Pauta Certamen 1 aula - Alfredo Mallea

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MATEMÁTICA - 024.
Certamen I
11/abril/2022
DATOS PERSONALES:
Apellido Paterno Apellido Materno Nombres
Rut Rol Firma
Paralelo Nombre del Profesor
INDICACIONES GENERALES:
Tiempo 70 minutos.
Escriba con lápiz pasta o tinta. Los desarrollos con lápiz grafito no tienen derecho a apelación.
Escriba con claridad y justifique cada uno de sus desarrollos.
No está permitido el uso de calculadoras, celulares ni hojas adicionales.
Quienes sean sorprendidos cometiendo actos de deshonestidad académica tendrán nota 0 en
esta prueba.
CALIFICACIÓN:
PREGUNTA
P1 P2 P3 P4 CALIFICACIÓN
(25 Pts) (25 Pts) (25 Pts) (25 Pts) CERTAMEN
PUNTAJE
1
Departamento de Matemática
Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa
Certamen 1 - MAT024
P1) [35 Pts] Considerar el triángulo R de vértices (0,0) , (-1,1) y (1,1) . Calcular∫∫
R
4(x+ y) ex−y dA
Solución:
Hacer el cambio
ϕ−1 :
u = x+ y
v = x− y → |Jϕ
−1(x, y)| = −2
Observar que ϕ−1 es una aplicación lineal biyectiva (un isomorfismo) de R2 en R2 , por tanto su
inversa también lo es. Luego ϕ y ϕ−1 son de clase C∞ . Para el Teorema basta que sean de clase
C1 .
y sea
R∗ = {(u, v) ∈ R2 / 0 ≤ u ≤ 2 ; u− 2 ≤ v ≤ 0} .
Con esto la integral queda
∫∫
R
4(x+ y) ex−y dA =
∫∫
R∗
4u ev
1
2
dv du =
2∫
0
0∫
u−2
4u ev
1
2
dv du
= 2
2∫
0
u(1− eu−2) du = 2
[
u2
2
− (u eu− eu) 1
e2
] ∣∣∣∣2
0
= 2
(
1− 1
e2
)
.
2
Departamento de Matemática
Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa
Certamen 1 - MAT024
P2) [35 Pts] Determine, usando integrales dobles, el volumen de la región encerrada por las
superficies
2x+ 2y + z = 1 y z = 3− x2 − y2.
Solución:
Se trata de la región acotada por un paraboloide (z = 3−x2−y2) y un plano (2x+2y+z = 1) .
La intersección de ambas superficies esta dada por el sistema
z = 3− x2 − y2
z = 1− 2x− 2y
La proyección sobre el plano x y corresponde al ćırculo (x− 1)2 + (y − 1)2 = 4 .
Sea R el disco (x− 1)2 + (y − 1)2 ≤ 4 . El volumen queda:
V =
∫∫
R
[
3− x2 − y2 − (1− 2x− 2y)
]
dA =
∫∫
R
[
4− (x− 1)2 − (y − 1)2
]
dA.
3
Departamento de Matemática
Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa
Certamen 1 - MAT024
En polares: x = 1 + r cos(θ) , y = 1 + r sen(θ) .
La integral queda:
=
2π∫
0
2∫
0
(
4− r2
)
r dr dθ
= 2π
2∫
0
4r − r3 dr = 8π.
4
Departamento de Matemática
Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa
Certamen 1 - MAT024
P3) [30 Pts] Considere el sólido R , acotado por los planos y = 0 , z = 0 , x = −1 , y+z = 2
y x+ z = 1 .
Usando Integrales triples:
(a) Exprese la(s) integral(es) que permita(n) calcular el volumen de R , en el orden dy dz dx .
(b) Exprese la(s) integral(es) que permitan calcular el volumen de R , en el orden dz dx dy .
Solución:
Observar que la intersección de los planos x + z = 1 y y + z = 2 se da a lo largo de la recta
y = x+ 1 .
Un gráfico de la región es:
(a) Observar que en este orden se tiene:
−1 ≤ x ≤ 1
0 ≤ z ≤ 1− x
0 ≤ y ≤ 2− z
El volumen queda:
V =
1∫
−1
1−x∫
0
2−z∫
0
dy dz dx .
5
(b) En este orden el sólido se debe dividir en dos regiones:
R1 :
0 ≤ y ≤ 2
−1 ≤ x ≤ y − 1
0 ≤ z ≤ 2− y
R2 :
0 ≤ y ≤ 2
y − 1 ≤ x ≤ 1
0 ≤ z ≤ 1− x
El volumen queda:
V =
2∫
0
y−1∫
−1
2−y∫
0
dz dx dy +
2∫
0
1∫
y−1
1−x∫
0
dz dx dy .
6