RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES - ESTUDIANTE 2020 - Domingo King

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MANUAL DEL ESTUDIANTE 
 
RAZONES, PROPORCIONES Y 
PORCENTAJES 
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS 
VICERRECTORÍA ACADÉMICA 
2020 
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE - INACAP 
 
 
2 
 
2 UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD RAZONES, 
PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
EDICIÓN 2019 
 
Creación 
Lorena Rosas Toro 
Germán Osses Romano 
Dirección 
Alejandro García Miño 
 
EDICIÓN 2020 
 
Creación 
MARÍA VERÓNICA FERNÁNDEZ 
VÁSQUEZ 
Validación 
BERNARDITA PÉREZ URETA 
Dirección 
Alejandro García Miño 
Juan Pablo Vargas Herrera 
 
 
 
 
 
 
3 
 
3 UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
PRESENTACIÓN 
 
Resolución de Problemas en aritmética y álgebra es una asignatura lectiva que constituye 
el peldaño inicial de la formación matemática, para estudiantes que ingresan a carreras 
del ámbito tecnológico. 
 
Su propósito fundamental es nivelar a los estudiantes en habilidades matemáticas 
necesarias para la vida, mediante la estrategia de enseñanza-aprendizaje, basada en la 
Resolución de problemas, acompañada de la solución de ejercicios y el acompañamiento 
permanente de los docentes de matemáticas. 
 
Para ello, este manual busca proveer las herramientas suficientes para el desarrollo de la 
competencia de resolución de problemas en matemáticas, así como, el desarrollo del 
razonamiento lógico necesario para asumir desafíos del mañana como futuro profesional. 
 
El MANUAL DEL ESTUDIANTE “RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES” ofrece una 
variedad de problemas y ejercicios asociados a los objetivos de aprendizaje presentes en 
la unidad “RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES” presente en el programa de la 
asignatura. La propuesta constituye una guía para organizar, orientar y complementar el 
trabajo del estudiante, dentro y fuera del aula de clase. 
 
 
Esperamos que este material sea de ayuda tanto para el estudiante como para el docente. 
 
 
Éxito en esta etapa de la asignatura 
 
 
 
 
 
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS 
VICERRECTORÍA ACADÉMICA 
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE INACAP – 2020 
 
 
 
 
 
4 
 
4 UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
 
 
UNIDAD 
 
RAZONES, 
PROPORCIONES Y 
PORCENTAJES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
5 UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
RAZONES, PROPORCIONES Y 
PORCENTAJES. 
 
En Grecia –siglo V a. De C.- los griegos se declaraban admiradores de la belleza y buscaban 
afanosamente los cánones de perfección. En el campo de la escultura se preocuparon de 
encontrar el cuerpo humano perfecto y para ello grandes artistas como Policleto, Praxíteles 
y Leócrates abordaron el problema de las proporciones ideales en la figura humana. Policleto 
estableció que “para obtener la perfecta proporción de unas partes del cuerpo respecto a 
otras, la figura deberá medir 7 cabezas y media de altura”. Praxíteles estableció un canon de 
8 cabezas y Leócrates, otro de 8 cabezas y media. 
La discusión volvió a animarse dos mil años más tarde, durante el Renacimiento. Miguel Angel 
coincidía con Polícleto, Leonardo da Vinci era partidario de Praxíteles; Boticelli se inclinaba 
por el canon de nueve cabezas y el Greco, por el de once, lo cual es, evidentemente, una 
exageración. 
Hoy en día son universalmente aceptados los tres cánones clásicos griegos, aunque cada uno 
dentro de su propio campo de aplicación. Geométricamente la figura ideal corresponde al 
canon de ocho cabezas de alto por dos cabezas de ancho. Así un rectángulo cuya razón sea 
como 8:2 siempre nos indicará las dimensiones humanas ideales de alto y de ancho. Este dato 
se utiliza actualmente para dibujar murales. 
El presente manual contiene los siguientes elementos: 
1. Descripción de la unidad: proviene del descriptor de la asignatura y presenta los 
elementos característicos de la unidad que se abordará. 
 
2. Formalización de Contenidos: Se basa en un abstract general de los contenidos que se 
espera aborde el docente en el proceso de formalización, se deja libertad para profundizar o 
no en cada uno de los mismos, de acuerdo con el desarrollo matemático que tengan los 
estudiantes de cada sección. 
 
3. Ejercicios resueltos y propuestos: actividades matemáticas rutinarias y algorítmicas que 
permitan al estudiante un trabajo autónomo y conciso fuera del aula de clases, relativo a los 
conocimientos matemáticos que se van abordando en cada sesión de clases. 
 
4. Problemas propuestos: Actividades Matemáticas no rutinarias que buscan que el 
estudiante practique fuera del aula de clase con las herramientas, competencias y 
conocimientos desarrollados dentro del aula. 
 
 
 
6 
 
6 UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
 
 
DESCRIPCIÓN DE LA UNIDAD 
 
APRENDIZAJES ESPERADOS 
 
2.1.- Resuelve problemas de la especialidad o disciplina, a través de la aplicación de 
estrategias propias del uso de la proporcionalidad y porcentajes. (Integrada Competencia 
Genérica Resolución de Problemas) 
 
CRITERIOS DE EVALUACIÓN 
 
2.1.1.- Comparar cantidades mediante una razón. 
 
2.1.2.- Clasificar variables según su relación de proporcionalidad. 
 
2.1.3.- Representar una relación de proporcionalidad gráficamente. 
 
2.1.4.- Identificar el tipo de proporcionalidad a partir de una representación gráfica. 
 
2.1.5.- Calcular porcentajes a partir de una representación gráfica. 
 
2.1.6.- Representar información porcentual mediante tablas y gráficos. 
 
2.1.7.- Integrar las habilidades matemáticas fundamentales (Resolver problemas, 
Argumentar y comunicar, Modelar, Representar) necesarias para dar solución diversas 
situaciones problemáticas. 
 
2.1.8.- Analizar situaciones problemáticas establecidas. 
 
2.1.9.- Establecer propuestas de solución pertinentes 
 
 
 
CONTENIDOS 
 
 Habilidades matemáticas fundamentales. 
 Razones 
 Proporciones 
 Porcentajes 
 Uso de calculadora científica y/o Geogebra como herramienta para la resolución 
de problemas que involucre el uso de razones, proporciones y porcentajes. 
 
 
 
 
 
FORMALIZACIÓN 
DE CONTENIDOS 
 
 
8 
 
8 UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
 Razón: Una razón, es la comparación entre dos cantidades o magnitudes, que se representa por 
medio del cociente entre ellos. 
Las notaciones más usuales son: 𝒂: 𝒃 
𝒂
𝒃
 
Se leen: “a” es a “b” 
Términos de una razón: 
𝑎
𝑏
 
antecedente 
consecuente 
Al resultado de dividir el antecedente entre el consecuente se le llama valor de la razón y se le 
acostumbra a denominar por la letra 𝒌, este valor indica cuántas veces el consecuente está 
contenido en el antecedente, por lo tanto, indica a cuántas unidades del antecedente equivale una 
unidad del consecuente (valor unitario). 
 
Proporción: es la igualdad que se constata entre dos razones equivalentes. 
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
 
a y d: se le llama extremos b y c: se le llaman medios. 
Observación: la proporción también se puede escribir como 𝒂: 𝒃 = 𝒄: 𝒅 y se lee: “a” es a”b” como 
“c” es a “d” 
 
Teorema fundamental de las proporciones: En toda proporción, el producto de los medios es igual 
al producto de los extremos, es decir: 
𝒂 ∙ 𝒅 = 𝒃 ∙ 𝐜 
 
 
 
9 
 
9 UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
Variaciones Proporcionales 
Proporcionalidad Directa: Se dice que x e y se relacionan de forma directamente proporcional 
si existe una constante 𝒌 tal que: 
𝑦 = 𝑘 ∙ 𝑥 
Observaciones: 
 Dos Variables son directamente proporcionales si el cociente entre los pares de valores que se 
relacionan es contante: 
31 2
1 2 3
.... ,n
n
y yy y
k n IN
x x x x
     
 
k: constante de proporcionalidad directa 
 
 En toda proporcionalidad directa se cumple que: si una de las variables aumenta una cierta 
cantidad de veces (o disminuye una cierta cantidad de veces), la otra aumenta la misma 
cantidad de veces (o disminuye la misma cantidad deveces). NO es correcto decir que dos 
variables son DP si ambas aumentas o si ambas disminuyen. 
 
 El gráfico de una proporcionalidad directa es una recta creciente que contiene el origen. 
 
 
 
 
 
10 
 
1
0 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
Proporcionalidad Inversa: Se dice que x e y se relacionan de forma inversamente proporcional 
si existe una constante 𝒌 tal que: 
𝑦 =
1
𝑘
∙ 𝑥 
Observaciones: 
 Dos Variables son inversamente proporcionales si el producto entre los pares de valores que se 
relacionan es contante: 
1 1 2 2 3 3 .... ,n nx y x y x y x y k n IN          
 
k: constante de proporcionalidad inversa 
 
 En toda proporcionalidad directa se cumple que: si una de las variables aumenta una cierta 
cantidad de veces (o disminuye una cierta cantidad de veces), la otra disminuye la misma 
cantidad de veces (o aumenta la misma cantidad de veces). NO es correcto decir que dos 
variables son IP si una aumenta y la otra disminuye (o viceversa). 
 
 El gráfico de una proporcionalidad inversa es una hipérbola: 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
1
1 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
 
 
Variación Porcentual 
Porcentaje1 
• La expresión “x%” es una manera alternativa de expresar la razón 
𝑥
100
. 
• El concepto de porcentaje proviene de la necesidad de comparar dos números entre sí, no sólo 
de manera absoluta (cuál de los dos es mayor), sino de una manera relativa, es decir, se desea 
saber qué fracción o proporción de uno representa respecto del otro. 
• En estas situaciones se suele utilizar el número 100, que es bien familiar, como referencia. Al 
situarlo como consecuente de una razón, su antecedente nos indica qué porción de 100 
representa. 
Representaciones 
Un porcentaje puede ser representado de forma gráfica, fraccionaria y decimal. 
 La fraccionaria de un x% 
 La gráfica será la que determina de forma proporcional el porcentaje 
Porcentaje 
Representaciones 
Gráfica Fraccionaria Decimal 
20% 
 
𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
 
También 
𝟏
𝟓
 
𝟎, 𝟐 o 𝟎, 𝟐𝟎 
 
1 Definición extraída de: http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/3_Proporcionalidad.pdf 
http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/3_Proporcionalidad.pdf
 
 
12 
 
1
2 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
5% 
 
𝟓
𝟏𝟎𝟎
 
También 
𝟏
𝟐𝟎
 
𝟎, 𝟎𝟓 
0,5% 
 
𝟎, 𝟓
𝟏𝟎𝟎
 
También 
𝟏
𝟐𝟎𝟎
 
𝟎, 𝟎𝟎𝟓 
 
 
 
 
 
13 
 
1
3 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS 
RESUELTOS 
 
 
 
 
 
 
14 
 
1
4 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
EJEMPLO 1: Valor de la razón 
Dos ranas hicieron una competencia de saltos. Se quiere averiguar cuál de las dos ranas da los saltos más 
grandes en cada competencia. Se les aclara que no gana la rana que dé más saltos ni la que recorra más 
distancia, sino la que dé saltos más grandes. 
a) ¿Qué rana da los saltos más grandes? y ¿por qué? 
Rana Verde 
Recorrido Número de Salto 
12 unidades 12 saltos 
 
Rana Morada 
Recorrido Número de Salto 
7 unidades 5 saltos 
 
 
El recorrido y el número de saltos de la rana verde están en la razón 12 : 12, de lo que se puede concluir que: 
 Por cada 12 unidades recorridas da 12 saltos, lo que es equivalente a decir que a la razón 1:1, es 
decir recorre una unidad por cada salto. 
 El valor de la razón es 1 (12 ÷ 12 = 1), este valor se interpreta como que, por cada salto, recorrió 
1 unidad de distancia. 
 
El recorrido y el número de saltos de la rana morada están en la razón 7 : 5, de lo que se puede concluir que: 
 Por cada 7 unidades recorridas, da 5 saltos. 
 El valor de la razón es 1.4 (7 ÷ 5 = 1), este valor se interpreta como que, por cada salto recorrió 
1.4 unidad de distancia. 
 
Por lo tanto, la rana que dio los saltos más largos es la morada. Lo que también podemos comparar y verificar 
de forma gráfica: 
 
 
b) Si su rendimiento de recorrido v/s saltos se mantiene y se sabe que la rana verde da 17 saltos y la 
rana morada 12 saltos, ¿Cuál recorre la mayor distancia? 
Como se sabe que la rana verde recorre una unidad por cada salto, recorrerá 17 unidades (17·1 = 17) 
y la rana morada recorre 1.4 unidades por cada salto, en total recorrerá 16.8 unidades (12·1.4 = 
16.8). Por lo tanto, la que avanza una distancia mayor es la rana verde. 
 
c) Si ambas ranas mantienen su rendimiento, y la rana morada recorre 14 unidades, ¿Cuántos saltos 
debería haber dado? 
Rana Morada 
Recorrido Número de Salto 
7 unidades 5 saltos 
14 unidades ¿? 
 
Como se duplica la distancia, se 
deberá duplicar el número de saltos, 
por lo tanto, debería dar 10 saltos. 
14
10
=
7
5
 
 
 
15 
 
1
5 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
d) Si ambas ranas mantienen su rendimiento, y la rana verde recorre 18 unidades, ¿Cuántos saltos 
debería haber dado? 
Rana Verde 
Recorrido Número de Salto 
12 unidades 12 saltos 
18 saltos ¿? 
 
Como la razón entre el recorrido y el 
número de saltos es 1:1, lo que 
significa que por cada unidad 
recorrida da un salto, debería haber 
dado 18 saltos. 
18
18
=
12
12
=
1
1
 
 
e) Si se realiza una nueva competencia de ranas, y se sabe que todas dan saltos del mismo largo, 
¿Cuánto debería haber recorrido la rana verde? 
Rana Recorrido Saltos 
Morada 15 unidades 12 saltos 
Verde 8 saltos 
 
Para que todas den saltos del mismo largo, el recorrido y los saltos deberán estar en la razón 
15
12
, lo 
que es equivalente a decir que la razón entre el recorrido y los saltos es 
5
4
. 
Rana verde 
Estrategia 1: Como el número de saltos (8) es el doble de 4, la distancia recorrida deberá ser el doble 
de 5 unidades, es decir 10. 
Estrategia 2: El recorrido y saltos de ambas ranas deben estar en proporción 
15
12
=
𝑥
8
, por el teorema 
fundamental de las proporciones se tiene, 15 ∙ 8 = 12𝑥, de donde se obtiene que x =10. Por lo tanto, 
debe dar 10 saltos (También se puede plantear la proporción 
5
4
=
𝑥
8
) 
 
 
 
 
16 
 
1
6 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
EJEMPLO 2: Una razón más simple 
Una librería, cuya existencia promedio de mercancía es de $30.000 obtuvo una utilidad de $36.000 sobre 
una venta de total de $180.000 en el año anterior. Determinar: 
a) la razón del total de ventas al inventario promedio. 
𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑖𝑛𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜
=
180.000
30.000
=
18 ÷ 3
3 ÷ 3
=
6
1
 
 
Por lo tanto, la razón entre la venta total y el inventario promedio es 6 es a 1, lo que se puede 
interpretar como que, por cada $6 de venta total hay $1 de inventario promedio. 
 
También podemos determinar el valor de la razón 
180.000
30.000
= 6, cuya interpretación es, por cada $1 
del inventario promedio, se obtienen $6 de venta total. 
 
b) la razón de la utilidad a la venta total. 
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠
=
36.000
180.000
=
36 ÷ 36
180 ÷ 36
=
1
5
 
 
Por lo tanto, la razón entre la utilidad y ventas es 1 es a 5, lo que se puede interpretar como que, por 
cada $1 de utilidad hay $5 de ventas. 
 
También podemos determinar el valor de la razón 
36.000
180.000
= 0.2, cuya interpretación es, por cada $1 
en ventas se obtienen $0.2 de utilidades. 
 
EJEMPLO 3: Proporción 
Josefina tiene una caja con golosinas para sus alumnos, todos los días la revisa y completa cerciorándose que la 
razón entre los dulces y los chocolates sea siempre 2 es a 7. 
a) Al iniciar el lunes Josefina revisa la caja y se da cuenta que hay 6 dulces y 20 chocolates, ¿Debe agregar 
alguna golosina? 
 
La razón entre dulces y chocolates es 
2
7
 
El lunes, los dulces y chocolates de la caja están en la razón 
6
20
, lo que es equivalente a la razón 
3
10
 (se 
dividió entre 2 el antecedente y consecuente). 
Por lo tanto, lasgolosinas no están en la razón esperada. Si agrega un chocolate tendrá: 
6
21
=
6 ÷ 3
21 ÷ 3
=
2
7
 
Por lo tanto, si agrega un chocolate a la caja, las golosinas de la caja estarán en la proporción esperada. 
 
Observación: También puede agregar 2 dulces y 8 chocolates, o bien 4 dulces y 15 chocolates, etc. 
 
 
 
 
17 
 
1
7 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
b) Sí el martes la caja tiene 28 chocolates, ¿Cuántos dulces hay? 
Método 1 Método 2 
Como, por cada 2 dulces debe haber 7 chocolates, 
podemos completar una tabla en la que se 
agreguen las golosinas según esto y analizar el 
total de golosinas que se va obteniendo: 
Dulces Chocolates 
2 7 
2 7 
2 7 
2 7 
Total: 8 Total: 28 
Si se agregan 4 veces, dos dulces y 7 dulces y 
chocolates, se obtienen 28 chocolates en total, 
por lo tanto, hay 8 dulces. 
Como la razón es 
2
7
, debe estar en proporción con 
la nueva razón de consecuente 28 debe ser 
equivalente, es decir: 
 
2
7
=
𝐷𝑢𝑙𝑐𝑒𝑠
28
 
 
 
 
Para que la nueva razón sea equivalente, si 
aumentó 4 veces el consecuente, el antecedente 
también lo tendrá que hacer, por lo tanto: 
2 dulces · 4 = 8 dulces 
 
Método 3 
2
7
=
𝐷𝑢𝑙𝑐𝑒𝑠
28
 
Por el teorema fundamental de las proporciones, se tiene: 
7 ∙ 𝑑𝑢𝑙𝑐𝑒𝑠 = 2 ∙ 28 
7𝑑𝑢𝑙𝑐𝑒𝑠 = 56 
𝑑𝑢𝑙𝑐𝑒𝑠 =
56
7
 
𝑑𝑢𝑙𝑐𝑒𝑠 = 8 
 
 
 
· 4 
 
 
18 
 
1
8 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
c) Si el miércoles la caja tiene en total 90 golosinas, ¿Cuántos dulces y cuántos chocolates tiene? 
Método 1 Método 2 
Como, por cada 2 dulces debe haber 7 chocolates, 
podemos completar una tabla en la que se 
agreguen las golosinas según esto y analizar el 
total de golosinas que se va obteniendo: 
Dulces Chocolates Total 
2 7 9 
En
 to
tal h
ay 9
0
 go
lo
sin
as 
2 7 9 
2 7 9 
2 7 9 
2 7 9 
2 7 9 
2 7 9 
2 7 9 
2 7 9 
2 7 9 
Total: 20 Total: 70 
 
En la caja hay 20 dulces y 70 chocolates. 
Como la razón es 
2
7
, se puede interpretar como que 
2 partes del total corresponden a dulces y 7 partes 
a chocolates, como cada parte debe tener la 
misma cantidad: 
 
 
Como hay 9 partes en total (2 de dulces y 7 de 
chocolates), 
90 ÷ 9 = 10 
Cada parte tendrá 10 dulces o 10 chocolates 
 
 
En la caja hay 20 dulces y 70 chocolates. 
 
10 10 10 10 10 10 10 10 10 
Método 3 
Como la razón es 
2
7
, debe estar en proporción con la nueva razón de consecuente 28 debe ser 
equivalente, es decir: 
𝐷𝑢𝑙𝑐𝑒𝑠
𝐶ℎ𝑜𝑐𝑜𝑙𝑎𝑡𝑒𝑠
=
2
7
 
 
Para que la nueva razón sea equivalente, lo que aumente (o disminuya) el antecedente debe estar en 
la misma proporción que aumente (o disminuya) el consecuente, por lo tanto, el valor por el cual se 
multiplique el antecedente, debe ser el mismo valor por el cual se multiplique el consecuente. 
𝐷𝑢𝑙𝑐𝑒𝑠
𝐶ℎ𝑜𝑐𝑜𝑙𝑎𝑡𝑒𝑠
=
2 ∙ 𝑥
7 ∙ 𝑥
 
Además, se sabe que: 
𝐷𝑢𝑙𝑐𝑒𝑠 + 𝐶ℎ𝑜𝑐𝑜𝑙𝑎𝑡𝑒𝑠 = 90 𝑔𝑜𝑙𝑜𝑠𝑖𝑛𝑎𝑠 
Por lo tanto: 
2𝑥 + 7𝑥 = 90 
9𝑥 = 90 
𝑥 =
90
9
 
𝑥 = 10 
Lo que significa que tanto el antecedente como el consecuente se deben aumentar 10 veces. 
90 golosinas en total 
 20 dulces 70 chocolates 
 
 
19 
 
1
9 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
𝐷𝑢𝑙𝑐𝑒𝑠
𝐶ℎ𝑜𝑐𝑜𝑙𝑎𝑡𝑒𝑠
=
2 ∙ 𝑥
7 ∙ 𝑥
=
2 ∙ 10
7 ∙ 10
=
20
70
 
 
En la caja hay 20 dulces y 70 chocolates. 
 
EJEMPLO 4: Problemas de variación proporcional directa e inversa 
a) Una persona viaja de Santiago a la Serena en un automóvil a una rapidez constante de 110 km/h 
durante 4 horas y media sin detenerse. Si el rendimiento de este vehículo en carretera es 19 km/l 
¿Cuántos litros de combustible ha consumido en el viaje? 
La rapidez 110 km/h significa que en una hora el vehículo ha recorrido 110 kilómetros, por lo tanto, la 
distancia recorrida en 4,5 horas se calcula 
4,5 ∙ 110 = 495 𝑘𝑚 
El rendimiento 19 km/l significa que con un litro de combustible se puede recorrer una distancia de 19 
km, luego los litros consumidos en 605 kilómetros se calculan 
495 ÷ 19 = 26,05 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 
Se ha consumido aproximadamente 26 litros de combustible. 
 
b) Una empresa constructora estima que se necesitan 8 obreros para construir una casa en un período de 
35 días. Sin embargo, el cliente solicita que no tarden más de 21 días. ¿Cuántos obreros, como mínimo, 
se requieren? 
Cantidad de obreros Tiempo en días 
8 35 
¿? 21 
Si el tiempo de construcción de la casa disminuye, entonces será necesario más obreros para realizarla, 
por lo tanto, la cantidad de obreros es inversamente proporcionalidad a los días. Luego, para calcular la 
constante de proporcionalidad se multiplican los valores correspondientes a cada variable. 
Cantidad de obreros Tiempo en días Constante de proporcionalidad 
8 35 8 ∙ 35 = 280 
¿? 21 𝑥 ∙ 21 = 280 
𝑥 ∙ 21 = 280 
𝑥 =
280
21
≈ 13,3 
Sabemos que la cantidad de obreros debe ser un número natural, es decir, 13 o 14. Entonces, para 
determinar cuál es la cantidad adecuada se calcula el tiempo en días para cada caso. 
Cantidad de obreros Tiempo en días 
8 35 
13 280
13
≈ 21,5 
14 280
14
≈ 20 
Se necesitan al menos 14 obreros para construir la casa en menos de 21 días. 
 
 
20 
 
2
0 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
EJEMPLO 5: Calculo de porcentaje 
Calcular el 12% de 500 
Método 1: como dice el primer punto de la definición, 12% =
12
100
, es decir, debemos determinar 
12
100
 de 
500, lo que se puede analizar gráficamente de la siguiente forma: 
 500 lo dividiremos en 100 partes iguales. 
 
 De estas 100 partes, necesitamos considerar 12 
 
 Como cada parte equivale a 5, se tiene 12 ∙ 5 = 60 
 
 Por lo tanto, el 12% de 500 es 60. 
En resumen, cada cuadrado corresponderá al 1% y con esta 
información, se determinar el porcentaje solicitado de forma 
proporcional: 
 
Método 2: como 12% es igual a 
12
100
= 0,12 
0,12 ∙ 500 = 60 
 
 
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 
1% → 5 
12% → 12 ∙ 5 = 60 
 
 
21 
 
2
1 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
EJEMPLO 6: Razones y porcentaje como comparación de dos cantidades de forma relativa. 
Isaac está analizando el crecimiento de dos árboles a los cuales les ha aplicado tratamientos distintos para 
acelerar el crecimiento, la primera vez que toma datos, el árbol A mide 24 cm y el árbol B 18 cm, les comienza 
a aplicar los tratamientos y pasado dos semanas vuelve a tomar datos para analizar cuál de los tratamientos 
ha sido más efectivo, en esta ocasión el árbol A mide 27,6 cm y el árbol B 20,9 cm 
Como los árboles inicialmente no miden lo mismo, debemos analizar cuánto ha crecido cada uno en relación 
su altura inicial. 
Árbol A: 27,6 cm – 24 cm = 3,6 cm creció entre la primera y segunda medición 
Árbol B: 20,9 cm – 18 cm = 2,9 cm creció entre la primera y segunda medición 
Comparación de su crecimiento 
Árbol Razón Valor de la razón Porcentaje 
A 
3,6
24
 
0,15 
 
Por cada cm que medía 
inicialmente, creció 0,15 cm 
15% 
 
Creció el 15% de lo que medía 
inicialmente 
B 
2,9
18
 
0,161̅ 
 
Por cada cm que medía 
inicialmente, creció 
aproximadamente 0,161 cm 
16,1% 
 
Creció el 16,1% de lo que medía 
inicialmente 
 
El tratamiento aplicado en el árbol B es más efectivo que el aplicado en el árbol A. 
 
 
 
 
22 
 
2
2 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS 
PROPUESTOS 
 
 
 
 
 
 
23 
 
2
3 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
1) La menor de dos poleas unidas por una correa hace 240 revoluciones por minuto, en tanto que la mayor 
hace 80. 
a) ¿Cuál es la razón de sus velocidades? 
b) ¿Cuál es el valor de la razóny cómo se interpreta este resultado? 
 
2) Un tren expreso marcha a la velocidad de 80 km/h mientras que un aeroplano vuela a 300 km/h 
Determine la razón de sus velocidades. 
 
3) En cada uno de los enunciados a continuación: 
 Establezca todas las razones posibles con las variables involucradas. 
 Calcule el valor de la razón en cada caso. 
 Interprete tanto las razones obtenidas como el valor de la razón en cada caso. 
 
a) Marta ha comprado 15 kg de tomates en $13.800 
 
b) Sofía tiene una receta en que le indica que con 2 ½ kg de harina, puede preparar 90 quequitos. 
 
c) Tomás va a iniciar un negocio de venta de ensaladas listas para servir, con dos lechugas medianas, 
cuyo peso total es de 900 grs ha podido preparar 18 porciones. 
 
4) Si 400 gramos de salmón ahumado cuestan $4.200. Establezca una razón, determine el valor de la razón, 
interprete y explique la utilidad de este resultado. 
 
5) Complete la siguiente tabla: 
Antecedente Consecuente Razón Valor de la razón 
300 500 
3
5
 0,6 
500 
1
2
 
 1000 
2
5
 
250 300 
 90 3 
 
6) Josefina tiene una caja con golosinas para sus alumnos, todos los días la revisa y completa cerciorándose 
que la razón entre los dulces y los chocolates sea siempre 3 es a 8. 
 
a) Al iniciar el lunes Josefina revisa la caja y se da cuenta que hay 44 dulces y 120 chocolates, ¿Debe 
agregar o quitar algunas golosinas? 
b) Sí el martes se sabe que en la caja hay en total 87 dulces, ¿Cuántos chocolates hay? 
c) Si el miércoles la caja tiene 187 golosinas, ¿Cuántos dulces y cuántos chocolates tendrá? 
 
 
24 
 
2
4 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
7) En un curso, la razón entre el número de niños y niñas es 3:2. Si el número de niños es 18, ¿cuál es el total 
de alumnos del curso? 
 
8) En una fábrica de muebles se producen diariamente sillas y sillones en una razón de 5:4. Si el número de 
sillones es 8. ¿Cuál es el número de sillas? 
 
9) Si una pieza fundida que pesa 14 kg cuesta $2.100, ¿cuánto costará una pieza que pesa 30 kg? 
 
10) Juan a pelado y cortado en rodajas 3 manzanas para deshidratar, de las cuales ha obtenido 48 rodajas. Va 
a vender porciones de manzana deshidratada, para esto ha calculado que cada porción debe estar 
compuesta por 40 rodajas. 
¿Cuántas manzanas debe comprar para hacer 12 porciones? 
 
11) Un alambre de cobre de 120 m de largo tiene una resistencia de 1.084 ohmios. ¿Cuál será la resistencia 
de un alambre de 750 m? 
 
12) Una polea de 60 cm de diámetro y que da 180 revoluciones por minuto, mueve a otra polea de 36 cm de 
diámetro. ¿Cuántas revoluciones por minuto dará la polea más pequeña? 
 
13) De acuerdo con la información de la etiqueta, determine: 
a) ¿Cuántos mg de acetaminofén hay en 10 ml? 
 
b) ¿Cuántos mg de acetaminofén hay en 15 ml? 
 
c) ¿Cuántos mg de acetaminofén hay en 12 ml? 
 
d) ¿Cuántos mg de acetaminofén hay en 9 ml? 
 
14) En una empresa, la razón entre los ingresos de 2 profesionales del área administrativa es de 10:12, el 
profesional de mayor ingreso declara una renta anual de 16,8 millones de pesos. ¿Cuál es el monto que 
declara el profesional de menores ingresos? 
 
15) Si se desperdician 4.892,4 kg de acero al tornear 18 ejes, ¿cuánto acero se desperdiciará al tornear 36 
ejes? Y ¿para al tornear 35 ejes? 
 
16) Un tambor metálico de aceite tiene una altura de 94 cm, lleno tiene una capacidad de 208 
litros y una masa de 12310 gramos. El indicador señala que el tanque está lleno hasta 50 
centímetros de altura, ¿cuántos litros de aceite contiene el tambor y cuál es su masa? 
 
17) Una receta de dos ingredientes de galletas indica que la razón entre la avena y plátanos es 360 
gramos de avena por cada 3 plátanos. Con esta cantidad se pueden preparar 12 galletas. Si tienes 5 
plátanos, ¿cuánta harina necesitas para la receta y cuántas galletas podrás preparar? 
 
 
 
25 
 
2
5 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
18) En cada una de las tablas que hay a continuación se presentan algunos datos 
correspondientes a distintas relaciones. Utilizando los valores dados en cada tabla, 
determina, la relación en cuestión es de proporcionalidad directa, de 
proporcionalidad inversa o no proporcional. Justifica tu respuesta. 
a) b) c) 
x y 
3 64 
16 12 
8 24 
 
x y 
2 4 
3 9 
4 16 
 
x y 
9 21 
6 14 
3 7 
 
 
19) Si las variables X e Y son directamente proporcionales, y se sabe que X disminuye a la quinta parte, ¿qué 
sucederá con Y? 
 
20) Si A es directamente proporcional al cuadrado de B, Si B se triplica, ¿Qué sucede con A? 
 
21) Un curso compuesto por 15 estudiantes debe adquirir un regalo, para lo cual cada integrante debe aportar 
una cuota de $2.500. Si el grupo aumenta en 7 integrantes, ¿cuál es el valor de la nueva cuota? 
 
22) Ocho obreros etiquetan en 3 horas 50 tarros. ¿Cuántos obreros etiquetarán la misma cantidad de tarros 
en 4 horas? 
 
23) Se emplean 8 máquinas para realizar un trabajo en 15 días. Si se dispone de tres máquinas menos, 
¿Cuántos días se emplearían en hacer el mismo trabajo? 
 
24) Examina cada uno de los siguientes gráficos y luego, determina si describe una relación de 
proporcionalidad directa, de proporcionalidad inversa o de otro tipo. Justifica tu respuesta. 
 
 
 
 
 
 
26 
 
2
6 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
25) Una embotelladora de bebidas dispone de botellas con las siguientes capacidades: 0,25l, 0,5l, 0,75l, 1l, 
1,25l, 1,5l, 2l, 2,5l y 3l. En la embotelladora necesitan embotellar 60 litros de bebida, y quieren 
repartirlos en botellas de un solo tipo. 
a) Define las variables de la situación y construye una tabla de valores, considerando en ella todos los tipos 
de botella de que dispone la embotelladora. 
b) Realiza un gráfico escribiendo en cada eje la variable que se está representando. 
c) Si se requiere que sean menos de 45 botellas, ¿qué capacidad deben tener las botellas? 
 
26) Complete la siguiente tabla se presentan figuras con una parte coloreada, determine la representación de la parte 
coloreada de forma fraccionaria, decimal y porcentual: 
Figura 
Fracción de la región 
coloreada 
Decimal que representa 
la región coloreado 
Porcentaje de la región 
coloreado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10% 
 
𝟑
𝟏𝟎
 
 
 0,2 
 
 
 
 
 
27 
 
2
7 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
27) Estima que porcentaje del círculo está pintado de cada color: 
 
 
28) Un tanque con agua ha bajado su 
nivel debido a la evaporación. Si 
la marca de color rojo indica el 
nivel inicial del agua, ¿Qué 
porcentaje del agua se evaporó 
aproximadamente? 
 
29) En la siguiente imagen 
se presenta un 
estanque con agua 
hasta la marca 
“inicial”. Si el agua 
disminuye en un 20%. 
Marca en el dibujo el 
nivel final del 
estanque y explica tu procedimiento. 
Gastón tiene un estanque con agua en su parcela el cual fue abastecido y llenado hasta el tope 
el viernes. Si el sábado utilizó el 20% de su contenido para riego de sus árboles frutales y el 
domingo el 50% de lo que quedaba para su piscina: 
a) Determina gráficamente el agua utilizada para árboles frutales y para la piscina. 
 
b) Si el estanque tiene una capacidad de 1300 litros, ¿Cuántos litros de agua quedaron luego 
de regar y colocar agua en la piscina? 
 
30) Complete las siguientes tablas por cuánto debe multiplicar los valores de la primera columna para obtener la 
segunda y por cuánto debe dividir los valores de la segunda columna para obtener los de la primera y, complete la 
tabla: 
 
 
Nº 28% del nº 
350 
16000 
 1148 
 42 
 
Nº 
El nº más su 
15% 
12300 
480 
 187,45 
 46 
 
Nº 
El nº menos el 
20% 
120 
8500 
 1840 
 272 
 
 
 
% 
% 
% 
% 
: : : 
· · · 
 
 
28 
 
2
8 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES31) Calcular el 12% del 18% de 845 
32) Calcular el 23% del 32% del 15% de 450 
33) Juan ha recibido la cuenta del almuerzo de él y de su señora, si desea dejar el 10% de propina y la cuenta es de 
$25.600, ¿Cuánto dinero dejará de propina? 
34) Considerando que el IVA corresponde al 19% del valor neto de un producto, complete: 
Valor neto IVA Valor bruto (iva incluido) 
$1780 
$12.400 
 $361 
 $4370 
 $8806 
 $7616 
 
35) Juan quiere calcular la ganancia que debe incorporar a cada producto de su negocio, ha determinado que 
cada artículo se recargará en un 30%, para esto comienzo a realizar los cálculos y completa la siguiente 
tabla: 
Artículo Valor neto Valor de venta (incluida la ganancia y el IVA) 
Lápiz pasta $300 $464 
Juego de 12 plumones $2.000 $3.094 
Set de útiles de 
escritorio 
$6.500 $10.056 
Corrector líquido $1.000 $1547 
Pack de 12 cuadernos 
universitarios 
$3.500 $5.414 
 
36) Si la tasa de desempleo en el Gran Santiago fue de 5,2% en diciembre de 2012, lo que equivale a 
156.900 personas desocupadas ¿Cuántas personas de Santiago tenían empleo en ese período? 
 
37) El precio de un artículo con IVA incluido es $56.990 ¿Cuánto dinero se paga por concepto de IVA (19%)? 
 
38) El precio de un perfume es $21.990. Se puede comprar al contado o en 8 cuotas de $3.126 cada una 
¿Cuál es, aproximadamente, el porcentaje de recargo sobre el precio contado al comprar el perfume en 
8 cuotas? 
 
39) Si se sabe que una boleta de honorarios retiene el 10,75% de impuestos ¿Por cuánto dinero se debe 
emitir una boleta para recibir líquido $480.000? 
 
 
 
 
29 
 
2
9 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
 Soluciones: 
1) a) La razón entre las revoluciones de la polea menor y mayor es 3:1 
b) La razón es 3 y se interpreta como por cada revolución de la menor, la mayor realiza 3 revoluciones por 
minuto. 
Observación: También es posible determinar la razón inversa. 
a) La razón entre las revoluciones de la polea mayor y menor es 1:3 
b) La razón es 0, 3̅ y se interpreta como por cada revolución de la mayor, la menor realiza 0, 3̅ revoluciones 
por minuto. 
2) La razón entre el tren expreso y el aeroplano es 4:15 
 La razón entre el aeroplano y el tren expreso es 15:4 
3) 
Variables Razón Interpretación Valor de la razón interpretación 
 Masa de 
tomates. 
 Precio de los 
tomates. 
Razón entre el precio y 
masa de los tomates es: 
13.800: 15 
O bien 
920: 1 
Por cada $13.800 se pueden 
comprar 15 kg de tomates. 
Por cada $920 se puede 
comprar 1kg de tomate 
920 
Cada 1 kg de 
tomates tiene un 
valor de $920 
Razón entre la masa y el 
precio de los tomates es: 
15: 13.800 
 O bien 
1: 920 
Cada 15 kg de tomates se 
necesitan $13.800 
0,001 
aproximadamente 
Con $1 se puede 
comprar 0,001 kg 
de tomates. 
 Cantidad de 
harina (en kg). 
 Cantidad de 
quequitos 
Razón entre los quequitos 
la harina es: 
90: 2,5 
O bien: 
36: 1 
Se necesitan 2,5 kg de harina 
por cada 90 quequitos. 
 
Se necesitan 1 kg de harina 
por cada 36 quequitos. 
36 
Con 1 kg de harina 
se pueden preparar 
36 quequitos. 
Razón entre la harina y los 
quequitos que se pueden 
preparar es: 
2,5: 90 
O bien: 
1: 36 
Se necesitan 2,5 kg de harina 
por cada 90 quequitos. 
 
Se necesitan 1 kg de harina 
por cada 36 quequitos. 
0,027̅ kg 
Para 1 quequito se 
necesitan 0,027̅ kg 
de harina. 
 Lechugas. 
 Masa de las 
lechugas. 
 Porciones. 
La razón entre la masa de 
las lechugas y la cantidad 
de lechugas es: 
900: 2 
O bien: 
450: 1 
Por cada 900 gramos se 
tienen 2 lechugas. 
 
Por cada 9045gramos se 
tienen 1 lechuga. 
450 
Cada lechuga pesa 
aproximadamente 
450 gramos 
 
 
30 
 
3
0 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
La razón entre la masa de 
las lechugas y el número de 
porciones es: 
900: 18 
O bien: 
50: 1 
Por cada 900 gramos de 
lechuga se obtienen 18 
porciones. 
 
Por cada 50 gramos de 
lechuga se obtienen 1 
porciones. 
50 
Cada porción se 
forma con 50 
gramos de lechuga. 
La razón entre las 
porciones y las lechugas es: 
18: 2 
O bien: 
9: 1 
Para 18 porciones se 
necesitan 2 lechugas. 
 
Para 9 porciones se necesitan 
1 lechugas 
9 
De cada lechuga se 
obtienen 9 
porciones. 
 
Observación: en el ejercicio 4c, se deja al lector determinar las razones inversas. 
4) Razón entre el precio y la masa de salmón: 
$4.200
400 𝑔
. El valor de la razón es $10,5. Esto se interpreta como 
que, cada gramo de salmón cuesta $10,5. La utilidad de este resultado es principalmente para determinar el valor 
de x gramos de salmón, ya que, si se tiene, por ejemplo, 420 gramos, para determinar el precio se debe multiplicar 
420 · $10,5; lo que da como resultado $4.410. 
Observación: Puede resolver el ejercicio pasando los gramos a kg o bien determinando la razón inversa. 
5) 
Antecedente Consecuente Razón Valor de la razón 
300 500 
3
5
 0,6 
500 1000 
1
2
 0,5 
400 1000 
2
5
 0,4 
250 300 
𝟓
𝟔
 𝟎, 𝟖�̅� 
270 90 
𝟑
𝟏
 3 
 
6) a) Debe agregar 1 dulce, o 4 dulces y 8 chocolates, o 7 dulces y 16 chocolates, etc. 
b) La caja tiene 232 chocolates 
c) La caja tiene 51 dulces y 136 chocolates. 
 
7) 30 alumnos en total. 
8) 10 sillas. 
9) Costará $4500 
10) Se deben comprar 30 manzanas. 
 
 
31 
 
3
1 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
11) Tendrá una resistencia de 6775 ohmnios. 
12) La más pequeña dará 108 revoluciones por minuto. 
13) a) 50 mg b) 75 mg c) 60 mg d) 45 mg 
14) 14 millones 
15) 9784,8 kg de acero 
16) 110,638 litros y 6547,872 kg 
17) Necesita 600 gramos de harina y podrá preparar 20 galletas. 
18) La primera corresponde a PI porque la multiplicación entre sus variables correspondientes es constante. 
La segunda no corresponde a proporcionalidad directa ni inversa, ya que ni la multiplicación ni la división 
entre sus valores correspondientes es constante. La tercera corresponde a PD, ya que la división entre los 
valores correspondientes es constante. 
19) Y disminuye la quinta parte también. 
20) A aumenta nueve veces. 
21) $1705 
22) 6 obreros 
23) 24 días. 
24) El segundo corresponde a proporcionalidad inversa y el último a directa. 
25) Las variables son: capacidad de la botella y cantidad de botellas para envasar. 
 
Capacidad de 
la botella (L) 
Cantidad de 
botellas 
0,25 420 
0,5 120 
0,75 80 
1 60 
1,25 48 
1,5 40 
2 30 
2,5 24 
3 20 
 
 Para utilizar menos de 45 botellas, la capacidad de cada una debe ser mayor o igual a 4/3 litros. 
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
C
an
ti
d
ad
 d
e 
b
o
te
lla
s
Capacidad de la botella (L)
Embotelladora de Bebidas
 
 
32 
 
3
2 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
26) 
Figura 
Fracción de la región 
coloreada 
Decimal que representa 
la región coloreado 
Porcentaje de la región 
coloreado 
 
½ 0,5 50% 
 
1/3 0,333.. 33,3% 
 
¼ 0,25 25% 
 
¾ 0,75 75% 
 
1/5 0,2 20% 
 
½ 0,5 50% 
 
1/6 0,1666.. 16,7% 
 
13/25 0,52 52% 
 
3/5 0,6 60% 
 
1/10 0,1 10% 
 
𝟑
𝟏𝟎
 0,3 30% 
 
1/5 0,2 20% 
 
27) Aproximadamente 15% el sector amarillo, 30% el sector verde, 25% el sector naranjo y 30% el sector celeste. 
28) 25% aproximadamente 
 
29) 
 
 
 
 
 
33 
 
3
3 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
30) a) 
 
b) le quedaron 520 litros. 
 
31) 
 
 
 
Nº 28% del nº 
350 98 
16000 448 
4100 1148 
150 42 
 
Nº 
El nº más su 
15% 
12300 14145 
480 552 
163 187,45 
40 46 
 
Nº 
El nº menos el 
20% 
120 96 
8500 2800 
2300 1840 
340 272 
 
 
 
32) 18,252 
33) 4,968 
34) Dejarán de propina $2560 
35) 
Valor neto IVA Valor bruto (iva incluido) 
$1780 338 2.118 
$12.400 2.356 14.756 
1.900 $361 2.261 
23.000 $4370 27.370 
7.400 1.406 $8806 
6.400 1.216 $7616 
: 0,28 
 
: 1,15 : 0,8· 0,28 · 1,15 · 0,8 
 
 
34 
 
3
4 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
36) 
Artículo Valor neto Valor de venta (incluida la ganancia y el IVA) 
Lápiz pasta $300 $453 
Juego de 12 plumones $2.000 
Set de útiles de 
escritorio 
$6.500 
Corrector líquido $1547 
Pack de 12 cuadernos 
universitarios 
 $5.414 
37) Aproximadamente 2.860.409 personas con empleo. 
38) IVA = $10.811 
39) De aproximadamente 13,7% 
40) La boleta debe ser emitida por $537.815 
 
 
 
 
35 
 
3
5 
UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
Problemas no rutinarios 
1) Pedro y Francisca están realizando una competencia, quieren saber cuál de los dos puede 
dar el salto más alto, para esto toman un plumón y al dar el salto marcan una línea en la 
muralla, luego miden a qué distancia del suelo se encuentra cada uno para determinar 
el ganador. La marca de Pedro se encuentra a 2,6 metros del suelo y la de Francisca a 2,4 
metros. Un amigo de ambos dice que para ser justos hay que tomar en cuenta la estatura 
de cada uno. Si Pedro mide 1,7 metros y Francisca 1,6 metros. 
¿Cuánto debería haber saltado Pedro para tener el mismo rendimiento que Francisca 
considerando la estatura de cada uno? 
 
2) De acuerdo con la información de la siguiente tabla en donde se entrega el aporte nutricional por cada 
100 gramos de cada alimento: 
Frutas 
deshidratadas 
Energía 
Hidratos de 
carbono 
Proteínas Grasas 
Ciruela 255 kcal 67,4 g 21 g 0,6 g 
Durazno 262 kcal 68,3 g 3,1 g 0,7 g 
Dátil 274 kcal 72,9 g 2,2 g 0,5 g 
Higo 274 kcal 69,1 g 4,3 g 1,3 g 
Pasa de uva 289 kcal 77,4 g 2,5 g 0,2 g 
 
¿Qué fruta tiene la mejor razón entre proteínas y grasa? 
 
3) Tres brujas se han aburrido de ver el pueblo en constantes peleas y 
enemistades y han decidido preparar una pócima para fomentar la felicidad 
de sus habitantes. 
Entre las tres discuten respecto a la preparación sin poder colocarse de 
acuerdo. Matilda dice que, si la preparación total está compuesta de 120 ml, 
15 ml deben corresponder al concentrado de la poción y el resto a agua de 
manantial, Adelaida dice: de una preparación total de 90 ml, 12 ml deben 
corresponder al concentrado de la pócima y el resto agua de manantial y 
Emelina de una preparación total de 128 ml, 16 ml de concentrado de la 
poción y el resto agua de manantial. 
a) ¿Cuál crees debe ser la preparación más adecuada para que el consumo de la pócima por los habitantes del 
pueblo asegure la felicidad de sus pobladores? Justifica tu respuesta. 
b) ¿Cómo puedes modelar la forma de calcular la cantidad de contenido de la botella a partir de la 
cantidad de poción que debe tomar cada uno? 
c) ¿Y cómo podrías modelar la situación para determinar la cantidad de poción a partir del contenido 
total que se desea tener en el envase? 
 
 
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UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
4) Dos analgésicos A y B han sido probados en dos muestras de personas, de edades y situación clínica similares, como 
remedio para la jaqueca. Se han obtenido los datos siguientes: 
Analgésico Mejoran No mejoran Total, de personas 
A 40 60 100 
B 90 210 300 
 
¿Son igualmente efectivos los dos analgésicos? 
 
 
 
 
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UNIDAD RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES 
 
Referencias: 
Block, D. y Martínez, P., 2020. [en línea] Villaeducacion.mx. Disponible en: 
<http://villaeducacion.mx/descargar.php?idtema=477&data=cac2c4_ELSALTODELASRANAS.pdf> 
[Consultado el 11 de marzo de 2020]. 
Díaz Godino, J., Font, V. and Batanero Bernabeu, M., 2002. Proporcionalidad. Granada: [s.n.].