UNIDAD II Interes Compuesto (1)

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 UNIDAD 2 
 
 
 
 
 
INTERES COMPUESTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMATICA APLICADA 
 
CPN Jorge Martijena CPN Zulma E Montero 
 Prof Titular Prof Adjunta 
12 
 
 
UNIDAD 2 – INTERES COMPUESTO 
 
UNIDAD 2 : INTERES COMPUESTO 
2.1 Concepto de Capitalización. Concepto de Interés Compuesto. 
2.2 Monto a Interés Compuesto. Deducción de la fórmula general . Fórmulas Derivadas. 
2.3 Postulado fundamental del régimen de capitalización compuesta 
2.4 Determinación del Interés en el Interés Compuesto 
2.5 Calculo de un valor en un período determinado. 
2.6 Tiempo en que un capital es múltiplo de sí mismo. 
2.7 Cuando dos capitales distintos, colocados a distintas tasas producen igual monto. 
Simbología, Fórmulas y Gráfico. 
2.8 Tasa media y tiempo medio. 
2.9 Régimen de Capitalización Compuesta a una y varias tasas. Casos. 
2.10 Anatocismo. Concepto . Existencia del anatocismo en el interés Compuesto. 
 
 
 
 
 
 
1. Distinguir conceptos de capitalización y actualización referidos a uno o más capitales 
2. Determinar el interés, el descuento, las tasas pertinentes y sus relaciones referidos a interés 
compuesto. 
3. Ejercitar a través de la práctica y del contacto tutelar con el alumno su capacidad de análisis y 
solución de situaciones problemáticas. 
 
 
OBJETIVOS DE LA UNIDAD II 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA 
APLICADA 
Sistema 
Francés 
Sistemas 
usuales de 
mercado 
Tasa aparente 
Tasa real 
Tasa de inflación Cuotas 
vencidas 
Cuotas 
adelantadas 
 
REGÍMENES DE 
CAPITALIZACION 
 
SUCESIÓN DE 
CAPITALES 
 
AMORTIZACION 
DE PRESTAMOS 
 
INFLACION 
RENTAS Interes 
Simple 
Interés 
Compuesto 
Tasa de 
Interés 
Descuento 
Racional 
Comercial 
Valor 
Actual 
Valor 
Final 
 
USTED ESTA AQUI 
14 
 
 
 
1. CONCEPTO DE CAPITALIZACION – CONCEPTO DE INTERES 
COMPUESTO 
 
 
El objetivo básico de la Matemática Aplicada es poder estudiar la variación de las sumas de 
dinero a través del tiempo, y utilizarla como herramienta de trabajo para poder comparar 
valores monetarios en un período determinado de tiempo. 
Dicha variación del tiempo puede ser hacia atrás o hacia delante en el tiempo. Si trasladamos 
las variaciones de dinero hacia delante, es decir hacia el futuro, estaremos analizando cuánto 
vale dentro de un cierto tiempo una suma de dinero determinada, que es posible disponer hoy. 
Para que esto suceda debemos tener en cuenta dos elementos muy importantes: el tiempo, 
durante el cual permanece colocado ese capital inicial y la tasa de interés al cual fue colocado 
ese capital, ya sea en bancos o entidades financieras públicas o privadas. 
Capitalizar, primeramente significa trasladar un valor monetario actual, a un período futuro. 
En un régimen de capitalización a interés compuesto, se dice que los intereses se suman al 
capital inicial al final de un período, para luego devengar nuevos intereses. Por ello se dicen 
que se reinvierten o capitalizan. (Recordar que en el régimen de Interés simple, el interés no se 
agrega al capital, ya que se retira o se destina al consumo). 
Por lo tanto Capitalizar significa transformar los intereses devengados por un capital inicial, en 
un nuevo capital para un período futuro. 
Ejemplo: Si un capital de $ 1.000 generó intereses por $ 120, capitalizando los intereses para un 
nuevo período, el nuevo capital inicial para un período futuro será de $ 1.120. 
 
 
2. MONTO A INTERES COMPUESTO. DEDUCCIÓN DE LA FORMULA 
GENERAL. FORMULAS DERIVADAS 
 
 
Habíamos dicho que el régimen de capitalización a interés compuesto, se verifica que, al 
término del período a que se refiere la tasa de interés, los intereses se añaden al capital, es decir 
que los intereses se capitalizan. 
15 
 
Se denomina operación financiera – según Murioni y Trossero – “ a toda acción que 
produzca, por desplazamiento en el tiempo, una variación cuantitativa del capital. Se dice 
entonces que dicho capital está sometido a un régimen financiero ”. 
Se pueden clasificar según su duración: a corto plazo, menores de un año, o a largo plazo, 
superior al año. 
También a las operaciones financieras se las puede distinguir por “operaciones 
ciertas”, aquellas cuya realización están sujetas al transcurso del tiempo, o “inciertas o 
contingentes”, son las operaciones financieras supeditadas a determinados hechos dependientes 
del azar, como por ejemplo operaciones de seguros de vida o seguros de muerte. 
Si pensamos en operaciones en las cuales deseamos determinar la variación 
cuantitativa de un capital, podremos decir, que tenemos operaciones “financieras simples”, y 
serán “operaciones complejas”, cuando analizamos una transformación de una sucesión de 
capitales por desplazamiento en el tiempo, de sus elementos. 
La deducción de la fórmula del Monto en un régimen de capitalización compuesta, se 
determina período a período, el procedimiento es el siguiente: 
0 1 2 n-2 n-1 n 
I I I …….. I I I 
0C 1C 
 
 1C 2C .................... 1nC nC 
 
Al finalizar el primer período, el monto obtenido será el Capital inicial (Co) más sus intereses 
)1(1)( 00001 iCxixCCIInteresCCCn  ; n=1 ya que el tiempo que pasó es un 
período como lo muestra el gráfico 
 
A fines del segundo: 
2
00002 )1()1()1(1)1()1( iCixiCxixiCiCC  como se verá el tiempo es igual a 
un período 
 Capital inicial Intereses 
 
 
A fines del tercero: 
3
0
2
0
2
0
2
03 )1()1()1(1)1()1( iCixiCxixiCiCC  
 
 Capital inicial Intereses 
 
16 
 
A fines del cuarto: 
4
0
3
0
3
0
3
04 )1()1()1(1)1()1( iCixiCxixiCiCC  
 
 Capital inicial Intereses 
: 
: 
: 
 
Y por inducción completa, a fines del período “n-1 ésimo” período: 
1
0
2
0
2
0
2
01 )1()1()1(1)1()1(

 
nnnn
n iCixiCxixiCiCC 
 
 Capital inicial Interés del período 
 
 
Y por inducción completa, a fines del período “n-ésimo” período: 
nnnn
n iCixiCxixiCiCC )1()1()1(1)1()1( 0
1
0
1
0
1
0 
 
 
 Capital inicial Interés del período 
 
Con lo que operando como lo veníamos haciendo, tendremos la Fórmula del Monto a interés 
Compuesto 
n
n iCC )1(0  (13) 
De la fórmula (1) podremos obtener la fórmulas derivadas del capital Inicial (Co), la tasa de 
interés (i) y del tiempo (n) 
 
TRABAJO DE INTEGRACION: Te proponemos hacer la derivación de las fórmulas de (1) 
 
Serán las fórmulas derivadas: por lo tanto El Capital inicial a interés compuesto será: 
n
n
nn i
C
i
xCC
)1()1(
1
0 


 (14) 
Podemos observar que en la fórmula anterior se encuentra implícito lo que llamamos factor de 
actualización que será en el interés compuesto: 
ni)1(
1

 (15) 
La fórmula del tiempo en un régimen de capitalización compuesta será: 
 
)1log(
loglog 0
i
CCn n


 (16) 
 
La fórmula de la tasa de interés en un régimen de capitalización compuesta será: 
1
1
0







n
n
C
Ci (17) 
 
17 
 
3. POSTULADO FUNDAMENTAL DEL REGIMEN DE CAPITALIZACIÓN 
COMPUESTA 
 
Llamamos regímenes de capitalización a la forma que se modifica una inversión en el 
tiempo. El postulado fundamental, Gráficamente será: 
 
 I----------------I---------------I - - - - - - - I-------------I-------------I 
 0 1 2 n-2 n-1n 
 
 factor de capitalización :  ni1 
 Co Cn 
 
 Factor de actualización: ni)1(
1

 
 
Al igual que en el régimen de capitalización simple, podemos apreciar que el Capital Co en 
el capital Cn una vez transcurrido n períodos (meses, bimestres, trimestres, años, etc). 
Prescindimos aquí del efecto inflacionario, los riesgos de incobrabilidad, etc. Cuando 
hablamos de modificación nos referimos esencialmente a lo que se ha dado en llamar: 
COSTO DEL TIEMPO, es decir, el incremento operado en el capital por haber cedido su 
utilización durante un cierto tiempo. Ahora bien, en el caso del régimen de capitalización 
compuesta los intereses se capitalizan período a período. Por lo tanto lo que tenemos que 
tener en cuenta para la realización de los ejercicios es como se capitalizan los intereses. Por 
ejemplo: Se deposita un capital de $ 10.000 durante un semestre al 4% bimestral de interés, 
determinar cual es su monto, si los intereses se capitalizan mensualmente.. 
Co = 10.000 
 i = 0,04 bimestral = 0,02 mensual 
 n = un semestre = 6 meses. 
 Cn = x 
Capitalización mensual (este es un nuevo dato a tener en cuenta), lo que me obliga a 
resolver el ejercicio en meses, por lo tanto el tiempo y la tasa de interés debe estar en 
meses. 
Solución = nn iCC )1(0  = 
6)02,01(000.10 x = 10.000 x 1,1261624 = 
18 
 
 Cn = $ 11.261,62 
4. DETERMINACION DEL INTERES EN EL INTERES COMPUESTO 
 
El Interés en un sistema de capitalización compuesta se puede determinar de dos formas: 
 En función del Capital inicial : sabiendo que I (Interés) = Cn – Co y nn ixCC )1(0  
podemos decir entonces que : 00 )1( CixCI
n  por lo tanto 
 1)1(0  niCI (18) 
 En función del monto: I (Interés) = Cn – Co y n
n
i
CC
)1(0 
 podemos decir 
entonces que: n
n
n i
CCI
)1( 
 por lo tanto 






 nn i
CI
)1(
11 (19) 
 
5. CALCULO DE UN VALOR MONETARIO EN UN PERIODO 
DETERMINADO 
Calcular un valor monetario en un período determinado, en un régimen de capitalización 
compuesta, es capitalizar a través de factores de capitalización o actualizar, a través de 
factores de actualización, las veces que sea necesario, para poder determinar un valor 
monetario en un período determinado, teniendo en cuenta como se capitaliza la operación 
financiera.. Gráficamente será : 
 0 4 8 10 12 
 I-----------------I-------------------------I---------------------I------------------------I 
 0 1.000 2.000 1.500 3.000 
 + 
 ni)1(  1:.rta 
 ni)1(  + 
 
 2:.rta ni)1(
1

 
 + 
. 3:.rta 
 ----------------- 
 RESPUESTA 
 ----------------- 
19 
 
En el ejemplo gráfico, se presenta una situación, donde se desea saber cuanto dinero debe 
pagar en el período diez, una persona, que había negociado cancelar una deuda en cuatro 
cuotas, de $ 1.000, $ 2.000, $ 1.500 y $ 3.000 que vencen a los cuatro meses, ocho meses, 
diez meses y doce meses respectivamente, al 2 % mensual .con capitalización bimestral. 
La resolución está en llevar los montos $1.000 y $ 2.000 al momento diez, y esto se puede 
realizar, aplicándole factores de capitalización, y $ 3.000 se deben actualizar al momento 
diez, con un factor de actualización, por lo tanto tendremos: 
Teniendo en cuenta la capitalización la tasa del 2% mensual, se convertirá al 4 % bimestral 
Rta1 = 1000 x 3)04,01(  = 1.000 x 1,124864 = 1.169,86 
El tiempo es 3 bimestres ya que la diferencia es de 6 meses ( del mes 4 al mes 10) 
Rta2 = 2.000 x 1)04,01(  = 2..000 x 1,04 = 2.080,00 
El tiempo es 1 bimestre ya que la diferencia es de 2 meses ( del mes 8 al mes 10) 
Rta3 = 3.000 x 1)04,1(
1 = 3.000 x 0,961538 = 2.884,61 
El tiempo es 1 bimestre ya que la diferencia es de 2 meses ( del mes 12 al mes 10) 
El total a pagar en el período diez será = 1.500,00 + 1.169,86 + 2.080,00 + 2.884,62 = 
El total será = $ 7.633,48 
 
 
 
 
6. TIEMPO NECESARIO PARA QUE UN CAPITAL SEA MÚLTIPLO DE SI 
MISMO 
 
Si deseamos que un capital sea múltiplo de sí mismo, es decir, por ejemplo, que un capital 
original (Co), de $ 1.000, se duplique (se transforma en $ 2.000) o quintuplique (se 
transforma en $ 5.000), entonces deseo que el Capital original, “m” veces se duplique, 
triplique, etc., por lo tanto “m” será el factor de multiplicación del capital original, y : 
 m * Co = Cn (monto) (1) 
y como nn iCoxC )1(  (2) 
si igualo (1) = (2) nos queda 
 m * Co = Co * ni)1(  
puedo simplificar los Co, y nos queda 
20 
 
m = ni)1(  aplico logaritmos a ambos miembros y nos queda : 
log m = n x log (1+i) despejo “n” y obtenemos : 
)1log(
log
i
mn

 Tiempo para que un capital sea múltiplo de sí mismo (20) 
 
 
7. CUANDO DOS CAPITALES DISTINTOS COLOCADOS A DISTINTAS 
TASAS PRODUCEN IGUAL MONTO 
 
Dos capitales originales, distintos entre sí, colocados a distintas tasas de interés, producen 
igual monto, si solo sí se cumple con la condición necesaria e indispensable que es que el 
Capital menor tenga la tasa de interés mayor, que la del capital mayor. Es decir: 
 
Condición Necesaria: 
Co1 > Co2 
i1 < i2 
I1 < I2 
 
 Cn1 
 Co Cn2 
 Cn 
 
 
 8.000 
 
 5.000 
 
 n tiempo 
 
 
Analíticamente podemos decir: 
 
Cn1 = Cn2 
 
nn ixCoixCo )1()1( 2211  aplico logaritmo a ambos miembros 
 
log Co1+n x log (1+i1) = log Co2 +n x log (1+i2) paso todos los términos con “n” a la 
izquierda 
 
21 
 
n x log (1+i1) - n x log (1+i2) = log Co2 - log Co1 saco factor común “n” 
 
n ( log (1+i1) - log (1+i2)) = log Co2 - log Co1 ahora despejo “n” 
 
)1log()1log(loglog
21
12
ii
CoCon


 (21) 
 
Esta formula nos permite determinar “cuando dos capitales distintos colocados a distintas 
tasas producen igual monto”. En un régimen de capitalización compuesta. 
 
1. TASA MEDIA Y TIEMPO MEDIO 
 
La tasa media consiste en buscar la tasa única que producirá el mismo monto que se 
obtendrá al colocar distintos capitales a distintas tasas pero a un mismo tiempo. 
Supongamos un ejemplo, coloco en tres bancos distintos (Banco Río, Banco Francés y 
Banco Lloyds) tres capitales. En el Banco Río $ 5.000, a una tasa del 3 % mensual. Coloco 
en el Banco Francés $ 10..000 a una tasa del 6 % mensual, y en el Banco Lloyds $ 7.000 a 
una tasa del 8 % mensual, los tres capitales se colocan por tres meses, y con capitalización 
mensual. Debo determinar la tasa media o tasa única que, me permite obtener el mismo 
monto como si hubiera depositado cada uno de esos montos mencionados a distintas tasa en 
el mismo período de tiempo. 
Analíticamente veamos el siguiente esquema: 
Banco Río: coloco Co1 a la tasa de interés i1 durante “n” períodos: Cn1 = Co1 x ni )1( 1 
Banco Francés:coloco Co2 a la tasa de interés i1 durante “n” períodos: Cn2 = Co2 x ni )1( 2 
Banco Lloyds: coloco Co3 a la tasa de interés i3 durante “n” períodos Cn3 = Co3 x ni )1( 3 
Analizando lo anterior podemos decir que    nttt ixCoCn )1( 
Expresado de otra manera: 
Co1 + Co2 + Co3 + ....+ Cot = Co1 x ni )1( 1 + Co2 x 
ni )1( 2 +....+ Cnt = Cot x 
n
ti )1(  
Partimos de la condición según su definición: 
   ntntt ixCoiCo )1()1( 
Vamos a despejar “ i “, para esto aplicamos logaritmos a ambos miembros 
22 
 
   )1log(log)1(log inxCoiCo tntt invierto la posición de los miembros 
n
ttt iCoinxCo   )1(log)1log(log despejo “ i “ 
  yntt CoiCoinx log)1(log)1log( paso “ n “ al otro miembro 
n
CoiCo
i t
n
tt  log)1(log)1log( paso el logaritmo al otro miembro como antilog. 
n
CoiCo
antii t
n
tt  log)1(loglog1 despejo ahora sí la tasa media 
1
log)1(log
log 

  
n
CoiCo
antii t
n
tt
 (22) 
 
El tiempo medio consiste en buscar el tiempo único que producirá el mismo monto que se 
obtendrá al colocar distintos capitales a distintas tiempos pero a una misma tasa. 
Analíticamente veamos el siguiente esquema: 
Banco Río: coloco Co1 a la tasa de interés i durante “n1” períodos: Cn1 = Co1 * 1)1( ni 
Banco Francés: coloco Co2 a la tasa de interés i durante “n2” períodos: Cn2 = Co2 * 2)1( ni 
Banco Lloyds: coloco Co3 a la tasa de interés i durante “n3” períodos :Cn3 = Co3 * 3)1( ni 
Analizando lo anterior podemos decir que    tntt iCoCn )1(* 
Expresado de otra manera: 
Co1 + Co2 + Co3 + ....+ Cot = Co1* 1)1( ni + Co2* 2)1( ni +....+ Cnt = Cot x 3)1( ni 
Partimos de la condición según su definición: 
   ntnt ixCoiCo t )1()1( 
Vamos a despejar “ n “, para esto aplicamos logaritmos a ambos miembros 
   )1log(log)1(log inxCoiCo tnt t invierto la posición de los miembros 
tn
ttt iCoinxCo   )1(log)1log(log despejo “ n “ 
  ynt CoiCoinx t log)1(log)1log( paso “ log (1+i) “ al otro miembro 
)1log(
log)1(log
i
CoiCo
n t
n
t
t


   obtenemos la Fórmula del Tiempo Medio (23) 
 
23 
 
 
 
2. REGIMEN DE CAPITALIZACION COMPUESTA A UNA Y VARIAS 
TASAS 
(MONTO A DOBLE TASA) 
 
Se define así al monto que está colocado a una o varias tasas, es decir cuando el capital 
está colocado a una tasa distinta al que esta colocado los intereses de ese mismo capital, es 
decir si el capital inicial está colocado al 5 %, el rendimiento de ese capital (los intereses), 
estarán colocados a otra tasa de interés por ejemplo 6 %. 
Un caso de la práctica bancaria, para poder interpretar este tema y poder darse cuenta 
en qué momento se aplica, es cuando una persona tiene colocado un plazo fijo en el banco 
Río de la Plata S.A., de $ (por ejemplo) 3.000, al 6 % mensual de interés, y otro banco le 
ofrece por el depósito a plazo fijo el 6 %, “pero por los intereses que genere ese plazo fijo 
(si los deja capitalizándose) le dará este nuevo banco el 8 % mensual” 
En este ejemplo anterior queda bien aclarado cuando existe un monto colocado a 
doble tasa. 
Algebraicamente la fórmula a utilizar es : 





 
 ,
,
0
1)1(1
i
iiCC
n
n (24) 
Siendo i la tasa de interés del capital e ,i la tasa de interés de los Intereses. 
Que sucedería si i` = i ?, sería el caso en que el Capital y sus intereses que se 
capitalizan período a período tienen la misma tasa de interés, por lo tanto estaríamos en un 
régimen de capitalización compuesta donde para obtener el monto total aplicaríamos la 
fórmula: donde la tasa de interés del capital (i) es la única tasa de la operación 
n
n iCC )1(0  
Lo comprobaremos analíticamente: si i` = i 





 
 ,
,
0
1)1(1
i
iiCC
n
n  




 

i
iiCC
n
n
1)1(10 , si se simplifican las i 
 1)1(10  nn iCC se eliminan los 1  nn iCC )1(0  
24 
 
 
Ahora analizaremos, que sucedería si i` = 0 ?, sería el caso en que el Capital está colocado a 
una tasa de interés (i), y sus intereses no generan ningún tipo de interés , es decir que estos, 
una vez que se obtienen, se destinan para consumirse, por lo tanto estaríamos en un régimen 
de capitalización simple donde para obtener el monto total aplicaríamos la fórmula: 
 
)1(0 ixnCCn  
Lo comprobaremos analíticamente: si i` = 0 





 

0
1)01(10
n
n iCC  uno elevado a la n da 1  


 
0
)11(10 iCCn , 



 
0
010 iCCn  



0
0
 es una indeterminada ya que su resultado da “error” 
Para resolver esta indeterminación, se debe aplicar lo que en matemática se llaman límites. 
A esta cátedra no necesita que sepas límites, pero sí quiere que sepas que con esta 
“herramienta matemática” puedes solucionar esta indeterminación. Si aplico el límite 
cuando 0 tiende a infinito de : 




 
,
, 1)1(
i
i n
, todo esto es igual a n, por lo tanto 
)1(0 ixnCCn  
 
3. CONCEPTO DE ANATOCISMO 
 
ANATOCISMO. Es la capitalización de los intereses, de modo que sumándose tales 
intereses al capital originario pasan a redituar nuevos intereses. Es denominado también 
interés compuesto. 
En la mayoría de las legislaciones se prohíbe el anatocismo; así, el Código Civil Argentino 
establece en su art. 623 que no se deben intereses de los intereses, sino por obligación 
posterior. El principio que veda el pacto de capitalización de intereses no vencidos, es de 
orden público y no puede dejarse sin efecto por el acuerdo de las partes o la renuncia 
anticipada del deudor. La cláusula de un contrato que contenga un pacto prohibido de esta 
naturaleza es nula de nulidad absoluta, lo que no obsta a la validez del contrato en el que ha 
sido incluida. 
25 
 
El principio, por tanto, es que no se deben intereses de intereses, pero esta regla tiene sus 
excepciones. 
a)- Ante todo, cuando la acumulación de los intereses al capital resulta de una convención 
posterior al momento en que los intereses se han devengado. Sería nula una convención que 
estableciera la acumulación ab initio; pero si después de vencida la autorización el deudor 
desea renovarla, no hay inconveniente en que se acumulen los intereses. La razón es muy 
simple; si el deudor no tiene dinero para cumplir, se verá obligado a acudir a otro 
prestamista, a quien deberá pedirle la suma del capital e intereses debidos al primero; y, 
desde luego, tendrá que pagarle intereses sobre esa suma. No tendría sentido prohibir que 
esa misma operación se hiciera con el primer acreedor. 
b)- Cuando, liquidada judicialmente la deuda con sus intereses, deudor fuere moroso en 
pagar la cantidad que resulta de la liquidación (art. 623). 
c)- Capitalización en ciertos supuestos del derecho comercial. 
d)- Capitalizaciónautorizada por leyes especiales. 
El anatocismo es admitido con mayor extensión en el derecho mercantil, permitiéndose la 
capitalización trimestral de intereses, en forma automática, en la cuenta corriente bancaria 
(art. 795 del código de comercio argentino) y, por convención de partes, en la cuenta 
corriente mercantil no bancaria (art. 788 del código de comercio argentino). 
Asimismo el art. 569 del mismo código prevé que, en el mutuo mercantil, los intereses 
vencidos pueden capitalizarse y producir intereses a partir de la demanda judicial, con tal de 
que sean adeudados por un periodo no inferior al año. ..." 
 Como conclusión, se expresa en que el régimen a interés compuesto, no produce 
anatocismo, todo lo contrario produce lo que legalmente se denomina “capitalización de 
intereses”. 
 
 
 
 
2.- Regímenes de Capitalización Compuesta Discontínua 
 
2.1 Calcular el monto que produjo un capital de $ 117.590 colocados a la tasa 
anual del 8% durante 23 años, capitalizados anualmente . 
 
Resolvemos: 
DATOS: 
Co = 117590.- 
i = 8% = 0.08 anual 
n = 23 años 
Cn = ¿? 
 
 
EJERCICIOS A DESARROLLAR 
26 
 
Verificamos que el período de capitalización está expresado en la misma unidad que el 
tiempo de colocación, lo cual es imprescindible en interés compuesto. En caso de no estarlo 
hay que expresar el tiempo en función del período de capitalización. 
 
Usamos para resolver la fórmula de monto a interés compuesto: 
 
 
n
n iCC  10 
Reemplazamos por los datos del ejercicio: 
 
 23)08.01(*590.117nC 
 
 
 
 
Respuesta: El monto obtenido es de $690.425,41.- 
 
 
2.2 Averiguar cuál es el monto que resulta si $ 25.000 se depositan durante 70 
semestres. Se les ha aplicado la tasa de interés semestral del 3,5 % con capitalización 
semestral. 
 
2.3 Calcular, la tasa de interés bimestral, de un capital de $ 10.000, si estuvo 
capitalizado anualmente, y luego de 10 años produjo un monto de $ 18.000.- 
 
Resolvemos: 
Datos: 
Co = 10.000.- 
n = 10 años 
Cn = 18.000.- 
i = ¿? 
 
Primero calcularemos la tasa anual ya que tenemos los datos con capitalización y tiempo 
expresados en años : 
Para esto utilizamos la fórmula (17) 
1
1
0







n
n
C
Ci 
Reemplazamos por los datos: 
 





 1
10000
000.18 10
1
i 0,060540481 anual 
 
Como vemos llegamos a un resultado “anual”, cuando la pregunta era “bimestral”. Para 
solucionarlo recurrimos a la tasa proporcional, de esta forma: 
41,425.690$nC 
27 
 
 Como en un año hay 6 bimestres, solo tenemos que dividir la tasa obtenida por 6 
para obtener la tasa bimestral. 
 
 
bimestrali 01009008.0
6
060540481.0
 
 
Se observa que cuando trabajamos con tasas debemos tratar de conservar la mayor cantidad 
de decimales posibles en las operaciones, ya que las diferencias pueden ser significativas y 
recordemos que estamos hablando de dinero. 
 
Respuesta: La tasa de la operación es del 0.01009008 bimestral 
 
 
2.4 Determinar el monto proveniente de la inversión de $ 44.000 durante 18 
años si la tasa de interés de los primeros 6 años es del 5 %, de los siguientes 5 
años del 7 % y de los últimos siete años del 8 %. 
Resolvemos: 
Datos: 
Co = 44.000.- 
n = 18 años 
 
 
 
n1 = 6 años i1 = 5% = 0.05 
n2 = 5 años i2 = 7% = 0.07 
n3= 18 – ( 6+5) i3 = 8% = 0.08 
 
Si graficamos: 
 
 
 
Como el monto obtenido al terminar el tiempo en que cambia la tasa será el capital inicial 
del siguiente, la fórmula quedará expresada como sigue: 
 
      3210 312011 nnnn iiiCC  
 
Reemplazando por los datos: 
 
       756 08.0107.0105.01000.44nC 
87,733.141$nC 
Respuesta: el monto obtenido es de $141.733,87.- 
 
 
2.5 Calcular el monto final de un capital de $ 16.600 que fue depositado durante 25 meses, 
capitalizado cuatrimestralmente, a una tasa anual del 18 %. 
 6 años 5 años 7 años n= 18 
 0.05 0.07 0.08 
28 
 
 
2.6 Deseo recaudar al final de tres años $ 15.000, si la tasa ofrecida por el banco es del 0,5 
% mensual capitalizables mensualmente, cuál es el capital inicial. 
 
2.7 Deseo depositar durante quince meses $ 7.200 a una tasa del 0,02 mensual, 
capitalizados trimestralmente. Por razones de índole financiera al séptimo mes retira $ 
3.100, cuál es el monto final obtenido luego de pasado los quince meses. 
 
2.8 Deposito $ 4.500 durante 10 meses a una tasa del 4 % bimestral con capitalización 
semestral. Una vez obtenido el monto lo vuelvo a depositar durante ocho bimestres, 
obteniendo $ 12.000. A qué tasa anual estuvo colocado dicho monto si la 
capitalización del segundo deposito fue trimestral. 
 
2.9 Un capital de $ 5.000 permaneció depositado durante 10 años y tres meses al 24 % 
anual de interés, con capitalización bimestral. Al quinto año incorporo al monto 
obtenido hasta ese momento $ 2.100. Cuál es el monto total obtenido al final de los 10 
años. 
 
2.10 Para saldar un préstamo debo pagar $ 1.000 dentro de un mes y $ 2.000 dentro 
de cuatro meses. Deseo saber la cuota única que debería pagar dentro de dos 
meses para cancelar el préstamo, sabiendo que el interés mensual es del 2 %. 
Datos: 
C1 = $1.000 n1 = 1 mes 
C2 = $2.000 n2 = 4 meses 
C única = ¿? n = 2 meses 
 
Si recurrimos a una línea de tiempo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21
1211
i
CiCunicaC

 
Esto es porque para llegar al período 2 con el capital1 debemos capitalizar por un período, 
mientras que para llegar con el capital 2 debemos actualizar por 2 períodos, como se ve en el 
gráfico. 
Reemplazamos por los datos: 
 
  
 


 202.01
1200002.011000Cu 
 
34,2942$Cu 
 
Respuesta: La cuota única será de $ 2.943,34.- 
4 meses 2 meses 0 1 mes 
$ 1.000 $2.000.
ACTUALIZACION 
CAPITALIZACION 
29 
 
2.11 El Sr. “B” debe saldar una deuda y tiene dos opciones de pago: a) Pagar $ 1.000 ahora 
y dentro de cinco meses $ 4.000, o b) Pagar $ 4.800 dentro de tres meses. Determinar 
la opción más conveniente, sabiendo que la operación se realizó a una tasa de interés 
del 7,5 % trimestral con capitalización mensual. 
 
 
 
 
2.12 Si coloco un capital durante catorce trimestres capitalizables bimestralmente obtengo 
$22.609. Luego lo deposito durante diecinueve trimestres más y capitalizables 
trimestralmente para obtener un monto de $ 30.256. Determinar el Capital original y 
la tasa de Interés mensual utilizada en la operación. 
 
DESAFIO 
 
2.13 Un capital de $ 100.000 ha estado colocado a interés compuesto durante 20 años en 
total, primero al 5 % anual, luego al 6 % anual hasta finalizar el plazo, reuniendo un 
monto de $ 300.000.- Calcular qué tiempo estuvo invertido a cada tasa. 
 
 
2.14 En cuánto se convertirá un capital al cabo de dos años, si se efectúa un depósito inicial 
de $ 100.000 a la tasa del 9 % anual con capitalización mensual. 
 
2.15 El 30/4/98 se cobró la suma de $ 5.228,25 por una inversión de $ 4.500 realizada el 
01/05/95 . Se pregunta: 
 a ) ¿Cuál es la correspondiente tasa anual en capitalización anual? 
 b) ¿cuál sería la tasa si la capitalización fuera mensual? 
 
2.16 Un capital de $ 2.600 obtuvo como interés el doble de ese capital, si la tasa fue del 
6% trimestral, y fue capitalizado bimestralmente, cuántos meses estuvo depositado el 
capital original. 
 
2.17 Para obtener un monto de $ 25.000 tuve que depositar $ 11.000 durante 15 bimestres 
capitalizables trimestralmente, a que tasa bimestral ? 
 
2.18 Si la capitalización de un depósito de $ 3.400 es bimestral, a una tasa del 0,00036 
diario, para obtener $ 7.800, cuantos trimestres estuvo depositado. 
 
2.19 El sr. “Z” debe cobrar $ 2.000 dentro de tres meses y $ 4.000 dentro de un año, si 
conviene con el deudor en recibir una sola cobranza dentro de cinco meses, cuál es la 
suma que recibirá el sr. “Z” sabiendo que la capitalización es bimestral a una tasa del 
15% anual. 
 
2.20 Un capitalcolocado durante cinco meses produce un monto de $ 31.195 que se 
coloca nuevamente en el mismo banco 10 meses más y produce un monto total de 
$47.098, Calcular el valor del capital original, y cuál fue la tasa de interés mensual 
utilizada, si la capitalización de la operación fue mensual. 
 
Se resuelve mediante la comparación de los valores actuales 
30 
 
2.21 Se desea saber el valor de un remate, cuyo martillero ha vendido con fecha 14 de 
Agosto del 2002, una vivienda, de la siguiente manera: una seña de $ 3.260, a los 60 días 
se pactó pagar a cuenta $ 6.800, y a los seis meses el resto del valor de la propiedad que 
ascendía a $ 5.000. Si la tasa de interés de la operación era del 36 % anual. Se desea 
saber el valor de contado de la propiedad. 
 
3.- Tiempo Necesario 
 
3.1 Un capital de $ 234.567,89 fue colocado al 4 % de interés anual. Se desea saber 
qué tiempo deberá transcurrir para que se triplique. Calcular para ambos 
regímenes de capitalización. 
 
Datos: 
Co = 234.567,89 
m = 3 
i = 0.04 anual 
Cn = 3 Co el monto debe ser 3 veces el capital inicial 
 
Interés Simple 
 
Planteamos la igualdad y simplificamos Co ya que está en ambos miembros 
 
m * Co = Co (1+ i n) 
 
Entonces queda plantado como. 
 
m = 1 + i n 
 
Por pasaje de términos despejamos n, que es la incógnita: 
 
m – 1 = i . n 
 
n
i
m

1
 (25) 
 
Reemplazando por los datos: 
 
04.0
13 
n 
 
 
 
Respuesta: Se tardarán 50 años para que el capital se triplique a interés simple. 
 
Interés Compuesto 
 
Repetimos el razonamiento para interés compuesto y simplificamos Co que está en ambos 
miembros : 
n = 50 años 
31 
 
niCoCom )1(  
 nim  1 
Despejamos n aplicando logaritmos: 
 
Log m = n Log (1 + i) 
 
)1( iLog
mLogn

 (26) 
Reemplazando por los datos: 
 
 
04.1
3
Log
Logn 
 
 
 
Respuesta: Deberán transcurrir 28 años para que el capital se triplique a un interés 
compuesto del 4%. 
 
 
3.2 Se han colocado $ 150.000 y $ 300.000 a las tasas de interés del 4 % y 1 % 
anual respectivamente. Calcular el tiempo necesario para que ambas 
colocaciones produzcan el mismo monto. Resolver para interés simple y para 
interés compuesto. 
 
Interés simple 
 
Se debe dar la condición : El interés del capital menor debe ser mayor que el del capital 
mayor. Verificamos si el caso cumple la condición: 
 
I = Co * I = 150.000 * 0.04 = 6.000.- 
 300.000 * 0.01 = 3.000.- 
 
Comprobamos que 150.000 , que es el capital menor posee el mayor interés (6.000.-). 
Entonces estamos en condiciones de resolver aplicando la fórmula ( 11 ) : 
 


 
2211
12
iCiC
CC
n 
 




01.0*000.30004.0*000.150
000.150000.300n 
 
 
 
 
 
 
n = 28 años 
n = 50 años 
32 
 
Interés compuesto 
 
Se debe dar la condición : Que la tasa de interés del capital mayor debe ser menor que la del 
capital menor. Verificamos si se presenta esta situación en nuestro caso: 
 
C1 = 150.000 < C2 = 300.000 
i1= 0.04 > i2 = 0.01 
 
Ahora estamos en condiciones de resolver con la fórmula (21): 
 




)1(()1( 21
12
iLogiLog
CLogCLog
n 
 




)01.01log(()04.01log(
000.150log000.300logn 
 
 
 
Respuesta: Se necesitarán 50 años en interés simple y 23 años y fracción para interés 
compuesto. 
 
 
3.3 Si coloco dos capitales de $ 5.000 y de $ 10.000 a las respectivas tasas del 21,3333 % 
trimestral y al 28,453 % cuatrimestral. Producirán en algún momento igual monto. Se 
desea conocer en cuantos meses ocurrirá esto. Calcular para ambos regímenes de 
capitalización. 
 
3.4 Dos capitales de $ 20.000 y $ 25.000 son colocados en instituciones bancarias diferentes 
a las tasa de interés del 4 % bimestral y 6 % cuatrimestral respectivamente. Cuántos 
bimestres tardarán para que sus monto sean iguales. 
 
4.- Sistema de Interés Compuesto a una y varias tasas 
 
4.1 Qué capital será necesario invertir para que al cabo de 14 años produzca un monto 
de $ 100.000, si se sabe que el capital está colocado al 4 % anual y los intereses al 
4,5 % anual. 
 
Resolución: 
Datos. 
Co = ¿? 
Cn = 100.000.- 
n = 14 años 
i1 = 0.04 
i2 = 0.045 
 
Aplicamos la fórmula (24) 
 
n = 23.69 años 
33 
 





 
 ,
,
0
1)1(1
i
iiCC
n
n 
 
 





 

045.0
1045,0104.01000.100
14
Co = 
 
100.000 = Co * 1,75728435 
 
Co = 
75728435,1
000.100
= 
 
 
 
Respuesta: El capital inicial fue de $56.905,98.- 
 
4.2 Una persona colocó $ 10.000 al 5 % anual desconociendo la tasa aplicable a los 
intereses. Cuál será la tasa si la operación fue concertada a 10 años y se obtuvo un 
monto de $ 16.289.- 
 
4.3 Un capital de $ 45.957,60 fue colocado durante 14 años, produciendo un monto de $ 
100.000 Si la tasa aplicable a los intereses fue del 5 % anual, qué tasa se aplicó al 
capital. 
 
PALABRAS CLAVE 
Factor de capitalización 
Factor de actualización 
Costo del tiempo 
Doble tasas 
Operaciones financieras simples. 
Tiempo necesario 
Anatocismo 
Tasa media 
Tiempo medio. 
 
CUESTIONARIO DE REPASO 
2 ¿Cuál es la diferencia entre el régimen de capitalización a interés simple y compuesto? 
3 Reemplazando en las fórmulas de monto a interés simple y compuesto para n=0,2, 
n=0,5, n=1, n=2 y n=5 para una tasa del 0,05 periódico, grafique (n en el eje X y M en el 
eje Y) y responda de acuerdo al resultado: 
4 Siempre Interés compuesto es mayor al interés simple? 
5 Para que valores se da otra relación? 
6 Existe algún momento en que los rendimientos sean iguales? 
Co = $56.905,98 
34 
 
7 Qué nuevo dato fundamental se debe saber para el cálculo del monto a interés 
compuesto? 
8 Qué elemento aparentemente fundamental no es necesario para el cálculo del tiempo 
para que un monto sea múltiplo de si mismo? 
9 Existe alguna condición para que dos capitales colocados a distinta tasa produzcan el 
mismo monto? Cuál? 
10 Es igual a la condición para interés simple? 
11 Qué ocurre cuando i = i` en el cálculo del monto a doble tasa? 
12 Puede ocurrir que i sea igual a cero en el cálculo del monto a doble tasa? Explique. 
13 Es legal el anatocismo en la República Argentina? Cómo? 
 
2. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD II AL FINAL DEL 
MODULO.