Pauta Control 2 - Alfredo Mallea (2)

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Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Control 2 - MAT024
27 de octubre, 2022
Apellido Paterno Apellido Materno Nombres
Rut Rol Paralelo
Problema 1: Considere un alambre cuya representación en el espacio viene dada por la curva
γ ⊆ R3 la cual corresponde a la intersección de las superficies
S1 : 2x
2 + y2 = 2, S2 : x = z − 1, y ≥ 0.
Si la densidad en cada punto corresponde a δ(x, y, z) = 2(z − 1)2 + y2 + 2, calcule la masa del
alambre γ.
Solución:
Procederemos a encontrar una parametrización para la curva γ. De S1 tenemos x(t) =
cos(t), y(t) =
√
2 sin(t), de S2 se tiene z(t) = cos(t) + 1, y dado que y ≥ 0 entonces t ∈ [0, π].
La parametrización resulta:
r⃗(t) = (cos(t),
√
2 sin(t), cos(t) + 1), t ∈ [0, π].
Para el cálculo de la masa del alambre notemos que r⃗ ′(t) = (− sin(t),
√
2 cos(t),− sin(t))
de esta manera ∥r⃗ ′(t)∥ =
√
2, y que δ(x, y, x) = 2(z − 1)2 + y2 + 2 = 2x2 + y2 + 2 = 2 + 2 = 4.
Entonces
Masaγ =
∫
γ
δ(x, y, z) ds
=
∫ π
0
4
√
2 dt
= 4
√
2π.
Problema 2: Sea el campo de fuerzas F⃗ (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) =
(
y
y2 + 1
,
x(1− y2)
(y2 + 1)2
)
, sea
C parte de la circunferencia x2 + y2 = 2, y ≥ 0, que va desde el punto (−1, 1) hasta el punto
(1, 1). Calcule el trabajo que realiza F⃗ a lo largo de C.
Solución:
Se tiene que F⃗ ∈ C∞(R2) y que Qx = Py =
1− y2
(y2 + 1)2
, entonces F⃗ es un campo gradiente
sobre R2. Por tanto existe una función potencial f tal que
∂f
∂x
(x, y) =
y
y2 + 1
, lo que implica
que f(x, y) =
xy
y2 + 1
+ h(y) con h una función real diferenciable. Ahora derivando respecto a
la variable y e igualando a Q(x, y) se tiene que h(y) = C ∈ R, de donde f(x, y) = xy
y2 + 1
+ C.
Y ası́
W = f(1, 1)− f(−1, 1) = 1
2
+ C −
(
−1
2
+ C
)
= 1.
Coordinación MAT024
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Control 2 - MAT024
27 de octubre, 2022
Otra forma:
Como el trabajo es independiente del camino, podemos elegir como camino una recta
horizontal cuya parametrización podrı́a ser r⃗(t) = (−1, 1) + t(2, 0) = (−1 + 2t, 1), 0 ≤ t ≤ 1,
con r⃗ ′(t) = (2, 0). Entonces:
W =
∫ 1
0
F⃗ (r⃗(t)) · r⃗ ′(t) dt =
∫ 1
0
(
1
2
, 0
)
· (2, 0) dt = 1.
Coordinación MAT024