Pauta Ayudantia 9 MAT024 2022-02 - Alfredo Mallea (2)

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Ayudant́ıa 9
Matemática IV (MAT-024)
Jueves 3 de Noviembre de 2022
Problema 1. Sea S la superficie dada por la ecuación z =
√
x2 + y2, z > 0, encerrada por el
cilindro x2 + y2 = y. Si se sabe que el campo de velocidades de un cierto fluido es F⃗ (x, y) =(
−ye−x−y2 , xe−x−y2 , z
)
. Calcule el flujo que atraviesa S según el vector normal con tercera com-
ponente positiva.
Solución:
Parametrizando la superficie del cono como ϕ(x, y) = (x, y,
√
x2 + y2), (x, y) ∈ D, donde
D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ y}, debemos utilizar como vector normal a
ϕx × ϕy =
(
− x√
x2 + y2
, − y√
x2 + y2
, 1
)
, entonces el flujo viene dado por:∫∫
S
F⃗ · n̂ dS =
∫∫
D
(
−ye−x−y
2
, xe−x−y
2
, z
)
·
(
− x√
x2 + y2
, − y√
x2 + y2
, 1
)
dA
=
∫∫
D
√
x2 + y2 dA,
utilizando x = r cos(θ), y = r sen(θ), 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ r ≤ sen(θ), J = r, se tiene∫∫
S
F⃗ · n̂ dS =
∫ π
0
∫ sen(θ)
0
r2 drdθ =
1
3
∫ π
0
sen3(θ) dθ
=
4
9
.
Problema 2. Sea S la región triangular en el primer octante que se encuentra ubicado sobre el plano
x+ y + z = 3, sea el campo F⃗ =
(
z2, x2, y2
)
. Calcule el flujo del rotacional de F⃗ que sale a través de
S según el vector normal con tercera componente positiva.
Solución:
El flujo viene dado por:
Flujo =
∫∫
S
(
∇× F⃗
)
· n̂ dS,
con
∇× F⃗ = (2y, 2z, 2x), n̂ = ϕx × ϕy
||ϕx × ϕy||
,
donde una parametrización para S es ϕ(x, y) = (x, y, 3 − x − y), (x, y) ∈ D, con D = {(x, y) ∈ R2 :
0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3− x}, de acá se tiene que
ϕx × ϕy = (1, 1, 1).
Ayudant́ıa 9 de Matemática IV (MAT-024) 2
De lo anterior se sigue ∫∫
S
∇× F⃗ · n̂ dS =
∫∫
S
(2y, 2z, 2x) · 1√
3
(1, 1, 1) dS
=
2√
3
∫∫
S
(x+ y + z) dS
=
6√
3
∫∫
S
dS
= 27.
Problema 3. Dado F⃗ (x, y, z) =
(
cosh y, zx2, x
)
y S la superficie limitada por la curva Γ, obtenida de
la intersección de
S1 : x+ y = 2 y S2 : x
2 + y2 + z2 = 2(x+ y)
orientada contrareloj vista desde el origen. Calcule
∫∫
S
(
∇× F⃗
)
· n̂ dS.
Solución:
La curva Γ se obtiene haciendo haciendo
(x− 1) = −(y − 1) =⇒ 2(x− 1)2 + z2 = 2.
Luego S es la superficie que pertenece al plano x + y = 2, cuya proyección sobre el plano XY es la
región (x− 1)2 + z
2
2 ≤ 1, que puede ser parametrizada por
ϕ(u, v) = [1 + u cos(v), 1− u cos(v),
√
2u sen(v)], 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π.
Como vector normal (no unitario), se elige a n⃗ = ϕu × ϕv = −[1, 1, 0]u
√
2, mientras que el rotor de F⃗
es
∇× F⃗ =
∣∣∣∣∣∣∣
ı̂ ȷ̂ k̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
sinh(y) zx2 x
∣∣∣∣∣∣∣ =
(
−x2,−1, 2xz − sinh(y)
)
.
Luego se tiene, sobre S que(
∇× F⃗
)
· ϕu × ϕv dS = u
√
2
(
u2 cos2(v) + 2u cos(v) + 2
)
dudv.
De esta manera∫∫
S
(
∇× F⃗
)
· n̂ dS =
∫ 2π
0
∫ 1
0
u
√
2
(
u2 cos2(v) + 2u cos(v) + 2
)
dudv,
=
9
4
√
2π.
Problema 4. Considere el campo vectorial F⃗ (x, y, z) =
(
x+ y8 + ey sin
(
y6
)
, 2x2 + 6y2, 1− z
)
, y la
superficie S, dada por la parte del sólido x2 + y2 ≤ 1 que pertenece al plano y + z = 1.
Encuentre el flujo del campo F⃗ a través de la superficie S en dirección de la normal unitaria
exterior,
Solución:
Una parametrización adecuada para la superficie S corresponde a definirla mediante φ(x, y) =
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(x, y, 1− y) con D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}, donde ϕx × ϕy = (0, 1, 1). Aśı:∫∫
S
F⃗ · n̂ dS =
∫∫
D
(
x+ y8 + ey sin
(
y6
)
, 2x2 + 6y2, y
)
· (0, 1, 1) dA
=
∫∫
D
(
2x2 + 6y2 + y
)
dA
=
∫ 2π
0
∫ 1
0
r
(
2r2 + 4r2 sin2(θ) + r sin(θ)
)
drdθ
=
2
4
(2π) +
4
4
(π) +
1
3
(0)
= 2π.