PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-19

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hallar los focos, se tiene el sistema: x′2 − y′2 − 4a11 − a22  0, x′y′ − 4a12  0. Es decir:
y  2x  y − a2 − x  2x  y − a2  0,
y  2x  y − ax  2x  y − a − 41  2 xy  x  y − a2  0.
Eliminando  entre estas dos ecuaciones, se tiene el lugar pedido: x − yx2  y2 − ax − ay  0, que está
formado por la primera bisectriz y una circunferencia.
D 79- Se consideran las cónicas tangentes al eje OX en el origen, y cuya directriz es la recta x  y − a  0.
1º) Hallar el lugar geométrico de los focos correspondientes a esta directriz. 2º) Estudiar la naturaleza de
las cónicas al moverse este foco sobre su lugar.
Solución:
O
Y
A
B X
C
O
Y
A
B X
C
1º) Siendo , el foco, la ecuación focal de las cónicas es: x − 2  y − 2  ex  y − a2.
Particularizando para el punto 0,0, se tiene: e  
2  2
a2
, por lo que la ecuación de las cónicas es:
x − 2  y − 2  
2  2
a2
x  y − a2. Obligando a que el eje y  0 sea tangente, se obtiene:
2  2 − a  0. Cambiando , por x,y, se tiene la ecuación pedida: x2  y2 − ax  0, que
corresponde al círculo OABC de la figura, siendo O0,0, A a2 ,
a
2 , Ba, 0, C
a
2 ,
−a
2 . 2º) En la
ecuación de las cónicas se tiene que: A33  1 −
22  2
a2
. Si 2  2 − a
2
2  0, la cónica es una
parábola, lo que corresponde a los puntos A y C de la figura. Si 2  2 − a
2
2  0, es hipérbola, lo que
corresponde al arco ABC de la figura. Si 2  2 − a
2
2  0, es elipse, lo que corresponde al arco AOC de
la figura.
D 80- Se da una parábola, un punto A sobre su eje, y una recta AD. Se consideran las cónicas bitangentes a la
parábola según AD. 1º) Hallar el lugar geométrico de los centros de dichas cónicas, distinguiendo los
puntos del lugar que son centros de elipses, de los que lo son de hipérbolas. Hallar el centro de la
hipérbola equilátera. 2º) Hallar el lugar geométrico de los centros de las hipérbolas equiláteras, al girar AD
en torno a A. 3º) Se trazan por O paralelas a las asíntotas de cada hipérbola equilátera, que cortan a la
hipérbola en M y N. Hallar el lugar geométrico de los puntos de encuentro de MN con AD.
Solución: Sea la ecuación de la recta AD: y − mx − a  0, y sea la ecuación de la parábola:
y2 − 2px  0. La ecuación general de las cónicas bitangentes a la parábola según la recta AD, es:
y2 − 2px  y − mx  am2  0. 1º) De esta ecuación se obtienen las siguientes derivadas:
fx′  −2p − 2y − mx  amm  0, fy′  2y  2y − mx  am  0. De donde y 
p
m , es el lugar de los
centros. Introduciendo en la ecuación general el valor   p
m2x0 − a − p
, obtenido de fx′  0, se tiene:
A33  m2 
m2p
m2x0 − a − p
. Luego para x0 
p
m2
 a, es una elipse, y para x0 
p
m2
 a, es una
hipérbola. En la hipérbola equilátera, se tiene que: a11  a22  m2    1  0,   −1m2  1
.
Introduciendo este valor en fx′  0, y teniendo en cuenta que y 
p
m , se tiene para el centro de la
hipérbola equilátera que x  a − p, luego el centro es: a − p, pm . 2º) Es la recta: x  a − p. 3º) El
conjunto de las paralelas por O a las asíntotas es: m2y2  2mxy − m2x2  0. Si esta ecuación se resta de la
de la hipérbola equilátera, que es: y2 − 2px1 − m2 − y − mx  am2  0, se tiene:
2p  2pm2 − 2am2x  2amy  a2m2  0, que es una recta, y por ser combinación lineal de las
ecuaciones del conjunto de las asíntotas y de la hipérbola equilátera, pasa por su intersección, por lo que
es la ecuación de la recta MN. Sustituyendo m  yx − a , se tiene el lugar geométrico pedido:
y2  2pxx − a
2
a2 − 2px
. El dibujo se refiere a este lugar en el caso de p  a  1.
55
0.2 0.4 0.6
-5
0
5
D 81- Hallar las ecuaciones de las siguientes polares recíprocas: 1º) De la hipérbola xy  1, respecto al
círculo x2  y2 − 1  0. 2º) De la parábola y2 − 2x  0, respecto a la parábola x2 − 2y  0. 3º) De la
espiral logarítmica   e, respecto a la hipérbola equilátera de centro el origen y tangente a la espiral en
el punto 1,0.
Solución: 1º) La tangente en el punto , de la hipérbola, es:x  y − 2  0. El polo , de esta
tangente respecto a la circunferencia, verifica la ecuación: 2 
2
 
−2
−2 . Luego,   2,   2.
Por tanto, 4  1. La ecuación pedida es: 4xy − 1  0. 2º) La tangente en el punto , de la parábola,
es: x − y    0. El polo , de esta tangente respecto a la segunda parábola, verifica la ecuación:
2
1 
−2
− 
−2
 . Luego se tiene que:  
−
 ,  
1
 . Por tanto,
1
2

2
  0. La ecuación
pedida es: 2xy  1  0. 3º) Las ecuaciones paramétricas de la espiral, son: x  e cos, y  e sin. La
ecuación general de las hipérbolas equiláteras de centro el origen, es: x2  2axy − y2  b  0. Por pasar
por 1,0, b  −1. La tangente a la espiral en 1,0, es: y  x − 1. Para que sea tangente a la hipérbola, la
ecuación x2  2axx − 1 − x − 12 − 1  0 ha de tener una raíz doble, por lo que a  −1. La ecuación de
la hipérbola es, por tanto: x2 − 2xy − y2 − 1  0. La tangente en el punto e cos,e sin de la espiral,
es: cos  sinx  sin − cosy − e  0. El polo , de esta tangente respecto a la hipérbola,
verifica las ecuaciones: 2 − 2cos  sin 
−2 − 2
sin − cos 
−2
−e
. Resolviendo este sistema, se obtienen los
siguientes valores:   e− cos,   −e− sin. Haciendo   −, se tiene:   e cos,   e sin.
Estas ecuaciones paramétricas corresponden a la espiral dada:   e.
D 82- Hallar el lugar geométrico de los centros de los triángulos equiláteros inscritos en una elipse.
Solución: Sea la elipse x
2
a2
 y
2
b2
 1. Los vértices del triángulo son x1,y1, x2,y2, x3,y3, y su
centro de gravedad ,. La circunferencia circunscrita al triángulo, es: x2  y2 − 2x − 2y    0.
Eliminando x entre estas dos ecuaciones, se obtiene la ecuación cuyas raíces son las ordenadas de los
cuatro puntos de intersección de elipse y circunferencia: b
2 − a22
4b22
y4 − 4b
2b2 − a2
4b22
y3 . . . 0.
Luego: y1  y2  y3  y4 
4b2
b2 − a2
. Como   x1  x2  x33 , 3  y4 
4b2
b2 − a2
. Eliminando y,
procediendo de forma similar, se obtiene la siguiente igualdad para las abscisas: 3  x4  4a
2
b2 − a2
.
Sustituyendo los valores de x4, y4 en la ecuación de la cónica, se tiene la ecuación del lugar pedido:
1
a2
4a2
b2 − a2
− 3
2
 1
b2
4b2
b2 − a2
− 32
2
 1. O bien, operando y cambiando ,  por x, y, se
tiene: a
2  3b2
a x
2  3a
2  b2
b y
2  a2 − b22. Se trata de una elipse concéntrica con la dada.
D 83- Hallar la curva inversa de la parábola y2  2px, siendo el origen el polo de inversión y siendo 2p la
potencia de inversión.
Solución: Siendo , un punto de la curva producto de la inversión, se tiene: x  2p
2  2
,
y  2p
2  2
. Luego: 4p
22
2  22
 2p 2p
2  2
. Sustituyendo , por x,y, se tiene la ecuación
pedida: xx2  y2 − y2  0 (cisoide).
D 84- En ejes rectangulares se dan los puntos A0,a, B2a,a. Se pide: 1º) Ecuación general de las cónicas
de centro O, tangentes a la recta x  a, y que cortan a AB en dos puntos conjugados armónicos respecto a
A y B. 2º) Lugar geométrico de los focos. 3º) Separar en este lugar, los focos de elipse de los de hipérbola.
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Solución: 1º) AB ≡ y − a  0. Ecuación de la cónica con centro O y tangente a la recta x − a  0:
x − ax  a  y − mx2  0. La recta y  a corta a la cónica en dos puntos de abscisas  y ,
conjugados armónicos de los puntos de abscisas 0 y 2a, luego: 0,2a,,  −1. De donde:
 − a    0. Para y  a, se tiene: x21  m2 − 2amx  a2 − 1  0. Luego:
    2am
1  m2
,   a
2 − 1
1  m2
. Por tanto: a
2 − 1
1  m2
− a2am
1  m2
 0. De donde:   11 − 2m ,
quedando la ecuación general de la cónica: m − 12x2  y2 − 2mxy  a22m − 1  0. 2º) La ecuación
tangencial de la cónica es:
m − 12 −m 0 u
−m 1 0 v
0 0 a22m − 1 w
u v w 0
 0. De donde:
a2u2  a2m − 12v2  2a2muv  w2  0.
Sustituyendo:u  1, v  i, w  −z  −x − iy, siendo x,y las coordenadas del foco, se tienen las
ecuaciones: x2 − y2  a2m2 − m, xy  ma2. Eliminando m, se tiene la ecuación del lugar pedido:
x2y2  a2x2 − y2 − 2xy  0. 3º) En la ecuación de la cónica, A33  1 − 2m, A  −a22m − 12. Luego
para m  12 , la cónica es parábola (degenerada en una recta doble); para m 
1
2 , es hipérbola; y para
m  12 , es elipse. 4º) En el siguiente dibujo se presenta en línea llena el lugar geométrico de los focos,
que está formado por dos ramas: BOD y EOF. Se dibuja en trazos la hipérbola: xy  ma2  a
2
2 , que
corresponde a los focos de parábola, separando los de elipse (m  12 ) de los de hipérbola (m 
1
2 ). Y se
presenta en puntos las rectas x  a que son las asíntotas del lugar geométrico. En los puntos A y C,
intersecciones de dichas asíntotas con la hipérbola, los focos son de parábola (degenerada en una recta
doble). En los arcos AB y CD, correspondientes a la rama BOD, los focos son de hipérbola. En la rama
EOF y en el arco AOC, correspondiente a la rama BOD, los focos son de elipse.
E B
X=-a
(-a,0)
D
C(-a,-a/2)
O
F
A(a,a/2)
(a,0)
X=a
E B
X=-a
(-a,0)
D
C(-a,-a/2)
O
F
A(a,a/2)
(a,0)
X=a
D 85- Dado el rectángulo OABC, en el que OA  a, OB  b, tomando como ejes coordenados los lados OA y
OB, se pide: 1º) Ecuación de las cónicas que pasan por O, A, B, de forma que la polar de C sea paralela a
AB. 2º) Lugar geométrico de los centros de estas cónicas, separando los correspondientes a elipses de los
correspondientes a hipérbolas. 3º) Siendo Γ una de estas cónicas, hallar la ecuación de su hipérbola de
Apolonio correspondiente al punto C. 4º) Lugar geométrico de los centros de estas hipérbolas de
Apolonio.
Solución: 1º) La ecuación general de las cónicas circunscritas al triángulo OAB, es: x2  2xy  y2 −
−ax − by  0. La ecuación de la polar del punto Ca,b, es: 2a  2b − ax  2a  2b − by 
−a2 − b2  0. Luego: −a − 2b2a  b 
−b
a . De donde:  
a2
b2
. Por tanto, la ecuación de las cónicas es
la siguiente: fx,y ≡ b2x2  2xy  a2y2 − ab2x − a2by  0. Como A33 
b2 
 a2
 a2b2 − 2, para
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