 
construye un triángulo isósceles rectángulo ADC e 
interiormente a éste se construye el triángulo AEC. 
Hallar la medida del ángulo DAE si se sabe que 
m( DCE) 30º  y EC=AD=DC. 
A) 15º B) 45º C) 5º 
D) 30º E) 25º 
 
42) Se tiene un triángulo ABC, en el cual AB=10. Se 
traza una recta que interseca a BC en N y a BA 
en M y a la paralela trazada por A, al lado BC , en 
P, si PM=MN, el valor de AM, es: 
A) 4 B) 20 C) 5 
D) 6 E) 2 
 
43) En un triángulo rectángulo BAC, recto en A, se 
traza la altura AD . La bisectriz del ángulo interior 
ABC, interseca a la altura en E, a CA en F y a la 
paralela trazada por A, a BC , en G. si BE=2, el 
valor de FG, es: 
A) 4 B) 3 C) 2 
D) 6 E) 8 
 
44) En un triángulo rectángulo ABC recto en “B” se 
considera el punto “P” exterior al triángulo y 
relativo a AC , si: AC=2(PB), m( PBC) 30º  y 
m( BPC) 40º  , la medida del ángulo BAC, es: 
a) 10º b) 20º c) 40º 
d) 50º e) 80º 
 
45) En un triángulo ABC, obtuso en B e isósceles, en 
los lados AB y AC se consideran los puntos E y F, 
respectivamente, de modo que AE=FC y AF = BC. 
Si  m FBC 27º . Hallar la medida del ángulo 
EFB. 
A)27º B)42º C)30º 
D)45º E)60º 
 
46) En un triángulo ABC, en AC se considera un 
punto D, de modo que: AD BC y DC BD . Si 
m( DCB) 36º  , la medida del ángulo BAD, es: 
A)53º B)72º C)30º 
D)36º E)75º 
 
47) En un triángulo ABC las medianas AM y BN se 
interceptan en el punto G, por N se traza una 
paralela a AM que interseca en P a la 
prolongación de BA : si AB=12m y PN=PA, 
entonces el valor de MG, es: 
A) 3m B) 5m C) 2m 
D) 4m E) 7m 
 
48) En la figura mostrada, si CD = 4, el valor de BC, 
es: 
A) 4 
B) 2 6 
C) 5 2 
D) 6 
E) 4 2 
 
 
49) En la figura, si AB = BC y PQ = 9, entonces el 
valor de AP, es: 
 
 A) 3 
 B) 4 
 C) 5 
 D) 6 
 E) 7 
 
50) En un triángulo ABC, la mediatriz del lado AC 
interseca al lado BC en el punto F. Encontrar el 
mayor valor entero del lado AB , si BC = 12 y FC 
= 7. 
A) 8 B) 9 C) 10 
 D) 11 E) 12 
 
51) En un triángulo rectángulo isósceles recto en B, 
por el vértice B se traza una ceviana interior que 
interseca al lado AC en H. Desde los vértices A y 
C se trazan perpendiculares CP y AQ a la recta 
que contiene a B y H, si AQ=7cm y CP=15cm, 
entonces el valor de PQ, es: 
A) 4cm B) 11cm C) 8cm 
D) 6cm E) 9cm 
 
52) En un triángulo ABC, m B 80º  , en AC se 
ubica el punto “E” tal que AB=EC; las mediatrices 
de AE y BC se intersecan en “F”. Calcular la 
m ACF , sabiendo que la 30ºm C  
A) 20º B) 15º C) 18º 
D) 35 E) 25º 
 
53) En un triángulo ABC, m( ABC) 140º  , las 
mediatrices de los lados AB y BC intersecan al 
lado AC en D y E. Hallar la medida del ángulo 
DBE. 
A) 105º B) 95º C) 115º 
D) 100º E) 70º 
 
54) En la figura, si AB=CP, BE=EP, y 
m( CAE) m( ACE) , entonces la medida del 
ángulo BPE, es: 
 
A) 45º 
B) 50º 
C) 55º 
D) 60º 
E) 65º 
 
 
A
B C
D
14º
14º
31º
46º
A
B
C
E
P
30º 20º
P B Q
5
A
C
GEOMETRIA 
– 33 – 
55) En la figura: AB=BC, AD=20. Calcular BP 
 
A) 10 
B) 15 
C) 7,5 
D) 8 
E) 20 
 
 
 
56) Se tiene un triángulo isósceles ABC donde 
AB=BC. En el exterior y relativo el lado BC se 
considera el punto E, de modo que la 
m( BAE) m( BCE)     , AE interseca a BC en 
el punto M. Hallar el valor de “ ” si: AM=CE y la 
m( EAC) 20º  . 
A) 60º B) 45º C) 70º 
D) 55º E) 68º 
 
57) En la figura, si AB=BC; AE=CD y BE=BD, 
entonces el valor de “x”, es: 
 
 A) 20º 
 B) 25º 
 C) 18º 
 D) 30º 
 E) 45º 
 
 
 
 
58) En los lados AC y AB de un triángulo equilátero 
ABC, se ubican los puntos M y N respectivamente, 
de modo que BM y CN se intersecan en el 
punto P, el ángulo MPC mide 60º, BN=3 cm y 
MC=7 cm. Determinar el perímetro del triángulo 
ABC. 
A) 30 cm B) 24 cm C) 36 cm 
D) 18 cm E) 21 cm 
 
59) Se tiene un triángulo equilátero AEF; en la 
prolongación de AF se ubica el punto C, (F 
está entre A y C) y B es un punto del interior del 
triángulo AEF, de modo que AF=BC, BF=FC y 
el ángulo BAF mide 30º. Hallar la medida del 
ángulo ABF. 
A) 120º B) 130º C) 110º 
D) 115º E) 100º 
 
60) Sea el triángulo equilátero ABC; R es un punto 
interior de este triángulo y E es un punto exterior 
respecto al lado BC , de modo que el triángulo 
RCE es equilátero, el ángulo RAC mide 32º y el 
ángulo RCB mide 10º. Hallar la medida del ángulo 
REB. 
A) 40º B) 45º C) 55º 
D) 38º E) 30º 
 
61) Si R es un punto interior de un triángulo equilátero 
ABC y F es un punto exterior a este triángulo 
respecto al lado AC , de modo que el ángulo RCB 
mide 30º , el ángulo RAB mide 36º , AR = RF y 
AF = BC , el ángulo RFC mide: 
A) 48º B) 42º C) 53º 
D) 30º E) 37º 
 
62) En un triángulo ABC, la mediana AM (M BC ) se 
prolonga hasta un punto H, tal que el ángulo AHC 
es recto y AB=2(MH). El ángulo BAH mide x, el 
ángulo HAC mide y. Hallar la relación entre “x” e 
“y“. 
A) x = y B) x = 2y C) x = 3y 
D) 2x = y E) 3x = y 
 
63) Se tiene un triángulo rectángulo BAD, con ángulo 
recto en A. Exterior a este triángulo, se construye 
el triángulo rectángulo DBC, con ángulo recto en B; 
E es un punto de BD , tal que BE = 3, ED = 2 y el 
triángulo BAD es congruente al triángulo CBE . 
Hallar la medida de CD . 
A) 31 B) 41 C 35 
D) 51 E) 7 
 
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA 
 
RAZÓN DE SEGMENTOS: 
La razón de dos segmentos de recta, es la razón de los 
números que espresan las longitudes de estos dos 
segmentos, cuando se les a medido con una misma 
unidad. 
Dos pares de segmentos AB , CD y EF , LM son 
proporcionales si se verifica: 
 
AB EF
k
CD LM
  
 
TEOREMA DE THALES: 
Si tres más rectas paralelas son intersecadas por dos o 
más rectas secantes, los segmentos determinados 
sobre las secantes son respectivamente proporcionales 
Si 
1 2 3
L // L // L 
AB MN
BC NP
 ó 
AB BC
MN NP
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COROLARIO: Una recta paralela a un lado de un 
triángulo que interseca a los otros dos determina sobre 
ellos segmentos proporcionales. 
 
Si: L // AC 
 
a c
b d
  
 
 
 
 
 
 
 
L2 
L1 
L3 
S1 S2 
A 
B 
C 
M 
N 
P 
 
 
 
 
L
A
B
C
DE
d 
a c 
b 
A D
C
B
P
45º
A 
B 
C 
E 
D 
3xº 
4xº 
CEPRU – UNSAAC 
– 34 – 
TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR: En todo 
triángulo los lados adyacentes a la bisectriz interior son 
proporcionales a los segmentos que determina dicha 
bisectriz sobre el lado opuesto 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR: En todo 
triángulo los lados adyacentes a la bisectriz exterior son 
proporcionales a los segmentos que determina dicha 
bisectriz sobre la prolongación del lado opuesto 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DEL INCENTRO: 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DEL EXCENTRO 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE MENELAO: 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE CEVA: 
 
 
 
 
 
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
 
DEFINICIÓN: Dos triángulos son semejantes si sus 
ángulos correspondientes son congruentes y las 
longitudes de sus lados homólogos correspondientes 
proporcionales. 
 
 
 
 
 
 
 
Si dos triángulos son semejantes, todos sus elementos 
homólogos son proporcionales (lados, alturas, 
medianas, bisectrices, inradios, exradios, etc.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si: ABC  MNP
a b c H R
... k
m n p h r
       
 
CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA 
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS: 
VI) Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos 
pares de ángulos respectivamente congruentes. 
 
 
 
 
 
VII) Dos triángulos son semejantes, cuando tienen un 
par de ángulos respectivamente congruentes y las 
longitudes de los lados que forman a dichos 
ángulos respectivamente proporcionales. 
 
 
 
 
 
 
 
VIII) Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus 
tres lados respectivamente proporcionales. 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVACION: 
1) Una recta paralela a un lado y secante a los otros 
dos lados de un triángulo, determina dos triángulos 
semejantes. 
 
 
 
 
 
 
 
a 
b 
m 
n 
c 
p 
a 
m b 
n 
c p 
Cevacentro 
A
B
C A'
B '
C '


 


 
A 
B 
C 
R 
H 
a 
b 
c 
M 
N 
P 
r 
h 
m 
n 
p 
 
   
 
A 
B 
C b 
c 
M 
N 
P 
 
bk 
c.k 
A 
B 
C b 
c 
M 
N 
P 
 
b.k 
c.k 
a a.k 
p.n.mc.b.a  
p.n.mc.b.a  
L
A
B
C
DE
ABCEBD 
a c 
m n 
x 
a 
c 
m 
n 
x 
n
a
m
c
 
n.mc.ax
2
 
n
a
m
c
 
c.an.mx
2
 
a c 
b 
I 
x
y
b
ca
y
x 
 
a c 
b 
E 
y
x
b
ca
y
x 
 
GEOMETRIA 
– 35 – 
2) La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo 
rectángulo, determina tres triángulos semejantes. 
 
 
 
 
 
 
 
3) Los triángulos ABC y EBD son semejantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS 
 
1. En un triángulo ABC, se traza la base media 
relativa al lado AC y la distancia del baricentro a 
la base media es k. Hallar la altura del triángulo 
ABC relativa al lado AC . 
A)4k B)6k C)5k 
D)3k E)7k 
 
2. En un triángulo ABC, la distancia del vértice A a su 
incentro es 10, la distancia de su incentro a su 
excentro relativo al lado BC es 14 y el lado AB 
mide 12. Hallar la medida del lado AC 
A)20 B)10 C)15 
D)18 E)16 
 
3. Dado un triángulo ABC, donde BC AC AB  , se 
tiene que BC 5 y AC, AB son números enteros. 
Si E es el punto EXCENTRO correspondiente al 
lado AB , donde m( AEB) 45º  , al calcular la 
distancia entre el ortocentro y circuncentro de 
dicho triángulo, se obtiene: 
A)15/2 B)13/2 C)17/2 
D)13/3 E)15/4 
 
4. La altura BH de un triángulo acutángulo ABC mide 
27cm; si la recta de Euler es paralela al lado AC , 
la distancia del circuncentro del triángulo a AC , 
es: 
A)9cm B)6cm C)5cm 
D)13cm E)12cm 
 
5. En la figura AB BC CD DA   , si SO 2 , 
NO 3 , MO 4 , al calcular la medida de RO , se 
obtiene: 
 
 
A)1/2 
B)2 
C)1 
D)3/2 
E)3 
 
 
 
6. En la figura, el valor de x, es: 
 
 
A)3 
B)4 
C)1 
D)2 
E)6 
 
 
7. Calcular KC, si JK // AC , 5BJ=3AJ, BK = 12 
 A) 20 
 B) 30 
 C) 15 
 D) 4 
 E) 16 
 
 
 
8. En un  ABC, AB=8, BC=6 y AC=7 se traza la 
bisectriz interior BD . (D en AC ). Calcular: 
AD DC . 
A) 2 B) 0,5 C) 1 
D) 1,5 E) 0,75 
 
9. Por el baricentro de un triángulo equilátero ABC, 
se traza una recta secante, que interseca a los 
lados AB y BC en los puntos P y Q 
respectivamente, de modo que BP = 20 , BQ = 30 
y AP + QC =22 . Calcular PQ. 
A) 15 7 B) 20 7 C) 10 7 
D) 22 7 E) 18 7 
 
10. Se tiene un triángulo acutángulo ABC, donde el 
ángulo ABC mide 53
o
 y la distancia del 
circuncentro a un vértice es 10. Calcular la longitud 
del segmento determinado por los pies de las 
alturas trazadas desde C y A. 
A) 
48
5
 B) 
48
7
 C) 
46
5
 
D) 
44
5
 E) 
47
7
 . 
 
11. En un triángulo ABC, se traza las alturas AM y 
CN . Calcular BM, si AB = 5, NB = 3, BC = 6. 
A) 2,5 B) 3 C) 2,3 
D) 3,5 E) 4 
 
12. En un triángulo isósceles ABC , (AB = BC) ; la 
mediatriz de BC interseca a AC en F. Por F se 
traza FH//BC , H AB , tal que FH=1 y 
FC= 6 . Calcular AB 
A) 2 B) 3 C) 5 
D) 6 E) 4 
 
13. Las longitudes de los lados de un triángulo son 
números enteros positivos consecutivos. Calcular 
su perímetro, sabiendo que la medida del mayor 
ángulo interior es el doble de la medida del menor 
ángulo interior. 
A) 21 B) 13 C) 18 
D) 12 E) 15 
 
A 
B 
C 
H 
  
  ABCAHBBHC 
37º 
A B 
C 
D 
5 
x 
10 
A 
 J 
B 
K 
C 
A 
B 
C 
D 
E 
 
 
 
 
A B 
C D 
M 
N 
R 
S 
O 
CEPRU – UNSAAC 
– 36 – 
14. En un triángulo ABC, D es un punto de AC , por D 
se trazan DE//BC y DF// AB , ( E AB ,F BC ) . 
La prolongación de EF interseca a la prolongación 
de AC en P, tal que AD = 3 y CP = 4. Calcular 
DC. 
A) 1 B) 1/2 C) 3 
D) 2 E) 5/2 
 
15. En el triángulo ABC, se trazan AD , D BC , luego 
se traza DE// AC , E AB y EF// AD , F BC , 
tal que BF = 5 y FD = 3. Calcular DC 
A) 4 B) 5 C) 12/5 
D) 24/5 E) 9/2 
 
16. En un trapezoide ABCD, las bisectrices de los 
ángulos B y D, se intersecan en un punto de la 
diagonal AC . Si AB = 6, BC = 8 y CD = 12. 
Calcular AD. 
A) 9 B)