Resumen Primer Parcial

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El	Reconocimiento	de	Argumentos
ML1
Argumento:
Fragmento del lenguaje, más precisamente conjunto de enunciados “Conjunto de enunciados
en donde alguno o algunos de ellos se esgrimen como razón a favor de otro que pretende ser
así establecida. A los primeros se los denomina premisa, al último conclusión”
Enunciados:
Son oraciones que afirman o niegan (DECLARATIVAS) pueden ser evaluadas en términos
verivativos
Premisa:
Pretenden sostener, abonar, establecer, dar razones a favor de la conclusión. Conjunto de
enunciados que se ofrecen como razones.
Conclusión:
Oracion a favor de la cual se argumenta:
Proposición:
Lo que las oraciones afirman. Ejemplo:
1. Bárbara McClintock realizó importantes aportes a la genética.
2. Importantes aportes a la genética fueron realizados por Bárbara McClintock
En la reconstrucción de argumentos es posible parafrasear oraciones o enunciados, omitir
expresiones que resulten irrelevantes para la evaluación del argumento, o agregar expresiones
para dar con enunciados con un sentido completo
Usar palabra: para referir a una entidad extralinguistica.
Mencionar una palabra: Cuando nos referimos a ellas mismás .
Tipos	de	Enunciados
ML2
Enunciados Simples: No contienen expresiones lógicas, ni se pueden descomponer en otros
enunciados.
Enunciados Complejos: Constituyen una combinación de enunciados medianto el uso de
expresiones lógicas (Conectivas) Y, O, Pero, Si… Entonces, Siempre y cuando, No
5. Leibniz y Newton inventaron de modo independiente el cálculo infinitesimal.
6. El primero en proponer que las órbitas planetarias son elípticas fue Kepler o
Copérnico.
7. Si las órbitas de los planetas son elípticas, Kepler tenía razón.
8. No es cierto que Plutón sea un planeta.
9. Si la órbita de Plutón no interfiere con el resto de los planetas del sistema solar
entonces es un planeta.
Las expresiones logicasp ueden combinarse para formar enunciado cada vez más
complejos.
Conjunciones: Tipo de enunciado complejo En ellos se afirman conjuntamente dos o más
enunciados llamados conyuntos que se combinan entre sí por la conjunción.
1. El artículo 87 y el artículo 88 del Código Penal Argentino penalizan el aborto.
2. El Código Penal Argentino penaliza el aborto en la mayoría de los casos, pero lo
permite en caso de que peligre la vida de la madre.
Veamos las alternativas que pueden ocurrir:
 Opción 1: que el artículo 87 y el artículo 88 del CPA penalicen efectivamente
el aborto. Por lo tanto, ambos conyuntos resultan ser verdaderos.
 Opción 2: que el artículo 87 del CPA penalice efectivamente el aborto, pero
el artículo 88 no. Por lo tanto, el primer conyunto -aquel que está antes de
y- resulta ser verdadero, pero el segundo es falso.
 Opción 3: que el artículo 87 del CPA no penalice el aborto, pero el 88 sí. Por
lo tanto, el primer conyunto resulta ser falso, pero el segundo es verdadero.
 Opción 4: que ni el artículo 87 ni el 88 del CPA penalicen efectivamente el
aborto. Por lo tanto, ambos conyuntos resultan ser falsos.
Bastaria que una de ellas fuera falsa para considerar del mismo modo a la oración compleja
(porque dicha oración afirma simultáneamente ambas proposiciones, comprometiéndose, asi,
con la verdad de cada una).
Tabla generalizada para la conjunción:
Disyunciones: Combinan 1º más enunciados pero no se afirma que las proposiciones
involucradas sean el caso, sino que al menos una lo es .
Disyunciones inclusivas: Afirma que al menos uno de los conyuntos es verdadera, sin
excluir la posibilidad de que ambos lo sean.
Disyunciones exclusivas: Se afirma que uno de los disyuntivos sea el caso, pero se excluye
la posibilidad de que ambos lo sean.
 O bien el feto es una persona o bien no lo es
Si los dos son verdaderos
Si uno de los dos es verdadero
Uno verdadero y otro no = Verdadera ------- Dos iguales = Falso
La oración compleja es
verdadera
Cuando no haya indicaciones explícitas, podemos dirimir la cuestión
preguntándonos cómo juzgaríamos la oración compleja en el caso en que ambos
disyuntos resulten ser verdaderos. Si lo más razonable es considerar falsa a la
oración compleja, la disyunción involucrada es exclusiva, si, por el contrario, fuera
más adecuado juzgarla como verdadera, se trata de una disyunción inclusiva.
Condicionales: Para el análisis de los enunciados condicionales usaremos un
recurso formal: A → B : Antecedente → Consecuente.
Condiciones suficientes: Combina dos enunciados simples, pero no afirma ninguna de las
proposiciones combinadas, solo afirma que existe una relación entre ambas, en el caso de
darse una se da la otra (CONDICIONAL O HIPOTETICO) SI… ENTONCES… O SI… ES SUFICIENTE
PARA… BASTA QUE PARA…
 Todo enunciado condicional con antecedente V y consecuente V es V
 Todo enunciado condicional con antedecente V y consecuente F es F
 Todo enunciado condicional con antedecente F y consecuente V es V
 Todo enunciado condicional con antedecente F y consecuente F es V
Solamente será falso si el consecuente es verdadero y el antecedente falso.
Condicion necesaria: Es necesario anque talvez no suficiente
 Solo si un tsunami azota BSAS. La ciudad se inundara.
 Es necesario que un tsunami azote Buenos Aires para que la ciudad se
inunde.
 Únicamente si un tsunami azota Buenos Aires, la ciudad se inunda.
SOLO SI… ES NECESARIO QUE… UNICAMENTE SI…
Solo sera falsa cuando su antecedente es verdadero y su consecuente falso.
Reconstruccion: condición suficiente será ubicada en el antecedente y la necesaria en el
consecuente: Condición suficiente → Condición necesaria
INCLUSIVA EXCLUSIVA
Bicondicionales: Establecen entre las partes de la oración una relación condicional que va en
ambos sentidos. La relación de condicionalidad es tanto necesario como suficiente. Si y solo
si… siempre y cuando…
Si son iguales, ya sea verdaderas o falsas, son verdaderas. Si son distintas, son falsas.
Negaciones: Al negar una oración , no es posible combinarla con otra. Es falso que… No,
No es cierto que… Nadie, des-in
Marte esta DEShabitada
Enunciados singulares: No se refiere a un grupo de individuos o entidades, sino a uno
en particular: Marte tiene dos satélites.
Enunciados universales: Hablan sobre los miembros de un conjunto. Para probar su
falsedad, basta con encontrar un caso que pertenezca al conjunto pero donde no se cumpla la
propiedad: Todos los planetas del sistema solar tienen una órbita elíptica.
Enunciados existenciales: Nos dicen que algunos miembros de determinado conjunto
cumplen determinada propiedad. Para probar su veracidad basta con encontrar un caso que
pertenezca al conjunto y cumpla la propiedad. En cambio, para probar que un enunciado
existencial es falso, debemos recorrer todo el conjunto y mostrar que en cada uno
de los casos, el individuo que pertenece al conjunto no cumple con la propiedad.
Enunciados probabilísticos o estadísticos: Hacen referencia a un conjunto
determinado y asigna una probabilidad a que los miembros de dicho conjunto tengan cierta
propiedad, asignina una cierta probabilidad a determinado fenomono o conjunto de
fenómenos.
La generalizaciones estadísticas pueden ser caracterizadas como aquellas que establecen la
frecuencia relativa de dos propiedades, la de ser F y la de ser G; establecen que porcentaje de
los F son G o cual es la probabilidad de que F sea G:
 El 90% de los enfermos de cáncer de pulmón son fumadores o exfumadores.
 La mayoría de los enfermos de cáncer de pulmón son fumadores o
exfumadores.
Contingencias tautologías y contradicciones:
Contingentes: Se trata de una oración que puede resultar se verdadera o falsa según sea el
caso. Las oraciones contingentes son, entonces aquellas que pueden resultar verdaderas o
falsas según se de o no el estado de cosas afirmando en ellas.
La verdad o la falsedad de las oraciones anteriores no es necesaria sino que es contingente:
aun siendo verdaderas o falsas, su verdad o falsedad no resulta necesaria a la luz de la
estructura de la oración, sino que depende de su contenido. su verdad o falsedad no está
determinadapor su forma, sino que depende del contenido de la oración.
Tautologias: Son verdaderas en cualquier circunstancia, son necesariamente verdaderas.
Cualquier oración de la forma siguiente será verdadera: A o no A. Si A, entonces A.
Diana vendrá o no vendrá.
Se trata de una oración que tiene la forma de una disyunción exclusiva. Recordemos las
condiciones de verdad de este tipo de oraciones: es verdadera cuando uno (y solo uno) de los
disyuntos es verdadero y es falsa en los otros dos casos (cuando ambos son falsos o ambos son
verdaderos). Ahora bien, ¿podría suceder que ambos disyuntos fueran falsos? Para ello las dos
oraciones siguientes deberían ser simultáneamente falsas:
Diana vendrá. 4. Diana no vendrá.
Y eso es imposible. Alguna de esas opciones ha de ser cierta. Del mismo modo,
tampoco podría ocurrir que ambas oraciones 3 y 4 resulten ser simultáneamente
verdaderas. En conclusión, teniendo en cuenta esto y las condiciones de verdad de
la oración disyuntiva 2, podemos afirmar que se trata de una oración
necesariamente verdadera.
Contradicciones: Y hay oraciones que son falsas ent oda situación posible; son falsas en
virtud de su forma: Llueve y no llueve.
Cabe aclarar que todas las oraciones de la forma siguiente son contradicciones: A y no A
Aunque esto no agota el repertorio de las contradicciones. Por ejemplo, la oración siguiente es
una contradicción aunque no responde a la forma anterior:
No es cierto que Diana va a venir o no va a venir.
Si ahora nos detenemos a analizar esta oración, veremos que era de esperar que se tratara de
una contradicción, pues consiste precisamente en la negación de una oración tautológica.
Los	argumentos	deductivos	y	su	evaluación.
ML3
La pregunta por las virtudes de un argumento involucra al menos dos cuestiones:
 ¿Logran las premisas ofrecer apoyo a la conclusión? ¿En qué grado lo hacen?
 ¿Son las premisas verdaderas? ¿Qué tan confiables son?
Argumentos deductivos: Los argumentos deductivos ofrecen premisas de las cuales se
sigue la conclusión de modo concluyente.
 Todos los perros son mamíferos
Simón es un perro
Simón es mamífero
 Simón es un perro y mueve la cola
Simón es un perro
 Simón o Ñata robaron el hueso
Ñata no fue
Simón robó el hueso
Se asocia a los argumentos deductivos la noción de necesidad, y así decimos que la conclusión
se sigue necesariamente de las premisas; de modo que si las premisas son verdaderas, la
conclusión también lo es necesariamente. O de modo equivalente: resulta imposible que las
premisas sean verdaderas y que la conclusión no lo sea.
Resulta imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa.
La conclusión de las premisas esta asociada con la forma o estructura de dicho argumento que
garantiza que si las premisas fueran verdaderas, la conclusión también lo seria. Los
argumentos tienen cierta estructura: A y B, por lo tanto A
 Dos más dos es igual a mil y tres más tres es igual a dos mil, por lo tanto dos más dos
es igual a mil.
La premisa y la conclusión son evidentemente falsas. El punto es que si fuera cierto que dos
más dos es igual a mil y tres más tres es igual a dos mil, podríamos inferir concluyentemente
que dos más dos es igual a mil. En este argumento, por su estructura, la premisa logra
establecer la conclusión. Adviértase que lo mismo daría inferir B. Dada una conjunción, si ella
fuera verdadera, sabemos, a la luz de lo dicho en el material de lectura anterior, que cada uno
de los conyuntos es verdadero.
Identificar las expresiones lógicas, por ejemplo, “no”, “si… entonces”, “y”, “o”, “todos”,
“algunos”, etc.
Así, por ejemplo, los siguientes argumentos son también deductivos, la conclusión se sigue
necesariamente de las premisas:
6. Si dos es mayor que uno, entonces tres es mayor que uno. Dos es mayor que uno. Por lo
tanto, tres es mayor que uno.
7. Si dos es mayor que uno, entonces tres es menor que uno. Dos es mayor que uno. Por lo
tanto, tres es menor que uno.
8. Siete o cuatro es un número primo. Cuatro no es un número primo. Por lo tanto, siete lo es.
9. Siete o cuatro es un número primo. Siete no es un número primo. Por lo tanto, cuatro lo es.
Quien aceptara las premisas no tendría más remedio que aceptar la conclusión, si pretendiera
aceptar las premisas y rechazar la conclusión, entraría en contradicción. No es posible afirmar
sin contradicción, la verdad de las premisas y la falsedad de la conclusión.
La validez de un argumento garantiza que si las premisas son verdaderas, la conclusión
también lo será, pero no garantiza que sus premisas sean efectivamente verdaderas. Un
argumento válido, que a su vez tiene todas sus premisas verdaderas, es un argumento sólido.
Opciones para los argumentos:
 Opción 1: que las premisas y la conclusión sean todas verdaderas;
 Opción 2: que tanto las premisas como la conclusión sean falsas;
 Opción 3: que las premisas sean falsas y la conclusión verdadera;
 Opción 4: la inversa, que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa.
Basta que un elemento del conjunto de premisas sea falso para que “las premisas” sean falsas.
Queda excluida la posibilidad (4) es imposible que un argumento sea valido.
• Si se despenaliza el aborto en la Argentina, disminuirá la mortandad materna.
Se despenaliza el aborto en la Argentina.
Disminuirá la mortandad materna.
El aborto no resulta despenalizado (2da premisa falsa) pero los índices de mortandad baja (la
conclusión es verdadera). El argumento deductivo establece que en caso de que las premisas
sean verdaderas, la conclusión también lo será, pero no se establece que ocurre si las premisas
son falsas.
Los argumentos deductivos son validos porque depende de su forma. Todo argumento que
pueda ser reconstruido bajo la forma de Modus Ponens será valido.
Argumentos invalidos: Es posible que las premisas sean verdaderas y la conclusión
falsa, asi como un argumento con premisas y conclusión verdadera puede resultar invalido, por
ejemplo:
Dos más dos es igual a cuatro
La Tierra está en movimiento
La verdad de la conclusión, no se apoya en la verdad de las premisas.
La ciudad de Buenos Aires se inundó
Un tsunami azotó Buenos Aires
Es sencillo imaginar una situación en que tanto las premisas como la conclusión fuesen
verdaderas: por ejemplo el caso en que un tsunami azota Buenos Aires y la ciudad
efectivamente se inunda. Sin embargo, dicho argumento es inválido. Porque podemos
imaginar también una situación en que las premisas fueran verdaderas y la conclusión falsa.
Por ejemplo, si bien sabemos que la ocurrencia de un tsunami bastaría para inundar la ciudad,
también sabemos que la ciudad de Buenos Aires se ha inundado muchas veces sin que
ocurriese tsunami alguno.
El ejemplo anterior tiene una forma tal que no nos garantiza la verdad de la conclusión dada la
verdad de las premisas:
Si A entonces B
B
A
Un contraejemplo es un ejemplo de argumento particular formulado en castellano, que tiene
la forma en cuestión y en el que sus premisas son verdaderas y su conclusión falsa
• Si la Tierra es un asteroide, entonces orbita alrededor del Sol
La Tierra orbita alrededor del Sol
La Tierra es un asteroide
Ambas premisas son verdaderas, mientras que la conclusión es falsa. El argumento es invalido.
Además tiene la forma de la Falacia de afirmación del consecuente. Las premisas son
verdaderas y la conclusión falsa, nos indica que esa forma no garantiza la preservación de
verdad, que no es una forma valida.
En conclusión, la validez o invalidez de un argumento depende de su forma. Lo único relevante
es si esa forma garantiza o no la preservación de verdad de premisas a conclusión. Esto quiere
decir que podemos determinar si un argumento es válido aun cuando no podamos determinar
el valor de verdad de las oraciones involucradas.
Todo lo que hemos de hacer es preguntarnos qué ocurriría con la conclusión del argumento en
caso de que todas las premisas fueran verdaderas. Si, de suponer que las premisas son
verdaderas, la conclusión no puede sino ser verdadera (es imposible que seafalsa), el
argumento es válido. Por el contrario, si resulta concebible que las premisas sean verdaderas y
Falacia de afirmación del consecuente, esta forma es invalida, y por lo tanto
es posible construir para ella un contraejemplo
la conclusión no, es inválido. Recordemos que de lo que se trata es de determinar si las
premisas ofrecen o no razones suficientes para establecer la conclusión.
Una manera de criticar un argumento es mostrar que es inválido. Para ello basta identificar su
estructura y encontrar para ella un contraejemplo –un ejemplo de argumento con dicha
estructura que conduzca de premisas verdaderas a una conclusión falsa.
Reglas de inferencia y deducciones: Construir deducciones utilizando reglas de
inferencia.
-Si juega Messi, la Argentina gana
-juega Messi,
Podemos inferir que:
- La Argentina gana.
Los argumentos validos sirven como regla de inferencia.
 Si juega Messi, la Argentina ganará
 Si Messi se recupera de su lesión, jugará
 Messi se ha recuperado de su lesión
¿Podemos inferir que la Argentina ganará? Si simplemente agregamos la oración “Argentina
ganará” como conclusión, obtenemos el siguiente argumento:
Si juega Messi, Argentina ganará
Si Messi se recupera de su lesión, jugará
Messi se ha recuperado de su lesión
Argentina ganará
Y, si bien no podemos reducir este argumento a la forma Modus Ponens, podemos usar esa
forma válida como regla de inferencia para probar su validez. Lo que haremos es utilizar esa
regla para construir una deducción de la conclusión del argumento a partir de las premisas.
1. Si juega Messi, la Argentina ganará
2. Si Messi se recupera de su lesión, jugará
3. Messi se ha recuperado de su lesión
Las premisas 2 y 3 podremos observar que tienen la forma de las premisas del modus ponens:
un condicional (2) y el antecedente del condicional (3). Si pensamos ahora al Modus Ponens
como una regla de inferencia que permite obtener consecuencias de la información disponible,
de estas dos premisas podemos inferir entonces su conclusión:
4. Messi jugara
La premisa 1 es condicional, y la oración 4 es el antecedente de ese condicional, aplicando
Modus Ponens podemos inferir: 5. Argentina ganara.
Modus Ponens:
Si A entonces B
A
B
Acabamos de construir una deducción de la oración “La Argentina ganará” a partir de la
información de la que disponíamos y que estaba condensada en aquellas tres premisas. Lo que
hicimos fue mostrar que la conclusión efectivamente se desprende de esas premisas. Para
lograrlo, tuvimos que dar algunos pasos intermedios, tuvimos que ir obteniendo conclusiones
parciales de la información disponible. Pero, en tanto cada uno de esos pasos, cada una de
esas inferencias tuvo lugar siguiendo una regla válida (el Modus Ponens), podemos estar
seguros de que la conclusión ha sido obtenida válidamente.
1. Si juega Messi, la Argentina gana (premisa)
2. 2. Si Messi se recupera de su lesión, jugará (premisa)
3. 3. Messi se ha recuperado de su lesión (premisa)
4. 4. Messi jugará (por Modus Ponens entre 2 y 3)
5. 5. La Argentina ganará (por Modus Ponens entre 1 y 4)
Una deducción es una secuencia de oraciones que parten de supuestos o premisas, y donde
cada una de las líneas o pasos siguientes se obtiene aplicando alguna regla de inferencia a
algunas de las líneas anteriores, y la última es la conclusión.
Reglas de inferencia:
Nos autoriza a obtener como conclusion el consecuente de
un enunciado condicional cuando sabemos que el antecedente es el caso:
Si Matilde gana la lotería, será millonaria. Si se constata que la gano, podemos inferir que
será millonaria, pero no nos autoriza a inferir nada en caso de que no la gane. De modo que si
sabemos que el condicional es, sabemos que no puede pasar que su antecedente A sea
verdadero y su consecuente B falso. Ahora bien, la segunda premisa puede entenderse como
afirmando la verdad del antecedente A. De ello resulta entonces que el consecuente B, debe
ser verdadero también.
Matilde no es millonaria, si sabemos que si ganaba la loteria lo
seria, podemos inferir que no la gano. condicionales
condicionales
Un condicional sobre la base de otros dos condicionales tales que el consecuente
del primero es el antecedente del segundo, el condicional de la conclusion lleva el
antececdente del primer condicional y el consecuente del segundo. Si Miranda viaja, visitara
portugal, y que si va a Portugal, comprara un sobrero, bien podemos concluir que si miranda
viaja comprara un sombrero.
La secuencia de oraciones
del 1 al 5 constituye una
deducción.
Modus
Ponens
Modus
Tollens
Silogismo
Hipotetico
Sabemos que llueve y truena, podemos inferir que llueve, o también que truena
conjunciones (son verdaderas cuando ambos conyuntos lo son)
conjunciones. Si sabemos que llueve(A) , y nos enteramos de que truena (N),
podremos afirmar que llueve y truena (A y B)
Tiene dos premisas, una disyuncion y la negacion de uno de los disyuntos, a
partir de eso concluyo el otro disyunto. Sabemos que Facundo o Federico es el culpable, y nos
enteramos de que Facundo no lo es, podemos inferir que el culpable es Federico. Para que
una disyuncion sea V uno de los disyuntos ha de serlo (A o B) si afirmamos que A es el caso
negamos que B lo sea. (No B)
universal. asumimos que todos los individuos que tienen la
propiedad R, tienen tambien la propiedad P, y que un individuo X tiene la R, inferimos que
tambien tiene la P
Todas las estrellas tienen luz propia
El Sol es una estrella
El Sol tiene luz propia
Simplificacion
Adjuncion
Silogismo
Disyuntivo
Instanciacion
del universal
Los	argumentos	inducivos	y	su	evaluación
ML4
Los argunmentos inductivos: Las premisas no ifrecen un apoyo absoluto a la
conclusión. No hablaremos de validez, sino de argumentos buenos o malos, fuertes o débiles.
Estrictamente hablando todo argumento inductivo es invalido, porque la verdad de las
premisas no garantiza la verdad de la conclusión.
Argumentos inductivos por analogía:
Los argumentos inductivos por analogía son frecuentes no solo en el ámbito de la ciencia, sino
también en la vida cotidiana. Tomemos el siguiente ejemplo: suponga usted que es lunes 21 de
marzo, su primer día de clases en la universidad. Tiene que estar allí a las 9 de la mañana. Sale
de su casa a las 8, llega a la parada más próxima del colectivo de la línea 60, toma el colectivo,
demora aproximadamente 40 minutos y arriba a su destino con tiempo suficiente para
encontrar su aula. A la mañana siguiente repite el mismo ritual y así durante toda la semana.
La segunda semana, a sabiendas de que tiene que estar a las 9, sale de su casa a las 8 y se
dirige hacia la parada del colectivo 60, como antes. ¿Qué cree usted que va a ocurrir?
Razonablemente, pensará que el viaje demorará aproximadamente 40 minutos. Pero ¿cómo
puede estar tan segura? ¿Qué garantías tiene de que ello va a ser el caso? Es cierto que puede
haber imprevistos tales como calles cortadas o accidentes que alteren el cálculo estimado y,
por lo tanto, el razonamiento pueda ser erróneo. No obstante, el hecho de que el viaje durante
los cinco días de la semana anterior haya tenido la misma duración y el recorrido haya sido el
habitual, indica que es altamente probable que vuelva a ocurrir lo mismo. Es de esperar que se
sienta bastante confiada en llegar a tiempo a su clase. ¡Bien por usted!
Estos descansan en la comparación entre dos o más cosas, entidades o eventos, y a partir de
la constatación de su similitud se concluye que lo son también en otro aspecto
x1 tiene las características F, G, …, Z.
x2 tiene las características F, G, …, Z.
…………….
xn tiene las características F, G, …
Por lo tanto, xn tiene la característica Z.
Argumentos inductivos por enumeración incompleta:
La información disponible en las premisas se usa para generalizar en la conclusión a partir de
ellas.
Se parte en las premisas de casos observados y se generaliza en su conclusión para casos que
van más alla de la evidencia, no logran establecer su conclusión de modo concluyente.
Silogismos Inductivos: Supongamosque leemos en el diario que, de acuerdo con las
estadísticas realizadas el último año, la mayoría de los egresados de la Universidad de Buenos
Aires consiguen trabajo rápidamente. Nuestra amiga Jimena se acaba de recibir de licenciada
en Comunicación Social y está inquieta por su futuro laboral. Al leer el diario, seguramente
pensemos que es una buena idea comentarle el contenido del artículo. ¿Por qué? La respuesta
obvia sería: porque ella estudió en la UBA. Esto es cierto. Este último dato, junto con la
información provista por el diario, aporta ciertas esperanzas. ¿Puede Jimena descansar
tranquila pensando que todo está resuelto? Sin duda que no, los datos señalan que “la
mayoría” obtiene empleo rápidamente, no que todos lo hacen. Sin embargo, sin duda
también, la información la habrá de dejar un poco más tranquila. Podríamos reconstruir el
razonamiento o argumento del siguiente modo:
Xs han de ser reemplazados por eventos, cosas o entidades, y F,G,Z
por aspectos, características o propiedades. Los puntos
suspensivos(cualquier numero de aspectos no solo en uno, dos o
tres). La línea ………. Indica que la cantidad de eventos pueden ser
dos o mas de dos.
Una de las premisas posee la forma de una generalización estadística y la otra un caso en dicha
generalización, y concluye que dicho caso cumple con la generalización.
Evaluación de argumentos inductivos: Las premisas dan apoyo parcial a la
conclusión, cuanto mayor sea el apoyo más fuerte será el argumento, y a la verdad de las
premisas, más probable será la verdad de la conclusión, aunque siempre queda la posibilidad
de premisa V Y conclusión F.
El contenido es sumamente relevante al evaluar el vinculo que hay entre premisas y
conclusión, para determinar cuanto apoyo existe entre ambas.
La extensión del conjunto ha de ser tomada en cuenta. El primer ejemplo toma como conjunto
a los planetas exteriores del sistema solar (son 4) y el segundo a las casa de La Plata (que son
muchas más ). Resulta más fuerte el primer argumento que el segundo.
Evaluación de argumentos por analogía.
La relevancia de las similitudes sobre las que se funda la inferencia, deben ser tomadas en
cuenta. Para aclarar:
Resulta irrelevante la vestimenta que utiliza para la calidad del producto, es decir que no existe
conexión entre dichos aspectos, por lo tanto pierde fuerza el argumento. Cuanto mayor sea el
número de aspectos relevantes en los que los casos se parecen, más fuerte será el argumento.
Este argumento es más fuerte aun que el primero, pues se basa en una mayor cantidad de
similitudes relevantes entre los casos pasados y el caso futuro. Y cuantas más disimiles en un
sentido relevante hayan, menor será la fuerza del argumento.
Y un ultimo criterio es la cantidad de casos o instancias que se ofrecen como premisa. Si Felix
compro durante 6 meses buenos productos, sera más fuerte el argumento que si lo hizo cada
dia de la ultima semana. Podemos afirmar entonces que cuanto mayor sea la cantidad de
casos o instancias que son similares en uno (o más) sentido(s) relevante(s) respecto de la
característica que se pretende inferir, más fuerte será el argumento.
Evaluación de argumentos por enumeración incompleta
Si las premisas contasen un millón de casos, y concluyese lo mismo, estas brindarían más
apoyo a la conclusión. Pero no se trata únicamente de que tan grande sea la muestra, sino de
que tan representativa sea esta respecto de la población total. Para esto la muestra no debe
ser sesgada, de caso contrario pierde fuerza el argumento.
Evaluación de silogismos inductivos: Cuanto mayor sea la frecuencia relativa, más
fuerte será el razonamiento, y cuanto menor sea la primera más débil será el argumento.
Cuantos mas casos se mencionen en las
premisas, mas probable será que la
conclusión se de y mas fuerte será el
argumento
Si el porcentaje de recuperación fuera de un 50%, mantendríamos cierta reserva a la hora de
inferir que Jorge se va a recuperar. Y si el porcentaje fuera del 2% el argumento sería malo,
pero con la conclusión contraria, habría de ser considerado fuerte.
Es preciso considerar el total de la evidencia disponible.
Es crucial tomar en cuenta toda la evidencia disponible, con especial énfasis en atender aquella
que sea más específica, es por eso que afirmamos que el argumento 3 es mucho más fuerte
que el 1
Sistemas	axiomaticos
ML
Origen de los primeros conocimientos geométricos: Los documentos
encontrados tanto en la Mesopotamia como en Egipto contienen conocimientos aislados, no
articulados entre si. No se ofrecen métodos d resolución, simplemente se resumen los
resultados. No aparece explicitado el cálculo abstracto, no se hace referencia a figura s
geométricas abstractas (circulo, rectángulo) sino a cuerpos materiales concretos, como un
terreno rectangular o una vasija circulas. El fin fundamental de la geometría prehelénica es
práctico.
Geometría griega: S. –VII las ciudades de la costa egea del Asia Menor recibieron la
influencia de los fenicios, los egipcios, los cretenses u de los pueblos del asia menor
la posición geográfica fue un factor importante, a este factor hay que sumarle razones de
índole política y social que permiten explicar el desarrollo intelectual de los griegos, cuya
nueva actitud frente a la naturaleza se basaba en el intento de ofrecer explicaciones de los
fenómenos naturales sin apelar a elementos míticos o sobrenaturales. Tales de Mileto,
Anaximandro y Anaxímenes inauguraron una forma de especulación racional sobre la
naturaleza (ciencia) los conocimientos prácticos, basados en la experiencia tenían que poder
explicarse a partir de nociones teóricas. Tales de Mileto Fue uno de los primeros matemáticos
y astrónomos griegos, y uno de los primeros en utilizar métodos deductivos en la geometría
(Justificar un enunciado a partir de otros ya conocidos). Su principal contribución fue el
tratamiento general de los problemas.
Euclides y la geometría
Euclides, padre de la geometría, logro sistematizar los conocimientos geométricos, es decir,
presentar los enunciados articulados, organizados, estructurados entre si. Elementos es su
obra mas importante, donde perfecciona de manera rigurosa y se sistematizan los
conocimientos geométricos anteriores, adopto la perspectiva aristotélica:
 La ciencia es un conjunto de afirmaciones obre un determinado objeto, con el
requisito de que ellas sean generales y necesariamente verdaderas
 Las afirmaciones deben estar articuladas de modo organice
Elementos, se desarrolla en 13 libros, los primeros cuatros son de geometría plana, en el
primero establece una serie de enunciados que se aceptan sin demostración y que constituyen
los principios a partir de los cuales se va a poder demostrar el resto de los enunciados del
sistema.
Los postulados (axiomas) se refieren a una ciencia en partículas, y son los siguientes:
1º Desde un punto a otro siempre se puede trazar una recta.
2º Una recta se puede prolongar indefinidamente en cualquiera de sus dos direcciones.
3º Dado un punto y un segmento, se puede construir un círculo que tenga a ese punto como
centro y a ese segmento como radio.
4º Los ángulos rectos son iguales entre sí.
5º Si una línea recta corta a otras dos rectas de manera que la suma de los ángulos interiores
de un mismo lado sea menor que dos ángulos rectos, entonces dichas rectas, prolongadas
suficientemente, se cortarán del mismo lado de la primera línea recta en que se encuentren
aquellos ángulos cuya suma es menor que dos rectos.
El enfoque euclidiano es diferente del enfoque empírico que empleaban los egipcios, en
teoría, una línea recta puede trazarse entre dos puntos aunque no podamos hacerlo en la
práctica.
 Las nociones comunes: cuestiones generales que pueden aplicarse tanto a la
geometría, como a otros ámbitos de la ciencia o de la vida cotidiana. Ej:
Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.
El todo es mayor que cualquiera de sus partes.
 Las definiciones: define todos los términos con los que trabajo (a diferencia de
Aristóteles)para evitar errores causados por la vaguedad de los términos. Ej:
Un punto es lo que no tiene partes.
Una línea es una longitud sin anchura
 Proposiciones o teoremas: Son enunciados verdaderos, ya que se obtienen
deductivamente de los postulados y las nociones comunes. Recordemos que los
postulados y nociones comunes se toman como verdaderos sin que sea necesaria su
demostración
Construye demostraciones de las proposiciones o teoremas, a partir de las premisas se deduce
la conclusión por aplicación de reglas de inferencia, Euclides no especifica las reglas de
inferencia.
El problema del quinto postulado:
Si una recta c corta a otras dos a y b formando de un mismo lado ángulos internos
menores que dos rectos, esas dos rectas a y b se cortan del lado donde se
encuentran los ángulos mencionados.
Un requisito de los axiomas era que su verdad fuera evidente, pero en este no lo es
tanto. Esta aparente falta de evidencia hizo que los geómetras plantearan que el
postulado era un teorema, ósea que podía ser demostrado a partir de los otros cuatro
axiomas (postulados) por lo tanto no era independiente (un axioma es independiente
cuando no se puede deducir por otros axiomas del sistema)
Postulado
de las
paralelas
Son verdaderas
sin necesidad
de demostrarlas
El gráfico representa la formulación anterior:
Si la recta c corta a las rectas a y b y la suma de los ángulos a y ß es
menor que dos rectos
(a + ß es menor que 180º), entonces las rectas a y b se cortan en
Muchas veces se creyó haber alcanzado la demostración del axioma de Euclides, pero
se daban cuenta que habían partido de los cuatro primeros postulados (que era el
propósito), pero también habían utilizado un enunciado equivalente al quinto, es decir
que utilizaron una versión del mismo enunciado que buscaban demostrar.
John Playfair elaboro una versión del quinto postulado:
Por un punto exterior a una recta, puede trazarse una única paralela
a dicha recta.
El trabajo de Saccheri
Utilizo otro enfoque para demostrar el quinto enunciado, una demostración indirecta o por el
absurdo, intenta probarlo partiendo de los postulados 1º a 4º y de la negación del quinto
postulado como supuesto provisional. Suponía que negando el quinto postulado iba a
encontrar una contradicción que lo llevaría a rechazar ese supuesto provisional y le permitiría,
entonces, concluir la afirmación del quinto postulado. Si el postulado 5º se deducía de los
anteriores (entonces perdía el carácter de independiente), y se negaba, la contradicción habría
de surgir inexorablemente.
Surgió una contradicción en el Caso 1, pero no en el otro (donde se negaba el 5º). Sin haber
llegado a una contradicción pero obteniendo una cantidad de teoremas extraños, supuso que
la contradicción estaba próxima (no lo comprobó) y asumió asi que había defendido la figura
de Euclides. Asumiéndose así que el único sistema geométrico posible era el euclideo.
Geometrías no euclidianas:
 Carl Friedrich Gauss, fue el primero en ver con claridad la independencia del quinto
postulado, y la posibilidad de construir una geometría distinta. Si el 5º era
independiente podría ser reemplazado por otro axioma (postulado), y asi desarrollarse
una nueva geometría, y así lo hizo, lo suplanto por: Por un punto exterior a una recta,
pueden trazarse infinitas paralelas a dicha recta. Se trata de una versión del segundo
caso de Saccheri, Gauss trabajo con este axioma y con los otros 4 de Euclides, y
demostró propiedades y teoremas que no lo llevaban a ninguna contradicción (Idea
que había explorado Saccheri pero que la descarto por suponer que había una
contradicción).
A partir de los cinco postulados de Euclides se puede demostrar que la suma de los
angulos interiores de un triangulo es igual a 180º, resulta que con los de Guass la
misma suma es menor a 180º
Solo dio a conocer su trabajo en 1829 y en privado.
 Janos Bolyai en 1823 hizo un trabajo donde se exploraba la hipótesis de la existencia
de infinitas paralelas, había llegado a las mismas conclusiones que Gauss
 Nikola Lobachevski desarrollo un sistema geométrico que retomaba los cuatro
primeros axiomas de Euclides y agregaba otro en el que se afirma la existencia de
infinitas paralelas (al igual que Gauss y Bolyai). Toma el nombre de geometría
hiperbólica. Compartia teoremas con la geometría euclidea (los que se deducia con los
cuatro primeros axiomas) y otros que no (los que se demuestran usando el quinto
axioma)
FALTABA ANALIZAR LA OTRA HIPOTESIS, LA DE LA EXISTENCIA DE NINGUNA PARALELA.
 Bernhard Riemman, presento su tesis doctoral ante un jurado integrado, entre
otros, por Gauss. En la tesis se exploraban las consecuencias que surgían al negar
el quinto postulado y suponiendo la existencia de ninguna paralela. Este sistema
geométrico se llama geometría elíptica.
La recta es cerrada, por lo cual no cumple con el segundo postulado de Euclides
(UNA RECTA SE PUEDE PROLONGAR INDEFINIDAMENTE EN CUALQUIERA DE SUS
DOS DIRECCIONES). Si la recta es cerrada, no puede ser infinita.
Al abandonar el 2do postulado, evita las contradicciones de Saccheri, entonces es
un sistema valido, y por consecuencia la suma de los angulos interiores de un
triangulo es mayor que 180º.
Todos estos sistemas geométricos son incuestionables desde el punto de vista
lógico, los nuevos conjuntos de axiomas podían producir teoremas, y no
mostraban contradicciones. La geometría euclidiana fue considerada como la
única geometría, y además describía el espacio físico.
Se hizo difícil de comprender y diferenciar la geometría pura de la geometría aplicada, gracias
al surgimiento de nuevos sistemas geométricos validos. La geometría matemática (pura)
describia estructuras posibles, mas alla de lo practico en la realidad, la geometría física
(aplicada) describe la realidad física.
Progresivamente estos sistemas axiomáticos fueron concebidos como estructuras formales, es
decir, que partiendo de ciertos enunciados permitían construir estructuras coherentes o
posibles desde el punto de vista lógico, que no referían a una entidad concreta.
PARA MAYOR ENTENDIMIENTO: EJEMPLO DADO EN EL APUNTE.pdf
A partir de estos axiomas podemos obtener las consecuencias que de ellos se derivan. Es
posible desarrollar el sistema, aunque no se refiera a nada específico (sistemas formales).
Todo parecía indicar que la geometría euclidiana era la geometría del espacio y que las otras
eran mas afines de la ficción que a la realidad, auqneu ahora son las geometría no euclidianas
Resumen de
las geometrías
presentadas:
las que permiten interpretar el universo en el que vivimos, han encontrada aplicaciones
concretas en distintas ramas de la física, como la física del átomo y de las estrellas.
Sistemas axiomáticos desde una perspectiva contemporánea.
Los axiomas son los enunciados que se aceptan sin demostración y constituyen los puntos de
partida de las demostraciones, pero a diferencia de Aristóteles y de Euclides, no se exige que
los axiomas sean verdades evidentes; los axiomas son ahora enunciados que se aceptan como
puntos de partida del sistema. Los axiomas no refieren a entidades especificas, si son meros
constructos formales, no cabe ni siquiera predicar de ellos verdad o falsedad, aunque al
desarrollar el sistema se trabaja con ellos “como si fueran verdaderos”. Los teoremas son
enunciados queu se demuestran, se deducen a partir de otros enunciados mediante reglas de
inferencia, que deben ser incluidas explícitamente, estas reglas lógicas garantizan que si se
parte de enunciados verdaderos, las conclusiones también lo serán. Si se admiten lox axiomas
como verdaderos, los teoremas también lo serán.
Las demostraciones parten de axiomas o de teoremas ya demostrados, y por aplicación de las
reglas de inferencia permiten obtener nuevos teormas.
Una demostracioin es una secuencia finita de pasos en donde cada uno se deriva de un
enunciado anterior, que es o bien un axioma, o bien otro teorema que ya ha sido demostrado.
Estos enunciados están compuestos por terminos:
DENTRO DE LOS TERMINOS NO LOGICOS:Los sistemas axiomáticos suelen incluir reglas de formación, que indican como combinar los
diferentes terminos para dar lugar a expresiones complejas bien formadas como 2+2=4 y no
224+= , estas reglas nos indican como construir sintácticamente los enunciado que podrán
cumplir el rol de axiomas o teoremas.
La selección de axiomas: a sabiendas de que los axiomas se toman como puntos de
partida: ¿Por qué es necesario tomar puntos de partida?
Supongamos que queremos justificar el enunciado A. Para ello necesitamos otros enunciados.
Supongamos que solo necesitamos un enunciado, llamémoslo B, del cual podamos deducir A.
Pero también tenemos que justificar B. En este caso, necesitaremos otro enunciado C del cual
deducirlo. Y también tenemos que justificar C. Si no tomáramos un punto de partida,
seguiríamos con este proceso indefinidamente y caeríamos en lo que se conoce como
regresión al infinito.
Gráficamente:
Se podría evitar la regresión si C se dedujera de A, y de esa manera no necesitaríamos otro
enunciado para probarlo, pero caeríamos en un círculo vicioso. Gráficamente:
Para evitar dichas situaciones es que tomamos un punto de partida, sin ser necesaria su
demostración. Lo que nos lleva a otra pregunta, ¿Cuáles son los enunciados que tomaremos
como axiomas?
Según la concepción de la época de Euclides, deberían ser aquellos enunciados cuya verdad
sea evidente, obvia. Pero como lo que es obvio para alguien quizás no lo es para otra persona,
la obviedad es algo muy subjetivo y por consecuencia poco confiable. Entonces si logramos
entender el carácter formal que tienen los axiomas vamos a comprender porque ni siquiera se
exigen que sean verdaderos: Los enunciados formales, están compuestos por términos que no
se refieren a algo en concreto, entonces no podemos calificarlos como verdaderos o falsos,
sino hasta que estos son dotados de significado, cuando le damos un significado a los términos
del sistema. Solo cabe preguntarse por la verdad de los axiomas, cuando el sistema ha sido
interpretado.
Propiedades de los sistemas axiomáticos:
 INDEPENDENCIA: Un enunciado es independiente cuando no puede demostrarse a
partir de los demás enunciados del sistema. Para que un sistema axiomático sea
considerado independiente, todos sus axiomas deben serlo. Su dependencia no lo
convierte en un sistema inválido pues un sistema redundante no puede tener
ninguna objeción lógica, no hay contradicción, pero la independencia permite una
deducción más simple de los teoremas.
 CONSISTENCIA: Un enunciado y su negación no pueden ser probados
simultáneamente dentro del sistema (porque constituye así una contradiccion) Un
enunciado que afirma “A” y “No A” es inconsistente, porque un enunciado
contradictorio, es siempre falso.
 COMPLETITUD: Un sistema axiomático es completo cuando permite demostrar
todo lo que se pretende demostrar a la hora de construir el sistema, es decir,
cuando hay garantía de que ninguna verdad quedara fuera del sistema.