Interes-simple-Teoria

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INTERÉS SIMPLE 
 
Introducción 
 
Antes de iniciar el desarrollo de los temas de esta unidad los invitamos a que reconozcan 
los conocimientos previos que han adquirido en las asignaturas de matemática anteriores 
a ésta y que son requeridos para facilitar el abordaje de los nuevos aprendizajes. 
A modo de ejemplo le señalamos que recurriremos a: 
 
 Ecuaciones de 1º y 2º grado. 
 Obtención de factor común y aplicación de propiedad distributiva. 
 Obtención de divisor común. 
 Potenciación y propiedades. 
 Representaciones gráficas de funciones. 
 Logaritmos. 
 Progresiones geométricas y aritméticas: fórmula de sumas de sus términos. 
 Porcentaje. 
 Fórmula del Interés y Monto Simple. 
 
Una ayuda para refrescar esos conocimientos lo hallará en uno de los apéndices del libro 
“Cálculo Financiero Aplicado. Un enfoque profesional” 
 
Interés Simple 
 
Objetivos. 
Que el alumno logre: 
 Reconocer las operaciones financieras simples y las situaciones de la vida real 
en las que nos encontramos con ellas. 
 Analizar los elementos que intervienen en ellas. 
 Conocer el concepto de interés simple y el monto. 
 Graficar dichas funciones. 
 Deducir las variables que intervienen. 
 Distinguir entre interés y tasa de interés. 
 Incorporar vocabulario técnico. 
 
En la presente unidad nos abocaremos al desarrollo de las operaciones financieras bajo 
el régimen a interés simple. 
 
Los nuevos aprendizajes que sintetizamos en objetivos de este módulo han sido 
estructurados de tal modo que vinculen los conceptos y las actividades correspondientes, 
a fin de facilitar el logro de los objetivos propuestos para esta unidad y cuyo esquema 
conceptual podemos diagramar como sigue: 
 
Operaciones financieras simples 
 
 tiempo 
 Capital inicial Valor final ó Monto 
 
 Tasa de interés 
 
 
 Cálculo financiero 
 
 
 
 Régimen simple Régimen Compuesto 
 
Podemos representar en un eje lineal de tiempo ese pasaje del Capital al Monto 
 
 0 
C 1 2 3 4 5 n M 
 
Desarrollo de la unidad 
 
Una operación financiera es aquella acción que por desplazamiento en el tiempo 
produce una variación cuantitativa del Capital. 
 
También podemos decir: 
 
El intercambio no simultáneo de capitales a título oneroso 
 
En ella intervienen dos sujetos, uno de ellos entrega al otro un valor y éste se compromete 
a devolver un importe mayor, después de transcurrido cierto tiempo. 
 
De tal concepto se desprende que en las operaciones financieras están siempre presentes: 
 Acreedor, el que entrega al otro un valor. 
 Deudor, el que recibe ese valor y se compromete a devolver un importe mayor. 
 Capital, que entendido como capital financiero (C; t) refiere a una cuantía (C) 
de unidades monetarias asociada a un momento determinado de tiempo (t). 
 
“En una operación financiera siempre estaremos refiriéndonos a capitales equivalentes: 
hay equivalencia entre dos capitales cuando a su propietario le resulta indiferente una 
situación u otra. Es decir, si a usted le resulta indiferente cobrar hoy 1.000 pesos a cobrar 
1.050 pesos dentro de un año, entonces diremos que ambos capitales (1.000; 0) y (1.050; 
1) son equivalentes. 
 
De una manera más general, dos capitales cualesquiera, C1 con vencimiento en t1 y C2 
con vencimiento en t2, son equivalentes cuando se está de acuerdo en intercambiar uno 
por otro. 
 
El concepto de equivalencia no significa que no haya ganancia o coste en la operación. 
Todo lo contrario, la equivalencia permite cuantificar ese beneficio o pérdida que 
estamos dispuestos a asumir en una operación concreta. 
Esto implica elegir un método matemático que permita dicha sustitución: una ley 
financiera. 
 
La ley financiera se define como un modelo matemático (una fórmula) para cuantificar 
los intereses por el aplazamiento y/o anticipación de un capital en el tiempo. 
Un modelo matemático es el régimen de interés simple, por ejemplo y otro, diferente, el 
régimen compuesto.” 
 
El tiempo, que simbolizaremos “t”, implica el plazo ó período en el que el capital es 
invertido. 
La tasa que simbolizaremos “r”, es lo que se obtiene por cada $ 100 de capital invertido. 
 
La aplicación de tiempo y tasa a un cierto Capital produce un acrecentamiento llamado 
“Interés” y que es directamente proporcional al Capital, la tasa y el tiempo. 
 
 Por lo tanto: I = C. r . t 
 100. ut 
 
Si llamamos “i”, tasa unitaria al cociente r 
 100 
y llamamos “n ” , al cociente t 
 ut 
 
Obtenemos una fórmula más simplificada del Interés Simple 
 
 I = C x i x n ( 1 ) “x” se lee “por” multiplicación 
 
Veamos un ejemplo en el cual se utilizarán valores que nos permitan apreciar el 
procedimiento: 
Supongamos un capital inicial “C” de 100, el cual será impuesto a una tasa de interés, del 
10% mensual, siendo el plazo de imposición de 4 meses. 
Siendo: 
 “i” = 0,10 mensual 
 “n” = 4 meses 
 “C” = 100 
I = 100 x 0.10 x 4 
 I = 40 
 
Es importante que tiempo y tasa estén expresados en la misma unidad, en este caso: 
mes; para que el resultado sea proporcional. 
 
En esta operación se intercambiaron $ 100 por $ 140 ($ 100 + $ 40) a los cuatro meses, 
siendo $ 40 el precio que se paga por disponer de un capital de $ 100.- por 4 meses. 
 
En un eje de tiempo visualizamos el pasaje del capital al monto: 
 0 4 
 
 $ 100 $ 140.- 
 
Ambos capitales 100 y 140 son equivalentes. 
 
¿Cómo definimos el interés? 
 
Una definición, entre otras, podría ser: 
 
 El interés es el importe que se abona por la libre disponibilidad de un capital. 
 
La tasa de interés: 
 
Podemos definirla como: 
 
 La ganancia que produce la unidad de capital en la unidad de tiempo 
 
Se mide en tanto por uno, “i”, es decir, lo que se gana por cada peso de capital en un 
período. En el ejemplo anterior “0,10 mensual”. 
 
Aplicaciones: 
 
El interés simple se utiliza en diversas operaciones financieras: 
 depósitos a plazo fijo; 
 depósitos en Caja de Ahorro dentro del período de acreditación de intereses; 
 intereses resarcitorios por deudas impositivas; 
 en algunos casos de sentencias judiciales; 
 en la venta de cheques diferidos; 
 en el cálculo de los intereses que pagan los bonos. 
 
En el siguiente ejemplo ilustramos los cálculos de interés simple en depósitos para 
unidades de tiempo diferentes: 
 
 
La Teoría Matemática del Interés en sus postulados determina: 
 
 El Interés es función del tiempo, por lo tanto, el capital también lo es, ya que al 
transcurrir el mismo, el capital inicial se transforma en monto. 
 El interés se devenga en forma continua cualquiera sea la Ley de apropiación 
del interés al monto utilizada, y se produce en cada infinitésimo de tiempo. 
 La capitalización puede ser continua o discontinua y corresponde al momento 
en que los intereses se suman al capital. 
 Nosotros realizaremos el análisis en el campo discreto, no en infinitésimos de 
tiempo, sino en períodos de tiempo definidos: mes, trimestre, días, años, etc. 
 
Capitalización SimpleEs la operación financiera mediante la cual se suman intereses simples al capital 
inicial para determinar el monto 
 
En la capitalización simple la suma del interés al capital no tiene otra consecuencia que 
determinar el monto. La diferencia con el régimen compuesto no está en que en el 
régimen simple se retiran los intereses y en el compuesto no. Es un modelo diferente en 
el que la base de cálculo no varía, es siempre el capital original. 
Esto es importante en el caso de las deudas, razón por la cual, el interés de interés, es 
considerado “anatocismo” y tiene limitaciones en su aplicación. 
En el caso específico de un plazo fijo la operación permite extender el certificado por el 
valor del capital acrecentado por el interés ganado en el período de aplicación. 
 
Lectura recomendada N ° 1 
 
Monto Simple 
 
En un cuadro de marcha podemos seguir la evolución del capital en el tiempo y los 
capitales finales ó montos en cada período en un régimen simple. 
 
n Capital Interés Monto 
1 C C x i x1 C+C x i x 1=C(1 + i) 
2 C C x i x 2 C+Cxix2=C(1 + 2i) 
3 C C x i x 3 C+Cxix3=C(1 + 3i) 
 
n C C x I x n C+Cxixn=C(1 + ni ) 
 
Por este método, que parte de lo particular, un capital en el momento 1, llegamos a la 
misma fórmula que veremos en el título siguiente, deducido del concepto general de 
monto. 
 
Es decir: M = C (1 + i x n) 
 
Deducción de la fórmula del Monto Simple 
 
 
El Monto es la suma del Capital más el Interés ganado en el período considerado. 
 
Por lo tanto, partimos del concepto general: M = C + I 
 
Si reemplazamos en la ecuación anterior el Interés por su fórmula indicada en (1) 
obtenemos: 
 M = C + C x i x n 
 
Y sacando factor común C, entonces M = C (1 + i x n) 
 
 
Gráficamente y con los datos del ejemplo dado: 
 
 M $ 
 
 Interés= 40 
 100 Monto : 140 
 Capital=100 
 
 0 4 Tiempo (en meses) 
 
Veámoslo ahora sobre un eje de tiempo: 
 
 0 1 2 3 4 
 l l l l l 
 100 I1 = 100.0,10.1 I2=100.0,10.1 I3=100.0,10.1 I4=100.0,10.1 
 I1= 10 I2= 10 I3= 10 I4= 10 
 
Como se observa en el gráfico anterior y en el eje de tiempo existe proporcionalidad entre 
el interés y el tiempo: el monto crece en progresión aritmética1 de razón “I.”. Por lo tanto, 
el monto de un período deriva de la suma del monto del período anterior más una suma 
fija o constante y ello sucede porque en cada período la base de cálculo del interés 
simple es siempre la misma: el capital original que, en el ejemplo, es $ 100.- 
 
A partir de la fórmula básica del monto es posible despejar las otras variables que 
intervienen en su cálculo: 
ni
M
C
*1
 
 
nC
M
i
1
1




  
 
iC
M
n
1
1




  
 
Fórmula del Monto Simple con tasas variables 
 
En la fórmula del monto simple obtenida en el parágrafo anterior, la tasa es fija, o sea 
única para toda la operación. 
Si la tasa es variable, es decir, si para distintos períodos de tiempo la tasa fluctúa, y el 
capital es el mismo puede determinarse una fórmula general para ese caso particular. 
Esta situación se puede dar en el caso de calcular el interés sobre una deuda, por ejemplo, 
impositiva, cuando la tasa ha ido variando en el tiempo y la deuda no ha sido cancelada 
y considerando que el ente recaudador exija respetar las diferentes tasas que fueron 
dándose en el tiempo . 
Para deducir la fórmula a aplicar partimos del concepto de Monto: 
 
1 Serie en la cual cada término deriva del anterior más una constante. 
 
 M = C + I 
 
Pero, habrá que obtener intereses parciales para cada período y cada tasa: 
 
Por lo tanto: M= C + I1+I2+I3...Ip 
 
Reemplazando I1+I2+I3...Ip por las fórmulas del interés simple. 
 
Obtenemos: M= C + C.i1.n1 + C.i2.n2 + C.i3.n3 +……+ C.ip.np 
 
Sacamos factor común C: M = C (1+ i1. n1 + i2. n2 + i3. n3 + ........ ip. np) 
 
Problemas de tiempo en el Monto Simple 
 
 Determinar en qué tiempo un capital se transforma en múltiplo de sí 
mismo: 
 
Seguimos el siguiente razonamiento: 
 
M = m C siendo “m” el múltiplo 
 
Reemplazando M por su fórmula: 
 
 C. (1 + i.n) = m.C simplificamos “C” en ambos miembros de la ecuación 
 
Por lo tanto, despejando n: n = m-1 
 i 
 
¡Observemos la fórmula hallada!!!: Para obtener el tiempo en que un capital se 
duplica, triplica, etc., no necesitamos conocer dicho capital sino el múltiplo y la tasa. 
 
 Determinar en qué tiempo dos capitales distintos C 1 y C2, colocados a 
distintas tasas, “i1” e “i2” producen igual monto. 
 
Partimos de la igualdad requerida, la de los montos, en cada situación para un mismo 
tiempo “n” 
 M1 = M2 
Reemplazamos por las fórmulas correspondientes: 
 
 C1. (1 + i1 .n) = C2. (1 + i2. n) 
 
Por propiedad distributiva: 
 
 C1 + C1. i1. n = C2 + C2 . i2. n 
 
Realizando los pasajes correspondientes de un miembro a otro y despejando “n” 
 
Llegamos a: n = C1 - C2 
 C2. i2 - C1. i1 
 
Fórmula que nos permite obtener las siguientes: 
 
Conclusiones 
 
Para que en un momento determinado se produzca el mismo monto, siendo distintos los 
capitales y distintas las tasas: 
 
1) Un capital debe ser mayor al otro: C1 > C2. 
2) El capital mayor debe estar colocado a una tasa menor. 
3) Y el capital menor a una tasa mayor, tal que : 
 C2. i2 > C1. i1 
 O sea, el capital menor por su tasa de un valor superior al capital mayor por su 
tasa. 
Plazo medio 
 
Se suponen 2 o más capitales distintos colocados a distintos plazos y a la misma tasa. 
 
Plazo Medio es el tiempo promedio al que hay que colocar esos capitales para que den 
el mismo interés que cada uno de ellos en sus respectivos plazos. 
 
La ecuación de la que se parte es: 
 
I (con plazo medio) = I1 + I2 
 
(C1+ C2).i.n = C1.i. n1 + C2. i. n2 
 
Siendo la “i” la misma se simplifica , se despeja “n” tiempo medio y la fórmula es: 
 
 n = C1. n1 + C 2. n2 
 (C1+ C2). 
Conclusiones: 
 El plazo medio es independiente de la tasa de interés común 
 El plazo medio es el promedio ponderado de los plazos a los que los capitales 
fueron colocados 
 
Tasa media 
 
Se suponen 2 o más capitales distintos colocados a distintas tasas y al mismo plazo. 
 
Tasa Media es la tasa promedio a la que hay que colocar esos capitales para que den el 
mismo interés que cada uno de ellos a sus respectivas tasas. 
 
La ecuación de la que se parte es: 
 
I (con tasa media) = I1 + I2 
 
(C1+ C2). i. n = C1. i. n1 + C2. i. n2 
 
(C1+ C2). i. n = C1. i1. n + C2. i2. n 
 
Siendo “n” el mismo para ambos capitales se simplifica, se despeja “i” tasa media y la 
fórmula es: 
 
 i = C1. i1 + C 2. i2 
 (C1+ C2). 
Conclusiones: 
 
 La tasa media es independiente del plazo común 
 La tasa media es el promedio ponderado de las tasas a las que C1 y C2 fueron 
colocados. 
 
ACTIVIDADES 
 
PROBLEMAS RESUELTOS 
 
I) Calcularel interés que producirá un capital de $ 27.600, al 7,5% anual, en 7 años. 
 
 I = C.i.n 
 
 I = 27.600x 0.075 x 7 = 14.490 
 
Respuesta: $ 14.490 
 
II) Calcular el interés que producirá un capital de $ 60.000, al 18% anual: 
a) en 6 meses; b) en 180 días. 
 
 a) I = 60.000x 0,18 x 6 = 5.400 
 12 
 
 b) I = 60.000x 0,18 x 180 = 5.326,03 
 365 
Respuestas: a) $ 5.400 b) $ 5.326,03 
 
III) Una sentencia judicial ordena el pago de $ 58.726 el 15 de junio más un interés del 
8% anual desde el 6 de marzo del mismo año. Calcular la suma que deberá abonarse. 
 
 M = C (1+ i. n) Total de días: 101 
 
M = 58.726 (1 + 0,08 x 101 ) = 60.026,02 
 365 
 
Respuesta: $ 60.026,02 
 
IV) Calcular qué suma deberá invertirse al 18% anual para poder reunir $ 15.000 
después de 5 meses. 
 
C = M = 15.000 = 13.953,49 
 1 + i.n 1 + 0,18 x 5 
 12 
 
Respuesta: $ 13.953,49 
 
V) Se desea saber cuántos días estuvieron depositados $ 12.000, si al 11% anual 
permitieron que la suma final retirada fuera de $ 12.542,47 
 
n= M - C = 12.542,47 - 12000 = 0,410962121 años = 150 días 
 C x i 12.000 x 0,11 
Respuesta: 150 días 
VI) Halle el “Valor actualizado c/100 VN” es decir el monto, cada 100 dólares de valor 
nominal o escrito, del Boden 2012, al 29/07/2005, sabiendo que los mismos se calculan 
semestralmente (en el presente caso desde el 3/02/2005) a una tasa del 3,01% anual. 
Recuerde que los intereses se obtienen sobre el valor residual al inicio del periodo. 
 
BODEN 2012 
 Condiciones de emisión Gráficos 
 Emisor: Gobierno Nacional 
 Moneda de emisión: Pesos 
 Monto de emisión original: u$s 17.449.800.000 * 
 Monto de circulación: u$s 6.545.863.000 * 
 Fecha de emisión: 03/02/2002 
 Fecha de vencimiento: 03/08/2012 
 Plazo: 10 años y 6 meses 
 Amortización: 
 
8 cuotas anuales, iguales y consecutivas equivalentes cada una al 
12.5% del monto emitido, venciendo la primera de ellas el 3 de 
agosto de 2005. 
 
 Intereses: 
 
Devengarán intereses sobre saldos a partir de la fecha de emisión 
a la tasa Libor de 180 días, los que serán pagaderos sobre 
semestre vencido. 
 
 Garantía: República Argentina 
 Otras características: 
 
* Fuente: Secretaría de Finanzas al 30-09-09 
 
 
Los títulos públicos pagan intereses simples, es otro ejemplo de aplicación del régimen 
simple. Los intereses se pagan vencidos cada semestre desde su emisión y sobre saldos. 
Al 29/07/2005, el último pago de intereses se efectuó el 03/02/2005 y hasta el día 
29/07/2005 hay 176 ds. Se calculan sobre saldo de deuda y como la primera cuota de 
amortización de deuda se paga el 03/08/2005, al 29/07/2005 todavía no se amortizó 
ninguna cuota de capital y se adeuda el 100%. Por lo tanto el Interés será de acuerdo a la 
fórmula I= C.i.n recordando que si la tasa es anual habrá que dividir por 365 ds. Y 
multiplicar por los días que, en este caso hay entre el 3/08 y 29/07 
 
 I = 100 x 0.031 x 176 = 1,49 
 365 
 
El “Valor actualizado c/ 100 de VN” es un monto o sea C+I 
 
 Rta.: M = 100 + 1,49 = 101,49 
 
 
 
Preguntas teóricas: 
 
 ¿Cómo resultan ser los intereses en un régimen simple? Y ¿Por qué? 
 Dado el caso de múltiples tasas de interés aplicadas a un mismo capital ¿Por qué 
las tasas se suman (en el interés simple) en vez de multiplicarse? 
 ¿Cuál sería la fórmula del tiempo necesario para que un capital se convierta en 
múltiplo de sí mismo? 
 En la fórmula del interés simple ¿Cuántos días se toman por año para obtener el 
interés comercial? A su juicio ¿es exacto? ¿Qué ventaja observa en su utilización? 
 Dados dos o más capitales distintos colocados a distintos plazos, obtenga su plazo 
medio. A qué conclusiones arriba. 
 En el planteo anterior obtenga la tasa media y determine a que conclusiones llega 
a través de su fórmula. 
Glosario 
 
Operaciones financieras. 
Capital financiero. 
Acreedor, deudor, capital. 
Régimen simple, régimen compuesto. 
Capitales equivalentes. 
Ley financiera. 
Tiempo. 
Tasa de interés. 
Interés. 
Tasa unitaria. 
Interés Simple 
Teoría Matemática del Interés. 
Capitalización Simple. 
Anatocismo. 
Monto Simple. 
Bibliografía 
 
 López Dumrauf, (2003) “Cálculo Financiero Aplicado. Un enfoque 
profesional”. Bs.As., Editorial La Ley.