INFORME SESION 6 ANALISIS ESTRUCTURAL - nataly De la cruz Rodriguez (1)

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FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA ESCUELA
PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
INFORME ACADÉMICO
“CRITERIOS DE CONVERGENCIA Y CONTINUIDAD.
METODO DE RIGIDEZ EN VIGAS: FUNDAMENTOS
TEORICOS , GRADOS DE LIBERTAD E INDETERMINACION
CINEMATICA”
CURSO: ANALISIS ESTRUTURAL II
INTEGRANTES DEL GRUPO
● De la Cruz Rodríguez, Nathaly Nicole
(0000-0001-5721-696X)
● Huamanchumo Castañeda, Renzo Giovanni
(0000-0001-9805-8670)
● Mejía De la Cruz, Raúl Antonio (0000-0001-5649-7894)
DOCENTE:
ING. MGTR. HENRY JOSEPH DEL CASTILLO VILLACORTA
CHIMBOTE –PERU
INDICE
1. INTRODUCCIÓN 3
2. CONTENIDO 4
3. CONCLUSIONES 12
1. INTRODUCCIÓN
Los ingenieros que se dedican al análisis estructural de edificaciones se aseguran que
sus diseños cumplan un estándar para lograr objetivos constituidos de seguridad, es
decir, que la estructura no se desplome sin dar ningún aviso precedente o de nivel de
servicio, por ejemplo, que la vibración en un edificio no moleste a sus ocupantes. Por
otro lado, son responsables por hacer uso eficiente del dinero y materiales necesarios
para obtener estos objetivos.
El análisis estructural es el uso de las ecuaciones de la resistencia de materiales para
encontrar los esfuerzos internos, deformaciones y tensiones que actúan sobre una
estructura resistente, como edificaciones o esqueletos resistentes de maquinaria.
Este informe tiene como fin conocer los conceptos sobre elementos de vigas en dos y
tres direcciones. Criterios de convergencia y continuidad.
https://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_de_materiales
https://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno
2. CONTENIDO
METODO DE LA RIGIDEZ EN VIGAS
Se sabe que los elementos en un mismo plano bidimensional pueden soportar momentos
de flexión, cargas axiales y fuerzas cortantes. Es por eso que a los nudos se le
considerará tres grados de libertad. Primero se considerará el desplazamiento en el eje
x’, después en el eje y’ y finalmente un desplazamiento angular en el eje z.
En la siguiente imagen se muestra el elemento con sus respectivas nomenclaturas de los
desplazamientos y sus fuerzas.
En la sección anterior se resolvió el método de la rigidez considerando solo carga axial
lo cual corresponde a considerar el desplazamiento en dirección local x’. En la sección
de ecuaciones pendiente deflexión para elementos de ambos extremos continuos
explicamos como obtener las fuerzas internas del elemento al aplicar un desplazamiento
en el eje local y’ y un desplazamiento angular en el eje local z’. En las siguientes figuras
se muestran las fuerzas internas del elemento viga al aplicar desplazamientos sobre el
eje local y’ y z’ en los nodos inicial y final de un elemento viga.
Se tendría que realizar el principio de superposición para cada uno de los
desplazamientos en el elemento viga como se muestra a continuación.
Siendo la siguiente la ecuación de la rigidez escrita en forma local
𝑞 = 𝑘㕒𝑑
Una vez definida la ecuación de la rigidez de forma elemental procedemos a definir la
matriz de transformación de desplazamientos, para ello se observa la siguiente figura.
A continuación, se aplica un desplazamiento 𝐷㕖𝑥 sobre el eje global x y se
descompone en desplazamientos locales 𝑑㕖𝑥′ y 𝑑㕖𝑦′ en direcciones de los ejes
locales x’ e y’, repitiendo la descomposición vectorial con el desplazamiento global 𝐷
㕖𝑦 teniendo entonces
Aplicando el mismo procedimiento para descomponer los desplazamientos globales en
dirección x e y del nodo final del elemento viga en desplazamientos locales en dirección
de los ejes x’ e y’ tenemos
Los desplazamientos angulares sobre el eje z’ son los mismos que sobre el eje z debido a
que estos dos ejes coinciden y tienen dirección perpendicular a la página, por tanto
Por último volveremos a considerar nuevamente los cosenos directores como 𝜆𝑥 = cos(㔃
𝑥
) y 𝜆𝑦 = cos(㔃𝑦) para escribir las ecuaciones anteriores en forma matricial.
Escribiendo en forma reducida tenemos
D=TD
Dónde 𝑇 es la matriz de transformación de desplazamientos
Para obtener la matriz de transformación de fuerzas descomponemos las fuerzas locales
en el nodo inicial del elemento en fuerzas globales como se muestra en la siguiente
figura.
Repitiendo esta descomposición de fuerzas locales en globales para el nodo final del
elemento tenemos
Nuevamente tenemos que las fuerzas aplicadas sobre el eje z’ son las mismas que las
aplicadas sobre el eje z debido a que los dos ejes tienen la misma dirección teniendo
Escribiendo en forma matricial queda
En forma simplificada
㕄= 𝑇𝑇𝑞
Dónde 𝑇𝑇 es la matriz de transformación de fuerzas
Al igual que en la sección anterior definiremos la matriz global de rigideces mediante
Teniendo nuevamente 𝑘 = 𝑇𝑡𝑘þ𝑇 solo que en este caso es
La matriz de rigidez del elemento es de orden 6x6 y tras resolver la multiplicación
matricial anterior queda como
Debe notarse que la matriz global de rigidez del elemento en coordenadas globales es
una matriz simétrica. Por cada elemento se obtiene una matriz de rigidez global. Está
matriz es del mismo orden que la matriz de rigidez global de la estructura, es de 3𝑛𝑥3𝑛
donde 𝑛 es el número de nodos de la estructura, pero solo los 36 elementos mostrados
en 𝑘 pueden llegar a ser diferentes de cero. Para poder identificar más fácilmente cuales
son los grados de libertad afectados por cada elemento se acostumbra es escribir la
matriz 𝑘 de la siguiente manera [1]
Una vez obtenida la matriz de rigidez elementan (orden 6𝑥6) se realiza un ensamblaje
de acuerdo con los grados de libertad de cada nodo para obtener cada matriz elementan
en forma global (orden 3𝑛𝑥3𝑛), posteriormente dichas matrices elementales en forma
global son sumadas y se obtiene la matriz global de rigidez de la estructura.
Una vez obtenida la matriz de rigidez global de la estructura se hace una reagrupación
del sistema de ecuaciones simultáneas de acuerdo con los desplazamientos restringidos
impuestos en la estructura teniendo
Hay que recordar que el vector㕄𝑘 contiene las fuerzas en los nodos no restringidos de
la estructura.
En la siguiente figura se muestra la nomenclatura a usar para obtener el vector de cargas
conocidas㕄𝑘 para un elemento viga en 2D cargado a flexión y cortante.
Reescribiendo las ecuaciones del sistema matricial planteado tenemos
De la primera ecuación despejamos los desplazamientos no restringidos de la estructura
y de la segunda ecuación obtenemos el vector de fuerzas desconocidas de la estructura
㕄𝑢. Después obtenemos las fuerzas internas de cada elemento la estructura con la
ecuación
Hasta este paso termina el análisis de la estructura e inicia el postproceso del modelo en
el cual se pueden obtener otras cantidades de interés sobre la estructura como son:
deformaciones, esfuerzos normales, esfuerzos cortantes, esfuerzos principales, esfuerzos
de Von Mises o de Tresca entre otras.
3. CONCLUSIONES
Se conocieron los elementos de vigas en dos y tres direcciones al igual que los
criterios de convergencia y continuidad.
Se logró profundizar los conocimientos acerca de las vigas, que son elementos
importantes que conforman la estructura de una edificación.
Se realizo la investigar de textos que cuenten con información importante acerca
de los elementos de las vigas en dos y tres direcciones, y conocer sus criterios de
convergencia y continuidad.