SESION 7 - nataly De la cruz Rodriguez (1)

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO 
 
 
FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA 
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL 
 
 TEMA: 
Método de Rigidez en vigas: Coeficiente de rigidez y 
aplicaciones en vigas 
 
INTEGRANTES 
• BUIZA VALLE MILUSKA SHANTAL 
• FLORES GARCIA LESNER 
• MENACHO ALEGRE JHERMY FERNANDO 
• MOTONARES VALVERDE ENRIQUE YEANPOL 
• PACHECO PEREZ LUIGUI SEBASTIAN 
• VALVERDE COLLAZOS DANIELA 
 
 
 
DOCENTE: 
 
 
ING. MGTR. HENRY JOSEPH DEL CASTILLO VILLACORTA 
 
 
 
CHIMBOTE – PERU 
 
2023 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÍNDICE: 
Resumen………………………………..……………………………..……pg.2 
I. Introducción…………………………...……………………………pg.3 
II. Objetivos………………………………………………………… ..pg.4 
II.1. Objetivo principal……………………………….…...……………pg.4 
II.2. Objetivos secundarios…………………………………………..…….....…pg.4 
III. Aspectos metodológicos……………………...……………………………...pg.5 
III.1. Conceptos básicos……………………………………….…………...……pg.5 
III.2. Desarrollo……………………………………………………………………pg.6 
3.2.1 Método de rigidez...……………………..………………………………..pg.6 
Acciones y desplazamientos...……………………..…………………….……..pg.6 
Principio de superposición...……………………..………………….…………..pg.7 
Identificación de miembros y nodos...……………………..……….…………..pg.9 
Secuencia para el análisis...……………………..……………………….……..pg.7 
3.2.2 Método de flexibilidad………………………….…………………..….pg.15 
Considérese la viga continua sobre apoyos indeformables………………. Pg.16 
Tablas para reacciones y momentos de empotramiento perfecto………. Pg.17 
3.2.3 Ventajas de las estructuras hiperestáticas……………………….. Pg.18 
3.2.4 Desventajas de las estructuras hiperestáticas…………………...Pg.20 
3.2.5. Aplicación de los métodos en el análisis de una viga…...….….Pg.22 
IV. Conclusiones………………………………..………………………..….....pg.37 
V. Recomendaciones………………………….…………………..……….…..pg.37 
VI. Referencias Bibliográficas………………………………………………....pg.38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMEN 
La mayoría de las estructuras modernas son estáticamente indeterminadas, y 
con el método de flexibilidad es necesario establecer para una estructura dada 
el grado de indeterminación, que puede ser externa, interna o de ambas. 
Existen dos métodos generales para el análisis de estructuras. Uno es el método 
de las fuerzas (o de flexibilidad), en el que se introducen liberaciones para 
convertir la estructura en estáticamente determinada; se calculan los 
desplazamientos resultantes y se corrigen las inconsistencias en los 
desplazamientos con la aplicación de fuerzas adicionales en la dirección de las 
liberaciones. 
En el otro método de los desplazamientos (o de las rigideces), se introducen 
restricciones en los nudos. Se calculan las fuerzas restrictivas que se necesitan 
para impedir los desplazamientos de los nudos. Después se permite que se 
presenten los desplazamientos en la dirección de las restricciones hasta que 
éstas hayan desaparecido; de aquí se obtiene un conjunto de ecuaciones de 
equilibrio: su solución proporciona los desplazamientos desconocidos. Luego se 
determinan las fuerzas internas de la estructura mediante superposición de los 
efectos de estos desplazamientos y de los de la carga aplicada con los 
desplazamientos restringidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I. INTRODUCCIÓN. 
 
Las bases teóricas y métodos numéricos que se utilizan en el análisis 
estructural han sido formulados desde hace mucho tiempo. Estos 
principios plantearon la solución de las estructuras a partir de 
grandes sistemas de ecuaciones. Generalmente este planteamiento 
corresponde a un enfoque matricial. 
Hoy en día, el continuo desarrollo de la tecnología, nos permite 
encontrar equipo sofisticado, como es el caso de las calculadoras 
programables, las cuales nos permiten resolver problemas no tan 
complejos como los que resuelve una computadora personal, pero sí 
en forma cómoda y con resultados confiables. 
En este informe contiene los conceptos básicos de los métodos de 
flexibilidad y de rigidez. La formulación de los dos métodos, se hace 
mediante el álgebra matricial ya que, de esta forma, se hace posible 
abordar dichos métodos en términos generales desde el principio ya 
que permite una generalización inmediata a estructuras complejas, 
siendo ésta una de las ventajas principales de la notación matricial. 
 
 
 
 
 
II. OBJETIVOS 
2.1. OBJETIVO PRINCIPAL: 
✔ Entender los conceptos del método de rigidez y flexibilidad. 
2.2. OBJETIVO SECUNDARIO: 
✔ Llegar aplicar los métodos de rigidez y flexibilidad en el análisis de una 
estructura (viga). 
✔ Realizar el metrado de cargas que soporta la viga en el eje 2-2 en el 
plano adjunto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III. ASPECTOS METODOLÓGICOS. 
3.1. CONCEPTOS BÁSICOS. 
3.1.1. FUERZA. 
La fuerza es la capacidad para realizar un trabajo físico o un movimiento, así 
como también la potencia o esfuerzo para sostener un cuerpo o resistir un 
empuje. 
3.1.2. MÉTODOS PROGRAMABLES. 
Así para determinar esfuerzos sobre marcos o pórticos se usa frecuentemente 
el método matricial de la rigidez basado en el modelo de barras largas, que se 
analiza los elementos resistentes como elementos unidimensionales sometidos 
predominantemente a flexión. 
3.1.3. DETERMINACIÓN DE RESISTENCIA Y RIGIDEZ. 
A partir de los esfuerzos se pueden calcular directamente los desplazamientos y 
las tensiones. En el caso del método de los elementos finitos se suele determinar 
directamente el desplazamiento sin necesidad de calcular los esfuerzos internos. 
Una estructura correctamente diseñada además de ser funcional y económica 
debe cumplir obligatoriamente dos criterios razonables de seguridad: 
El criterio de resistencia, consistente en comprobar en que en ninguno de sus 
puntos el material sobrepasa unas tensiones admisibles máximas. 
El criterio de rigidez, consistente en comprobar que bajo las fuerzas y 
solicitaciones actuantes los desplazamientos y deformaciones de la estructura 
no sobrepasan un cierto límite. Dicho límite está relacionado con criterios de 
funcionalidad, pero también de estabilidad o de aplicabilidad de la teoría de la 
elasticidad lineal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2. DESARROLLO. 
3.2.1. METODO DE LA RIGIDEZ 
Es un método de cálculo aplicable a estructuras hiperestáticas de barras que se 
comportan de forma elástica y lineal. 
El método matricial se basa en estimar los componentes de las relaciones de 
rigidez para resolver las fuerzas o los desplazamientos mediante un ordenador. 
Las propiedades de rigidez del material son compilados en una única ecuación 
matricial que gobierna el comportamiento interno de la estructura idealizada. Los 
datos que se desconocen de la estructura son las fuerzas y los desplazamientos 
que pueden ser determinados resolviendo esta ecuación. El método directo de 
la rigidez es el más común en los programas de cálculo de estructuras (tanto 
comerciales como de fuente libre). 
3.2.1.1. ACCIONES Y DESPLAZAMIENTOS 
Las acciones son aquellas fuerzas o pares de tal manera que combinados deben 
guardar relación. Si la carga en una viga simplemente apoyada AB, es posible 
pensar en la combinación de las dos cargas mas las reacciones RA y RB en los 
apoyos como una sola acción, puesto que las cuatro guardan una relación única 
la una con la otra. 
Los desplazamientos generalmente son la traslación o rotación en un punto. Una 
traslación se refiere a una distancia recorrida y la rotación significa un ángulo de 
rotación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2.1.2. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN 
Es uno de los principios más importantes en el análisis estructural, siempre en 
cuando exista una relación lineal entre las acciones y desplazamientos (causa y 
efecto). En general, el principio dice que los efectos producidos por varias causas 
pueden obtenerse combinando los efectos debidos a las causas individuales. 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Hiperest%C3%A1tico
https://es.wikipedia.org/wiki/Elasticidad_%28mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos%29
https://es.wikipedia.org/wiki/No_linealidadPara ilustrar este principio, las acciones y los desplazamientos causados por A1 
y A2 actuando separadamente pueden combinarse para obtener los efectos por 
A1 y A2 y así formar las ecuaciones de superposición. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La Rigidez es la carga que se requiere aplicar en un Punto para ocasionar un 
desplazamiento unitario 
 
 
 
 
 
 
 
 
El Principio de Superposición de Desplazamientos-Matriz de Rigidez. 
El orden de aplicación a los desplazamientos no influye en la deformación final 
de la estructura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2.1.3. IDENTIFICACIÓN DE MIEMBROS Y NODOS 
Para aplicar el método de la rigidez a vigas, debemos primero identificar como 
subdividir la estructura en sus componentes de elemento finitos. En general, los 
nodos de cada elemento se localizan en un soporte, en una esquina o un nodo, 
en los que se aplica una fuerza externa o donde va a determinar el 
desplazamiento lineal o rotacional en un punto (nodo). 
3.2.1.3.1. GRADO DE LIBERTAD 
Los grados de libertad no restringidos de una estructura representan las 
incógnitas principales en el método de la rigidez y por tanto, deben ser 
identificados los miembros de nodos y que se ha establecido el sistema global 
de coordenadas, pueden determinarse los grados de libertad de la estructura. 
3.2.1.3.2. DETERMINAR EL GRADO DE LIBERTAD DE LA ESTRUCTURA 
La viga tiene tres elementos y cuatro nudos, que están identificados en la figura, 
los números que se han asignado, representa el grado de libertad no restringido. 
3.2.1.4. ANÁLISIS DE UNA VIGA CINEMATICAMENTE INDETERMINADA 
Si una estructura es cinemáticamente indeterminada de mayor grado al primero, 
se debe introducir un acercamiento más organizado para la solución, así como 
una notación más generalizada. 
Entonces si se tiene una viga, con una rigidez a la flexión constante EI, se analiza 
de la siguiente manera: 
 
 
 
 
3.2.1.4.1. SECUENCIA PARA EL ANÁLISIS 
PASO Nº1 
Se determina el grado de indeterminación cinemática, despreciando las 
deformaciones axiales, donde “d1” y “d2” (segundo grado) son las rotaciones 
tomando positivo las manecillas del reloj. 
 
 
 
PASO Nº2 
Ahora lo que se busca es impedir que los nudos de la estructura se desplacen 
y esto se logra empotrando cada tramo de la viga. 
 
Estas acciones ADL1 y ADL2 se pueden calcular con la ayuda de una tabla para 
momentos de empotramiento en vigas. 
PASO Nº4 
Ahora se tiene que calcular los coeficientes de rigidez s en los nudos “B” y “C”, 
esto se logra dando desplazamientos unitarios a d1 y d2 según como se muestra 
en la figura. 
Si: 
 
 
Para el cálculo de S11, S21, S12 y S22 se hace uso de tablas con momentos sujetas 
a rotaciones. 
PARA EL TRAMO BA Y BC SE TIENE 
PARA EL APOYO B 
 
Tramo BA; 
 
 Tramo BC; 
 
 
 
 
Sumando (1) y (2) 
 
PARA EL APOYO C 
Cuando θ=1 
 
 
 
 
 
 
Tramo CB; 
 
PARA EL APOYO C 
Cuando θ =1 
III.2.2. MÉTODO DE FLEXIBILIDAD O DE LAS FUERZAS. 
Son convenientes para el análisis de estructuras, con unos cuantos elementos 
redundantes. Se suprimen un número suficiente de estas redundantes, de modo 
que se logre una estructura estáticamente determinada, o sea, la estructura por 
analizar se convierte en una estructura isostática en la que se satisfacen las 
condiciones de equilibrio. Se calculan los desplazamientos (lineales o angulares) 
en la dirección de las redundantes canceladas. 
Las redundantes deben ser de una magnitud tal que fuercen a sus puntos de 
aplicación a volver a su posición original de deflexión nula. Se establece una 
ecuación para la condición de deflexión en cada redundante y éstas se despejan 
de las ecuaciones resultantes. Estos métodos también se usan para deducir las 
relaciones de fuerza-deformación en los miembros, necesarias para desarrollar 
los métodos de los desplazamientos. 
3.2.2.1. CONSIDÉRESE LA VIGA CONTINUA SOBRE APOYOS 
INDEFORMABLES 
Sea la siguiente viga hiperestática con un Grado de Hiperestaticidad: 
Hay tres reacciones, una de ellas se toma como redundante, en este caso 
tomaremos R1. 
Si no existiera el apoyo 1 las cargas provocarían un desplazamiento en ese 
punto. 
 
Si el apoyo 1 no existe el punto se desplaza un valor δ1 hacia abajo, para 
determinar ese desplazamiento usando el método de la carga unitaria, basta con 
poner una carga unitaria en el punto y aplicar la expresión: 
 
 
 
 
 
Para poder determinar el desplazamiento que hace la carga unitaria en el punto 
1 (δ11) se debe aplicar: 
 
 
 
 
El verdadero valor de desplazamiento que hace R1 para llevar el punto 1 a su 
lugar original será: δ11R1 , entonces la ecuación de compatibilidad de deflexiones 
será: 
 
 
 
De ahí en adelante el problema se vuelve estáticamente determinado. 
Suponiendo un problema con n redundante el sistema de ecuaciones quedaría: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2.2.2. TABLAS PARA REACCIONES Y MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO 
PERFECTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2.3. VENTAJAS DE LAS ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS 
3.2.3.1. ESFUERZOS MENORES: En general, los esfuerzos máximos en las 
estructuras estáticamente indeterminadas son menores que en las estructuras 
determinadas. Considérese, los diagramas de momentos flexionantes para las 
vigas mostradas, debido a una carga uniformemente distribuida, w 
Se puede ver, a partir de las figuras mostradas, que el momento flexionaste 
máximo (y en consecuencia, el esfuerzo máximo de flexión) en la viga 
indeterminada es significativamente inferior al de la determinada. 
3.2.3.2 AHORRO DE MATERIALES: por lo antes expuesto, se permite la 
utilización de elementos de menor escuadría, con un ahorro de material 
posiblemente del orden de 10 a 20% del acero utilizado en puentes. 
Un elemento estructural de dimensiones dadas podrá soportar más carga si es 
parte de una estructura continua, que si estuviera simplemente apoyada. La 
continuidad permite el uso de elementos de menores dimensiones para las 
mismas cargas y claros, o bien, un mayor espaciamiento de los apoyos para 
elementos de iguales dimensiones. La posibilidad de utilizar menos columnas en 
edificios, un menor número de pilares en el caso de puentes, puede ocasionar 
una reducción global de los costos. 
Las estructuras de concreto armado de tipo monolítico se erigen de manera que 
son naturalmente continuas y estáticamente indeterminadas. La instalación de 
articulaciones y otro mecanismo de apoyo necesario para convertir tales 
sistemas estructurales en isostáticos, no sólo presentarían difíciles problemas de 
construcción sino que además elevaría bastante los costos. 
 
 
3.2.3.3 MAYOR RIGIDEZ Y MENORES DEFLEXIONES: en general, las 
estructuras hiperestáticas son más rígidas que las isostáticas y sus deflexiones 
o deformaciones son menores. Además, tienen mayor estabilidad frente a todo 
tipo de cargas (horizontales, verticales, móviles, entre otras). 
Según el ejemplo anterior la deflexión máxima de la viga indeterminada sólo es 
la quinta parte de la correspondiente a la determinada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2.3.4 REDUNDANCIAS: las estructuras hiperestáticas, si se diseñan en forma 
apropiada, tienen la capacidad para redistribuir las cargas cuando ciertas partes 
estructurales se llegan a desplomar en los casos de sobrecarga debidas a 
temblores de tierra, tornados, impactos (por ejemplo explosiones o choques de 
vehículos) y otros eventos. Las estructuras hiperestáticas tienen más miembros 
o reacciones en los apoyos, o ambas características, que los requeridos por la 
estabilidad estática, de modo que si una parte (o miembro o apoyo) de esa 
estructura falla, la estructura completa no se desplomará inevitablemente y las 
cargas se redistribuirán a las partes adyacentes de la estructura. 
Considere las siguientes vigas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponga que las vigas están sosteniendo un puente sobre una vía acuática y 
que se destruyeel pilar de en medio, B, cuando una barcaza choca de manera 
accidental con él. En virtud de que la viga isostática se encuentra apoyada en el 
número suficiente de reacciones requeridas para la estabilidad estática, la 
eliminación del apoyo B, causará que la estructura completa se desplome como 
se muestra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si se supone que la viga ha sido diseñada para soportar sólo carga muerta, en 
el caso de un accidente de este tipo, el puente se cerrará al tránsito hasta que 
se repare el pilar B y después se volverá a abrir. 
 
3.2.4. DESVENTAJAS DE LAS ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS 
 
3.2.4.1 ESFUERZOS DEBIDO A ASENTAMIENTO EN LOS APOYOS: 
Los asentamientos de los apoyos no causan asentamientos en las estructuras 
isostáticas; sin embargo pueden inducir esfuerzos significativos en las 
hiperestáticas. Las estructuras hiperestáticas no son convenientes en todos 
aquellos casos donde las condiciones de cimentación sean impropias, pues los 
asentamientos o ladeos que se presenten en los apoyos de la estructura por 
leves que parezcan, pueden causar cambios notables en los momentos 
flexionantes, fuerzas cortantes, esfuerzos totales y reacciones. 
 
3.2.4.2 INVERSIÓN DE LAS FUERZAS: Generalmente en las estructuras 
hiperestáticas se produce un mayor número de inversiones de fuerzas que en 
las estructuras isostáticas. En ocasiones se requiere de más material de refuerzo 
en ciertas secciones de la estructura, para resistir los diferentes estados de 
esfuerzos. 
 
 
IV. CONCLUSIONES. 
✔ Se llegó a entender los conceptos del método de rigidez y flexibilidad. 
✔ Se llegó aplicar los métodos de rigidez y flexibilidad en el análisis de una 
estructura (viga). 
✔ Se logró realizar el metrado de cargas que en una viga en el eje 2-2 del 
plano adjunto. 
 V. RECOMENDACIONES. 
✔ Se recomienda aplicar adecuadamente los métodos de rigidez y 
flexibilidad. 
Se recomienda fomentar este tipo de investigación ya que permite al estudiante 
relacionar los conceptos teóricos con la práctica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VI. REFERENCIAS BIBLIOGRAFÍAS. 
 
Helia M.Padilla Punzo. https://es.scribd.com/document/57102809/Metodo-de-la-
rigidez-y-de-la-flexibilidad 
 
Kassimali, Aslam. 
(2001)http://www.uru.edu/fondoeditorial/analisismatricial/cap3me.pdf 
 
https://es.scribd.com/document/57102809/Metodo-de-la-rigidez-y-de-la-flexibilidad
https://es.scribd.com/document/57102809/Metodo-de-la-rigidez-y-de-la-flexibilidad
http://www.uru.edu/fondoeditorial/analisismatricial/cap3me.pdf