Tarea1_funciones_479

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Tarea 1: Funciones 
 
 
Tutor: 
Jose Alberto Escobar 
 
Presentado por : 
 Paula Andrea Vargas Idarraga 
 
Grupo: 479 
 
 
 
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD 
Administración de Empresas 
Calculo Diferencial (100410) 
 2023 
 
 
 
Introduccion 
 
 
En este trabajo se identifica las funciones elementales, al igual que sus propiedades a 
partir de un análisis gráfico y el desarrollo de ejercicios propuestos para la solución de 
problemas aplicados. 
De esta manera la funcion se puede ilustrar mediante un diagrama, plano cartesiano 
donde se puede se asocian los elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solucion 
 
1. Representar en GeoGebra la función dada y determinar su comprobación 
analíticamente: 
• Tipo de función 
• Dominio y rango 
 
 
Estudiante 5 C. 
𝑓(𝑥) =
8𝑥 + 3
−6𝑥 + 4
 
 
 
Solución para: 
 
𝑓(𝑥) =
8𝑥 + 3
−6𝑥 + 4
 
 
 
 Representación en GeoGebra 
 
 
 
 
Ilustración 1. Representación grafica GeoGebra 
 
a) Tipo de función: Función Racional 
b) Dominio y Rango: 
 Para determinar el dominio lo primero que haremos será lo siguiente: 
 Dominio de: 
8x+3
−6x+4
 : Solución: 𝑥 < 
2
3
 ∨ 𝑥 > 
2
3
 
 
 Notación de intervalo: ( −∞,
2
3
 ) ∪ ( 
2
3
, ∞) 
 
 
 Rango de 
8x+3
−6x+4
 : Solución: 𝑓(𝑥) < −
4
3
 ∨ 𝑓(𝑥) > −
4
3
 
 
 
 Notación de intervalo (−∞,−
4
3
 ) ∪ ( −
4
3
, ∞) 
 
 
2. Dado los tres puntos 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 hallar: 
a) La ecuación de la recta que pasa por el punto C y es perpendicular a la recta 
𝑨𝑩
↔ 
b) Comprobar gráficamente en GeoGebra los cálculos realizados. 
 
 
 𝐴 = (−5,−3) 𝐵 = (6, −5) 𝐶 = (2,7) 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
Se hallan los puntos dados en el plano cartesiano que se gratificaran a continuación: 
 
 
Ubicados los puntos dados se procede a hallar la ecuación de la recta AB 
Estudiante 5 C. 𝐴 = ( −5,−3) 𝐵 = (6,−5) 𝐶 = (2,7) 
 
 
Se comprueba matemáticamente si la recta obtenida es correcta 
 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 
 𝐴 (−5,−3) 𝐵 (6,−5) 
 
Para ello se halla la pendiente de la recta 
 𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
 
𝑚 =
(−5 + 3)
(6 + 5)
 
 𝑚 = −
2
11
 
Ahora hallamos la formula punto pendiente 
(𝑦 − 𝑦1) = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 
(𝑦 − (−5)) = −
2
11
− (𝑥 − (−5)) 
𝑦 + 5 − ((0 +
2
11
)) − (𝑥 + 5)) = 0 
𝑥 + 5 =
𝑥 + 5
1
=
(𝑥 + 5) ∗ 11
11
 
−2 − ((𝑥 + 5) ∗ 11
11
=
−11𝑥 − 57
11
 
(𝑦 + 5) −
(−11𝑥 − 57)
11
= 0 
𝑦 + 5 =
𝑦 + 5
1
=
(𝑦 + 5) ∗ 11
11
 
−11𝑥 − 57 = −1 ∗ (11𝑥 + 57) 
(𝑦 + 5) ∗ 11 − ((−11𝑥 − 57))
11
= 
11𝑦 + 11𝑥 + 112
11
 
11𝑦 + 11𝑥 + 112
11
= 0 
11𝑦 + 11𝑥 + 112
11
∗ 11 = 0 ∗ 11 
11𝑦 + 11𝑥 + 112 = 0 
𝑦 = 
11
2
 
Luego hallamos la ecuación de la recta perpendicular a la 
𝑨𝑩
↔ pasando por C 
𝐶 = (2,7) 
(𝑦 − 𝑦1) = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 
𝑦 − 7 = (
11
2
) ∗ (𝑥 − 2) = 0 
(𝑦 − 7) −
11 ∗ (𝑥 − 2)
2
= 0 
𝑦 − 7 =
𝑦 − 7
1
=
(𝑦 − 7) ∗ 2
2
 
(𝑦 − 7) ∗ 2 − 11 − (𝑥 − 2))
2
=
2𝑦 − 11𝑥 + 8
2
 
2𝑦 − 11𝑥 + 8
2
= 0 
2𝑦 − 11𝑥 + 8
2
∗ 2 = 0 ∗ 2 
2𝑦 − 11𝑥 + 8 = 0 
Representación en GeoGebra 
 
 
 
3. Dadas las siguientes ecuaciones logarítmicas y exponenciales, resolverlas 
analíticamente aplicando la definición y propiedades de los logaritmos y de los 
exponentes 
 Ecuaciones Funciones Logarítmicas Ecuaciones Funciones 
Exponenciales 
Estudiante 5 
 
C. 𝑙𝑜𝑔6(2𝑥 + 4) − 𝑙𝑜𝑔6(𝑥) = 1 (8
𝑥+2)(4𝑥−6) = 16 
 
• 𝑙𝑜𝑔6(2𝑥 + 4) − 𝑙𝑜𝑔6(𝑥) = 1 
 
log (
𝑎
𝑏
) = log(𝑎) − log(𝑏) 
log 6 (
2𝑥 + 4
𝑥
) = 1 
6 log 6 (
2𝑥 + 4
𝑥
) = 61 
2𝑥 + 4
𝑥
= 6 
2𝑥 + 4 = 6𝑥 
6𝑥 − 2𝑥 = 4 
4𝑥 = 4 
𝑥 = 
4
4
 
𝑥 = 1 
• (8𝑥+2)(4𝑥−6) = 16 
(𝑎𝑥)𝑛  = 𝑎𝑥∗𝑛 
 𝑎𝑥+𝑛  = 𝑎𝑥 ∗ 𝑎𝑛 
𝑎𝑥+𝑛  ∗ 𝑎𝑥−𝑛 
𝑎𝑏 ∗ 𝑎𝑐 = 𝑎𝑏+𝑐 
23
(𝑥+2) 
22
(𝑥−6)
= 16 
23𝑥+6
 
∗ 22−6 = 24 
23𝑥+6 ∗ 22−12 = 24 
25𝑥−6 = 24 
5𝑥 − 6 = 4 
5𝑥 = 10 
𝑥 = 2 
 
4. Para la siguiente función cuadrática, determinar analíticamente, las coordenadas 
de sus raíces (puntos de intersección con el eje x) y su vértice, comprobando 
mediante GeoGebra los cálculos realizados. 
 
Estudiante 5 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 − 5 
 
 
 
La funcion cuadrática viene dada por la ecuación de la forma 
 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
 
𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 − 5 
 
𝑎 = 1 𝑏 = −4 𝐶 = 5 
 
Para realizar la representación grafica 
 
Debemos determinar la coordenada del vértice 
 
𝑥 =
−𝑏
2𝑎
 
 
𝑥 =
−4
2 (−1)
 
 
𝑥 =
4
−2 
 
 
𝑥 = 2 
 
La ordenada del vértice 
 
𝑦 = 22 − 4.2 − 5 
 
𝑦 = 4 − 8 − 5 
 
𝑦 = −9 
 
El vértice tiene coordenadas 𝑉 (2,−9) 
 
La ecuación cuadrática la igualamos a cero y se obtiene: 
 
 𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 0 
 
(𝑥 − 5) (𝑥 + 1) = 0 Factorización del trinomio 
 
𝑥 − 5 = 0 
 
𝑥 + 1 = 0 igualamos a cero a cada factor 
 
𝑥1 = 5 
 
𝑥2 = −1 
 
Intersección con la y 
𝑥 = 0 
𝑦 = −5 
 
 
Representación en GeoGebra 
 
 
 
 
 
 
5. EJERCICIOS DE APLICACIÓN. 
A continuación, se presentan el enunciado que deberá resolver y sustentar por medio de 
video, representando la función y su respuesta en GeoGebra. 
La altura 𝒉, a la que se encuentra en cada instante t (tiempo en segundos), un proyectil 
que se lanza verticalmente con una velocidad de 250 m⁄s, está dada por 𝒉(𝒕) = 𝟐𝟓𝟎𝒕 −
𝟐. 𝟓𝒕𝟐. Determine los instantes de tiempo en el que el proyectil está a una altura igual a 
2250 metros 
 
2250 = 250𝑡 − 2.5𝑡2 
2.5𝑡2 − 250𝑡 + 2250 = 0 
 
Se aplica la ecuación cuadrática 
 
𝑎 = 2.5 𝑏 = −250 𝑐 = 2250 
 
𝑡 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−250) ± √2502 − 4(2.5)(2250
2(2.5)
 
 
𝑡 =
250 ± √62500 − 22500
5
 
 
𝑡 =
250 ± √40000 
5
 = 
250 ± 200
5
 = 50 ± 40 
 
𝑡1 = 50 ± 40 = 90𝑠 
 
𝑡2 = 50 − 40 = 10𝑠 
 
Respuesta: tenemos que cuando se lleva un tiempo de 10s y 90s lleva una altura de 
2250 metros 
 
Representación en GeoGebra 
 
 
 
Enlace del video 
 
https://youtu.be/2j7WBtwCtPk 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://youtu.be/2j7WBtwCtPk
Referencias Bibliográficas 
 
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UNAD. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/41709 
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Larson, R., Falvo, D. (2012). Precálculo (8a. ed.). Repaso de conceptos fundamentales 
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Peña, M. (2020). Función, Rango y Dominio. [OVI]. Repositorio Institucional 
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https://repository.unad.edu.co/handle/10596/41709
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