GEOMETRÍA - Jimena Yajaira Alvarado Valencia

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COLECCIÓN EL POSTULANTE
GEOMETRÍA
COLECCIÓN EL POSTULANTE
GEOMETRÍA
Ed ito ria l
GEOMETRÍA - COLECCIÓN EL POSTULANTE
Salvador Timoteo
© Salvador Timoteo
Diseño de portada: Miguel Bendezú
Composición de interiores: Miguel Bendezú
Responsable de edición: Alex Cubas
© Editorial San Marcos E. I. R. L., editor
Jr. Dávalos Lissón 135, Lima
Telefax: 331-1522
RUC 20260100808
E-ma¡l: informes@editorialsanmarcos.com
Primera edición: 2007
Segunda edición 2013
Tiraje: 1000 ejemplares
Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú
Registro N.° 2012-12000
ISBN 978-612-302-917-3
Registro de Proyecto Editorial N.° 31501001200780
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, 
sin previa autorización escrita del autor y del editor.
Impreso en el Perú / Printed in Perú
Pedidos:
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Composición, diagramación e impresión:
Editorial San Marcos de Aníbal Paredes Galván
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ÍNDICE
Segm entos y ángulos................................................................................................................................................................................... 9
Triángulos.............................................................................................................................................................................................................. 17
Polígonos y cuadriláteros.......................................................................................................................................................................... 28
C ircunferencia ................................................................................................................................................................................................... 37
Puntos notables asociados al triángulo........................................................................................................................................... 47
Sem ejanza de segm entos......................................................................................................................................................................... 52
Relaciones m étricas...................................................................................................................................................................................... 59
Cálculo de á reas ............................................................................................................................................................................................... 69
Geometría del e sp ac io ................................................................................................................................................................................ 84
Geometría ana lítica ........................................................................................................................................................................................ 104
PRESENTACION
Editorial San Marcos presenta al público la Colección El Postulante, elaborada íntegramente pensando
en las necesidades académ icas de los jóvenes que aspiran a alcanzar una vacante en las universidades,
institutos y centros superiores de estudio a nivel nacional.
La Colección El Postulante reúne los temas requeridos por los prospectos de admisión, los cuales son
desarrollados didácticamente, con teoría ejemplificada y ejercicios propuestos y resueltos, de alto grado
de dificultad, con los cuales se busca dotar a los jóvenes de los conocimientos básicos necesarios para
enfrentar no solo los diversos exám enes de admisión, sino afianzar los saberes de su formación escolar
y alcanzar una formación integral que les permita, en el futuro próximo, desarrollar una vida universitaria
exitosa.
Finalmente, deseam os hacer un reconocimiento al sta ff de docentes liderados por Salvador Timoteo, Pe­
dro de Castro, Jorge Solari y Nathall Falcón, profesores de amplia trayectoria en las mejores academ ias
de nuestro país, quienes han entregado lo mejor de su experiencia y conocimientos en el desarrollo de
los contenidos.
- E L E D IT O R -
SEGMENTOS Y ÁNGULOS
ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRIA
Los objetos que están en nuestro entorno dan la 
¡dea intuitiva de cuerpo geométrico, superficie
geométrica, línea y punto. Una vez adquiridas e s­
tas nociones intuitivas, la mente hace abstracción
de los cuerpos materiales que han tomado de base
y pasa de lo concreto a lo abstracto. Para la geo­
metría, el punto, la recta, el plano son elementos
fundamentales que no se definen, solo surgen de
la idea partiendo de la realidad y formulando des­
pués las propiedades que caracterizan a cada uno
de estos elementos.
Representación gráfica de un punto: A
Notación: punto A
Representación gráfica de una recta:
L
< ►
Notación: recta L: L
Notación:
Recta AB : AB
Representación gráfica de un plano
Notación:
Plano P: O P
SEGMENTO
E s una parte de la recta comprendida entre dos
puntos, a los cuales se le denominan extremos del 
segmento.
 ̂ n ̂ Notación:
A g segmento AB : AB
Longitud de un segmento. Expresa el tamaño o 
medida de un segmento y resulta de la compara­
ción del segmento con otro, que es tomado como
unidad (metro); por ejemplo: si un segmento con­
tiene 4 veces la unidad (metro) entonces dicho
segmento tiene una longitud de 4 m.
Si la longitud de un segmento no se conoce, esta
convencionalmente se Indicará con una letra latina
minúscula. A s i, del gráfico anterior, n es la longitud
del segmento AB : entonces AB = n 
A B : se lee “longitud del segmento AB".
Punto medio de un segmento. E s aquel punto
que pertenece al segmento y que lo divide en dos
segmentos parciales de igual longitud.
h §--------+ --------1-------H
M B
SI: M e AB y AM = MB; entonces M es el punto
medio de AB .
OPERACIONES CON LAS LONGITUDES DE SEG­
MENTOS
R *1
A B C
Los puntos A, B y C son colineales y consecutivos,
entonces, se establecen las siguientes operacio­
nes con las longitudes de los segmentos.
Adición de longitudes de segm entos
A C = A B + BC = a + b
Sustracción de longitudes de segm entos
A B = A C - BC ■ n - b
c V la t a : ......... - ................................- -- .........................................
La distancia entre dos puntos es la longitud 
de segmento que tiene por extremos a di­
chos puntos.
Sean P , y P2 dos puntos dados:
d
Si: P ,P 2 = d 
Luego:
d: distancia entre P i y P2 p 1 
ÁNGULO
Figura geométrica formada por dos rayos que tie­
nen el mismo origen.
Región Interior
del ángulo AO B
1 0 ¡ C o lecció n E l Po stu la n te
Elem entos:
lados: O A y O B; vértice: O
Notación:
ángulo AO B: ZA O B
medida del ángulo AO B: m ZAO B m Z A O B = 0
BISECTRIZ DE UN ANGULO
E s aquel rayo ubicado en la región interior del án­
gulo cuyo origen es el vértice de dicho ángulo y
que forma con sus lados, ángulos de igual medida.
En la figura, OP: bisectriz del ángulo AO B.
m ZA O P = m ZPO B
CLASIFICACION DE ANGULOS SEGUN SUS MEDIDAS
Ángulo agudo. E s aquel ángulo cuya medida es
mayor que 0o y menor que 90°.
el ZA O B es agudo
0° < a < 90°
Ángulo recto. E s aquel ángulo cuya medida es
igual a 90°.
el ZA O B es recto
a = 90°
O B
Ángulo obtuso. E s aquel ángulo cuya medida es
mayor a 90° y menor a 180°.
A
el ZA O B es obtuso
90° < a <180°
SEGUN LA POSICION DE SUS LADOS
Ángulos adyacentes. Son dos ángulos que tienen
el mismo vértice y adem ás están situados a distinto
lado de un lado común.
A . B
O C
los ángulos AO B y BO C son adyacentes.
0 = a + (3
Ángulos consecutivos. Se denominan asi a dos o
más ángulos que son adyacentes con su inmediato.
los ángulos AO B, BO C, COD, y DO E son conse­
cutivos.
m ZA O E =a + p + 0 + y
Ángulos opuestos por el vértice. Son dos ángu­
los que tienen el mismo vértice y adem ás los lados
de uno de elios son las prolongaciones de los lados
del otro en sentido contrario.
A - , r M
B '*■ N
los ángulos AO B y MON son opuestos por el vértice.
m ZAO B = mZMON
Angulos complementarios. Son dos ángulos cuya
suma de sus medidas es igual a 90°
G eo m etría ¡ 11
se tienen los ángulos complementarios AO B y MQN.
a + 1 : 90°
Se a C (a ): complemento de a .
C (a ) = 90° - a
Angulos suplem entarios. Son dos ángulos cuya
suma de sus medidas es igual a 180°.
A * Mi
B O Q N
se tienen los ángulos suplementarios AO B y MQN.
a + e = 180°
Se a S (x): suplementario de x.
S (x ) = 180° - x
POSTULADO
Por un punto exterior a una recta solo se puede
trazar una recta paralela a ella.
Q
L,
■ L
Si Q es exterior a la recta L, entonces por Q solo se
puede trazar L! // L (recta L-, paralela a la recta L).
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARA­
LELAS Y UNA RECTA TRANSVERSAL
Al trazar una recta secante o transversal a dos
rectas paralelas, se forman ocho ángulos cuyas
medidas guardan ciertas relaciones, así tenemos:
Ángulos alternos internos
Sea : L , // L2. entonces a y 9 son las medidas de
dos ángulos alternos Internos.
Ángulos conjugados internos
Se a : L , // L2, entonces a y (3 son las medidas de
dos ángulos conjugados Internos.
a + R = 180°
Ángulos correspondientes
Sea : L , // L2, entonces a. y 0 son las medidas de
dos ángulos correspondientes.
PROPIEDAD
Si L-i // L2, entonces: x = a + f
En general:
Li
Si: L , // L2 => E Z I = S Z D
a + b + c = x + y-t-z
12 | C olecció n E l P o stu la n te
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Los puntos A. B. C , D, E se encuentran sobre
una linea recta, de tal forma que:
BC = 2AB; AD = 20; (A B )(C E ) = (A C )(BD ).
Calcu lar DE.
R esoluc ión :
a 2a
A B C D E
Se a : AB = a
=» BC = 2AB = 2a; C E = 20 - 3a + x
A C = 3a: BD = 20 - a 
En el dato: (A B )(C E ) = (A C)(BD )
a(20 - 3a + x) = 3a(20 - a)
20 - 3a + x = 60 - 3a
x = 40
2. S e tienen cuatro puntos consecutivos A, B, C ,
D sobre una línea recta de modo que:
CD = 4A C ; BD - 4A B = 50, Calcu lar BC .
R esolución:
a x __________________
A B C D
Sea : A B = a; BC = x 
De los datos:
CD = 4AC =s CD = 4(a + x)
C D = 4 a + 4 x ...(1 )
BD - 4A B = 50
B C + CD - 4AB = 50 ...(2 )
De (1) y (2):
x + 4a + 4x - 4a = 50 => 5x = 50
x = 10
3. En los ángulos adyacentes AO B y BO C se
traza la bisectriz O F del ángulo BO C. Encon­
trar m ZAO C, s í m ZA O C + m ZA O B = 140°,
m ZAO B - m ZB O F = 20°
R esolución :
De la figura: x = a + 2<j>
De los datos:
m ZAO C + m ZA O B = 140°
a + 2<j> + a = 140“ => a + <(>= 70°
Del dato:
m ZA O B - m ZB O F = 20°
a — <(> = 20°
De (2) y (3):
a = 45° y ij> = 25“ 
Reem plazando en (1): x = 95°
Calcu lar x, si L l l L-i
...(2 )
...(3 )
Resolución :
Usando propiedades:
x + 0 = 180° ...(1 )
0 = ij> + 6 ...(2 )
Por ángulos conjugados internos:
(<j> + 48) + (4<j> + 5) = 180° (j> + 5 = 36°
En (2): 0 = 36e
En (1): x + 36° = 180° x = 144°
R esoluc ión :
G eo m etría | 13
Usando ángulos de lados perpendiculares:
100° = 2p => <)> = 50° ...(1 )
Por ángulos conjugados internos:
2(j> + 5(1 = 180° .. .(2 )
(1) en (2): 2(50) + 5(1 = 180° => p = 16°
Por propiedad: x = <j) + 2(3 
x = 5 0 °+ 2 (1 6 ° ) x = 82°
(~EJERCICIOS PROPUESTOS 1 |
1. En la figura, calcular x, si: M es punto medio
d e A B .
A M B
H(12 + 4a)x 12(a + x) 
a) 12 b) 6 c) 4 d) 3 e) 2
2. En una recta se ubican los puntos consecuti­
vos A , B , C y D, de modo que: B C = 6 y
A C + BD = 2 0 . Calcu lar AD.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 20 e) 18
3. Del gráfico, calcular x, si: (A C )(A B ) = 20
A B M C
- *!
6. En una recta se ubican los puntos consecutivos
A, B, C y D de modo que: A B = 17; C D = 23 y
AD = 6B C . Calcu lar BC .
a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 9
a) 6 b) 8 c) 9 d) 7 e) 5
En una recta se ubican los puntos consecutivos
A, B, C y D de modo que: A C = BD = 8. C a l­
cular CD , si adem ás: AD - BC = 10
a) 10 b) 4 c) 5 d) 3 e) 6
Del gráfico, calcular BD.
A B C D E
I I I 1 1
I 3a 1 2a 1 2b 3b
1 70 1
a) 14 b) 18 c) 16 d) 42 e) 28
Del gráfico, calcular la medida del segmento
que une los puntos medios de AD y de BC .
A B C D
H
a) 4
30
b) 17 c) 26
' 4 1 
d) 13 e) 16
En una recta se ubican los puntos consecutivos
A, B, C y D, de modo que:
M = = Cjp y (AB)(BC) = 96. Calcular CD.
a) 16 b) 20 c) 4 d) 12 e) 24
Del gráfico, calcular x, si: CD - AB = 15
A B C D
4x
a) 6 b) 5
9x
c) 4 d) 2 e) 3
10. En una recta se ubican los puntos consecu­
tivos A, B , C y D, de modo que : B C = 6;
BD = 2 A B y A C = 5CD . Calcu lar AB .
a) 3 b) 4 c) 2 d) 6 e) 5
11. En la figura, calcular x, si M es punto medio de
AC y N es punto medio del BC .
A B M N C
h
a) 12
x
b) 6 c) 9 d) 18 e) 3
12. En una recta se tienen los puntos consecuti­
vos A, B , C y D de modo que:
A C = 5; BD = 4 y —------ - L = ^ ; calcular BC .
CD A B 2
a) 1,5 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
13. En una recta se tienen los puntos consecuti­
vos A, B, C y D, de modo que: 2AB = 3BC = 4CD
y AD = 52: calcular BD.
a) 36 b) 24 c) 28 d) 42 e) 39
14. En una recta se tienen los puntos consecuti­
vos A, B , C , D, E y F, si:
DFA C BD C E 
BC CD " DE E F
14, calcular:
p _ A B BC CD DE
BC ^ CD D E + E F
1 4 ¡ C o lecció n E l Po stu la n te
a) 14 b) 18 c) 16
d) 12 e) 7
15. En una recta se tienen los puntos consecuti­
vos A, B, C y D. Calcu lar AC , si: (A D )(BC ) = 16
Y AB ~ CD = AC
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 8
16. Sobre una recta se tienen los puntos consecu­
tivos A, B y C . Luego se ubica e! punto medio
M de AB ; si A B = 8 y A C = 22, hallar AM.
a) 13 b) 14 c) 15
d) 16 e) 17
17. Sobre una recta se tienen los puntos consecuti­
vos A, B, C y D de modo que: BC = 5 y AD = 29. 
Luego se ubican los puntos medios M de AB y 
N d e C D . Hallar MN.
a) 17 b) 15 c) 13
d) 11 e) 19
18. En una recta se tienen los puntos consecutivos
A, B y C de manera que: AB - BC = 12. Luego
se ubica el punto medio M de AC . Hallar MB.
a) 6 b) 8 c) 3
d) 4 e) 9
19. Sobre una recta se tienen los puntos consecu­
tivos A, B y C , tal que AB = 8; luego se ubican- 
los puntos medios M de AC y N de BC . Hallar
MN.
a) 6 b) 5 c) 2
d) 4 e) 8
20. En una recta se tienen los puntos consecutivos
A, B, C y D, siendo A C = 7 y BD = 11. Luego
se ubican los puntos medios M de AB y N de
CD. Hallar MN.
a) 6 b) 8 c) 10
d) 7 e) 9
21. En una recta se ubican a los puntos consecu­
tivos A, B y C , de modo que: A B - BC = 32: 
luego se ubican a los puntos medios M de AB ,
N de BC y S de MÑ. Hallar S B .
a) 16 b) 12 c) 10
d) 6 e) 8
22. Sobre una recta se tienen los puntos consecuti­
vos A, B. C y D, de modo que: A B = 4 y CD = 6. 
Luego se ubican los puntos medios M d e A C y 
N de BD; hallar MN.
a) 3 b) 5 c) 6
d) 4 e) 2
23. Se tienen los puntos colineaies y consecuti­
vos A, B, C y D, tal que: A B = CD = 5. Hallar
A C . si (A D )(BC ) = 144.
a) 6 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
24. Dados los puntos colineaies y consecutivos A,
B. C y D, de modo que: AB = CD = 3. Hallar
AQ s ¡- _1______ 1_ _ J L
’ ' BC AD 20
a) 6 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
25. Se tienen los puntos colineaies y consecutivos
A, B, C y D. Si AB = 3CD, BC = 11 y AD = 35, 
hallar CD.
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
26. Sobre una recta se tienen los puntos consecu­
tivos A, B, C y D. Hallar BC , si: A D = 6 B C ,
A B = 9 y C D = 16.
a) 5 b) 6 c) 4
d) 7 e) 8
27. Dados los puntos colineaies y consecutivos A,
B, C y D, de modo que: 3AB = 5CD . BC = 7 y
AD = 39. Hallar CD.
a) 10 b) 11 c) 15
d) 12 e) 4
28. Sobre una recta se tienen los puntos consecu­
tivos P . Q. R y S , tal que: ^ ^ ^ ;
P S + Q R = 38. Hallar Q R.
a) 15 b) 10 c) 20
d) 25 e) 14
29. Se tienen los puntos colineaies y consecutivos
A , B . C y D . tal que: 2AB = 3BC = 4CD y
AD = 26. Hailar BD.
G eo m etría | 15
a) 16
d) 20
2 .
b) 18 
e) 14
c) 12
30. En una recta se tienen los puntos consecutivos
A, B. C y D. Hallar AC si (A B)(CD ) = (AD)(BC);(B C )(C D ) = 47 y (A D )(AB) = 96.
a) 6 
d) 9
b) 7 
e) 12
c) 8
U1
lll
1. d 7. d 13. c 19. d 25. c
2. c 8. b 14. b 20. e 26. a
> 3. a 9. e 15. d 21. e 27. d
<I 4. c 10. b 16. c 22. b 28. b
ü 5. e 11. a 17. a 23. c 29 e
6. a 12. d 18. a 24. c 30. b 7
[ " e je r c ic io s PROPUESTOS " j \
En el gráfico: A, O y B son colineales. Hallar la 
m ZAO C.
a) 22°30
b) 45°
c) 30°
d) 15°
e) 60°
a) 180°
b) 520°
c) 480°
d) 360°
e) 720°
3. Si: L , // L2, calcular el máximo valor entero de
x. siendo el Z C A B agudo.
a) 18°
b) 17°
c) 16°
d) 15°
e) 12°
Si C indica complemento y S indica sup le­
mento, calcular:
í3 C (3 0 °) + 2S (10 0°) f
34°
7.
a) 81 
d) 100
b) 25
e) 121
c) 144
Sean Z A O B , Z B O C y ZC O D ángulos adya­
centes de modo que el Z B O C sea recto. Sean
OP, OQ Y OZ bisectrices de los ZA O B , ZC O D
y ZPO Q en ese orden,
m AOBCalcular:
a) 1 
d) 2
m. -COD
b) 1/2 
e) 3
c) 1/3
Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC
y COD, de manera que el ZAO D sea de 164°
y el ZBO C_sea_d e 96°. Se trazan las bisec­
trices OT, O S. OP y O R, de los ángulos AO B,
COD: AO S y TOD en ese orden. Calcular la 
m ZPO R .
a) 34°
d) 46°
b) 28°
e) 17°
c) 68°
Se trazan los rayos coplanarios y consecu­
tivos OA, O B, OC y OD, determinándose los
ángulos consecutivos AO B, BO C , COD y DOA
que miden 90°, 70°, 100° y 100°. Calcu lar el 
complemento de o°.
a) 70°
d) 17°
b) 80°
e) 60°
c) 10°
De la figura, calcular el máximo valor entero im­
par de x, si 9 es la medida de un ángulo agudo.
a) 100°
b) 120°
c) 130°
d) 133°
e) 145°
El doble del complemento de un ángulo sum a­
do con el suplemento de otro ángulo es igual
al suplemento del primer ángulo. Calcu lar la 
suma de las medidas de dichos ángulos.
a) 100°
d) 180“
b) 45°
e) 120°
c) 90°
10. Se tiene los ángulos consecutivos AOB: BO C y
COD, tal que: m ZAOD = 148° y m ZBO C = 36°. 
Calcu lar la medida del ángulo formado por
las b isectrices de los ángulos AO B y COD.
1 6 ¡ C olecció n E l P o stu la n te
a) 108° b) 36° c) 92°
d) 56° e) 74°
11. Se tiene ios ángulos consecutivos POQ, QOR y 
RO S, de tal manera que: m ZPO R = 32° + k y
m ZQ O S = 88° - k. Calcular la m ZQ O R, si el 
ángulo PO S es recto.
a) 22° + k b) 30° c) 68° - k
d) 40° e) 16° + k/2
12. Calcu lar la m ZB O C , si: m ZAO B = 2m ZCO D y
2m Z AO B + m ZD O E = 150°
A ) 25°
b) 75°
c) 60°
d) 65°
e) 50°
13. Si: L-i // L2, calcular x.
a) 143°
b) 127°
c) 150°
d) 135°
e) 165°
14. Calcu lar x, si: L 1 // L2 // L3 y a - b = 36°
Li
l-2
I-3
a) 54° b) 72° c) 36°
d) 63° e) 52°
15. El doble del complemento de un ángulo au­
mentado en el triple del suplemento del doble
de dicho ángulo nos da 480°. Hallar, el suple­
mento dicho ángulo:
a) 30° b) 60° c) 120°
d) 150° e) 135°
16. La diferencia de las medidas de dos ángulos es
40° y el triple del suplemento del ángulo doble
del primero es igual al duplo del complemento
17.
del suplemento del ángulo triple del segundo.
Calcular la medida de dichos ángulos.
a) 60° y 60°
c) 45° y 75°
e) 40° y 80°
b) 30° y 90°
d) 70° y 50°
Sean : Z A O B , Z B O C , ZC O D , Z D O E y Z E O F
ángulos consecutivos, tales que: m ZAO F = 154°
y m ZAO D = m ZB O E = m ZCO F.
Calcu lar la m ZBO C , si la medida del ángulo
formado por la bisetriz del ZC O D y el rayo O E
es igual a 54°.
a) 23°
d) 36°
b) 28°
e) 75°
c) 63°
18. Del gráfico, calcular el valor de 9 cuando x
toma su mínimo valor entero par. S i: L 1 // L2.
a) 34° ‘ ... ..... ' '< x - 0 ‘ Ll
b) 32° X̂ £>
c) 28°
d) 29°
e) 30° /x1 » 1* l_2
Si: Á B // DO, - y m ZAQ C =
m ZD CQ 2 *
calcular el complemento del ZD C Q .
a) 20° A Z*
b) 60°
c) 50°
Q<Cd) 70°
e) 80° d -------
20. S i: L , // L2, calcular x.
a) 15°
b) 10°
c) 12,5°
d) 22°
e) 22°30'
1. b 5. a 9. d 13. d 17. a
2. e 6. e 10. c 14. d 18. d
3. c 7. c 11. b 15. a 19. c
4. e 8. d 12. e 16. e 20. e
TRIANGULOS
E s la figura geométrica formada ai unir tres puntos
no colineaies mediante segmentos.
Elem entos:
Vértices: A, B y C
Lados: A B , BC y AC
Notación:
Triángulo A B C : AABC
REGIONES DETERMINADAS RESPECTO AL
TRIÁNGULO
► B /
Región exterior
relativa a AB
Región interior
Región exterior
relativa a B C
A / Región exterior
relativa a A C
ANGULOS DETERMINADOS RESPECTO AL
TRIÁNGULO
Medida de los ángulos internos: a ; P; 0 
Medida de los ángulos externos: x: y; z
Perímetro de la región triangular A B C (2pAABC)
2Pm b c — a + b + c
Semiperimetro de la región triangular A B C ( P a a b c )
P a a b c -
a + b + c
TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL TRIANGULO
Teorema 1. En todo triángulo la suma de las medi­
das de sus ángulos interiores es igual a 180°.
B
a + p + 9 = 180°
Teorema 2. En todo triángulo la medida de un án­
gulo exterior es igual a la suma de las medidas de
dos ángulos interiores no adyacentes a él.
B
X = a + p
Teorema 3. En todo triángulo la suma de las me­
didas de los ángulos exteriores considerando uno 
por vértice es igual a 360°.
BA,
x + y + z = 360°
Teorema 4. En todo triángulo al lado de mayor
longitud se le opone el ángulo de mayor medida y 
viceversa (propiedad de correspondencia).
Teorema 5. En todo triángulo la longitud de un lado
es mayor que la diferencia de las longitudes de los
otros dos y menor que la sum a de las mismas (pro­
piedad de existencia).
En el A A B C , sea:
a > b > c
b - c < a < b + c
x = a + p + 0
1 8 | C olección E l Po stu la n te
2 . En la f ig u ra : A A O B y 
A C O D presentan un án­
gulo interior opuesto por 
el vértice.
S e cumple:
a + (1 = 0 + y
x + y = a + [5
4.
CLASIFICACIÓN DE TRIANGULOS
Los triángulos son clasificados de acuerdo a las 
medidas de sus ángulos o la longitud de sus lados.
Según las medidas de su s ángulos 
1. Triángulo rectángulo. E s aquel triángulo que 
tiene un ángulo recto.
En la figura, m ZA BC = 90°
A B y BC : catetos: AC : hipotenusa 
Adem ás : a + 0 = 90°
Teorema de Pitágoras. En todo triángulo rec­
tángulo el cuadrado de la longitud de la hipo­
tenusa es igual a la suma de los cuadrados de 
las longitudes de sus catetos.
En el L A B C , se cumple:
2. Triángulo oblicuángulo. E s aquel que no tie­
ne ángulo recto y puede ser:
Triángulo acutángulo. E s aquel triángulo, 
que tiene sus ángulos internos agudos.
a < 90°; |3 < 90°; 6 < 90° 
=> A A B C : acutángulo
Triángulo obtusángulo. E s aquel triángulo 
que tiene un ángulo interior obtuso.
Si: 0 90°
=> A A B C : obtusángulo, 
obtuso en A.
a¿ b + c¿
Según las longitudes de su s lados
1. Triángulo escaleno. Es aquel triángulo, en e! 
cual, sus lados tienen diferente longitud.
S i : a A b A c => A A B C : escaleno
2 . Triángulo isó sceles. E s aquel triángulo que 
tiene dos lados de igual longitud.
S i: AB = BC 
=> A A B C : isósceles. 
AB y BC : laterales 
AC : base
m ZBA C = m ZA CB
Triángulo equilátero. E s aquel triángulo cu­
yos lados son de igual longitud.
G eo m etría | 19
Si: a = b = c => A A B C : equilátero
a = P = 0 = 60°
LINEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRIANGULO
1. Ceviana. E s aquel segmento que une un vér­
tice con un punto del lado opuesto o de su
prolongación.
B
En el A A B C :
• D pertenece a AC
=> BD: ceviana interior relativa a A C
• E pertenece a la prolongación de AC
=> B E : ceviana exterior relativa a AC
2. Mediana. E s una ceviana que biseca el lado
al cual e s relativa.
M es punto medio de AC
=> BM: mediana relativa a AC
3. Medlatriz. E s aquella recta perpendicular a 
un lado que biseca a dicho lado,
B L
En el A A B C : L 1 A C yAM = MC
=> L: mediatriz de A C
4. Altura. E s una ceviana perpendicular al lado, 
al cual es relativa, la posición de una altura res­
pecto al triángulo depende del tipo de triángulo.
B
BH 1 AC
=5 BH : altura relativa a AC
cY lata:----------------------- ---------------------------------------------------
B
A a
A * i a
En el C\ABC
=3 BH: altura relativa a la hipotenusa AC
A
En el A A B C : obtusángulo (y > 90°)
AP : altura relativa a BC
C Q : altura relativa a AB
BH: altura relativa a A C
5. Bisectriz. E s aquella ceviana interioro exte­
rior que biseca a un ángulo interior o exterior,
respectivamente.
Bisectriz interior
B
2 0 ¡ C o lecció n E l Po stu la n te
En el A A B C :
AD: bisectriz interior relativa a BC
Bisectriz exterior
En el A A B C :
B E : bisectriz exterior relativa a ÁC
PROPIEDADES DE ÁNGULOS DETERMINADOS
POR BISECTRICES
En el A A B C :
A P : bisectriz del ángulo interior. 
C P : bisectriz del ángulo exterior.
P
X = 2
Ángulo determinado por las bisectrices de dos
ángulos interiores
B En el A A B C :
Al y Cl : bisectrices de
ios ángulos interiores.
-90° + P
Ángulo determinado por las bisectrices de dos
ánguios exteriores
En el A A B C :
B E y C E : bisectrices
de los ángulos exte-
x = 9 0 ° - |
TRIANGULOS CONGRUENTES
Son dos triángulos cuyos ángulos son, respectiva­
mente, de igual medida y adem ás sus lados co­
rrespondientes de iguai longitud (ángulos y lados
homólogos)
A A B C s AA 'B 'C '
„B X vB'x
m ZB A C = m ZB'A'C ' =» AB = A ’B ’ 
m ZA BC = m ZA ’B 'C 1 => BC = B'C'
m ZA C B = m ZA'C 'B' => CA = C'A'
CASOS DE CONGRUENCIA
Para poder afirmar que dos triángulos son con­
gruentes, es necesario que tres elementos en uno
de ellos sean de igual media que los otros elem en­
tos correspondientes en el otro triángulo, de los
cuales por lo menos uno, es un lado.
Caso : Lado - Ángulo - Lado(LAL). Dos triángu­
los son congruentes, si tienen un ángulo interior de
igual medida y además los lados que determinan a 
dicho ángulo, respectivamente, de igual longitud.
Caso : Ángulo - Lado - Ángulo (ALA). Dos trián­
gulos son congruentes, si tienen un lado de igual
longitud y además ios ángulos adyacentes a di­
chos lados, respectivamente, de igual medida.
Ángulo determinado por las bisectrices de un 
ángulo interior y un ángulo exterior.
=* A A B C s AA 'B'C '
S i: m ZBA C
A B = A'B'
AC = A 'C
= m ZB'A'C '
Si: A C = A ’C' 
m ZB A C = m ZB'A'C '
m ZA C B = m ZA'C'B'
A A B C = AA 'B 'C '
Caso : Lado - Lado - Lado (LLL). Dos triángulos
son congruentes, si sus lados son, respectivamen­
te, de igual longitud.
Si: AB = A'B'
B C = B 'C ’ 
A C = A'C'
A A B C = A A ’B 'C
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA * 
Teorema de la bisectriz. Todo punto que pertene­
ce a la bisectriz de un ángulo equidista de los lados
de dicho ángulo.
Bisectriz
Si: R e OP, RH 1 OA y RQ 1 OB
RH = RQ OH = OQ
Teorema de la mediatriz. Todo punto de la media- 
triz de un segmento equidista de los extremos de
dicho segmento.
Sea : L mediatriz del 
segmento AB.
Si: P e L
PA = PB
B ase media de un triángulo. E s el segmento que
tiene por extremos, los puntos medios de dos la­
dos de un triángulo; al tercer lado se le derorr
base.
base
Teorema de ia base media. E s todo triángulo, una
base media es paralela a la base y su longitud es
la mitad de la longitud de dicha base.
S i: AM = MB y BN = NC =» MN: base media
M N //AC MN = AC
Teorema de la mediana relativa a ia hipotenusa
En todo triángulo rectángulo la longitud de la me­
diana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de
la longitud de dicha hipotenusa
BM: mediana relativa a la hi­
potenusa A C del kA B C .
BM = AC
TRIANGULOS RECTANGULOS NOTABLES
S e denominan así a ciertos triángulos rectángulos
en los cuales conociendo las medidas de sus án­
gulos Internos (denominados'ángulos notables) se
tendrá presente una determinada relación entre las
longitudes de sus lados y viceversa. Entre ios más
importantes tenemos:
A notable de 45° K notabie de 30° y 60°
22 ¡ Co lección E l Postulante
ín notable de 15° y 75°
a(-Í6 -
TRIANGULOS RECTANGULOS NOTABLES APROXI­
MADOS
t\ notable de 37° y 53° tx notable de
5372 = 26°30’
notable de
3772 = 18°30'
t\ notable de
16° y 74°
2 4 k
fck notable de 8° y 82°
82^\5kV2~
AB C D es un cuadrado:
AB = BC = CD = A D = a 
El A A ED es equilátero:
A E = ED = A D = a
m ZEA D = m ZA ED = m ZA D E = 60°
El A A B E es isósceles:
30° + 2 m ZA EB = 180° =» m Z A EB = 75°
En el punto E : 75° + 60° + x = 180°
x = 45°
En un triángulo A B C , A B = 5; BC = 9, 
m ZA = 2m Z C , se traza la bisectriz interior
BD. Calcu lar AD.
R esolución :
Sobre la prolongación de C A c o n s tru im o s el
triángulo isósceles A EB , con A E = AB = 5 
El A E B C es isósceles: E B = BC = 9 
Analizando ángulos se deduce que el A E B D
es isósceles: ED = EB
5 + x = 9 x = 4
Calcu lar x.
EJERCICIOS RESUELTOS
En el interior de un cuadrado A B C D se cons­
truye el triángulo equilátero A ED , la prolon­
gación de B E corta el lado CD en el punto F. 
Hallar la medida del ángulo DEF,
Resolución :
Usando el teorema adicional 1.
En el A A B C D : 45 = 3x + 4<t> + x ... (1)
R esolución:
B
G eo m etría | 2 3
En el />EB C D : 35 = 24° + 3<|> + x ... (2)
De (1) y (2): x = 12°
En un triángulo A B C se traza su mediana AM,
por el punto medio F de AM se traza una recta
paralela al lado A C que corta al lado A B en D 
y al lado BC en E . Hallar F E . si DF = 3.
R esolución:
B
Trazam os M N //A C //D E
En el AANM , DF es su base media:
DF = 3 = — => NM = 6 
2
En el A A B C , MN es su base media:
NM = 6 = ~ ^ A C = 122
En el AA M C , F E es su base media:
F E = ^ x = — x = 6
2 2
Los lados de un triángulo A BC miden AB = 10, 
BC = 14, A C = 16, se trazan BQ y BP per­
pendiculares a las bisectrices interiores de los 
ángulos A y C . Encontrar PQ
R esolución :
B
- 1 6 1
Prolongamos B P y BQ
El A A B E es isósceles: A B = A E = 10; BQ = QE
El A D B C es isósceles: BC = CD = 14: B P = PD
En el A D B E , PQ es su base media:
PQ = 5 £ P Q = 4 
2
El A A B D es isósceles: m /A = m ZABD = a
El A B E C es isósceles: m ZC = m Z C B E = <|> 
En el vértice B: 3x + a + <t> = 180° ... (1)
En el A A B C : 2x = a + c|> ... (2)
De (1) y (2): x = 36°
7. En un triángulo ABC , las bisectrices interiores
de los ángulos A y C se cortan en el punto F. En­
contrar la medida del ángulo B, sabiendo que: 
m ZA FC + m ZA BC = 165°.
Usam os la propiedad de bisectriz interior
m ZA FC = 90° + ^
2
Del dato: m ZA FC + m ZA BC = 165°
90° + — + x = 165° x = 50°
2
8. En un triángulo ABC, la mediana BD y la ceviana
interior A E se cortan en F . Encontrar F E , si
A F = 12, E C = 2B E
R esolución:
B
Calcu lar x, si: AD = BD, B E = EC
R esoluc ión :
R eso lución :
2 4 [ C olecció n E l Po stu la n te
E J = JC = m => DJ
Trazam os DJ // A E .
En el A A E C , DJ es su base media:
A E
2
En el A D B J , F E es su base media:
DJ
2
12 + x
F E = x ■
En (1): 2x :
DJ = 2x
x = 4
[ " e j e r c ic io s PROPUESTOS 1 l
En la figura, calcular la diferencia entre el 
máximo y el mínimo valor entero que puede
tomar x.
N
a) 9 
d) 6
c) 7
2. En la figura, calcular x, s i :A B = A D y BC = EC
a) 10° B
b) 12°
c) 15°
d) 18°
e) 20' A E
3. En la figura, calcular x
a) 150°
b) 118°
c) 144°
d) 132°
e) 126°
a) 120°
b) 150°
c) 144°
d) 135°
e) 105°
En la figura, calcular los valores enteros que
puede tomar x.
/ai 2¡K
/áp '
X,
3x + 6,
6 .
7,
a) 2; 3; 4; 5; 6
b) 2; 3; 4
c) 3; 4 ; 5
d) 4; 5; 6
e) 3; 4
En el triángulo escaleno mostrado, calcular
los valores enteros que pueden tomar x.
a) 2; 3; 4 T~
b) 3; 4
c) 2; 3
d) 1; 2; 3; 4; 5
e) 4
En la figura, calcular: x + y + z
a) 180°
b) 360°
c) 540°
d) 720°
e) 270°
En la figura, calcular: a + b + c + d + e + f
a) 180°
b) 360°
c) 540°
d) 720°
e) 900°
En la figura, calcular la m ZA BC
B
d) 90° e) 75°
10. En la figura, calcular x
d) 12° e) 18°
G eo m etría | 2 5
1. b OI O 9. c 13. b 17. c
2. c 6. e 10. e 14. d 18. d
3. e 7. b 11. e 15. e 19. e
4. a 8. d 12. a 16. a 20. d
11. En la figura, calcular x.
12. En la figura, calcular x.
13. En la figura, calcular el máximo valor entero
que puede tomar x.
14. En la figura, calcular: x + y
15. En la figura, calcular x, si: A C = BD
B
16. En la figura, calcular x, si H es ortocentro del 
triángulo A B C .
17. En la figura, calcular x, si H es ortocentro del 
triángulo A B C .
a) 70
b) 80°
c) 75°
d) 90°
e) 120°
a) 120°
b) 180°
c) 60°
d) 90°
e) 45°
18. En la figura,
19. En la figura,A A B C .
1 .
2.
20 . En la figura, calcular x, si: I es incentro de! 
triángulo A B C .
[ " e j e r c ic io s PROPUESTOS 2~1
En la figura, calcular el valor de x.
En un triángulo A B C se_traza la cevlana BD
que biseca a la mediana A E en el punto P, cal­
cular PD , si BD = 8.
calcular x.
D
calcular x, si: G es baricentro del
2 6 | C o lecció n E l P o stu la n te
a) 2 
d) 5
b) 3 
e) 6
c) 4
En la figura, calcular el valor de x.
a) 7
b) 6
c) 4
d) 5
e) 3
calcular el valor de « .
/ / i
calcular el valor de x.
4. En la figura,
a) 17°
b) 15°
c) 21°
d) 13°
, e) 12°
5. En la figura,
a) 12°
b) 15°
c) 20°
d) 18°
e) 10°
6. En la figura,
a) 50°
b) 30°
c) 20°
d) 40°
e) 70°
7. En la figura, calcular el valor de x.
a) 21°
b) 32°
c) 42°
d) 36°
e) 40°
calcular el valor de x. 
A*
\ D
En la figura,
a) 6
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
En la figura,
a) 37°
b) 53°
c) 30°
d) 60°
e) 45°
calcular el valor de x.
calcular el valor de x.
a +b
10. En figura, calcular el valor de x.
a) 40°
b) 30°
c) 50°
d) 10° ,
e) 20°
11. En la figura, calcular Q C, si NP = 6.
B
a) 6 
d) 7 e) 5
c) 9
12. En la figura, calcular el valor de x.
a) 15°
b) 30°
c) 18°
d ) 1 0 ° z x / i- i
e) 12°
13. En la figura, calcular ei valor de x.
a) 30° / 0 \ 3
b) 45°
c) 37°
d) 60°
e) 53°
14. En la figura, calcular el valor de x.
a) 60°
d) 37°
b) 15°
e) 47°
c) 45°
15. En la figura, calcular el valor de x.
a) 15°
d) 16°
b) 25°
e) 30°
c ) 2 0 °
G eo m etría | 2 7
16. En la figura, calcular el valor de a .
a) 15°
b) 14°
c) 12°
d) 10°
e) 18°
17. En la figura, calcular el valor de x.
a) 26°
b) 14°
c) 20°
d) 10°
e) 30°
18. En un triángulo A B C . el ángulo A mide el do­
ble del ángulo C . la bisectriz exterior trazada 
de A interseca la altura trazada de B en el 
punto D, calcular CD , si BD = 6.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 5
19. En la figura, calcular BD.
b) 5
c) 4 D
d) 7
E )8 —
20. En la figura, calcular el valor de x.
a) 30°
b) 37°
c) 53°
d) 45°
e) 60°
1. a 5. b 9. b 13. c 17. e
2. a 6. d 10. e 14. c 18. a
3. d 7. c 11. c 15. e 19. a
4. b 8. c 12. b 16. d 20. d
POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS
POLÍGONOS
E s ia figura geométrica cerrada, que se forma al 
unir consecutivamente tres o más punto no coli- 
neales, mediante segmentos; de tal modo que di­
cha figura limite una región del plano.
Elem entos:
Vértices: A, B, C , D, E ,. .. y P
Lados: AB , B C , CD , D E y PA
Notación:
Polígono A B C D E ...P
Ángulos determinados
Medidas de los ángulos interiores:
a , . a 2, ots. «4 y cx5 
Medida de los ángulos exteriores:
0 ,, 6 ,. ü3, 04 y 05
LÍNEAS ASOCIADAS AL POLÍGONO
Diagonal. E s el segmento cuyos extremos son dos
vértices no consecutivos.
Para el polígono A B C D EF , mostrado en el gráfico;
A C es una diagonal.
D iagonal m edia. E s el segmento cuyos extremos
son ¡os puntos medios de dos lados.
Pa ra el polígono A B C D E F , mostrado en el grá­
fico; si: M y N son puntos medios de A F y ED ,
respectivam ente, entonces MN es una diagonal
media.
CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS
Por la región que limitan
Polígono convexo. E s aquel polígono que
limita una región convexa.
El polígono A B C D E F G limita una reglón con­
vexa, entonces el polígono se denomina con­
vexo.
Polígono no convexo o cóncavo. E s aquel
polígono que limita una región no convexa.
El polígono A B C D EF G H ¡Imita una región no 
convexa, entonces ei polígono se denomina
no convexo.
Por ¡as medidas de su s elem entos (iados y án­
gulos)
Polígono equiángulo. E s aquel polígono
cuyos ángulos internos son de igual medida;
dicho polígono siempre es convexo. Adem ás
su s ángulos externos son de igual medida.
G eo m etría | 2 9
El polígono A B C D E F es equiángulo,
a : medida de sus ángulos interiores
O: medida de sus ángulos exteriores
Polígono equilátero. E s aquel polígono cu­
yos lados son de igual longitud; dicho polígo­
no puede ser convexo o no convexo.
E a D 
polígono convexo polígono no convexoo cóncavo
Los polígonos A B C D E y MNLTQ son equilá­
teros.
Polígono regular. E s aquel polígono equián­
gulo y equilátero a ia vez.
E l polígono A B C D E F es regular.
O: centro del polígono regular (punto de con­
currencia de las mediatrices de los lados)
ÁNGULO CENTRAL
En un polígono regular, se define el ángulo central,
como aquel ángulo cuyo vértice es el centro del 
polígono y cuyos lados contiene a los extremos de
un lado de dicho polígono
En el gráfico, Z A O B : ángulo central.
PROPIEDADES
1. En todo polígono de n lados:
N.° ángulos
N. vértices = N, lados = = ninternos
2. Sum a de las m edidas de los ángulos inter­
nos (S ¡):
E l polígono es convexo de n lados.
S| = a-¡ + a 2 + ... + a n = 180°(n - 2)
También se cumple en polígonos no con­
vexos.
3. Sum a de las medidas de los ángulos externos
de un polígono convexo tomado uno por vérti­
ce (S e):
Se muestra un polígono convexo de n lados.
Se = 360°
4. Número de diagonales de un polígono:
Número de diagonales trazadas desde un 
vértice:
V ,
S e muestra un polígono de n lados.
N .‘ diagonales de 1 vértice '
• Número total de diagonales. En todo polí­
gono de n lados:
N .‘ total de diagonales '
n(n - 3)
5. Número de diagonales medias de un polígono:
3 0 | C o lecció n E l Po stu la n te ---------------------------
Se tiene un polígono de n lados.
Sean : M-,, M2, M3 Mn los puntos medios de
los lados del polígono:
N- diagonales medias de 1 punto medio = n — 1
Número total de diagonales medias en 
todo polígono de n lados:
N o _ n (n — 1)
l '1- total de diagonales m edias ~ «
6. Medida de un ángulo interior en polígonos 
equiángulos:
Se muestra un polígono equiángulo de n lados. 
0: medida de un ángulo interior.
A 180°(n - 2)0 2= --------------
n
7. Medida de un ángulo exterior en polígonos 
equiángulos:
Se muestra un polígono equiángulo de n lados, 
a : medida de un ángulo exterior.
' a = 360°
CUADRILÁTEROS
E s aquel polígono de cuatro lados. Puede ser con­
vexo o no convexo.
¿3ABCD : convexo
• Lados opuestos: AB y CD . BC y AD
Ángulos opuestos: BAD y BCD , A B C y ADC
Diagonales: AC y BD
Sum a de medidas de ángulos interiores.
a + p + e + S = 360°
Diagonales: A C y BD.
CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS CONVEXOS
Los cuadriláteros convexos se clasifican según el 
paralelismo de sus lados opuestos en:
TRAPEZOIDE
E s aquel cuadrilátero convexo que no presenta la­
dos opuestos paralelos.
Un trapezoide puede ser simétrico (trapezoide don­
de una de las diagonales es parte de la mediatriz 
de la otra diagonal) o asimétrico (trapezoide que 
no cumple la condición del trapezoide simétrico).
L3ABCD: trapezoide simétrico
Entonces: A C es parte de la mediatriz de BD.
G eo m etría | 3 1
También, se cumple que A C es eje de simetría del 
trapezoide.
Z1ABCD: trapezoide asimétrico
Si: BC //AD, A B H CD
Entonces ZZABCD es un trapecio.
• B a s e s :B C y A D 
Laterales: AB y CD 
Altura: BH 
Base media: MN
CLASIFICACIÓN DE TRAPECIOS
Los trapecios se clasifican de acuerdo a la longitud 
de sus lados laterales en:
Trapecio escaleno. E s aquel trapecio cuyos lados 
laterales tienen diferente longitud.
SI: BC / / A D y A B ^ C D 
=> ZZABCD: trapecio escaleno 
B _ C
= Q A B C : trapecio rectángulo (recto en A y B). 
También es un trapecio escaleno.
Trapecio isó sceles. E s aquel trapecio cuyos lados 
laterales son de igual longitud.
Si: BC //AD y AB = CD 
=■ Z3ABCD: trapecio Isósceles
Se cumple:
ym ZBAD = m ZCDA AC = BD
PROPIEDADES
En todo trapecio, la base media es paralela a 
sus bases y su longitud es Igual a la sem isu­
ma de las longitudes de sus bases.
En la fiqura, MN es la base media del trapecio 
ABCD.
Se cumple: 
También:
MN // BC
a + b
m ZA BC = m ZBAD = 90°
O A B C D : trapecio rectángulo
Si: M es punto medio de BC y MN 1A D
Se cumple:
a + b 
2X l
i =>
TRAPECIO
E s aquel cuadrilátero convexo que solo tiene un 
par de lados opuestos paralelos.
3 2 | C olecció n E l Po stu la n te
En todo trapecio, el segmento que une los 
puntos medios de sus diagonales esparalelo 
a sus bases y su longitud es igual a la semidl- 
ferencia de las longitudes de dichas bases.
BC // AD, P y Q son los puntos medios de AC 
y BD , respectivamente. Se cumple:
PQ // BC
M es un punto medio de A C y MH 1 BD. 
S e cumple:
Se cumple:
cIIE
d = a - b
PARALELOGRAMO
E s aquel cuadrilátero convexo que tiene sus dos 
pares de lados opuestos paralelos.
Be b
Si: AB // CD y B C //A D 
=> Z7ABCD: paralelogramo
PROPIEDADES
AB = CD BC = AD
m ZBAD = m ZB C D
m Z A B C = m ZA D C
AO = OC BO = OD
CLASIFICACIÓN DE PARALELOGRAMOS
Romboide, E s aquel paralelogramo que tiene los 
lados consecutivos de diferente longitud y sus án­
gulos interiores tienen medidas distintas de 90°. 
No es equilátero ni equiángulo.
¿7A BCD : romboide
Rombo. E s aquel paralelogramo que tiene sus la­
dos de igual longitud y sus ángulos interiores tie­
nen medidas distintas de 90°. E s equilátero y no 
equiángulo.
Z7ABCD: rombo
C
Rectángulo. E s aquel paralelogramo que tiene 
sus lados consecutivos de diferente longitud y 
las medidas de sus ángulos son iguales a 90°. E s 
equiángulo y no equilátero.
C
| EZ1ABCD: rectángulo
a
1 
D
Cuadrado. E s aquel paralelogramo que tiene sus 
lados de igual longitud y las medidas de sus ángu­
los igual a 90°. E s equilátero y equiángulo, es decir 
que el cuadrado es un polígono regular.
□ A BC D : cuadrado 
O: centro del cuadrado.
G eo m etría | 3 3
Teorema:
E s un cuadrilátero convexo o no convexo, el cua­
drilátero que tiene por vértices a ios puntos medios 
de sus lados es un paralelogramo.
M, N, L y P: puntos medios de AB , B C , CD y AD, 
respectivamente.
S e cumple: Z7M NLP: paralelogramo
EJERCICIOS RESUELTOS
1. El número de diagonales de un polígono 
es igual a doce veces su número de lados. 
¿Cuántos lados tiene el polígono?
R esoluc ión :
Nd = 12n => _ i 2 n n = 27
2. La diferencia entre el número de diagonales y 
el número de ángulos rectos que contiene la 
suma de las medidas de los ángulos interiores 
de un polígono es igual a 13. Hallar el número 
de lados.
R esoluc ión :
Nq ~ N. Z rectos — 13 
n(n - 3) 1 8 0 " (n - 2 )
90”
= 13
En un polígono, el número de diagonales más 
el número de triángulos que se forman al unir 
un vértice con los otros vértices m ás el núme­
ro de ángulos rectos que contiene la suma de 
las medidas de sus ángulos interiores es igual 
a 14. Encontrar el número de lados.
= 14
■ triángulos "L N . ángulos rectos — 1 4
C , n - 2) + ~
4. Los números de lados de dos polígonos regu­
lares son dos números consecutivos. Calcu lar 
el número de lados del polígono de mayor án­
gulo exterior, si la diferencia de las medidas 
de sus ángulos exteriores es 12°.
R esoluc ión :
Sean : n y n + 1 el número de lados de los dos 
polígonos regulares.
Por dato: 360° 360° = 12 °
n n + 1 
Entonces los polígonos tienen 5 y 6 lados.
E l polígono que tiene el menor número de la­
dos tendrá el mayor ángulo exterior.
5 lados
5. Hallar el número de lados de un polígono regu­
lar, si la medida de su ángulo interior es igual al 
triple de la medida de su ángulo central.
R esoluc ión :
m z i = 3 m _e
180°(n - 2)
3 x 360°
6 . C alcu lar la base mayor de un trapecio, los 
lados no paralelos miden 5 y 7, las bisectri­
ces interiores de los ángulos adyacentes a la 
base menor se cortan en un punto de la base 
mayor.
R esoluc ión :
Usando ángulos alternos internos: 
m ZAM B = m ZM BC = a 
m ZDM C = m ZM CB = 6
El AA BM es isósceles: AM = AB = 5 
El AM C D es isósceles: DM = DC = 7 
x = 12
En un cuadrilátero convexo A B C D , A B = 6, 
C D = 10 . Hallar el perímetro del cuadrilátero 
que se forma a! unir los puntos medios de BC , 
Á C , B D y Á D .
| C o lecció n E i Po stu la n te
Resofución:
Usando el principio de la base media de un 
triángulo:
En el A A B C : MN = - = 3 2
En el A A B D : PQ = f = 3 
2
En el A B C D : M Q t | = 5
En el A A C D : NP = y = 5
perímetro del AlM NPQ = 16
En un rombo A BC D cuyo lado mide 12, se
toma el punto medio M del lado BC , por el 
punto medio de BM se traza una recta para- 
lela al lado A B que corta a BD en P y a AM en
Q. Hallar PQ.
R esolución :
Usando el principio de la base media de un 
triángulo nos damos cuenta que P y Q son los 
puntos medios de BO yAM .
En el trapecio ABMO; PQ = ^ ...(1 )
En el A A B C : MO es su base media
MO = M = 6 
2
Reemplazando en (1):
PQ = l í L d i . PQ = 3 
2
[ " e j e r c ic io s p r o p u es t o s |
Calcu lar el número de lados de un polígono
convexo, si se sabe que: la suma de las medi­
das de sus ángulos internos es igual al séxtu­
plo de la suma de las medidas de sus ángulos
externos.
a) 13 . b) 14 c) 15
d) 12 e) 10
2. En la figura, A B C D E F es un hexágono regular,
calcular 9.
a) 90°
b) 105°
c) 120°
d) 150°
e) 144°
3. S e tienen dos polígonos convexos de modo
que el número de lados de uno es el doble
del otro. SI la diferencia entre sus números
de diagonales es 81, entonces el polígono de
menor lado se llama:
a) Hexágono b) Heptágono
c) Octógono d) Nonágono
e) Decágono
4. Calcu lar la suma de las medidas de los án­
gulos Internos de un polígono convexo, sí se
sabe que desde 3 vértices consecutivos de
dicho polígono se han trazado 14 diagonales.
a) 900 b) 1980 c) 1800
d) 1620 e) 1080
5. En la figura, calcular a + b, síx + y + z + w = 200°
a) 300°
b) 100°
c) 400°
d) 190°
e) 200°
6. En un polígono equiángulo A B C D E ..., se sabe
que el número total de diagonales es el triple
de su número de lados; BC = CD y AB = BD.
Calcu lar la m ZA D E.
a) 120° b) 80° c) 60°
d) 40° e) 90°
G eo m etría | 3 5
7. En la figura mostrada, calcular x,
a) 6
b) 7
c) 5
d) 5.5
e) 4,5
8. En la figura, calcular x.
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
9. En un trapecio Isósceles, la diagonal mide el 
doble de su mediana. Calcu lar la medida del 
ángulo formado por las diagonales.
a) 45° b) 60° c) 30°
d) 150° e) 90°
10. Las diagonales de un trapecio miden 10 y 12. 
Calcu lar el máximo valor entero que puede to­
mar la medida de su mediana.
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
11. En la figura, calcular x.
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8
12. En la figura, calcular x.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
13. En el romboide A B C D mostrado, calcular la 
distancia entre los puntos medios de A E y BF.
a) 1 c
b) 2
c) 3
d) 4
e) 6
14. En el
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 1
15. En la figura.
a) 4
b) 3
c) 6
d) 7
e) 5
16. En la figura, ca lcu lar x, si el pentágono es 
regular.
17. S e tiene un decágono regular A B C D E F ..., ha­
llar la medida del menor ángulo que forman 
las prolongaciones de A B y ED .
a) 72° 
d) 18°
b) 36° 
e) 9°
c) 54°
¿Cuál es el polígono cuyo número de diago­
nales es el doble del número de diagonales de 
otro polígono que tiene tres lados menos?
a) Pentágono 
c) Icoságono 
e) Dodecágono
b) Nonágono 
d) Decágono
19. En un polígono regular A B C D E F ... de n la­
dos; la m Z A C E = 135°. Calcu lar su número 
de lados.
a) 8 
d) 32
b) 16 
e) 30
c) 24
20. En un polígono regular A B C D E las me-
dlatrices de AB y D E se cortan formando un 
ángulo de 135°. Calcu lar el número total de 
diagonales del polígono.
a) 10° 
d) 30°
b) 20°
e) 35°
c ) 2 5 °
calcular x.
trapecio A B C D mostrado, calcular x.
3 6 | C o lecció n E l Po stu la n te
21. En un polígono equiángulo desde (n - 5) 
vértices consecutivos se trazan (n + 6) dia­
gonales. C alcu lar Ja medida de un ángulo 
interior.
a) 135° b) 140° c) 108°
d) 60° e) 120°
22. Sí el octógono mostrado es regular, calcular 0
a) 60°
b) 75°
c) 53°
d) 70°
e) 85°
23. En la figura mostrada, si A B C D es un trapecio; 
calcular MN
a) 7
b) 6
c) 5
d) 4
e) 3
m 1. b 6. e 11. b 16. d 21. a
iii 2. c 7. b 12. c 17. a 22. b
>
<í 3. c 8. a 13. c 18. e 23. d
j 4. e 9. b 14. c 19. b
u 5. e 10. d 15. d 20. b y
CIRCUNFERENCIA
E s el conjunto de todos los puntos de un plano que 
equidistan de otro punto, de dicho plano, deno­
minado centro. A la distancia constante de estos 
puntos al centro se denomina radio de la circun­
ferencia.
Una circunferenciadetermina en su plano corres­
pondiente dos conjuntos de puntos, denominados 
interior y exterior a la circunferencia.
Si: IO < R => I es un punto interior a la circunfe­
rencia.
Si: EO > R => E es un punto exterior a la cir­
cunferencia.
S i: OP = R => P es un punto de la circunferen­
cia.
LÍNEAS ASOCIADAS A LA CIRCUNFERENCIA
S e tiene la circunferencia de centro O y radio R .
Cuerda: CD 
Diámetro: AB 
Flecha o sagíta . E F 
Recta secante: PQ
Recta tangente: LT (T: punto de tangencia) 
Recta normal: L N
Arco: es una porción cualquiera de la circun­
ferencia determinada por dos puntos de la 
misma, denominados extremos demarco, en la 
figura, por ejemplo: el arco PQ : PQ
cV lata: .........................................................................................................................................................
; • E l círculo es la porción del plano que
comprende la circunferencia y su inte­
rior. Ei perímetro del círculo es igual a la 
j longitud de la circunferencia, entonces
se cumple:
Lc = 2nr
| Lc: longitud de la circunferencia
r: radio de la circunferencia
í • La medida angular de una circunferen­
cia es igual a 360°
Ángulo inscrito
ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA 
Ángulo central
-LAOB: ángulo central
3 8 j C o lecció n E l P o stu la n te
Ángulo exinscrito
¿ B P Q : ángulo
exinscrito
* = !
Ángulo interior
Z A P B : ángulo interior
1 / p \ V a + p X " 2 MT
' A V y N \
- A P B : ángulo exterior
Z A P B : ángulo exterior
x + p = 180°además
PROPIEDADES
La recta tangente a una circunferencia es 
perpendicular al radio trazado en el punto de 
tangencia.
Lt : recta tangente a la cir­
cunferencia en T.
O T 1 LT
Todo diámetro perpendicular a una cuerda bi­
seca a dicha cuerda y a los arcos que subtiende.
MN: diámetro, 
si MN 1 A B
0 , ----------- - A
m\P
1 r H i\ r ' ® J
V " 1?
AH = HB
m AM = mMB mAN = mNB
En una misma circunferencia o circunferen­
cias congruentes; si dos arcos son de igual 
medida sus cuerdas correspondientes son de 
igual longitud; adem ás dichas cuerdas equi­
distan del centro
Si: m AB = m CD
A B = CD
adem ás: OM = OH
En una circunferencia los arcos comprendidos 
entre dos cuerdas paralelas son de igual me­
dida.
También, si: LT //A B m A T = m TB
G eo m etría | 3 9
Los segmentos tangentes a una circunferen­
cia trazados desde un punto exterior, son de 
igual longitud.
PA y PB son tangentes a la circunferencia. 
PA = PB
adem ás: PO bisectriz del Z A P B
POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFEREN­
CIAS COPLANARIOS
Circunferencias exteriores. Son aquellas 
cuya distancia entre los centros es mayor que 
la suma de los radios.
Circunferencias tangentes exte rio re s . Son 
aquellas cuya distancia entre los centros es 
igual a la suma de los radios.
T: punto de tangencia entre las circunferencias.
• Circunferencias secantes. Son aquellas cuya 
distancia entre los centros es menor que la 
suma de los radios y mayor que su diferencia.
R - r < d < R + r
AB : cuerda común a 
las dos circun­
ferencias.
R 2 + r2
L ,: recta tangente a la circunferencia de cen­
tro 0 2
L2: recta tangente a la circunferencia de cen­
tro O ,.
Circunferencias tangentes interiores. Son
aquellas cuya distancia entre los centros es 
igual a la diferencia de los radios.
d = R - r
T: punto de tangencia entre las circunferencias.
Circunferencias interiores. Son aquellas 
cuya distancia entre los centros es menor que 
la distancia de los radios.
d < R - r
Circunferencias concéntricas. Son aquellas 
cuya distancia entre los centros es cero; es 
decir tienen el mismo centro.
L = 2 -IR2 - r2
A B : cuerda de la circunferencia de radio R 
tangente a la circunferencia de radio r.
Observación:
Circunferencias ortogonales
4 0 I C o lecció n E l P o stu la n te
CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA
E s aquel cuadrilátero cuyos vértices pertenecen a 
una misma circunferencia.
CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE EN UNA CIRCUN­
FERENCIA
E s aquel cuadrilátero convexo que puede ins­
cribirse en una circunferencia; es decir, que sus 
vértices pueden ser ubicados en una misma cir­
cunferencia.
A, B, C y D: son puntos de la circunferencia; entonces:
cOABCD: inscrito en la circunferencia
PROPIEDADES
En el cuadrilátero inscrito sus ángulos interio­
res opuestos son suplementarios.
S i: A , B , C y D pueden ser ubicados en una circun­
ferencia.
¿3ABCD : inscriptible
¿3ABCD : inscrito e + p = 180°
si: a es la medida del ángulo exterior de vérti­
ce C.
Se cumple: 0 = a
En todo cuadrilátero inscrito; sus diagonales 
determinan con los lados opuestos ángulos 
de igual medida.
Se tienen dos cir­
cunferencias secan­
tes en A y B.
CONDICION PARA QUE UN CUADRILATERO SEA 
INSCRIPTIBLE
Primer caso . Todo cuadrilátero convexo cuyos 
ángulos interiores opuestos son sup lem enta­
rios, e s inscriptib le.
S i: a + p = 180° 
S i: a = 0
¿3ABCD : inscriptible
¿3ABCD : inscriptible
Segundo caso . Todo cuadrilátero convexo cuyas 
diagonales determinan con dos lados opuestos án­
gulos de igual medida, e s inscriptible.
S i: a = 0
O A B C D : inscriptible
circunferencia 
circunstricas al 
¿3ABCD
G eo m etría | 4 1
EJERCICIOS RESUELTOS
1. E l punto O es el centro de la circunferencia 
exinscrita relativa al lado BC de un triángu­
lo A B C , los segmentos BO y CO cortan a la 
circunferencia en los puntos D y E , sobre el 
mayor arco D E se toma un punto F. Hallar 
m ZB A C , si m ZB A C = m ZD FE .
R esolución:
m ZO = m DE = 2x (ángulo inscrito)
El centro O es el excentro del A A B C , luego 
BO y CO son bisectrices exteriores:
m ZO = 90” - =. 2x = 90” - #
2 2
x = 36°
2. Calcular m BD , si: A B s A E = ED , m ZC = 20°
R esolución:
=> 40° = a — <(>
Pero: 360° = 3a + 4> (longitud de la circunferencia) 
Sumando: a = 100°
Luego: 40° = 100° — 4> <|> = 60°
3. Calcu lar x, si: mOA = 40°, los puntos O y O t 
son centros.
R esoluc ión :
En el t\OAD: nrZO_= 90° - 20° = 70° 
m ZO = 70° => mCD = 70° (ángulo central)
x _ fngD (gngU|0 inscrito)
.-. x = 35
4. Un pentágono A B C D E se encuentra c ir­
cu n scrito a una c irc u n fe re n c ia , de modo 
que A B + CD + A E = 11 ,B C + D E = 5 .Hallarla 
longitud de la tangente que parte del vértice A.
R esolución:
En la figura, hacemos la congruencia de las 
tangentes, del dato:
AB + CD + A E = 11
x + m + n + f + q + x = 11 .. . (1 )
BC + D E = 5
m + n + f + q = 5 ■■■(2)
Reemplazando (2) en (1): 
x = 3
4 2 | C olecció n E l P o stu la n te
Calcu lar x, si:
mAB = 60°, m AE = 70°, m ZD = 20°
R esolución :
2 0 ° = 70° - m BC (ángulo exterior)
=5 m BC = 30°
Pero: 70° + 60° + m BC + m EC = 360° 
=» m EC = 200° 
m EC - mAB
x = 200° - 60°
(ángulo exterior) 
x = 70°
[ " e j e r c ic io s p r o p u es t o s T |
1. En la figura, calcular a + p
a) 360°
b) 450°
c) 540°
d) 270°
e) 180°
2. En la figura, calcular x
a) 10°
b) 12°
c) 15°
d) 18°
e) 10"
Calcu lar x
a) 3a - 2b
b) 2b - a
c) 2a - b
d) a - b
e) a - b
4. En la figura, calcular el perímetro del triángulo 
sombreado.
a) 12
b) 6
c) 9
d) 18
e) 15
5. Calcu lar el
a) 22
b) 30
c) 28
d) 26
e) 23
6. En la figura, calcular x, si: O es centro.
a) 2
b) 3
c) 6
d) 4
e) 1
7. Calcu lar R
a) 4
b) 5
c) 7
d) 6
e) 3
8. Calcu lar x.
a) 55°
b) 60°
c) 65°
d) 75°
e) 45°
9. En la figura, calcular x.
a) 45°
b) 37°
c) 30°
d) 60°
e) 53°
perímetro del trapecio ABCD .
G eo m etría ¡ 4 3
10. En la figura, calcular AB , si: CO 
son centros.
a) 4
b) 8
c) 2
d) 12
e) 6
11. Calcu lar R.
a) 1
b) 2,5
c) 1,5
d) 2
e) 3,5
4; O y O
12. En la figura, ¿cuánto mide el ¡nradio del trián­
gulo A B C ? . S i: AO = 4 y O es centro.
a) 1 
d) 4
c) 3
e) 5
á X \40°1
n U : 20.
A o D
13. En la figura, calcular x, si: O es centro.
a) 80°
b) 40°
c) 45°
d) 55°
e) 60°
14. En la figura mostrada, calcular a
a) 60
b) 53
c) 37
d) 45
e) 74
15. En la figura mostrada, calcular x.
a) 1
b ) 2 y f 4
c) 3
d) V2
e) V3
16. En la figura,
a) 37°
b) 53°
c) 45°
d) 60°
e) 30°
17. En la figura,
a)130°
b) 140°
c) 120°
d) 110°
e) 150°
18. En la figura, calcular x.
19.
d) 90° e) 60°
En la figura.
a) 125°
b) 150°
c) 135°
d) 140°
e) 145°
En la figura, calcular x.
a) 130° 
d) 110°
b) 140° 
e) 150°
c) 120°
1. d 5. d 9. e 13. d 17. b
2. c 6. b 10. b 14. e 18. c
3. e 7. a 11. d 15. b 19. e
4. b 8. c 12. b 16. d 20. b
calcular x, si: O es centro.
calcular x.
calcular x.
4 4 ¡ C olección E l Postulante
¡ " e j e r c ic io s PROPUESTOS 2 ~¡
1. Calcu lar 0, 
tangencia.
a) 15°
b) 20°
c) 22°
d) 30°
e) 36°
2. En el gráfico, los puntos P, Q, R y L son puntos 
de tangencia. Calcu lar el valor de x.
a) 45°
b) 53°
c) 60°
d) 37°
e) 75°
3. De la figura, calcular el valor de x, si A, B, C y 
D son puntos de tangencia.
a) 50°
b) 40°
c) 45°
d) 30°
e) 60°
4. De la figura,
a) 30°
b) 60°
c) 15°
d) 45°
e) 53°
5. Del gráfico mostrado, ca lcu la ra .
a) 100°
b) 105°
c) 120°
d) 135°
e) 150° O
6. En el gráfico, B es punto de tangencia. C alcu­
lar x, si: m HE = 40°, AO = OB.
a) 20°
b ) 1 0 °
c) 5°
d) 15°
e) 25°
si A, B, C . D y E son puntos de
7. En una circunferencia se trazan las cuerdas 
perpendiculares A B y CD ; BC = 8. Calcular la 
distancia del centro a AD.
a) 8 
d) 6
b) 4
e) 2
c) 5
8. S i A B C D es un cuadrado, calcular la m A F E .
a) 45°
b) 30°
c) 53°
d) 37°
e) 60°
9. Del gráfico, calcular R , si DE = 8.
a) 2 h ^
b) 2,5
c) 6
d) 4
e) 5 "A"
10. Si mAB = 40°, hallar m PQ .
a) 20°
b) 80°
c) 10°
d) 40°
e) 50°
11. En la figura mostrada, mAC 
Calcu lar x.
a y mBD
a) (a + b)/2 
c) (a + b)/4 
e) | ( a + b)
b) (a + b)/3
d ) ^ >
12. En la figura, R e s punto de tangencia, ED = DP 
y m EF = 100°. Calcu lar x.
a) 20°
b) 40°
c) 50°
d) 55°
e) 65°
G eo m etría | 4 5
13. En la figura, T y S son puntos de tangencia. 
Calcu lar x, si mDC = 80° y m DS = 40°.
a) 2 0 ’
b) 30°
c) 35°
d) 40°
e) 50°
14. Del gráfico, calcular x, siendo A y B puntos de 
tangencia y mCD = 120°.
a) 80°
b) 60°
c) 40°
d) 30°
e) 50°
15. S i J T es punto de tangencia, CD // AB, 
m LT = 30°, calcular x.
a) 75°
b) 60°
c) 45°
d) 70°
e) 80°
16. En una circunferencia de centro O se trazan el 
diámetro AB y la cuerda CD que se intersecan 
en P y 3 m A C = m BD. Calcular PC , s iA P = 2 y 
A B = 10.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 2,5 e) 6
17. En la figura, el triángulo A B C es equilátero, P y 
A son puntos de tangencia. Calcu lar la m AD .
a) 30°
b) 60°
c) 45°
d) 75°
e) 40°
18. En la figura, A B = 5; BC = 4; B E = 3. Calcular 
CD.
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
19. En un cuadrado A B C D , la circunferencia ins­
crita es tangente en M, L, F y Q a AB , BC , CD 
y AD, respectivamente. Se traza NC (N e M L), 
NC n LF = {P }, m NL = m P F . Calcu lar la me­
dida del ángulo determinado por LQ y NF.
a) 53° b) 60° c) 75 ’
d) 90° e) 45°
20. En el gráfico se tiene que: P, Q y S son puntos 
de tangencia y mMS + m NS = 110°. Calcular 
la m AB.
a) 55°
b) 65°
c) 75°
d) 85°
e) 70°
21. Si O es centro y la mAB = 100°, calcular x.
a) 45°
b) 50°
c) 55°
d) 60°
e) 65°
22. S i O es centro 
son puntos de
a) 100°
b) 120=
c) 135°
d) 105°
e) 160°
23. De la figura, calcular je l valor de x, si la 
m ZA CB = 113°, L-i, L2; L3 y L4 son rectas tan­
gentes (A, B y D son puntos de tangencia).
a) 20°
b) 21°
c) 22°
d) 23°
e) 24°
24. S i P y Q son puntos de tangencia, calcular x.
a) 45°
b) 60°
c) 75° c
d) 63°
e) 67,5°
de la semicircunferencia; M y N 
tangencia, ca lcu la ra .
4 6 | C olecció n E l Po stu la n te
25. Si la mPQ = 70°. calcular la m AB.
a) 55°
b) 60°
c) 70°
d) 75°
e) 40 “
26. S i M y N son puntos de tangencia y 
m EM P = 160°, calcular x.
a) 80°
b) 100°
c) 120°
d) 130°
e) 110°
27. Si AB es diámetro, mCD = 90°: A P = 3; 
PQ = 5, calcular QB.
A P
a) 3 b) 4 c) 5
d )3 / 2 e) 412
28. Calcu lar x, si P
a) 40°
b) 50°
c) 100°
d) 8°
e) 90°
29. De la figura, calcular el valor de x.
a) 80°
b) 160°
c) 100°
d) 120°
e) 140°
30. De la figura calcular x, si O es centro.
a) 100°
b) 120°
c) 140°
d) 150°
e) 160°
tn
u
1. e 7, b 13. d 19. c 25. c
2. c 8. d 14. b 20. e 26. a
> 3. b 9. d 15. a 21. c 27. b
< 4. d 10. d 16. a 22. d 28. c
u 5. c 11. c 17. b 23. b 29. c
6. a 12. e 18. e 24. b 30. c
y
y Q son puntos de tangencia.
PUNTOS NOTABLES ASOCIADOS AL TRIÁNGULO
BARICENTRO
E s el punto de concurrencia de las medianas res­
pecto a un triángulo. El baricentro o centro de gra­
vedad de una región triangular divide a una media­
na en la razón de 2 a 1 (midiendo desde el vértice)
G : baricentro de ¡a región triangular A BC 
Propiedades:
AG = 2GN ; BG = 2GL ; C G = 2GM
ORTOCENTRO
E s el punto de concurrencia de las alturas o sus 
prolongaciones en un triangulo.
La posición del ortocentro respecto al triángulo de­
pende de la naturaleza del triángulo.
A A B C : acutángulo 
H: ortocentro del A A B C
A A BC : rectángulo, recto en B 
B: ortocentro del LA B C
A A B C : obtusángulo, 
obtuso en B 
C H: ortocentro del A A B C
INCENTRO
E s el punto de concurrencia de las bisectrices de 
los ángulos interiores de un triángulo. El incentro 
del triángulo, equidista de sus lados, por lo tanto, 
es el centro de la circunferencia inscrita en dicho 
triángulo a cuyo radio se le denomina inradio del 
triángulo.
I : incentro del A A B C ; r : inradio del A A BC 
P, L y T: puntos de tangencia
Propiedades:
m ZA IC - 90° + m- A B C n = p - a
2
p: semlperímetro de la región triangular A BC . 
EXCENTRO
E s el punto de concurrencia de las bisectrices de 
dos ángulos exteriores y la bisectriz de un ángulo 
interior en un triángulo.
El excentro del triángulo equidista de sus lados, 
por lo tanto, es el centro de la circunferencia exins­
crita a dicho triángulo, a cuyo radio se le denomina 
exradio del triángulo.
Todo triángulo tiene tres excentros, tres circunfe­
rencias exinscritas y tres exradios; cada uno relati­
vo a un lado del triángulo.
Circunferencia exinscrita ai A A B C relativo a BC
E a: excentro del A A B C relativo a BC 
R a: exradio del A A B C relativo a BC 
M, L y T: puntos de tangencia
4 8 | C o lecció n E l Po stu la n te
Propiedades:
m Z A EaC =
m Z B E aC - 90° m- BAC m = p
p: semiperímetro de la región triangular A B C 
CIRCUNCENTRO
E s el punto de concurrencia de ias mediatrices de 
los lados de un triángulo.
El circuncentro del triángulo equidista de los vérti­
ces, por lo tanto, es el centro de la circunferencia 
circunscrita al triángulo, a cuyo radio se le denomi­
na circunradio del triángulo.
La posición del circuncentro respecto al triángulo, 
depende de la naturaleza del triángulo.
A A B C : acutánguio.
O: circuncentro del A A B C 
R : circunradio del A A B C
Circunferencia circunscrlla al [AABC
A A B C : rectángulo, recto en B. 
O: circuncentro del AA BC 
R: circunradio del AA BC
A A B C : obtusángulo, obtuso en B.
O: circuncentro de! A A B C 
R : circunradio del A A B C
TRIÁNGULOS ESPECIALES
• Triángulo mediano o complementarlo. E s
aquel triángulo que se determina al unir los 
puntos medios de los lados de un triángulo 
dado.
M, N y L: puntos medios de A B , BC y A C , res­
pectivamente.
AM N L: triángulo mediano o complementario 
del A A B C .
Propiedades:
El baricentro de un triángulo es el baricen­
tro de su triángulo mediano 
El circuncentro de un triángulo es el orto- 
centro de su triángulo mediano.
Triángulo órtico o peda!. E s aquel triángulo 
que se determina al unir los pies de las alturas 
de un triángulo. Solo tienen triángulo órtico los 
triángulos oblicuángulos.
B
G eo m etría | 4 9
A A B C : acutángulo; P, Q y R : pies de las altu­
ras del A A B C .
A P Q R : triángulo ortico o pedal del A A B C .
Propiedades:
• E l ortocentro de un triángulo acutángulo 
es el ¡ncentro de su triángulo órtico.
Los vértices de un triángulo acutángulo 
son los excentros de su triángulo órtico.
RECTA DE EULER
En todo triángulo no equilátero, el ortocentro, bari­
centro y circuncentro son colineales y la recta que 
los contiene es denominada “recta de Eu ler”.
H, G y O son el ortocentro, baricentro y circuncen­
tro del A A BC , respectivamente.
L: recta de Euler del A A B C
Propiedades:
En todo triángulo se cumple que la distancia 
de un vértice al ortocentro es el doble de la 
distancia del circuncentro al lado opuesto a 
dicho vértice. En la figura, se cumple:
BH = 20M AH = 20N
En todo triángulo se cumple que la distancia 
del ortocentro al baricentro es igual al doble 
de la distancia del baricentro al circuncentro. 
En la figura, se cumple:
HG = 2GO
TEOREMA DE PONCELET
En todo triángulo rectángulo se cumple que la 
sum a de las longitudes de sus catetos es igual a la 
suma de la longitud de su hipotenusa y el doble del 
inradlo de dicho triángulo.
=> a + c = b + 2r => a + c - b
2
TEOREMA DE PITOT
En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferen­
cia, la suma de las longitudes de sus lados opues­
tos son iguales.
ZCABCD: circunscrito a la circunferencia
.-. a + c = b + d
TEOREMA DE STEINER
En todo cuadrilátero exlnscrito, la diferencia de las 
longitudes de sus lados opuestos son iguales.
Z>ABCD: exlnscrito a la circunferencia 
a - c = b - d
EJERCICIOS RESUELTOS
1. En un triángulo A B C , por su incentro se traza 
una recta paralela al lado A C que corta a los 
lados A B y BC en los puntos M yN . Hallar MN, 
si: AM = 5 y NC = 4
5 0 | C olecció n E l Po stu la n te
R esolución :
M Ñ //ÁC
Como I es ¡ncentro, IA, IC son bisectrices.
Por ángulos alternos internos:
mZAlM = rnZIAC = a 
m ZClN = m ZICA = p 
AAMI isósce les: AM = MI = 5 
A IN C isósce les: IN = NC = 4 
MN = 9
En el triángulo acutángulo A B C , los puntos L y 
O son su ortocentro y circuncentro. Calcu lar la 
medida del ángulo A B C . si: m ZA LC = m ZAO C
R esoluc ión :
3.
L: ortocentro; O: circuncentro 
Sabem os que: m ZA LC = 180° - x 
m ZAO C = 2x 
Del dato: m ZA LC = m ZAOC
180° - x = 2x 
x = 60°
El ángulo B de un triángulo acutángulo A BC 
mide 80°, por su circuncentro O se trazan per­
pendiculares a los segmentos OA y OC que 
cortan al lado AC en M y N. Hallar la medida 
del ángulo MON.
R esolución :
O: circunce 
Sabem os:
o
AOC : 2 m ZA BC = 160°
Como: m ZNO C = 90° = mZAON = 70° 
Luego: 70° + x = 90° 
x = 20°
La altura BH de un triángulo acutángulo A BC 
mide 12, la recta que pasa por el_ortocentro y 
el baricentro es paralela al lado AC . Hallar el 
circunradio de dicho triángulo, si: A C = 16
Resolución :
L: ortocentro 
G: baricentro 
O: circuncentro 
R : circunradio
Sea:
OM = f, LG O //A C 
Por propiedad (recta de Euler) 
LB = 2fOM = — 2
BH = 3f => 12 = 3f f = 4 
t\OM C, por Pitágoras:
R 2 = 42 + 82 R = 4 /5
En un triángulo acutángulo A B C de clrcuncen- 
tro O, se trazan las alturas A E y CD , encontrar 
el ángulo formado por BO y D E.
R esoluc ión :
L: ortocentro 
O: circuncentro 
El A D E F es órtlco 
o pedal, entonces: 
m ZBAC = m ZD EB = p 
Adem ás:
m ZA BF = m ZO BC = a 
A A FB : a + p = 90°
=> x = a + p = 90° x = 90°
[ " e j e r c ic io s PROPUESTOSs _ ]
Encontrar el circunradio de un triángulo equi­
látero, si su inradio mide 4.
a) 4 
d) 12
b) 2 
e) 16
c) 8
En un triángulo Isósceles A B C (AB = B C ), su 
altura BH mide 9, el punto E es su excentro re­
lativo al lado BC . Hallar la distancia del punto 
E al lado BC .
G eo m etría | 51
a) 4,4 b) 18 c) 6
d) 9 e) 12
3. Por el excentro relativo al lado BC de un trián­
gulo A B C se traza una recta paralela al lado 
A C que corta al lado BC en E y al lado AB en 
F, hallar F E , si A F = 15 y E C = 9
a) 3 b) 4 c) 12
d) 8 e) 6
4. Por el excentro relativo al lado BC de un trián­
gulo A B C se traza una recta paralela_al lado 
A C que corta al lado BC en E , lado AB en F 
y a la prolongación de la bisectriz interior del 
ángulo C en M. Hallar MF, si A F = 15, E C = 9
a) 3 b) 4 c) 12
d) 8 e) 6
5. Hallar la medida del menor ángulo agudo de 
un triángulo rectángulo, si la distancia de su 
ortocentro a su circuncentro es igual a uno de 
los catetos.
a) 22°30' b) 15° c) 30°
d) 7°30’ e) 37°
6. En un triángulo equilátero cuyo lado mide 12, 
encontrar la distancia de su incentro a uno de 
sus excentros.
a) 6 b) 6 /3 c) 9 - I
d) 12/3 e) 8/3
7. Los puntos L, I, O son el ortocentro, el incen­
tro, el circuncentro de un triángulo acutángulo 
A B C . Hallar m ZA IC , si m ZA LC = m ZAO C
a) 90° b) 60° c) 120°
d) 80° e) 125°
8. El punto O es el circuncentro de un triángu­
lo acutángulo A B C , se traza la altura CH , de 
modo que O es un punto interior del triángulo 
BFIC ; luego sobre CH se toma un punto M de 
modo que:
m ZACH = a , m ZBAM = 90° - 2a . Hallar la 
medida del ángulo OMC.
a) 2a b) 3a c) 90" + - |
d) 90° + a e) 90” + - |
9. Calcu lar la medida de uno de los ángulos de 
un triángulo acutángulo, si la distancia de su 
ortocentro a uno de sus vértices es igual al 
lado opuesto.
a) 30° b) 45° c) 60°
d) 75° e) 90°
10. En un triángulo acutángulo A B C , la distancia 
de su ortocentro al vértice B es 3, la distancia 
de su baricentro a su circuncentro_es 2, la rec­
ta de Euler al cortarse con el lado A C forma un 
ángulo de 30°. Calcu lar la altura BH.
a) 7,5 b) 5 c) 6
d) 6,5 e) 5,5
11. En un triángulo acutángulo A B C , el ángulo 
que se forma al unir el circuncentro con ios 
vértices A y C es igual a la mitad de la medi­
da del ángulo que se forma al unir el excentro 
relativo al lado A C con los mismos vértices. 
Hallar la medida del ángulo B.
a) 58° " b) 30° c) 72°
d) 20° e) 15°
12. El ángulo B de un triángulo A B C mide 60°, el 
punto E es el excentro relativo al lado A C , se 
traza E F perpendicular al lado AC . Calcu lar 
AF, si AB = c, E F = d.
a ) d / 3 - c b) d - c c) 2d - c
d) c - d e) ^
in
w
z
1. c 4. a 7. c 10. a
i 2. d 5. c 8. d 11. dj
u 3. e 6. e 9. b 12. a ,/
SEMEJANZA DE SEGMENTOS
RAZON GEOMETRICA DE SEGMENTOS
E s ¡a comparación mediante ei cociente de ias lon­
gitudes de dos segmentos expresados en la misma 
unidad de medida.
El resultado de dicho cociente es e! valor de la ra­
zón geométrica.
Ejemplo:
I— 8 crn H b 12 cm
A B C D
Sean AB = 8 cm y CD = 12 cm; la razón geométrica
de A B y CD es ^ :
* CD
8 cm
12 cm 3
SEGMENTOS PROPORCIONALES
Son dos pares de segmentos que tienen el mismo 
valor de sus razones geométricas.
Ejemplo:
Sean AB = 8 cm. CD 
R S = 1 8 cm.
AB _ 8 cm _ 2 
CD 12cm 3
PQ = 1 2 cm 
R S 1 8 cm
12 cm. PQ = 12 cm y 
(razón geométrica de AB y CD)
(razón geométrica de PQ y R S )
Entonces, A B y CD son proporcionales a PQ y R S .
AB
CD
PQ
R S
DIVISION ARMONICA DE UN SEGMENTO
Dos puntos dividen armónicamente a un segm en­
to, si lo dividen internamente y externamente en la 
misma razón.
m- 
-b -
B Q
P divide internamente a A B y Q divide externamente 
a AB , si P y Q dividen armónicamente al segmento 
AB.
Se cumple, por definición:
AP
PB
AQ
BQ
es decir (reemplazando longitudes)
an = bm
De lo anterior, a los puntos P y Q se les denomina 
conjugados armónicos respecto a A y B.
Además; A, P, B, y Q forman una cuaterna armónica.
Se cumple: ABBC
MN
NQ
COROLARIO DEL TEOREMA DE TALES
Toda recta coplanaría a un triángulo y paralela 
a uno de su s lados, divide internamente o exter­
namente a los otros lados en segm entos propor­
cionales.
División Interna 
Si: L//ÁC
División externa 
Si: L //Á C
x = P
y q
TEOREMA DE TALES
Tres o m ás rectas paralelas determinan en dos 
rectas transversales o secantes a ellas, segm en­
tos proporcionales.
S i: L.( // L2 // L 3 y L4 , L5 transversales o secantes 
a dichas rectas.
G eo m etría | 5 3
TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
En todo triángulo, una bisectriz interior divide interna­
mente al lado ai cual es relativo en segmentos pro­
porcionales a los lados adyacentes a dicha bisectriz.
La bisectriz interior BD dei A A B C divide interna­
mente a AC .
• £ - ü l 
a ~ n
TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
En todo triángulo, una bisectriz exterior (tal que los 
lados adyacentes a dicha bisectriz son de longitu­
des diferentes) divide externamente ai lado al cual 
es relativa en segmentos proporcionales a ¡os lados 
adyacentes a dicha bisectriz.
La bisectrizexterior B E del A A B C (c > a) divide 
externamente a AC .
• £ - m
a _ n
TEOREMA DEL INCENTRO
En todo triángulo , el ¡ncentro divide internamente a 
una bisectriz interior en segmentos proporcionales 
a la suma de longitudes de los lados adyacentes a 
la bisectriz y la longitud del lado ai cual es relativa 
dicha bisectriz.
I (¡ncentro del A A B C ), divide internamente a la bi­
sectriz interior BD.
x _ a + c
y ~ b
TEOREMA DE MENELAO
Toda recta secante a un triángulo que divide inter­
namente a dos lados y externamente al tercero, 
determina en dichos lados segmentos, cumplién­
dose que el producto de ¡as iongitudes de tres de 
ellos sin extremo común es igual al producto de las 
longitudes de los otros tres.
La recta L secante a! triángulo A B C , divide interna­
mente a AB y BC y externamente a AC
amy = bnx
TEOREMA DE CEVA
En todo triángulo, tres cevianas interiores concu­
rrentes dividen internamente a cada lado en seg­
mentos; cumpliéndose que el producto de las ion­
gitudes de tres de ellos sin extremo común es igual 
al producto de las iongitudes de los otros tres.
Las cevianas interiores AQ , B R y C P concurrentes 
en M, dividen internamente a los lados del A A B C .
amx = bny
SEMEJANZA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS
Dos figuras geométricas que tienen igual forma y 
tamaños distintos se denominan semejantes.
5 4 | C o lecc ió n E l P o stu la n te
En dos figuras sem ejantes existe una correspon­
dencia biunívoca (correspondencia uno a uno) 
entre sus puntos, de modo que a los puntos que se 
corresponden se les denominan puntos homólogos 
y a los segmentos que se corresponden se les de­
nominan segmentos o líneas homologas.
En dos figuras sem ejantes sus líneas homologas 
son proporcionales.
Se muestran dos figuras geométricas sem ejantes.
A y A': puntos homólogos
A C y A'C': lados o líneas homologas
luego: ñ - m - 5 . - k
b ~~ n ~ r
k: constante de proporcionalidad o razón de sem e­
janza.
símbolo de sem ejanza (se lee: es semejante a)
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Son dos triángulos que tienen sus ángulos, res­
pectivamente, de igual medida y adem ás sus lados 
homólogos proporcionales.
Si: A A B C - A M N L 
S e cumple:
Las medidas de sus ángulos son, respectiva­
mente, iguales.
Su s lados homologos son proporcionales
E s decir:
J L = b = c = k 
m n l
CRITERIOS DE SEMEJANZA EN TRIANGULOS
Caso I. Dos triángulos son sem ejantes si tienen al 
menos dos ángulos respectivamente de igual me­
dida.
A C E G
Si: m ZB A C = m Z F E G y m ZA C B = m Z E G F
A A B C - A E F G
Caso II. Dos triángulos son sem ejantes si tienen 
un ángulo de igual medida y los lados que deter­
minan a dichos ángulos respectivam ente propor­
cionales.
i. = b _ k
L n
A A B C - A M N L
C aso III. Dos triángulos son sem ejantes si sus la­
dos son respectivamente proporcionales.
A A B C - AM N L
G eo m etría ] 5 5
PROPIEDADES
Una recta paralela a uno de los lados de un 
triángulo, determina un triángulo parcial se ­
mejante al triángulo dado.
SI: PQ //AC
A P B Q - A A BC
En todo triángulo acutángulo, el segmento 
que une los pies de dos alturas determina un 
triángulo parcial semejante al triángulo dado.
Si: A A B C acutángulo
A Q B P - A A B C
Sobre los lados de un triángulo A B C se toman 
los puntos D, E , F sobre A B , BC , A C de modo 
que el cuadrilátero A D E F sea un rombo. Fia- 
llar B E , si: AB = 6, BC = 7, AC = 8
R esoluc ión:
Al ser A D E F un rombo, 
sectriz, entonces:
6 = 8 
x 7 - x
su diagonal A E es b¡-
x = 3
En un triángulo A B C , la ceviana Interior A F pasa 
por el punto medio E de la bisectriz Interior BD. 
Calcu lar AB , si: B F = 3 y FC = 5
EJERCICIOS RESUELTOS
1. En un triángulo rectángulo A B C (m AB = 90°), 
el punto I e s su incentro, calcular Bl, si 
(A I)(C I) = 64, A C - 16.
Resolución:
GBMI es Isósceles: IM = —-Í2 
_ 2
Como Al es bisectriz: IN = IM = —(2
2
Sabem os que: m ZA IC = 90° + m^ -- = 135°
Trazam os CD 1 Al.
AC ID es Isósceles: ID = CD = - í 2
2
±12
G ANI - A AD C : —— = - 4 r x = 4
AC
Tracem os DJ // A F
En el A D B J : E F es su base media.
B F = F J = 3
En el A A B C : BD es bisectriz
* = ...(1)
8 DC
En el A A F C apliquemos Tales:
(3 _ AD <21
2 " DC
Igualemos (1) y (2): x - 12
4. Calcu lar E C , si: A B = 35, B E = 4, ED = 16. 
m ZBA C = m ZA C F
B
E
R esolución :
5 6 | C o lecció n E l Po stu la n te
R esolución :
Trazam os E J // AB
A J E C es isósceles: J E = E C = x
A JE D ~ A A BD : J L = ü x = 
35 20
28
Los lados A B y BC de un triángulo A B C miden 
8 y 12 cm, la distancia del vértice A a la bisec­
triz Interior del ángulo B es 3 cm, calcular la 
distancia del vértice C a dicha bisectriz.
R esolución:
B
ínAD B ~ t\C E B :
3 = _8_ 
x 12 
x = 4,5 cm
Por un punto F del lado BC del triángulo A B C 
se traza una recta paralela al lado A C que cor­
ta a la mediana BM en el punto J de modo que 
m ZBAC = m ZBM F. Calcu lar F J , si B J = 9 y 
JM = 4.
R esolución:
Prolongamos F J hasta L 
Usamos la propiedad: L J = J F = x
A L B J ~ A JF M : 4 = — /. x = 64 x
|2 ÜEJERCICIOS PROPUESTOS 1 |
S i: C P = 2PD : 5AQ = 3QD y A B = 85, calcular 
MN.
B c
a) 55
b) 45 /
c) 37
d) 40 o / r r
e) 35 Q
2 . En un triángulo A B C , de baricentro G , se ubica 
el punto T en BC tal que G T // A C . Si A B = 6, 
BC = 8 y A C = 7, calcular el perímetro del 
romboide M GTC.
a) 9 
d) 12
b) 10
e) 13
c) 11
4.
En un triángulo A B C se traza la bisectriz inte­
rior BD y la bisectriz D E del ángulo BDC . Si A E 
intersecta a BD en M, calcular MD, si: A B = 16, 
B E = 4 y AD = 12.
a) 1,2 b) 1,4 c) 1,6
d) 2,4 e) 2,8
En un triángulo A B C , recto en B, se traza la 
altura BH y en el triángulo BFIC la bisectriz in­
terior BM. Si AM = 2 y MC = 3, calcular HM.
a) 1,2 b) 1,4 c) 1,5
d) 1,6 e) 1,8
En un triángulo ABC: A B = 5, BC = 6 y A C = 8, 
se traza la mediana BM y la bisectriz del án­
gulo BA C , las cuales se Intersecan en P, por 
el cual se traza una paralela al lado A C que 
Interseca al lado BC en Q. Calcu lar QC.
c) 8/3a) 4/3 
d) 4/9
b) 7/3
e) 5/9
6 . Por el vértice A de un romboide A B C D se traza 
una recta secante que Interseca a la diagonal 
en M al lado CD en N y a la prolongación de 
BC en Q. S i MN = 4 y NQ = 12, calcular AM.
a) 6
d) 8,5
7. S i: OA = 2; O E 
calcular: AB .
B ) 7 
e) 9
c)
18; A C // BD y BC // ED ,
G eo m etría | 5 7
11.
O c
a) 6
b) 4
c) 9
d) 12
e) 8
Calcu lar x.
a) 5/6
b) 6/5
c) 5/7
d) 7/6
e) 7/5
En un triángulo A B C , por el punto medio de 
A B , se traza una_ recta perpendicular a la bi­
sectriz interior BD, que interseca a B C en Q. 
Calcu lar Q C, si: A B = 6, AD = 5 y DC = QC.
3 d) 12
15. S i: AF
X
n X
2
Q 3
a) 10 
d) 13
b) 11 
e) 15
c) 12
10. Las bases de un trapecio miden 12 y 16, su 
altura mide 9. Calcu lar la distancia del punto 
de intersección de las diagonales a la base 
mayor.
a) 5,14 
d) 6,4
b) 6,2 
e) 7,2
c) 5,8
En un triángulo A B C ; m ZA = 2m Z C , la me- 
diatriz de A C interseca a BC en el punto F. S i: 
B F = 8 y F C = 10, calcu lar AB .
a) 16 
d) 9
b) 12 
e) 8
c) 24
12. En los lados A B y BC del triángulo A B C se 
ubican los puntos M y N, respectivam ente, tal 
que MN // A C . En BN se ubica Q; MQ // AN; si 
BQ = 4; QN = 6, calcular NC.
a) 8 
d) 16
13. S i: AB = 5AD;
a) 3/2
b) 2/3
c) 1/4
d) 4/5
e) 2/5
b) 12 
e) 18
c) 15
14.
a) 20 b) 10 
e) 8
c) 15
a) 2 /3 
d) 4
b) 3 /2 
e) 6 /2
c) 6
16. S i: AD = 3; DC = 2, calcular C E .
a) 20 
d) 15
b) 12 
e) 10
c) 18
17. Determinar el valor de verdad de las siguien­
tes proposiciones:
I. E l teorema de Tales es solo para tres rec­
tas paralelas y una secante.
II. E l teorema de la bisectriz se cumple en 
todo triángulo.
III. S i en un triángulo se traza una bisectriz 
interior determinando dos segmentos 
congruentes, entonces el triángulo es 
equilátero.
a) W F 
d) VVV
b) F F F 
e) V FV
c) FV F
18. En un triángulo A B C se inscribe el rombo 
BMNT. S i