Formulario de Geometría

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M N 
A 
 
 
 
x  
X = 90 + A 
2 
 
 
 
 
 
 
1. CIRCUNFERENCIA 
 
Es el conjunto de puntos situados a la 
misma distancia de un punto fijo 
llamado centro. 
 
4. TEOREMAS BASICOS 
 
a) Si desde un punto exterior se trazan 2 
tangentes a la circunferencia éstas 
tienen la misma longitud y además se 
cumple que la línea que pasa por el 
punto exterior y el centro es una 
 
 
1. TEOREMAS ADICIONALES SOBRE 
BISECTRICES 
 
a) Cuando se trazan 2 bisectrices 
interiores. 
 
 
Siendo: n # de 
lados 
a. Suma de Medidas de Angulos Internos: 
180° (n-2) 
b. Suma de Medidas de Angulos Externos 
360°(constante) 
c. Cantidad de Diagonales: 
 
r 
 
CIRCUNFERENCIA. CIRCULO 
 
2. LINEAS DE LA CIRCUNFERENCIA 
 
l 
Q P
 
A 
 O
• B 
bisectriz. 
A 
O 
•  
B 
b) Cuando se traza una tangente se 
cumple que el radio del punto de 
tangencia es perpendicular a la 
tangente. 
2. FORMULAS SOLO PARA POLI- 
GONOS REGULARES. 
D I 
C r •
 
b) Cuando se traza 2 bisectrices exteriores. 
a. Medida de 1 Angulo Interno: 
 180° (n – 2) 
n 
O Centro 
AO Radio 
AB Diámetro 
C 
 
c) Cuando se tiene una cuerda y se traza 
 
 
 
c) Cuando se traza una 
exterior. 
 
 
 
 
interior y una 
b. Medida de 1 Angulo Externo y1 
Angulo Central ( la misma formula) 
 
 
 
3. TEOREMA DE LA BASE MEDIA 
DEL TRAPECIO. 
 b 
CD Cuerda 
PQ Secante 
I Tangente 
 
3. POSICIONES DE DOS CIRCUNFE- 
RENCIAS: 
 
 
• 
un radio perpendicular a ella, se le 
corta en su punto medio así como 
también al arco que ella determina 
A 
 
O• ◼ P 
 
B 
2. TEOREMA DE LA BASE MEDIA 
B 
 
 
 
B 
1.1. TEOREMA DEL SEGMENTO QUE 
UNE LOS PUNTOS MEDIOS DE LAS 
CONCENTRICAS 
 
 
 
 
TANGENTES 
INTERIORES 
 
 
 
 
TANGENTES 
d) Si dos cuerdas son paralelas se cumple 
que los arcos determinados entre ellas 
tienen igual medida. 
B C 
Paralelas   
A C DIAGONALES DEL TRAPECIO: 
Este segmento mide la semidiferencia 
INTERIORES EXTERIORES A D 
 
1. FORMULAS PARA TODOS LOS 
POLIGONOS: 
de las bases. 
 b 
 
 
y 
 
 
 
SECANTES EXTERIORES 
e) Si son dos cuerdas de igual longitud se 
cumple que los respectivos arcos tienen 
igual medida. 
 
 
 
POLIGONOS Y CUADRILATEROS 
MN = AC 
2 
360° 
n 
A 
 

 
Z 
 
 
 
 y 
 
A  
y = 90 - 
A
 
2 
Z = A 
2 
 x 
y = B - b 
2 
x = B + b 
2 
TRIANGULOS 
n (n -3) 
2 
CAPITULO N° 5 CIRCUNFERENCIA 
P 
 
 
  
c 
 
z  x 
a 
   
y 
   a = b = c 
x y z 
 AP = AB 
CP BC 
 
 
 
4. TEOREMA DE LA BISECTRIZ 
EXTERIOR 
 
En todo triángulo, la bisectriz de un 
ángulo exterior divide externamente a 
lado opuesto en segmentos 
proporcionales a los lados a es ángulo. 
 
1. TEOREMA FUNDAMENTAL DE B 
LA PROPORCIONALIDAD  
 
Si una recta es paralela a uno de los A 
lados de un triángulo, entonces corta los 
otros dos lados en segmentos 
proporcionales. 
C P 
5. TRIANGULOS SEMEJANTES 
 
 
Si I // BC: 
I 
C 
Son aquellos que tienen la misma 
forma pero diferente tamaño. 
a) Sus ángulos son congruentes por 
parejas. 
b) Sus lados homólogos son proporcionales. 
 
2. T EOREMA DE THALES 
Si 3 ó más rectas paralelas son cortadas 
por dos transversales, los segmentos que 
éstas determinan son proporcionales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. TEOREMA DE LA BISECTRIZ 
INTERIOR 
En todo triángulo la bisectriz de 
cualquiera de sus ángulos interiores 
divide al lado opuesto en segmentos 
proporcionales a los lados adyacentes a 
ese ángulo. B 
 
 
b 
 
6. TEOREMA DEL TRIANGULO 
INSCRITO 
 
En todo triángulo se cumple que el 
producto de 2 lados es igual al 
producto del diámetro de la 
circunferencia circunscrita por la altura 
relativa al tercer lado. 
 
 
7. TEOREMA DEL CUADRILA- 
TERO INSCRITO. 
En todo cuadrilátero inscrito se cumple 
que el producto de los diagonales es 
igual a la suma de los productos de los 
pares de lados opuestos. 
 
A C 
 
 P 
ab = 2Rh 
a h 
◼ R 
b 
A 
C 
 
a 
a 
 
B 
D  
 
2 
5. TEOREMA DE PONCELET 
a) Angulo Semi-inscrito 
En un triángulo rectángulo la suma de 
los catetos es igual a la suma de la 
hipotenusa más el diámetro de la 
circunferencia inscrita en el triángulo. 
Vértice: En la curva 
Lados: Tangente y cuerda 
Mide: la mitad de su arco 
a 
c 
a +b = c + 2r 
• 
◼ ◼ 
 
2 
b 
 
6. TEOREMA DE PITOTH 
 
Si un cuadrilátero está circunscrito a 
una circunferencia, la suma de las 
longitudes de dos lados opuestos es 
igual a la suma de las longitudes de los 
otros dos. 
b 
b) Angulo Interior 
 
Vértice: Punto interior 
Lados: 2 cuerdas 
Mide: la semi mitad de los 2 arcos 
a c  
+ 
2 
 
d 
 
7. ANGULOS DE LA CIRCUNFEREN- 
CIA 
c) Angulo exterior 
a) Angulo Central 
Vértice: Punto exterior 
Lados: Secante o Tangentes 
Vértice: Centro 
Lados: 2 radios 
Mide: lo mismo que su arco 
Mide: 
arcos. 
La semidiferencia de los 2 
y 
 
o    
y 
 
 
b) Angulo Inscrito 
 
Vértice: En la curva 
Lados: 2 cuerdas 
Mide: la mitad de su arco 
 
 y 
a +c = b + d 
A 
P Q 
B 
I 
a d 
b 
c 
e 
f 
 a = b = c 
d e f 
 AP AB 
PC = BC 
 AP = AQ 
PB QC 
CAPITULO N° 6: 
SEMEJANZA DE TRIANGULOS 
y =  -  
2 
 
 
 1 + 1 = 1 
a2 b2 h2 
a b 
h 
m 
 
C
 
a2+b2=2m2+ c
2
 
2 
h2 = mn 
xy = ac + bd 
b 
b a h 
a 
x 
y 
c c 
d 
 
 
 
e) Teorema del cuadrado de la bisectriz 
interior. 
 
 
 
1. RELACIONES METRICAS EN EL 
TRIANGULO RECTANGULO 
a) Teorema del cateto 
En un triángulo rectángulo, el cuadrado 
de un cateto es igual al producto de la 
e) Teorema de la inversa del cuadrado 
de la altura. 
En un triángulo rectángulo se cumple 
que la inversa del cuadrado de la altura 
es igual a la suma de las inversas de los 
cuadrados de los catetos. 
 
 
b 
 
 
 
b) Segundo Teorema de Euclides 
El cuadrado de lado opuesto a un 
ángulo obtuso es igual a la suma de los 
cuadrados de los otros dos más el doble 
producto de uno de ellos por la 
En todo triángulo, el cuadrado de una 
bisectriz interior es igual al producto de 
los lados laterales a la bisectriz menos 
el producto de los segmentos que la 
bisectriz determina en el lado opuesto. 
 
 
hipotenusa por la proyección del cateto a h 
sobre ésta. 
proyección del otro sobre el. 
 
b 
a 
m 
 
n 
c 
  
 
 
2. TRIANGULO RECTANGULO NO- 
TABLES. 
 
m n 
 
f) Teorema del cuadrado de la bisectriz 
exterior. 
b) Teorema de Pitagoras 
En un triángulo rectángulo, el cuadrado 
de la hipotenusa es igual a la suma de 
los cuadrados de los catetos. 
 
a 2 
 
45° 
a 
45° a 
 
 
2a 
60° 
a 
 
30° a 3 
 
 
 
c) Teorema de Herón para calcular 
alturas. 
Siendo: 
P = a+b+c 
 
En todo triángulo, el cuadrado de una 
bisectriz exterior es igual al producto 
de los segmentos que determina con el 
lado opuesto menos el producto de los 
lados laterales a la bisectriz. 
b a2+b 2=c2 
a 5a 
37° 
4a 
 
25a 
2 
74° 
 
c 
c) Teorema de la altura 
En un triángulo rectángulo, el cuadrado 
de la altura es igual al producto de los 
segmentos que determina sobre la 
hipotenusa. 
 53° 

 
3a 
 
 
75° 
a 
 
 
 16° 
24a 
 
 
 
15° 
4a 
h = 2 
c 
3. RELACIONES METRICAS EN EL 
h 
TRIANGULO OBLICUANGULO 
 a) Primer Teorema de Euclides 
m n 
 
d) Teorema de la mediana 
En todo triángulo, la suma de los 
cuadrados de dos lados es igual al doble 
del cuadrado de la mediana relativa al 
g) Teorema de Stewart 
 
En todo triángulo, para una ceviana 
cualquiera es cumple. 
d) Teorema del producto de catetos. 
En un triángulo se cumple que el 
producto de los catetos es igual al 
El cuadrado del lado opuesto a un 
ángulo agudo es igual a la suma de los 
cuadrados de los otros dos menos el 
tercer lado más la mitad del cuadrado de 
dicho lado. 
producto de la hipotensa por la altura. doble producto de uno de ellos por la 
proyección del otro sobre él. 
a 
m 
c 
 
 
c x 
a 
nb 
x2 = ab – mn 
CAP. N° 7 RELACIONES METRICAS 
a 
b 
 
m 
 
c 
p (p-a) (p-b) (p-c) 
a  
 b 
x 
 
a  
b 
x 
n 
m 
X2 = mn - ab 
b 
a h 
 
c 
a2 = b2 + c2 - 2cm 
c2m +a2 n = x2 b +bmn 
a2 = cm 
b2 = cn 
ab = ch 
b 
 
 
  
  
AREA = Bh 
AREA = Bh 
2 
AREA = ab Sen 
2 
AREA = 
L
2
 
3 
4 
AREA = p(p-a)(p-b)(p-c) 
◼ d 
 
 
 
a) Con base y altura 
 
 
b) Con 2 lados y el ángulo que forman. 
 
b 
c) Con los 3 lados 
 
a) En función del lado 
 
 
b) En función de la altura 
L
 
 
 
 
3. AREA DE UN PARALELOGRAMO 
 
b 
 
d) Con los 3 lados y el radio de la 
circunferencia inscrita. 
 
4. AREA DE UN RECTANGULO 
a c 
◼ 
r 
h 
b 
e) Con los 3 lados y el radio de la 
circunferencia circunscrita. 
 
 
f) Con 1 lado y el radio de la circunferencia 
ex-inscrita relativa a ese lado. 
Siendo: 
5. AREA DE UN ROMBO 
B
 
 
D 
b 
a R1 
◼ 
c 
 
 
6. AREA DE UN TRAPECIO 
 
2. EXPRESIONES ESPECIALES PARA 
EL TRIANGULO EQUILATERO 
 
 
 
 
a 
R 
b 
c 
AREA = abc 
4R 
30°30° 
h 
60° 60° 
AREA = h
2 
3 
3 
4. METODO PARA RECONOCER LA 
FORMA DE UN TRIÁNGULO 
 
Siendo: a, b, c, las longitudes de los 
lados de un triángulo tal que el mayor 
mide “a”. 
A 
determinados en una de ellas es 
igual al producto de los segmentos 
determinados en la otra. 
D 
P 
C B 
a) El triángulo es acutángulo si: 
b) Teorema de la Secantes 
a b 
 
 
c 
 
b) El triángulo es rectángulo si: 
Si desde un punto exterior se trazan 
dos secantes, el productos de cada 
secante por su parte externa es 
constante. 
P 
A 
B 
a 
b D 
 
c) Teorema de la Tangente 
c 
c) El triángulo es obtusángulo si: Si desde un punto exterior se trazan 
una tangente y una secante, el 
cuadrado de la tangente es igual al 
producto de la secante por su parte 
externa. 
C P 
a 
b 
A 
PC2 = PA x PB 
c 
5. RELACIONES METRICAS EN LA 
CIRCUNFERENCIA 
a) Teorema de la cuerda 
B 
Si dos cuerdas de una circunferencia se 
cortan, el producto de los segmentos 
1. EXPRESIONES PARA EL AREA 
DE UN TRIANGULO 
CAPITULO N° 8 AREAS PLANAS 
a2 > b2 + c2 
PA x PB = PC x PD a2= b2 + c2 
a2< b2 + c2 
PA x PB = PC x PD 
a a 
AREA = p x r 
P = a + b + c 
2 
 
h 
 
 
B 
a 
 
60° 
L L 
60° 60° 
h 
B 
AREA = Bh 
AREA = R1(p-a) 
P = a + b + c 
2 
AREA = Dd 
2 
P = a + b + c 
2 
 
 
= 
S1 = a
2 
S2 m
2 
 
 
 
 
B 11. AREA DE UN EXAGONO REGU- 
 
C 
c) Si dos triángulos son semejantes sus 
áreas son entre sí como los cuadrados B 
de un par de elementos homológos. x 
 
 
 
7. EXPRESIONES PARA EL AREA 
DE UN CUADRADO 
LAR 
 
 
 
 
 
S2 
 
 
S1 
 n 
a 
A • • D 
 
 
a) En función del lado 
L
 
d) Si dos triángulos tienen un ángulo 
congruente, sus áreas son entre sí como 
los productos de los lados que forman 
 
1. PLANO 
En una superficie queda determinada 
L L 12. AREA DE UN CIRCULO Y DE UN 
SECTOR CIRCULAR. 
L 
b) En función de la diagonal 
dicho ángulo. 
 
 
a S1
 
 
 
 
 
m 
 
S2 
 
S1 =
 ab 
S2 mn 
por alguna de estas situaciones 
a) Tres puntos no colineales 
b) Dos rectas secantes 
c) Dos rectas paralelas 
d) Un punto y una recta que no pasa 
 
 
 
R 
8. AREA DE UN TRAPEZOIDE 
b n 
e) El área del triángulo formado al unir los 
puntos medios de los 3 lados de un 
triángulo es la cuarta parte del área del 
triángulo completo. 
 
S 
por él. 
 
2. RECTA PERPENDICULAR A UN 
PLANO 
Para que una recta sea perpendicular a 
un plano basta que sea perpendicular a 
dos rectas secantes del plano 
13. TEOREMAS ESPECIALES 
a) Si dos triángulos tienen bases de igual 
S S S 
I
 
longitud, sus áreas son entre sí como 
sus alturas. 
f) En todo triángulo cuando es traza una 
mediana se forman dos triángulos de 
iguales áreas. 
m 
P 
n 
P : pie de la 
S S perpendicular 
3. TEOREMA DE LAS 3 PERPENDI- 
9. AREA DE UN CUADRILATERO 
INSCRITO 
S2 g) En todo triángulo cuando es traza las 3 
medianas se forman seis triángulos de 
◾ 
b iguales áreas. 
CULARES 
 
Si desde el pie de la perpendicular a un 
p = a+b+c+d 
2 
b) Si dos triángulos tienen alturas de igual 
longitudes, sus áreas son entre si como 
sus bases. 
plano es traza otra perpendicular a una 
recta cualquiera de dicho plano se 
S S cumple que todo segmento que va de 
S S un punto de la primera al punto de 
S S intersección de las 2 últimas es 
10. AREA DE UN POLIGONO REGU- 
LAR 
h) El área del cuadrilátero formado al unir 
los puntos medios de los 4 lados de un 
cuadrilátero es la mitad del área del 
b2 cuadrilátero completa. 
perpendicular a la recta dada en el 
plano. 
 
 
 
 
d 
AREA = d
2
 
2 
CAPITULO N° 9 RECTAS, ANGULOS 
Y PLANOS EN EL ESPACIO 
AREA = 3L 3 
2 
2 
b 
h 
 
AREA = (p-a)(p-b)(p-c)(p-d) 
b 
a d 
c 
L 
L 
 
L 
L 
L 
L 
• R 
R 
 
S1 
h1 
 ◾ 
b 
S1 = b1 
S2 b2 
h 
◾ 
b
 
1 
 
h 
AREA = d1 . d2 sen 
2 
d1 
 
d2 
PERIMETRO x APOTEMA 
2 
S1 h1 
S2 h2 
AREA = R
2
 
360° 
AREA = R2 
AREA = L2 
AREA = (B+b)h 
2 
X =AREA ABCD 
2 
h 2 
 
P A 
 B 
 
Q 
I 
m 
n 
 
 
 
 
 
 
 
4. LINEA DE MAXIMA PENDIENTE 
 
Sean los planos A y B cuya 
intersección es la recta I. Se llama línea 
de máxima pendiente a la perpendicular 
PQ del plano A a la recta I y que forma 
el ángulo con el plano B. 
 
5. MINIMA DISTANCIA ENTRE DOS 
RECTAS QUE SE CRUZAN 
6. ANGULO DIEDRO 
Es la figura formada por dos 
semiplanos que tienen un borde común 
llamado aristas. Para medir el ángulo 
diedro se dibuja un plano perpendicular 
a la arista. 
 
 
 
 
7. ANGULO POLIEDRO 
 
Sean m y n dos rectas que se cruzan en 
el espacio. 
 
Para encontrar la mínima distancia entre 
m y n sigamos estos pasos: 
 
1) De los infinitos planos que pasan por la 
recta n dibujemos uno que sea paralelo 
a la recta m. 
2) Proyectemos la recta m sobre el plano y 
hallemos el punto en que la proyección 
corta a la recta n. 
 
3) Desde el punto encontrado se traza una 
perpendicular a la recta m estableciendo 
así la distancia buscado. 
 
Es una región del espacio formada por 
varios ángulos adyacentes no 
coplanarios. Dependiendo del número 
de caras se llamará triedro, tetraedro, 
pentaedro, etc. 
 
 
 
TRIEDRO PENTAEDRO 
 
 
 
R m 
n Q 
m 
v 
 
A C 
B 
m 
n 
 
I 
1° 
3° 
n 
 
2° P Q