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FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA ESCUELA
PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
INFORME ACADÉMICO
“OPERACIONES MATRICIALES - SOLUCION DE SISTEMA
DE ECUACIONES"
CURSO: ANALISIS ESTRUTURAL II
INTEGRANTES DEL GRUPO
● De la Cruz Rodríguez, Nathaly Nicole
(0000-0001-5721-696X)
● Huamanchumo Castañeda, Renzo Giovanni
(0000-0001-9805-8670)
● Mejía De la Cruz, Raúl Antonio (0000-0001-5649-7894)
DOCENTE:
ING. MGTR. HENRY JOSEPH DEL CASTILLO VILLACORTA
CHIMBOTE –PERU
INTRODUCCIÓN: 
 
 
 
 
 
Antes de comenzar a desarrollar numerosos ejercicios 
de matrices en clase, es indispensable que 
conozcamos los conceptos básicos de estas. Por tanto, 
hemos hecho este informe con el fin de aclarar tus 
dudas acerca de las diversas maneras de desarrollar 
ejercicios de matrices. En esta ocasión; nosotros como 
grupo, nos concentraremos principalmente en 
“Sistema de ecuaciones de matrices”, el cuál es muy 
amplio y variado que nos servirá de mucho en nuestro 
desenvolvimiento académico en esta unidad. 
Por lo expuesto, hay que tener en cuenta que el 
siguiente informe se realiza bajo los fundamentos y 
conceptos de Ecuaciones de matrices, estudiados y 
practicados en clase, como también hemos optado por 
investigar en libros virtuales y páginas confiables las 
cuales nos facilitarán a la comprensión de este tema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analizar la definición de sistemas de Ecuaciones Lineales 
(Conjunto de una o más ecuaciones de primer grado 
con dos o más variables) ya que luego de este saber 
previo podremos identificar una ecuación lineal. 
Representar un sistema lineal mediante la notación 
matricial. 
 
Comprobar un sistema de ecuaciones lineales 
mediante el método de Cramer, Gauss y la matriz 
inversa. 
 
Reconocer y aplicar algunas propiedades que existen en 
ecuaciones lineales. 
 
Realizar las operaciones de suma, resta y 
multiplicación en ecuaciones lineales.
OBJETIVOS: 
 
 
 
 
 
MARCO TEÓRICO 
 
ECUACIONES DE MATRICES 
 
 
Una ecuación matricial es una ecuación donde la incógnita es una matriz. 
Para resolver una ecuación matricial se transforma la ecuación inicial en otra 
equivalente usando las propiedades de las matrices. 
 
• Es importante recordar algunas propiedades en las que nos basaremos: 
El producto de matrices no es conmutativo 
• Para resolver las ecuaciones matriciales, primero despejamos la matriz incógnita 
y después realizamos las operaciones con matrices resultantes. 
Algunos ejemplos de ecuaciones matriciales, cómo despejar la matriz incógnita: 
 
• Las matrices que estén sumando o restando podemos pasarlas al otro miembro 
cambiando de signo (igual que en las ecuaciones con números) 
• Multiplicamos por la inversa a la izquierda en ambos miembros: 
 
• En este ejemplo tenemos que hacerlo por la derecha 
 
 
 
 
 
• La matriz “X” se encuentra multiplicada por una matriz por la izquierda y por 
otra por la derecha. Debemos multiplicar por la inversa correspondiente a cada 
lado. 
 
(Primero pasamos al lado derecho los sumandos) 
 
 
(Luego pasamos al lado derecho los sumandos) 
 
 
Podemos sacar factor común porque en ambos términos la matriz va 
multiplicando por la derecha 
 
multiplicamos por la inversa por la izquierda 
 
𝟒𝐱 + 𝟖𝐲 = 𝟐 
 
𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟑 
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnita y coeficientes en un 
cuerpo K (como los reales o los complejos) es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A los elementos ai j se les denomina coeficientes del Sistema de Ecuación y a 
los bi términos independientes. 
 Un ejemplo de un Sistema de Ecuaciones de 2 ecuaciones y 2 incógnitas es: 
 
 
 El sistema de la definición lo podemos expresar matricialmente como 
 
Donde 
 
 
 
Llamamos matriz de coeficientes a la matriz A, matriz de términos 
independientes a b y matriz incógnita a X. 
 
Definimos la matriz completa del sistema como la matriz compuesta por la matriz A a 
la izquierda y la b a la derecha, es decir 
 
Ejemplo: 
4𝑥 + 8𝑦 = 2 → 𝐴 = ( 
3x + 5y = 3 
) 
 
 
4 8) 𝑏 = 2) 𝐴∗ = 4 8 2 ( ( 
3 5 3 3 5 3 
 
 
 
 
 
 Sistema incompatible (SI): el sistema que no tiene solución. No existen 
valores para las incógnitas. 
 
Ejemplo: 
 
 
3x 
 
+2y 
 
+ z 
 
= 
 
1 
 
 
 
5x 
 
+3y 
 
+4z 
 
= 
 
2 
 
x 
 
+ y 
 
- z 
 
= 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sistema compatible determinado (SCD): existe una solución y es única, es 
decir, sólo hay una. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema compatible indeterminado (SCI): Un sistema compatible 
indeterminado tiene varias soluciones. 
 
Ejemplo: 
 
 
 
11. Se despeja una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones del sistema. 
22. Se sustituye en la otra ecuación la variable x, por su valor anterior: 
4
4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada. 
 
 
Método de sustitución: 
Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones del sistema. 
Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación del sistema, 
obteniendo una ecuación con una sola incógnita 
El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la 
incógnita despejada. 
Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema de 
ecuaciones . 
 
 
 
 
 
 
 
 
3𝑥 = −4𝑦 
4𝑦 
𝑥 = − 
3 
 
 
 
2 (− 
4𝑦 
 
 
3 
 
) + 3𝑦 = −1 
 
 
 
− 
8𝑦 
+ 3𝑦 = −1 −8𝑦 + 9𝑦 = −3 𝑦 = −3 
3 
 
33. Resolvemos la ecuación obtenida: 
 
 
 
 
 
Método de igualación 
2𝑥 + 3𝑦 = −1 
2𝑥 + 3(−3) = −1 
2𝑥 − 9 = −1 
2𝑥 = 8 𝑥 = 4 
 
Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones del sistema. 
Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con 
una incógnita. 
Se resuelve la ecuación. 
El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en 
las que aparecía despejada la otra incógnita. 
Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema de 
ecuaciones . 
 
 
 
1. Se despeja, la incógnita x de la primera y segunda ecuación: 
 
 
 
 
 
2. Igualamos ambas expresiones: 
 
 
 
Método de reducción 
Se multiplica por los números que convenga. 
La restamos, y desaparece una de las incógnitas. 
Se resuelve la ecuación resultante. 
El valor que se obtiene se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se 
resuelve. 
Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. 
Ejemplo 
 
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial. 
 
 
C1 b 
C2 e 
C3 h 
= 
A
 
c 
f 
i 
b c 
D e f 
G h i 
Método de Cramer 
Es un método basado en la solución de determinantes que se utiliza para resolver 
sistemas de ecuaciones con dos o más incógnitas. 
 Sea el sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas. 
Ax1 + bx2 + cx3 = C1 
Dx1 + ex2 + fx3 = C2 
Gx1 + hx2 + ix3 = C3 
 
 Primero se determina la determinante general del sistema con los coeficientes de 
las incógnitas. 
G= a 
d 
g 
b 
e 
h 
c 
f 
i 
 
 
 Cuando se plantea el determínate de una incógnita, se elimina la columna 
de los coeficientes de esa incógnita y se constituye por la columna de los 
valores constantes a los que están igualadas las ecuaciones. 
 
 
 
 Donde A(i) es la matriz que resulta al sustituir en A la columna i por la columna 
de términos independientes, b, es decir 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
x + y + z = 1 
∆= x + y + z = 1 
-x + y + z = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matriz inversa: 
 
 
 
El método consiste en que si A es regular (por tanto, el sistema es compatible 
determinado) podemos multiplicar el sistema por la inversa de A, A-1: 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
• Las matrices asociadas al sistema son 
 
 
 
 
• Con lo que la solución del sistema es 
 
 
 
 
 
Rouché-Frobenius 
El enunciado del teorema es el siguiente: 
 
Sea A·X = B un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (sobre un 
cuerpo en general), siendo m y n naturales (no nulos). A·X = B es compatible si, y sólo si, rango(A) = rango (A | B). 
 A·X = B es compatible determinado si, y sólo si, rango(A) = n = rango(A | B). 
 
 r = r' ≠ n Sistema compatibl e indeterminado. 
 
 r ≠ r' Sistema incompatible. 
 
Ejemplos: 
 
 
 
1. Tomamos la matriz de los coeficientes y le hallamos el rango. 
 
 
 
 
r( A) = 3 
 
2. Hallamos el rango de la matriz ampliada 
 
 
 
r( A') = 3 
 
 
 
 
3. Aplicamos el teorema de Rouché. 
 
 
 
 
MÉTODO DE GAUUS 
El método de Gauss-Jordan utiliza operaciones con matrices para resolver sistemas de ecuaciones 
de “n” números de variables. 
Para aplicar este método solo hay que recordar que cada operación que se realice se aplicara a 
toda la fila o a toda la columna en su caso. 
El objetivo de este método es tratar de convertir la parte de la matriz donde están los 
coeficientes de las variables en una matriz identidad. Esto se logra mediante simples 
operaciones de suma, resta y multiplicación. 
 
 
El procedimiento es el siguiente: 
 
 
• Primero se debe tener ya el sistema de ecuaciones que se quiere resolver y que puede 
ser de “n” número de variables por ejemplo: 
 
✓ -3x+3y+2z=1 
✓ 4x+y-z=2 
✓ x-2y+z=3 
 
• Se acomodan los coeficientes y los resultados en una matriz: 
 
-3 3 2 1 
4 1 -1 2 
1 -2 1 3 
 
 
• En el ejemplo, el -3 de la primera matriz se tiene que convertir en un 1, según la 
matriz identidad, así que hay que dividir entre -3, pero como una operación se 
aplica a toda la fila, entonces toda la primera fila se tiene que dividir entre –3: 
 
 
-⅓ -3 3 
2 
1 -1 -⅔ -⅓ 
4 1 -1 
1 -2 1 
 4 1 -1 2 
1 -2 1 3 
1 
2 
3 
/3 
• Después, como se ve en la matriz identidad, hay que hacer 0 toda la columna debajo del 
1, y se hace multiplicando por algo la fila de arriba y sumándola a la fila de abajo. 
 
En este caso, se multiplica por -4 la fila de arriba y se suma con la correspondiente 
posición de la fila de abajo: 
 
 
 
• Para hacer cero el siguiente renglón simplemente hay que multiplicar por –1 al primer 
renglón sumarlo al tercero: 
 
 
 
1 -1 -⅔ -⅓ 1 -1 -⅔ -⅓ 
0 5 5/3 
-R1+ R3 1 -2 1 
10/3  0 5 5/3 
3 0 -1 5/3 
10/3 
10/3 
 
• El siguiente paso para lograr una matriz identidad es obtener el siguiente 1, que en este 
caso iría en donde esta el 5 en la segunda fila. Para lograrlo hay que dividir toda la 
segunda fila entre 5: 
 
 
 
1/5 
1 -1 -⅔ 
0 5 5/3 
-⅓ 1 -1 -⅔ 
10/3  0 1 ⅓ 
-⅓ 
2/3 
0 -1 5/3 10/3 0 -1 5/3 
10/3 
 
 
• Después se tienen que hacer 0 los que están arriba y abajo del 1, que en este caso sería, 
para el que está arriba R2+R1: 
 
 
R2+R3 1 -1 -⅔ -⅓ 1 -1 -⅔ -⅓ 
= 
1 -1 -⅔ -⅓ 
0 1 ⅓ 2  0 1 ⅓ 2/3 0 1 ⅓ 2/ 
0 -1 5/3 10/3 0 0 6/3 12/3 0 0 2 4 
 
 
• Ahora hay que hacer cero la posición a12. En este caso con hacer R2+R1 es 
suficiente: 
 
R2+R1 1 -1 -⅔ 
0 1 ⅓ 
0 0 2 
-⅓ 1 0 -⅓ 
2/3  0 1 ⅓ 
4 0 0 2 
⅓ 
2/3 
4 
• Dividir entre 2 R3 nos permite encontrar el otro 1, el de la posición a33: 
3 
2 
3 
/3 
1 0 -⅓ 
0 1 ⅓ 
1/2 0 0 2 
⅓ 1 0 -⅓ 
2/3  0 1 ⅓ 
4 0 0 1 
⅓ 
2/3 
2 
 
 
 
• Ahora necesitamos ceros en las posiciones a13 y a23. Dividir entre ⅓ R3 y sumarlo 
a R1 nos permitirá encontrar uno de ellos: 
R3+R1 1 0 -⅓ ⅓ 1 0 0 
3/3 
= 
 
1 0 0 1 
0 1 ⅓ 
2
/  0 1 ⅓ 
2 
/ 0 1 ⅓ /3 
0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 
 
 
• El último cero lo logramos multiplicando por -⅓R3 y sumándolo a R2: 
 
-⅓ R3+R2 
1 0 0 1 1 0 0 
0 1 ⅓ 2  0 1 0 
0 0 1 2 0 0 1 
 
Al encontrar la matriz identidad se encuentra la solución del sistema de ecuaciones, pues 
esto se traduce a: 
 
✓ x = 1 ; y = 0 ; z = 2 
La comprobación es la siguiente: 
 
• -3(1)+3(0)+2(2)= -3+4 =1 
 
• 4(1)+(0)-(2)=4-2 =2 
 
• (1)-2(0)+(2)= 1+2 =3
1 
0 
2 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODO GRÁFICO 
SE REALIZAN LOS SIGUIENTES PASOS: 
1. Se despeja la incógnita (y) en ambas 
ecuaciones. 
2. Se construye para cada una de las 
ecuaciones la tabla de valores 
correspondientes. 
3. Se representan gráficamente ambas 
rectas en los ejes coordenados. 
4. Se hallan los puntos de intercepción. 
i) Las rectas se intersectan en un punt, 
cuyas coordenadas (a, b) es la solución 
del sistema (figura 1). 
ii) Las dos rectas coinciden, dando origen 
En el caso de la actividad 1. 
 
Las ecuaciones son: 
2x + 3y - z = 7 
x + 4y + 2z = 2 
x + y + z = 4 
 
Si sustituimos la incógnita z por un parámetro por ejemplo k, las ecuaciones quedarían del 
siguiente modo: 
2x + 3y - k = 7 
x + 4y + 2k = 2 
x + y + k = 4 
 
Estas ecuaciones se pueden graficar dándoles valores específicos al parámetro k, en forma 
de función lineal se pueden escribir del modo siguiente: 
 
y_1 = (7-2x+k)/3 
y_2 = (2-x-2k)/4 
y_3 = (4-x-k)/3 
 
 
2
2
 
2
2
 
 
 
 
 
Encontrar la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones 
mediante la intersección de planos y mediante la sustitución de 
la incógnita z por un parámetro k: 
x+ 8y - z = 9 
-2x + 5y- 7z = 2 
2x + y +6 z = 5 
 
-3x+ y - z 
= 15 7x + 
8y- 4z = 21 
x + 3y +5 z 
= 11 
2
3
 
2
4
 
Conclusiones: 
La finalidad de tener conocimiento de dichos 
métodos, es que el estudiante sepa identificar a 
la perfección lo que es “Sistema de Ecuaciones”, 
para que según el grado del problema, o el 
grado de dificultad que tenga que el problema, 
puedan encontrar formas más fáciles, más 
precisas e interactiva para solucionarlos. 
CONCLUSIONES: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
4
 
2
5
 
 
ANEXO 1: MÉTODO DE REDUCCIÓN 
ANEXO 2: METODO DE SUSTITUCIÓN 
ANEXO 3: METODO DE IGUALACIÓN 
ANEXO 4: METODO POR DETERMIANTES (REGLA DE CRAMER) 
ANEXO 5: MÉTODO GRÁFICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO 1 
2
5
 
2
6
 
ANEXO 3 
ANEXO 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
6
 
2
7
 
ANEXO 5 
 
 
 
 
 
 
2
7
 
2
8
 
Bibliografía: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Anónimo. (02 de 06 de 2010). vitutor.net. Obtenido de 
http://www.vitutor.net/2/10/sistemas_ecuaciones.html 
• Anónimo. (s.f.). Blogspot. Obtenido de 
http://profesor10demates.blogspot.pe/2013/10/sistemas-de-ecuaciones- 
indeterminados-e.html 
• Anónimo. (s.f.). Descartez2D. Obtenido de Ecuaciones lineales.: 
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sistemas_ecua 
ciones_lineales_lrm/compatibilidad.htm 
• Gloria Jarne, E. M. (11 de 05 de 2011). CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA 
ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Obtenido de CURSO BÁSICO 
DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES: 
http://www.unizar.es/aragon_tres/u6.htm2
8
 
http://www.vitutor.net/2/10/sistemas_ecuaciones.html
http://profesor10demates.blogspot.pe/2013/10/sistemas-de-ecuaciones-
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sistemas_ecua
http://www.unizar.es/aragon_tres/u6.htm