certamen1pauta - Alfredo Mallea (2)

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Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Pauta 1er Certamen MAT024
6 de abril de 2019
1. (25 PUNTOS) Sea a > 0, considere el sólido dado por
Ω = {(x, y, z) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ z, x2 + y2 ≤ a2, z ≥ 0}
a) Encuentre el volumen de Ω
b) Determine el momento de inercia de Ω alrededor del eje z, asumiendo que la densidad es constante e
igual a δ.
Desarrollo:
Dada la forma del sólido, se utilizarán coordenadas cilı́ndricas para calcular el volumen, es decir, se
considerará la transformación dada por:
T : R+ × [0, 2π]× R
(r, θ, z) −→ T (r, θ, z) = (r cos(θ), r sin(θ), z)
cuyo Jacobiano está dado por
∂T (r, θ, z)
∂(r, θ, z)
= r.
Luego el dominio en coordenadas cilı́ndricas queda expresado por:
Ω = {(r, θ, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ r2, 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2π},
a) Por lo tanto el volumen queda expresado por
Vol =
∫ 2π
0
∫ a
0
∫ r2
0
rdzdrdθ
=
∫ 2π
0
∫ a
0
r3drdθ
= π
a4
2
,
b) Para el momento de inercia, dado que es con respecto al eje z, se tiene que está dado por
Iz =
∫∫
Ω
(x2 + y2)δdV,
de donde usando coordenadas cilı́ndricas se tiene:
Iz =
∫ 2π
0
∫ a
0
∫ r2
0
r2δrdzdrdθ
= πδ
a6
3
.
MAT024 Coordinación Primer Semestre 2019 1
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Pauta 1er Certamen MAT024
6 de abril de 2019
2. (25 PUNTOS) Grafique las regiones involucradas y calule el valor de
I =
∫ 1/2
0
∫ x+1/2
√
x
√
9 + y3dydx+
∫ 1
1/2
∫ y−1/2
0
√
9 + y3dxdy +
∫ 1
1/2
∫ 1
√
x
√
9 + y3dydx.
Desarrollo:
Notar que las tres integrales poseen el mismo integrando, por lo que es posible agruparlas en una sola
región de integración. Las regiones involucradas están representadas por la región coloreada:
y
1
x
1(0, 0)
y =
√
x
Ası́, se resume a calcular
I =
∫ 1
0
∫ 1
√
x
√
9 + y3 dydx =
∫ 1
0
∫ y2
0
√
9 + y3 dxdy (Utilizando el teorema de Fubini)
=
∫ 1
0
y2
√
9 + y3 dy, y3 = 3u
=
∫ 1/3
0
√
9 + 3u du
=
2
9
(9 + 3u)3/2
∣∣∣1/3
0
=
20
√
10
9
− 6.
MAT024 Coordinación Primer Semestre 2019 2
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3. (30 PUNTOS) Para t > 1 considere el conjunto {Ωt} dado por
Ωt = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2/3 + y2/3 ≤ t4, t > 1}.
Sea la función f : R −→ R definida por
f(t) =
∫∫
Ωt
e−(x
2/3+y2/3)
(xy)2/3
dA,
suponga que f(t) está bien definida para todo 1 < t <∞. Calcule si es que existe, el valor de ĺımt→∞ f(t).
Desarrollo:
Se define el cambio de coordenadas dado por:
T : R2 −→ R2
(u, v) −→ (x, y) = (u3, v3)
que viene a ser de clase C1. El dominio bajo la transformación queda dado por:
Ωuvt = {(u, v) ∈ R2 : 1 ≤ u2 + v2 ≤ t4}
y la función a integrar viene a ser:
g(x(u, v), y(u, v)) = ĝ(u, v) =
e−(u
2+v2)
u2v2
.
La matriz Jacobiana es:
∂(x, y)
∂(u, v)
=
(
3u2 0
0 3v2
)
y se tiene que
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = 9u2v2 6= 0, teniéndose que T es inyectiva sobre Ωuvt .
Por lo tanto, por el teorema de cambio de variable se tiene
f(t) =
∫∫
Ωuvt
e−(u
2+v2)
u2v2
9u2v2dA(u, v) = 9
∫∫
Ωuvt
e−(u
2+v2)dA,
y dada la estructura de la integral, utilizaremos coordenadas polares, es decir
T2 :R× [0, 2π] −→ R2
(r, θ) −→ (r cos(θ), r sin(θ))
donde el determinante de la matriz Jacobiana de la transformación está dado por
∣∣∣∣∂T2(r, θ)∂(r, θ)
∣∣∣∣ = r. Además
el dominio queda transformado nuevamente en
Ωrθt = {(r, θ) ∈ R2 : 1 ≤ r ≤ t2, 0 ≤ θ ≤ 2π},
y la función ĝ(r cos(θ), r sin(θ)) = e−r
2
. Por lo tanto, utilizando nuevamente el teorema de cambio de
variable, se llega a
f(t) = 9
∫ 2π
0
∫ t2
1
re−r
2
drdθ = 9π
(
−e−t
4
+ e−1
)
, u = r2,
de donde
ĺım
t→∞
f(t) =
9π
e
.
MAT024 Coordinación Primer Semestre 2019 3
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4. (20 PUNTOS) Considere la región Ω ⊂ R3 definida como
Ω =
{
(x, y, z) ∈ R3 : 1 +
√
x2 + y2 ≥ z ≥
√
x2 + y2, x2 + y2 + (z − 2)2 ≤ 4
}
,
además de la integral:
I =
∫∫∫
Ω
ln(x2 + y2 + z2)dV
Exprese las integrales iteradas que permiten calcular la integral I en coordenadas esféricas en el orden de
integración dρdφdθ.
Desarrollo:
Primero que todo, dado que existe simetrı́a con respecto al eje z, se grafica la proyección en el planoxz (o
en el plano yz).
-2 -1 0 1 2
0
1
2
3
4
5
Dado el enunciado, se considera el cambio de variables a coordenadas esféricas dado por
T :R+ × [0, 2π]× [0, π) −→ R3
(ρ, θ, φ) −→ (ρ cos(θ) sin(φ), ρ sin(θ) sin(φ), ρ cos(φ))
cuyo Jacobiano está dado por
∂T (ρ, θ, φ)
∂(ρ, θ, φ)
= ρ2 sin(φ).
Se aplica la transformación al dominio Ω, para ello, aplicaremos T a ∂Ω, por lo tanto
1 +
√
x2 + y2 = z =⇒ 1 + ρ sin(φ) = ρ cos(φ) =⇒ ρ = 1
cos(φ)− sin(φ)
z =
√
x2 + y2 =⇒ ρ cos(φ) = ρ sin(φ) =⇒ φ = π
4
x2 + y2 + (z − 2)2 = 4 =⇒ x2 + y2 + z2 − 4z = 0 =⇒ ρ2 − 4ρ cos(φ) = 0 =⇒ ρ = 4 cos(φ).
Denotemos por φ0 la intersección entre el cono 1+
√
x2 + y2 = z y la esfera x2 +y2 +(z−2)2 = 4, hacemos
u =
√
x2 + y2 y obtenemos la relación
(z − 1)2 + (z − 2)2 = 4
de donde obtenemos
z1 =
1
2
(
3−
√
7
)
, z2 =
1
2
(√
7 + 3
)
,
consideramos como solución válida a z2, puesto que nos entrega el valor de u2 positivo, cuyo valor
asociado es u2 = 12
(√
7 + 1
)
, de donde:
φ0 = arctan
(
u2
z2
)
,
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y ası́, los dominios de integración son:
Ω1 =
{
(ρ, θ, φ) ∈ R3 : 0 ≤ ρ ≤ 1
cos(φ)− sin(φ)
, 0 ≤ φ ≤ φ0, 0 ≤ θ ≤ 2π
}
Ω2 =
{
(ρ, θ, φ) ∈ R3 : 0 ≤ ρ ≤ 4 cos(φ), φ0 ≤ φ ≤
π
4
, 0 ≤ θ ≤ 2π
}
Por lo tanto, el valor de I viene dado por:
I =
∫ 2π
0
∫ φ0
0
∫ 1
cos(φ)−sin(φ)
0
ln(ρ2)ρ2 sin(φ) dρdφdθ +
∫ 2π
0
∫ π
4
φ0
∫ 4 cos(φ)
0
ln(ρ2)ρ2 sin(φ) dρdφdθ.
MAT024 Coordinación Primer Semestre 2019 5